2025年事業(yè)單位教師招聘考試數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)知識(shí)試卷（數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。）1.小明在解方程x2-5x+6=0時(shí)，發(fā)現(xiàn)解出來(lái)的兩個(gè)根分別是2和3。那么，關(guān)于這個(gè)方程，小明還能得出什么結(jié)論呢？他覺(jué)得這兩個(gè)根挺有意思的，好像藏著什么秘密似的。A.這個(gè)方程的兩個(gè)根的倒數(shù)和是5。B.這個(gè)方程的兩個(gè)根的平方和是13。C.這個(gè)方程的兩個(gè)根的差是1。D.這個(gè)方程的兩個(gè)根的立方和是30。我覺(jué)得選項(xiàng)B挺有意思的，因?yàn)?2+32=4+9=13，剛好符合。你同意嗎？咱們得選一個(gè)最準(zhǔn)確的。2.小紅在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了“完全平方數(shù)”的概念，她覺(jué)得1、4、9、16這些數(shù)挺特別的，平方根都是整數(shù)。老師補(bǔ)充說(shuō)，如果一個(gè)整數(shù)能表示成兩個(gè)連續(xù)整數(shù)乘積的和，那它可能不是完全平方數(shù)哦。小紅有點(diǎn)懵，你能幫幫她嗎？比如，考慮數(shù)10，它能寫(xiě)成3×4+2，但這好像跟完全平方數(shù)沒(méi)關(guān)系。那么，下列哪個(gè)數(shù)不能表示成兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加上一個(gè)正整數(shù)呢？A.15B.24C.35D.48。我想了想，24好像是8×3+0，但老師說(shuō)“加上一個(gè)正整數(shù)”，所以0不算。那15呢？可能是5×3-0，也不行。35是6×5+5，這符合條件。48是7×7-1，也符合。所以，好像15和35都符合，但題目說(shuō)哪個(gè)不能表示，我有點(diǎn)糊涂了。這題得好好想想。3.小華在數(shù)學(xué)興趣小組里，同學(xué)們一起研究數(shù)字的“數(shù)字根”。他們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)數(shù)的數(shù)字根就是把它所有的數(shù)字加起來(lái)，如果和大于9，就繼續(xù)加下去，直到加到一個(gè)個(gè)位數(shù)為止。比如，數(shù)字根(56)=(5+6)=11，再(11)=(1+1)=2。小華想驗(yàn)證一個(gè)規(guī)律：任何數(shù)的數(shù)字根都能被9整除。她試了幾個(gè)數(shù)，比如18，(1+8)=9，確實(shí)能被9整除。但她的好朋友小麗說(shuō)，這個(gè)規(guī)律好像不對(duì)。小麗舉了個(gè)例子，數(shù)字根(18)=9，9能被9整除沒(méi)錯(cuò)，但她說(shuō)這個(gè)規(guī)律的本質(zhì)是“一個(gè)數(shù)的數(shù)字根和它本身除以9的余數(shù)是一樣的”。小麗說(shuō)得對(duì)嗎？A.小麗說(shuō)得完全正確，這是數(shù)字根的基本性質(zhì)。B.小麗說(shuō)得不對(duì)，數(shù)字根不一定總能被9整除。C.小麗說(shuō)得部分正確，數(shù)字根和余數(shù)有關(guān)，但不是完全一樣。D.小麗只是舉個(gè)例子，規(guī)律本身是對(duì)的。我覺(jué)得小麗的說(shuō)法更有道理，但具體怎么解釋那個(gè)“余數(shù)一樣”的關(guān)系，我就不太清楚了。4.小明和小紅在公園里玩“數(shù)獨(dú)”游戲，小明覺(jué)得數(shù)獨(dú)里的數(shù)字排列很有趣，它們要求每一行、每一列以及每一個(gè)九宮格里都有1到9的數(shù)字，而且不能重復(fù)。小紅突然問(wèn)小明，在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的9×9數(shù)獨(dú)里，如果已經(jīng)填入了一些數(shù)字，那剩下的空格中，要填入的數(shù)字總共有多少種可能的組合呢？小明想，這肯定是個(gè)超級(jí)大的數(shù)字，得用計(jì)算機(jī)算。