2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：統(tǒng)計(jì)推斷與檢驗(yàn)案例分析試題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量抽樣分布集中趨勢(shì)的指標(biāo)是（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.均值D.中位數(shù)2.設(shè)總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)σ2未知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類錯(cuò)誤是指（）A.拒絕了真實(shí)的原假設(shè)B.沒有拒絕錯(cuò)誤的原假設(shè)C.接受了錯(cuò)誤的原假設(shè)D.沒有拒絕真實(shí)的原假設(shè)4.設(shè)總體服從二項(xiàng)分布B（n，p），當(dāng)n較大時(shí)，可以用（）來近似計(jì)算其抽樣分布。A.正態(tài)分布B.t分布C.χ2分布D.F分布5.在大樣本情況下，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，對(duì)總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量6.設(shè)總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)σ2已知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量7.在假設(shè)檢驗(yàn)中，第二類錯(cuò)誤是指（）A.拒絕了真實(shí)的原假設(shè)B.沒有拒絕錯(cuò)誤的原假設(shè)C.接受了錯(cuò)誤的原假設(shè)D.沒有拒絕真實(shí)的原假設(shè)8.設(shè)總體服從泊松分布P（λ），當(dāng)樣本量較大時(shí)，可以用（）來近似計(jì)算其抽樣分布。A.正態(tài)分布B.t分布C.χ2分布D.F分布9.在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量抽樣分布離散程度的指標(biāo)是（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.均值D.中位數(shù)10.設(shè)總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)σ2未知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量11.在大樣本情況下，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量12.設(shè)總體服從二項(xiàng)分布B（n，p），當(dāng)n較小且p接近0.5時(shí)，其抽樣分布可以用（）來近似。A.正態(tài)分布B.t分布C.χ2分布D.F分布13.在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平α是指（）A.拒絕原假設(shè)的概率B.接受原假設(shè)的概率C.犯第一類錯(cuò)誤的概率D.犯第二類錯(cuò)誤的概率14.設(shè)總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)σ2已知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量15.在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量與被估計(jì)參數(shù)之間差異的指標(biāo)是（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.均值D.中位數(shù)16.設(shè)總體服從泊松分布P（λ），當(dāng)樣本量較大時(shí)，對(duì)λ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量17.在假設(shè)檢驗(yàn)中，功效函數(shù)是指（）A.拒絕原假設(shè)的概率B.接受原假設(shè)的概率C.犯第一類錯(cuò)誤的概率D.犯第二類錯(cuò)誤的概率18.設(shè)總體服從二項(xiàng)分布B（n，p），當(dāng)n較大時(shí)，對(duì)p進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量19.在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量無偏性的指標(biāo)是（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.均值D.中位數(shù)20.設(shè)總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)σ2未知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如何確定檢驗(yàn)的顯著性水平α？3.解釋什么是第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，并說明它們之間的關(guān)系。4.在什么情況下可以使用Z統(tǒng)計(jì)量和t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)？它們各自的適用條件是什么？5.設(shè)總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)σ2未知時(shí)，如何對(duì)μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)？請(qǐng)寫出具體的步驟和公式。三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.某工廠生產(chǎn)一批零件，已知零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中σ=0.05cm?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取50個(gè)零件，測(cè)得樣本均值為10.02cm。試以95%的置信水平估計(jì)該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間。2.某研究人員想調(diào)查某城市居民對(duì)一項(xiàng)新政策的支持率。他隨機(jī)抽取了400名居民進(jìn)行調(diào)查，其中有280人支持該政策。試以95%的置信水平估計(jì)該城市居民支持該政策的比例的置信區(qū)間。3.某醫(yī)生想比較兩種藥物A和B治療某種疾病的療效。他隨機(jī)選取了60名患者，其中30人服用藥物A，30人服用藥物B。經(jīng)過一段時(shí)間治療后，服用藥物A的患者中有20人治愈，服用藥物B的患者中有25人治愈。試以95%的置信水平估計(jì)兩種藥物治愈率的差異的置信區(qū)間。4.某學(xué)校想調(diào)查學(xué)生們的學(xué)習(xí)時(shí)間。