高考數(shù)學(xué)函數(shù)題型專項練習(xí)一、函數(shù)的定義域與值域考點分析：定義域是函數(shù)的“輸入邊界”，核心限制包括：①分式分母≠0；②偶次根式被開方數(shù)≥0；③對數(shù)真數(shù)>0；④復(fù)合函數(shù)內(nèi)層值域與外層定義域交集非空；⑤實際問題符合現(xiàn)實意義。值域是函數(shù)的“輸出范圍”，常見求法：①配方法（二次函數(shù)）；②換元法（根號/三角式）；③單調(diào)性法（單調(diào)函數(shù)）；④判別式法（分式二次函數(shù)）；⑤幾何法（距離/斜率）。解題策略：定義域：逐一列限制條件，取交集（區(qū)間/集合表示）；值域：根據(jù)函數(shù)類型選方法（如二次函數(shù)用配方法，根號式用換元法）。典型例題：例1（定義域）：求\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\ln(2-x)}\)的定義域。解答：①\(x-1≥0\Rightarrowx≥1\)；②\(\ln(2-x)≠0\Rightarrowx≠1\)；③\(2-x>0\Rightarrowx<2\)。定義域：\((1,2)\)。例2（值域）：求\(f(x)=x+\sqrt{1-2x}\)的值域。解答：令\(t=\sqrt{1-2x}(t≥0)\)，則\(x=\frac{1-t^2}{2}\)，代入得：\(f(t)=-\frac{1}{2}(t-1)^2+1\)。當(dāng)\(t=1\)時取最大值1，故值域：\((-∞,1]\)。專項練習(xí)：1.求\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\)的定義域。（答案：\([-2,1)∪(1,+∞)\)）2.求\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([0,3]\)上的值域。（答案：\([2,6]\)）3.求\(f(x)=\sqrt{1-2x}+x\)的值域。（答案：\((-∞,1]\)）二、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性考點分析：單調(diào)性：區(qū)間內(nèi)任意\(x_1<x_2\)，\(f(x_1)<f(x_2)\)（增）或\(f(x_1)>f(x_2)\)（減）。判定方法：①定義法（作差）；②導(dǎo)數(shù)法（\(f’(x)\)符號）；③復(fù)合函數(shù)“同增異減”。奇偶性：①定義域關(guān)于原點對稱；②偶函數(shù)\(f(-x)=f(x)\)（\(y\)軸對稱）；③奇函數(shù)\(f(-x)=-f(x)\)（原點對稱）。解題策略：單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)“同增異減”；含參數(shù)函數(shù)需討論參數(shù)對單調(diào)性的影響。奇偶性：先驗證定義域?qū)ΨQ，再計算\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系。典型例題：例1（奇偶性）：判斷\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性。解答：定義域\(R\)對稱，\(f(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，故為奇函數(shù)。例2（單調(diào)性與參數(shù)）：求\(f(x)=x^2-2ax+1\)在\([1,2]\)上遞增的\(a\)范圍。解答：對稱軸\(x=a\)，開口向上，需\(a≤1\)，故\(a∈(-∞,1]\)。專項練習(xí)：1.判斷\(f(x)=x^2+|x|\)的奇偶性。（答案：偶函數(shù)）2.求\(f(x)=\ln(x^2+1)\)的單調(diào)性。（答案：\((-∞,0)\)減，\((0,+∞)\)增）3.若\(f(x)=kx+b\)遞減，求\(k\)的范圍。（答案：\(k<0\)）三、函數(shù)的圖像與變換考點分析：基本函數(shù)圖像：①一次函數(shù)（直線）；②二次函數(shù)（拋物線）；③冪函數(shù)（\(y=x^α\)）；④指數(shù)函數(shù)（\(y=a^x\)）；⑤對數(shù)函數(shù)（\(y=\log_ax\)）。圖像變換：①平移（左加右減，上加下減）；②伸縮（橫縮\(1/ω\)，縱伸\(A\)）；③對稱（\(x\)軸、\(y\)軸、原點、\(y=x\)）；④翻折（保留上方/右側(cè)，翻折下方/左側(cè)）。