但小紅說(shuō)，其實(shí)有一個(gè)規(guī)律可以用組合數(shù)學(xué)來(lái)算。你覺(jué)得這個(gè)規(guī)律指的是什么？A.直接計(jì)算所有空格的組合數(shù)，太復(fù)雜了。B.利用容斥原理，考慮每行、每列、每宮的限制。C.每個(gè)空格都有9種選擇，總共9^n種。D.只需要考慮最后一行或最后一列的填法。我覺(jué)得B選項(xiàng)聽(tīng)起來(lái)像是在考慮各種限制條件，可能比較靠譜。5.老師在黑板上畫(huà)了一個(gè)圖形，是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，然后在正方形內(nèi)部畫(huà)了一個(gè)內(nèi)接正八邊形，正八邊形的頂點(diǎn)恰好是正方形各邊的中點(diǎn)。小明看了看，覺(jué)得這個(gè)正八邊形的邊長(zhǎng)應(yīng)該比正方形的邊長(zhǎng)要短。他想知道這個(gè)正八邊形的邊長(zhǎng)到底是多少。他覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題挺有挑戰(zhàn)性的，需要用到一些幾何知識(shí)。你能幫小明算出來(lái)嗎？A.正八邊形的邊長(zhǎng)是2√2。B.正八邊形的邊長(zhǎng)是√10。C.正八邊形的邊長(zhǎng)是4√2。D.正八邊形的邊長(zhǎng)是2。我想，正方形的對(duì)角線是4√2，正八邊形的每一條邊應(yīng)該是對(duì)角線的一半？不對(duì)，那樣是正方形了。也許正八邊形的邊長(zhǎng)是連接正方形頂點(diǎn)和相鄰邊中點(diǎn)的線段長(zhǎng)度？我需要畫(huà)個(gè)圖來(lái)輔助思考。6.小紅在研究一類特殊的數(shù)列，叫做“斐波那契數(shù)列”，就是從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)的和，比如1,1,2,3,5,8,13...老師告訴她，斐波那契數(shù)列有一個(gè)神奇的通項(xiàng)公式，叫做“比內(nèi)公式”，可以不用遞推就能算出第n項(xiàng)。小紅覺(jué)得這個(gè)公式很神奇，她想知道這個(gè)公式大概是長(zhǎng)什么樣的。你覺(jué)得比內(nèi)公式大致描述的是什么呢？A.F(n)=(φ^n-(1-φ)^n)/√5，其中φ是黃金分割。B.F(n)=n!/(n(n-1))。C.F(n)=(1/2)[(1+√5)/2]^n+(1/2)[(1-√5)/2]^n。D.F(n)=n2-n+1。我覺(jué)得A選項(xiàng)提到了黃金分割φ，聽(tīng)起來(lái)就挺神秘的，而且形式也比較復(fù)雜，像是那個(gè)公式。7.小華在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了“同余”的概念，她覺(jué)得這概念挺有意思的，比如3除以2余1，5除以2也余1，所以3和5在“模2”的意義下是“同余”的。老師還舉例說(shuō)，如果兩個(gè)數(shù)a和b，它們同余于c，那么a和b的平方也會(huì)同余于c2。小華覺(jué)得這個(gè)結(jié)論很自然，她想知道這個(gè)結(jié)論成立的條件是什么？A.這個(gè)結(jié)論對(duì)所有整數(shù)和模數(shù)都成立。B.這個(gè)結(jié)論只在模數(shù)為質(zhì)數(shù)時(shí)成立。C.這個(gè)結(jié)論只在模數(shù)為偶數(shù)時(shí)成立。D.這個(gè)結(jié)論只在a和b互質(zhì)時(shí)成立。我覺(jué)得同余是個(gè)比較基礎(chǔ)的算術(shù)概念，平方這種運(yùn)算應(yīng)該不會(huì)破壞同余性吧？除非模數(shù)特別小或者特別大？模數(shù)為質(zhì)數(shù)或者偶數(shù)應(yīng)該不影響。8.小明在做一道幾何題，題目是：在一個(gè)圓內(nèi)畫(huà)一個(gè)內(nèi)接正六邊形，然后在這個(gè)正六邊形的外面再畫(huà)一個(gè)外接圓。小明想知道，這個(gè)外接圓的半徑和內(nèi)接圓（也就是原來(lái)的那個(gè)圓）半徑之間有什么關(guān)系。他覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題需要畫(huà)個(gè)圖來(lái)理解。