他們隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)平均學(xué)習(xí)時(shí)間為4小時(shí)/天，標(biāo)準(zhǔn)差為1小時(shí)/天。試以95%的置信水平估計(jì)該校學(xué)生平均學(xué)習(xí)時(shí)間的置信區(qū)間。四、分析題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.某公司想檢驗(yàn)一批產(chǎn)品的重量是否達(dá)標(biāo)。已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.1kg。公司抽取了25個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得樣本均值為10.05kg。如果公司規(guī)定產(chǎn)品重量均值必須大于10kg，試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)該批產(chǎn)品是否達(dá)標(biāo)。2.某研究人員想比較兩種教學(xué)方法的效果。他隨機(jī)選取了60名學(xué)生，其中30人采用方法A教學(xué)，30人采用方法B教學(xué)。經(jīng)過一段時(shí)間后，采用方法A的學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分；采用方法B的學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為8分。試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法的效果是否存在顯著差異。3.某公司想檢驗(yàn)一種新廣告策略的效果。他們?cè)趦蓚€(gè)不同的城市進(jìn)行測(cè)試，其中一個(gè)城市采用新廣告策略，另一個(gè)城市采用舊廣告策略。兩個(gè)城市的銷售額數(shù)據(jù)如下：采用新廣告策略的城市銷售額為1000萬元，標(biāo)準(zhǔn)差為200萬元；采用舊廣告策略的城市銷售額為900萬元，標(biāo)準(zhǔn)差為150萬元。試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)新廣告策略是否顯著提高了銷售額。五、綜合題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.某工廠生產(chǎn)一批零件，已知零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中σ=0.05cm。現(xiàn)從中隨機(jī)抽取50個(gè)零件，測(cè)得樣本均值為10.02cm。試以95%的置信水平估計(jì)該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，并檢驗(yàn)該批零件長(zhǎng)度是否顯著大于10cm（α=0.05）。2.某研究人員想調(diào)查某城市居民對(duì)一項(xiàng)新政策的支持率。他隨機(jī)抽取了400名居民進(jìn)行調(diào)查，其中有280人支持該政策。試以95%的置信水平估計(jì)該城市居民支持該政策的比例的置信區(qū)間，并檢驗(yàn)該城市居民支持該政策的比例是否顯著高于50%（α=0.05）。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量抽樣分布集中趨勢(shì)的指標(biāo)是均值。均值反映了估計(jì)量的中心位置，是衡量估計(jì)量好壞的重要指標(biāo)。2.B解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布且σ2未知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)應(yīng)使用t統(tǒng)計(jì)量。t統(tǒng)計(jì)量適用于小樣本情況下總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況。3.A解析：第一類錯(cuò)誤是指拒絕了真實(shí)的原假設(shè)，即錯(cuò)誤地認(rèn)為存在差異或效應(yīng)。這是假設(shè)檢驗(yàn)中常見的錯(cuò)誤類型。4.A解析：當(dāng)n較大時(shí)，二項(xiàng)分布B（n，p）可以用正態(tài)分布近似計(jì)算其抽樣分布。這是由中心極限定理決定的，n越大，正態(tài)近似越好。5.A解析：在大樣本情況下，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，對(duì)總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量。Z統(tǒng)計(jì)量適用于大樣本且總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況。6.A解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布且σ2已知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量。Z統(tǒng)計(jì)量適用于總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況。7.C解析：第二類錯(cuò)誤是指接受了錯(cuò)誤的原假設(shè)，即未能檢測(cè)出實(shí)際存在的差異或效應(yīng)。這是假設(shè)檢驗(yàn)中另一種常見的錯(cuò)誤類型。8.A解析：當(dāng)樣本量較大時(shí)，泊松分布P（λ）可以用正態(tài)分布近似計(jì)算其抽樣分布。這是由泊松分布的性質(zhì)決定的，當(dāng)λ較大時(shí)，正態(tài)近似較好。9.A解析：在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量抽樣分布離散程度的指標(biāo)是方差。方差反映了估計(jì)量的波動(dòng)程度，是衡量估計(jì)量穩(wěn)定性的重要指標(biāo)。10.B解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布且σ2未知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)使用t統(tǒng)計(jì)量。t統(tǒng)計(jì)量適用于小樣本情況下總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況。11.A解析：在大樣本情況下，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量。Z統(tǒng)計(jì)量適用于大樣本且總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況。12.A解析：當(dāng)n較小且p接近0.5時(shí)，二項(xiàng)分布B（n，p）的抽樣分布可以用正態(tài)分布近似。這是由二項(xiàng)分布的性質(zhì)決定的，p接近0.5時(shí)，分布更接近對(duì)稱。13.C解析：顯著性水平α是指犯第一類錯(cuò)誤的概率，即錯(cuò)誤地拒絕真實(shí)原假設(shè)的概率。這是假設(shè)檢驗(yàn)中的基本概念。14.A解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布且σ2已知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量。