解題策略：畫圖步驟：①定定義域；②判奇偶性（簡化）；③求單調(diào)性/極值；④找特殊點（坐標(biāo)軸交點）；⑤用變換（若為基本函數(shù)變形）。圖像識別：看定義域、值域、單調(diào)性、特殊點（如\(x=0\)或\(x=1\)的值）。典型例題：例1（圖像變換）：畫\(f(x)=2^{x+1}-1\)的圖像。解答：由\(y=2^x\)向左平移1個單位（\(y=2^{x+1}\)），再向下平移1個單位得\(f(x)\)。圖像過\((0,1)\)，單調(diào)遞增，值域\((-1,+∞)\)。例2（圖像識別）：已知\(f(x)=a^x+b\)過\((0,2)\)、\((1,3)\)，求\(a,b\)。解答：代入\((0,2)\)得\(b=1\)；代入\((1,3)\)得\(a=2\)。專項練習(xí)：1.畫\(f(x)=\log_2(x-1)\)的圖像（提示：\(y=\log_2x\)右移1個單位）。2.若\(f(x)\)關(guān)于\(y\)軸對稱且過\((1,2)\)，則\(f(-1)=\)______。（答案：2）3.與\(y=2^x\)關(guān)于\(x\)軸對稱的函數(shù)是（）A.\(y=-2^x\)B.\(y=2^{-x}\)C.\(y=\log_2x\)D.\(y=-\log_2x\)（答案：A）四、二次函數(shù)與冪函數(shù)考點分析：二次函數(shù)：①解析式（一般式\(ax^2+bx+c\)、頂點式\(a(x-h)^2+k\)、交點式\(a(x-x_1)(x-x_2)\)）；②性質(zhì)（開口方向、對稱軸、頂點、最值）。冪函數(shù)：定義\(y=x^α\)（\(α\)為常數(shù)），常見性質(zhì)：①\(α>0\)時過原點、增函數(shù)；②\(α<0\)時不過原點、減函數(shù)（\((0,+∞)\)內(nèi)）。解題策略：二次函數(shù)解析式：已知頂點用頂點式，已知零點用交點式，已知三點用一般式。二次函數(shù)最值：定義域包含對稱軸時取頂點值，否則取端點值。典型例題：例1（二次函數(shù)解析式）：已知二次函數(shù)過\((0,1)\)，頂點\((2,-3)\)，求解析式。解答：設(shè)頂點式\(f(x)=a(x-2)^2-3\)，代入\((0,1)\)得\(a=1\)，故\(f(x)=x^2-4x+1\)。例2（二次函數(shù)最值）：求\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([0,3]\)上的最值。解答：對稱軸\(x=1\)，最小值\(f(1)=2\)；最大值\(f(3)=6\)。專項練習(xí)：1.已知二次函數(shù)過\((1,0)\)、\((2,0)\)、\((0,2)\)，求解析式。（答案：\(f(x)=x^2-3x+2\)）2.求\(f(x)=-x^2+2x+3\)的最大值。（答案：4）3.冪函數(shù)過\((2,8)\)，則\(α=\)______。（答案：3）五、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)考點分析：指數(shù)函數(shù)（\(y=a^x\)，\(a>0且a≠1\)）：①定義域\(R\)，值域\((0,+∞)\)；②\(a>1\)增，\(0<a<1\)減；③過\((0,1)\)。對數(shù)函數(shù)（\(y=\log_ax\)，\(a>0且a≠1\)）：①定義域\((0,+∞)\)，值域\(R\)；②\(a>1\)增，\(0<a<1\)減；③過\((1,0)\)。運(yùn)算公式：①\(a^m·a^n=a^{m+n}\)；②\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)；③換底公式\(\log_ab=\frac{\lnb}{\lna}\)。解題策略：運(yùn)算：統(tǒng)一底數(shù)，用公式化簡；換底公式用于比較不同底數(shù)的對數(shù)。比較大?。孩偻讛?shù)用單調(diào)性；②不同底數(shù)用中間值（0,1）；③指數(shù)/底數(shù)都不同用冪函數(shù)單調(diào)性。典型例題：例1（指數(shù)運(yùn)算）：計算\(2^{\log_23}+3^0-(\frac{1}{2})^{-2}\)。解答：\(2^{\log_23}=3\)，\(3^0=1\)，\((\frac{1}{2})^{-2}=4\)，故原式\(=3+1-4=0\)。例2（比較大?。罕容^\(\log_23\)與\(\log_34\)的大小。