考點(diǎn)規(guī)范練33數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.設(shè)2(z+z)+3(z-z)=4+6i,則z=()A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i答案:C解析:設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則z=x-yi,2(z+z)+3(z-z)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.2.(2024新高考Ⅱ,1)已知z=-1-i,則|z|=()A.0 B.1 C.2 D.答案:C解析:|z|=(-1)2+3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1答案:C解析:由題意可知,z=x+yi.因為z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x2+則x2+(y-1)2=1.故選C.4.若復(fù)數(shù)z=1+i,z為z的共軛復(fù)數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.z=-1-i B.z=-1+iC.|z|=2 D.|z|=2答案:D解析:z=1-i,|z|=1+1=2,故選5.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1),則2zz-1A.3+i B.1-3i C.1-i D.2-i答案:A解析:由題意知z=2-i,所以2zz-1=6.已知復(fù)數(shù)z=i1+i,則|z|=(A.22 B.2 C.12 D答案:A解析:z=i1+i所以|z|=127.若復(fù)數(shù)z=1+ia-i(i是虛數(shù)單位,a∈R)是純虛數(shù),則z的虛部為A.1 B.i C.2 D.2i答案:A解析:z=1+ia因為z是純虛數(shù),所以a-1=0,所以z的虛部為1+112+1=1,8.(2023新高考Ⅰ,2)已知z=1-i2+2i,則z-z=(A.-i B.iC.0 D.1答案:A解析:∵z=1-i2+2i∴z=∴z-z=-12i-12i=-i.故選9.(多選)已知復(fù)數(shù)z=-12+32i(其中i為虛數(shù)單位),A.z2=0 B.z2=zC.z3=1 D.|z|=1答案:BCD解析:由于復(fù)數(shù)z=-12+32i(則z2=14-32i-34=-1則z2=z,故B正確;z3=-12-32i-12+32i=110.在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若復(fù)數(shù)z,z+1對應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓O上,則z的實(shí)部為()A.-32 B.-12 C.12答案:B解析:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z+1=a+1+bi,由題意可得|z|=1,|z+1|=1,即a2+所以z的實(shí)部為-1211.(多選)已知復(fù)數(shù)z0=1+2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P0,復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z-i|,則下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1,2)B.復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于虛軸對稱C.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上D.P0與z對應(yīng)的點(diǎn)Z間的距離的最小值為2答案:ACD解析:復(fù)數(shù)z0=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P0(1,2),A正確;復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于實(shí)軸對稱,B錯誤;設(shè)z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即(x-1)2即點(diǎn)Z在直線y=x上,C正確;易知點(diǎn)P0到直線y=x的垂線段的長度即為點(diǎn)P0與點(diǎn)Z之間距離的最小值,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可知,最小值為|1-2|212.寫出一個虛數(shù)z,使得z2+3為純虛數(shù),則z=.

答案:1+2i(答案不唯一)解析:設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z2+3=a2-b2+3+2abi,因為z2+3為純虛數(shù),所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不為零的實(shí)數(shù)a,求出b即可得到,答案不唯一,如z=1+2i.13.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)2-3i1+2i+z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2),則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第答案:四解析:設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則2-3i1+2i+x+yi=即(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1-所以x-4即z=145-35i,其對應(yīng)點(diǎn)為14.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|=.

答案:23解析:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,∴a+c=3,b+d=1,∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,∴|z1-z2|=(a-c)15.若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,則λ的取值范圍是.

答案:-解析:由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得m化簡,得4-4cos2θ=λ+3sinθ