Z統(tǒng)計(jì)量適用于總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況。15.A解析：在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量與被估計(jì)參數(shù)之間差異的指標(biāo)是方差。方差反映了估計(jì)量與參數(shù)之間的偏差程度。16.C解析：當(dāng)總體服從泊松分布P（λ）且樣本量較大時(shí)，對(duì)λ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)應(yīng)使用χ2統(tǒng)計(jì)量。χ2統(tǒng)計(jì)量適用于泊松分布參數(shù)估計(jì)。17.A解析：功效函數(shù)是指拒絕原假設(shè)的概率，即正確檢測(cè)出實(shí)際存在的差異或效應(yīng)的概率。這是假設(shè)檢驗(yàn)中衡量檢驗(yàn)效能的重要指標(biāo)。18.A解析：當(dāng)n較大時(shí)，二項(xiàng)分布B（n，p）的對(duì)p進(jìn)行區(qū)間估計(jì)應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量。Z統(tǒng)計(jì)量適用于大樣本情況。19.C解析：在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量無偏性的指標(biāo)是均值。無偏性是指估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)參數(shù)，均值是衡量無偏性的重要指標(biāo)。20.B解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布且σ2未知時(shí)，對(duì)μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)使用t統(tǒng)計(jì)量。t統(tǒng)計(jì)量適用于小樣本情況下總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況。二、簡(jiǎn)答題答案及解析1.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。參數(shù)估計(jì)的基本思想是通過樣本數(shù)據(jù)來推斷總體的未知參數(shù)，常用的方法有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)具體的數(shù)值來估計(jì)參數(shù)，而區(qū)間估計(jì)是用一個(gè)區(qū)間來估計(jì)參數(shù)，并給出估計(jì)的置信水平。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是通過樣本數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否成立，常用的方法有Z檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)主要包括提出原假設(shè)和備擇假設(shè)、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定顯著性水平、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值、做出決策等步驟。2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如何確定檢驗(yàn)的顯著性水平α？檢驗(yàn)的顯著性水平α是指在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率，即錯(cuò)誤地拒絕真實(shí)原假設(shè)的概率。確定顯著性水平α通常取決于研究者的要求和實(shí)際情況，常用的α值有0.05、0.01等。α值越小，犯第一類錯(cuò)誤的概率越小，但可能會(huì)增加犯第二類錯(cuò)誤的概率。3.解釋什么是第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，并說明它們之間的關(guān)系。第一類錯(cuò)誤是指拒絕了真實(shí)的原假設(shè)，即錯(cuò)誤地認(rèn)為存在差異或效應(yīng)。第二類錯(cuò)誤是指接受了錯(cuò)誤的原假設(shè)，即未能檢測(cè)出實(shí)際存在的差異或效應(yīng)。第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤是假設(shè)檢驗(yàn)中兩種常見的錯(cuò)誤類型，它們之間存在著一定的關(guān)系。通常情況下，減小犯第一類錯(cuò)誤的概率會(huì)增加犯第二類錯(cuò)誤的概率，反之亦然。因此，在假設(shè)檢驗(yàn)中需要在兩者之間進(jìn)行權(quán)衡。4.在什么情況下可以使用Z統(tǒng)計(jì)量和t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)？它們各自的適用條件是什么？Z統(tǒng)計(jì)量適用于大樣本情況下總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況，或者正態(tài)分布且σ2已知的情況。t統(tǒng)計(jì)量適用于小樣本情況下總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況，或者正態(tài)分布且σ2未知的情況。Z統(tǒng)計(jì)量和t統(tǒng)計(jì)量的選擇取決于樣本量、總體標(biāo)準(zhǔn)差是否已知以及總體分布是否正態(tài)等因素。5.設(shè)總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)σ2未知時(shí)，如何對(duì)μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)？請(qǐng)寫出具體的步驟和公式。對(duì)μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的步驟如下：（1）收集樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。（2）根據(jù)樣本量和總體分布情況選擇合適的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，應(yīng)使用t統(tǒng)計(jì)量。（3）確定置信水平，常用的置信水平有95%、99%等。（4）根據(jù)樣本量和置信水平查找t分布表，得到t分布的臨界值。（5）根據(jù)樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本量和t分布的臨界值計(jì)算置信區(qū)間。具體的公式為：置信區(qū)間=樣本均值±t分布的臨界值×(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)三、計(jì)算題答案及解析1.某工廠生產(chǎn)一批零件，已知零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中σ=0.05cm?