解答：方法一：換底得\(\log_23=\frac{\ln3}{\ln2}\)，\(\log_34=\frac{\ln4}{\ln3}\)，交叉相乘得\((\ln3)^2>2(\ln2)^2\)，故\(\log_23>\log_34\)。方法二：中間值\(1.5\)，\(\log_23>1.5\)，\(\log_34<1.5\)，故前者大。專項練習(xí)：1.計算\(\log_39+\log_28-5^{\log_52}\)。（答案：3）2.比較\(0.7^0.8\)與\(0.8^0.7\)的大小。（答案：\(0.7^0.8<0.8^0.7\)）3.解不等式\(\log_0.5(x-1)>1\)。（答案：\(1<x<\frac{3}{2}\)）六、函數(shù)的零點與方程根的分布考點分析：零點：\(f(x)=0\)的實根（函數(shù)與\(x\)軸交點橫坐標(biāo)）。核心定理：零點存在定理（連續(xù)函數(shù)\(f(a)f(b)<0\)，則\((a,b)\)內(nèi)有零點）。方程根的分布：二次方程\(ax^2+bx+c=0\)根在區(qū)間內(nèi)的條件，需結(jié)合：①判別式\(Δ≥0\)（有實根）；②對稱軸位置；③端點函數(shù)值符號。解題策略：零點存在定理：需“連續(xù)”且“端點符號相反”，缺一不可；端點符號相同不能否定零點（如\(f(x)=x^2\)在\([-1,1]\)內(nèi)有零點）。二次方程根分布：①兩根都大于\(m\)：\(Δ≥0\)，\(-b/(2a)>m\)，\(f(m)>0\)；②一根大于\(m\)、一根小于\(m\)：\(f(m)<0\)（無需判別式）。典型例題：例1（零點存在定理）：判斷\(f(x)=x^3-3x+1\)在\((1,2)\)內(nèi)是否有零點。解答：\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=3>0\)，連續(xù)函數(shù)，故有零點。例2（二次方程根分布）：二次方程\(x^2+mx+1=0\)有兩個正根，求\(m\)范圍。解答：①\(Δ=m^2-4≥0\)；②對稱軸\(-m/2>0\)；③\(f(0)=1>0\)。綜上，\(m≤-2\)。專項練習(xí)：1.判斷\(f(x)=\lnx+x-2\)在\((1,2)\)內(nèi)是否有零點。（答案：有）2.二次方程\(x^2-2x+m=0\)根都在\((0,3)\)內(nèi)，求\(m\)范圍。（答案：\(1≤m<3\)）3.\(f(x)=2^x-x^2\)的零點個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4（答案：C）七、函數(shù)的綜合應(yīng)用考點分析：函數(shù)綜合應(yīng)用是高考壓軸題的核心，主要包括：①函數(shù)與不等式（\(f(x)>g(x)\)轉(zhuǎn)化為\(h(x)=f(x)-g(x)>0\)，求零點或最值）；②函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、極值，解決恒成立問題）；③函數(shù)與實際問題（建立模型求最值，如利潤/面積最大化）。解題策略：恒成立問題：\(f(x)≥a\)恒成立等價于\(f(x)_{min}≥a\)；\(f(x)≤a\)恒成立等價于\(f(x)_{max}≤a\)。實際問題：①設(shè)變量；②建模型（如體積/面積函數(shù)）；③定定義域；④求最值（導(dǎo)數(shù)/配方法）；⑤驗證實際意義。典型例題：例1（函數(shù)與不等式）：求\(f(x)=x^3-3x+1≥0\)在\([0,2]\)上的解。解答：導(dǎo)數(shù)\(f’(x)=3(x-1)(x+1)\)，\(f(x)\)在\([0,1)\)減、\((1,2]\)增。\(f(1)=-1\)，\(f(0)=1\)，\(f(2)=3\)，故解為\([0,α]∪[β,2]\)（\(α∈(0,1)\)，\(β∈(1,2)\)，\(α,β\)為\(f(x)=0\)的根）。例2（實際問題）：正方形鐵皮邊長4，剪去邊長\(x\)的正方形做無蓋盒子，求體積最大值。解答：體積\(V(x)=(4-2x)^2x\)，定義域\(0<x<2\)。導(dǎo)數(shù)\(V’(x)=4(3x-2)(x-2)\)，令\(V’(x)=0\)得\(x=2/3\)，此時\(V(x)\)最大值為\(128/27\)。專項練習(xí)：1.求\(f(x)=x^2-2x+3>0\)的解集。（答案：\(R\)）2.矩形周長10，求面積最大值。（答案：\(25/4\)）3.若\(f(x)=x^3-3x+1≥0\)在\([a,b]