數(shù)學(xué)乙卷文科試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\cupB=(\)\)A.\(\{2\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\{2,4\}\)2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\((-\infty,1]\)B.\([1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.\(-2\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=(\)\)A.\(11\)B.\(10\)C.\(9\)D.\(8\)6.不等式\(x^2-3x+2<0\)的解集為（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2]\)D.\((-\infty,1]\cup[2,+\infty)\)7.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(2\)，則其表面積為（）A.\(8\)B.\(12\)C.\(24\)D.\(48\)8.函數(shù)\(y=\log_2x\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線斜率為（）A.\(\frac{1}{\ln2}\)B.\(\ln2\)C.\(1\)D.\(2\)9.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=(\)\)A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)10.已知\(z=1+i\)，則\(z\cdot\overline{z}=(\)\)A.\(2\)B.\(0\)C.\(1+i\)D.\(1-i\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.下列屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)3.已知直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)，\(l_2:y=k_2x+b_2\)，若\(l_1\parallell_2\)，則（）A.\(k_1=k_2\)B.\(b_1=b_2\)C.\(k_1k_2=-1\)D.\(b_1\neqb_2\)4.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的性質(zhì)有（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}(0<e<1)\)D.焦點(diǎn)在\(x\)軸上5.下列運(yùn)算正確的是（）A.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)B.\((a^m)^n=a^{mn}\)C.\((ab)^n=a^nb^n\)D.\(a^m\diva^n=a^{m-n}(a\neq0)\)6.以下哪些點(diǎn)在直線\(y=x+1\)上（）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((-1,0)\)D.\((2,3)\)7.已知\(\triangleABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對(duì)的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則下列等式成立的是（）A.\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)B.\(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\)C.\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)D.\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC\)8.以下哪些是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（）A.\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)B.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)C.\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}(v\neq0)\)D.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)9.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=-x^2\)10.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_2=3\)C.\(a_3=5\)D.\(a_n=2n-1\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^3\)是偶函數(shù)。（）3.直線\(Ax+By+C=0\)的斜率為\(-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）5.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心為\((0,0)\)，半徑為\(r\)。（）6.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(0^{\circ}\)。（）7.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)。（）8.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)。（）9.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）10.曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線方程為\(y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x^2-2x+1\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\)，這里\(a=3\)，\(b=-2\)，則對(duì)稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入函數(shù)得\(y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點(diǎn)斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)（其中\(zhòng)((x_1,y_1)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.計(jì)算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}\)，將\(1\)和\(0\)代入相減，\((\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。答案：\(y=\frac{1}{x}\)定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)上，設(shè)\(x_1<x_2<0\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0\)，函數(shù)遞減；在\((0,+\infty)\)上同理可證也遞減。2.探討橢圓和雙曲線的性質(zhì)異同。答案：相同點(diǎn)：都是圓錐曲線。不同點(diǎn)：橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（焦點(diǎn)在\(x\)軸為例），\(a^2=b^2+c^2\)，離心率\(0<e<1\)；雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，\(c^2=a^2+b^2\)，離心率\(e>1\)。3.說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用。答案：導(dǎo)數(shù)可確定函數(shù)單調(diào)性，\(f^\prime(x)>0\)函數(shù)遞增，\(f^\prime(x)<0\)函數(shù)遞減；還能求函數(shù)極值，\(f^\prime(x)=0\)的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)；也可用于分析函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，輔助畫(huà)出函數(shù)大致圖象。4.談?wù)剶?shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：數(shù)列在貸款還款、存款利息計(jì)算、人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)、等方面有應(yīng)用。如等額本息貸款還款，每月還款額構(gòu)成數(shù)列；銀行復(fù)利計(jì)算中本利和按數(shù)列規(guī)律變化；預(yù)測(cè)人口數(shù)量，根據(jù)一