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取50個(gè)零件，測(cè)得樣本均值為10.02cm。試以95%的置信水平估計(jì)該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間。解析：由于總體服從正態(tài)分布且σ已知，應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。95%的置信水平對(duì)應(yīng)的Z分布臨界值為1.96。置信區(qū)間計(jì)算公式為：置信區(qū)間=樣本均值±Z分布的臨界值×(σ/√樣本量)=10.02±1.96×(0.05/√50)=(10.0044,10.0356)。2.某研究人員想調(diào)查某城市居民對(duì)一項(xiàng)新政策的支持率。他隨機(jī)抽取了400名居民進(jìn)行調(diào)查，其中有280人支持該政策。試以95%的置信水平估計(jì)該城市居民支持該政策的比例的置信區(qū)間。解析：由于樣本量較大，可以使用正態(tài)分布近似計(jì)算比例的置信區(qū)間。樣本比例為280/400=0.7，標(biāo)準(zhǔn)誤為√(p(1-p)/n)=√(0.7×0.3/400)=0.0212。95%的置信水平對(duì)應(yīng)的Z分布臨界值為1.96。置信區(qū)間計(jì)算公式為：置信區(qū)間=樣本比例±Z分布的臨界值×標(biāo)準(zhǔn)誤=(0.6644,0.7356)。3.某醫(yī)生想比較兩種藥物A和B治療某種疾病的療效。他隨機(jī)選取了60名患者，其中30人服用藥物A，30人服用藥物B。經(jīng)過一段時(shí)間治療后，服用藥物A的患者中有20人治愈，服用藥物B的患者中有25人治愈。試以95%的置信水平估計(jì)兩種藥物治愈率的差異的置信區(qū)間。解析：由于樣本量較小，應(yīng)使用正態(tài)分布近似計(jì)算比例差異的置信區(qū)間。藥物A的治愈率為20/30=0.6667，藥物B的治愈率為25/30=0.8333，比例差異為0.1666，標(biāo)準(zhǔn)誤為√[(p1(1-p1)/n1)+(p2(1-p2)/n2)]=√[(0.6667×0.3333/30)+(0.8333×0.1667/30)]=0.1111。95%的置信水平對(duì)應(yīng)的Z分布臨界值為1.96。置信區(qū)間計(jì)算公式為：置信區(qū)間=比例差異±Z分布的臨界值×標(biāo)準(zhǔn)誤=(-0.1111,0.4444)。4.某學(xué)校想調(diào)查學(xué)生們的學(xué)習(xí)時(shí)間。他們隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)平均學(xué)習(xí)時(shí)間為4小時(shí)/天，標(biāo)準(zhǔn)差為1小時(shí)/天。試以95%的置信水平估計(jì)該校學(xué)生平均學(xué)習(xí)時(shí)間的置信區(qū)間。解析：由于樣本量較大，可以使用Z統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。95%的置信水平對(duì)應(yīng)的Z分布臨界值為1.96。置信區(qū)間計(jì)算公式為：置信區(qū)間=樣本均值±Z分布的臨界值×(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)=4±1.96×(1/√100)=(3.804,4.196)。四、分析題答案及解析1.某公司想檢驗(yàn)一批產(chǎn)品的重量是否達(dá)標(biāo)。已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.1kg。公司抽取了25個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得樣本均值為10.05kg。如果公司規(guī)定產(chǎn)品重量均值必須大于10kg，試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)該批產(chǎn)品是否達(dá)標(biāo)。解析：由于總體服從正態(tài)分布且σ已知，應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。原假設(shè)H0：μ≤10，備擇假設(shè)H1：μ>10。α=0.05對(duì)應(yīng)的Z分布臨界值為1.645。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為：Z=(樣本均值-假設(shè)均值)/(σ/√樣本量)=(10.05-10)/(0.1/√25)=2.5。由于2.5>1.645，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該批產(chǎn)品達(dá)標(biāo)。2.某研究人員想比較兩種教學(xué)方法的效果。他隨機(jī)選取了60名學(xué)生，其中30人采用方法A教學(xué)，30人采用方法B教學(xué)。經(jīng)過一段時(shí)間后，采用方法A的學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分；采用方法B的學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為8分。試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法的效果是否存在顯著差異。解析：由于樣本量較大且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。原假設(shè)H0：μA=μB，備擇假設(shè)H1：μA≠μB。α=0.05對(duì)應(yīng)的Z分布臨界值為1.96。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為：Z=(樣本均值A(chǔ)-樣本均值B)/√[(σA2/nA)+(σB2/nB)]=(80-75)/√[(102/30)+(82/30)]=2.88。由于2.88>1.96，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種教學(xué)方法的效果存在顯著差異。3.某公司想檢驗(yàn)一種新廣告策略的效果。他們?cè)趦蓚€(gè)不同的城市進(jìn)行測(cè)試，其中一個(gè)城市采用新廣告策略，另一個(gè)城市采用舊廣告策略。兩個(gè)城市的銷售額數(shù)據(jù)如下：采用新廣告策略的城市銷售額為1000萬元，標(biāo)準(zhǔn)差為200萬元；采用舊廣告策略的城市銷售額為900萬元，標(biāo)準(zhǔn)差為150萬元。試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)新廣告策略是否顯著提高了銷售額。解析：由于樣本量較大且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。原假設(shè)H0：μ新=μ舊，備擇假設(shè)H1：μ新>μ舊。α=0.05對(duì)應(yīng)的Z分布臨界值為1.645。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為：Z=(樣本均值新-樣本均值舊)/√[(σ新2/n新)+(σ舊2/n舊)]=(1000-900)/√[(2002/