你能幫小明弄清楚嗎？A.外接圓半徑是內(nèi)接圓半徑的√3倍。B.外接圓半徑是內(nèi)接圓半徑的2倍。C.外接圓半徑是內(nèi)接圓半徑的√2倍。D.外接圓半徑等于內(nèi)接圓半徑。我想，正六邊形可以分成6個(gè)等邊三角形，內(nèi)接圓半徑就是這些等邊三角形的邊長(zhǎng)。外接圓半徑應(yīng)該是從圓心到正六邊形頂點(diǎn)的距離。這和內(nèi)接圓半徑應(yīng)該有關(guān)系，但具體是幾倍呢？我需要回憶一下等邊三角形的性質(zhì)。9.小紅在研究一類有趣的數(shù)，叫做“完全數(shù)”。她知道6是一個(gè)完全數(shù)，因?yàn)樗囊驍?shù)（不包括它自己）是1、2、3，1+2+3=6。她還想再找?guī)讉€(gè)完全數(shù)。老師告訴她，所有偶數(shù)的完全數(shù)都可以寫(xiě)成2^(p-1)*(2^p-1)的形式，其中2^p-1是一個(gè)質(zhì)數(shù)，這種質(zhì)數(shù)叫做“梅森素?cái)?shù)”。小紅覺(jué)得這太神奇了！那么，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，下列哪個(gè)數(shù)可能是完全數(shù)呢？A.28B.496C.8128D.33550336。我覺(jué)得28聽(tīng)起來(lái)像是個(gè)可能的數(shù)，因?yàn)?*7=28，但7不是梅森素?cái)?shù)。496也很大，但看起來(lái)符合那個(gè)形式。8128更大了，也符合那個(gè)形式。33550336更是超級(jí)大。老師說(shuō)過(guò)，所有已知的完全數(shù)都是偶數(shù)，所以28肯定不是。那496和8128哪個(gè)是對(duì)的呢？這需要驗(yàn)證那個(gè)公式。10.老師在課上出了道難題，問(wèn)：把一個(gè)正整數(shù)n分解成若干個(gè)正整數(shù)的和，有多少種不同的分解方式，不考慮順序，比如1+1+1+1+1（n個(gè)1），或者1+1+2，或者1+3等等。小明覺(jué)得這問(wèn)題好難，他聽(tīng)說(shuō)過(guò)一個(gè)類似的“整數(shù)劃分”問(wèn)題。小紅也覺(jué)得這問(wèn)題挺有深度，她知道這有一個(gè)經(jīng)典的計(jì)數(shù)方法。你覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題的核心是什么？A.求所有可能的加數(shù)組合。B.求n的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)。C.這是一個(gè)組合數(shù)學(xué)中的“整數(shù)劃分”問(wèn)題。D.這是一個(gè)遞歸問(wèn)題，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)。我覺(jué)得C選項(xiàng)聽(tīng)起來(lái)最專業(yè)，而且老師講過(guò)類似的問(wèn)題，感覺(jué)和劃分有關(guān)。二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡上指定的位置。）1.小華在研究一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=n(n+1)/2。她想知道這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n是多少。小明幫她算了一下，覺(jué)得這個(gè)公式很漂亮。你能幫他算出來(lái)嗎？S_n=______。我想，這應(yīng)該是個(gè)二次函數(shù)吧，因?yàn)閚2項(xiàng)和n項(xiàng)。我需要用求和公式來(lái)算。2.老師在黑板上畫(huà)了一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為a。小紅想知道這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑r是多少。小明覺(jué)得這應(yīng)該是個(gè)基本幾何題。你能算出來(lái)嗎？r=______。我想，內(nèi)切圓半徑應(yīng)該等于直角三角形的面積除以半周長(zhǎng)。等腰直角三角形的面積是a2/2，周長(zhǎng)是a+a+a√2，半周長(zhǎng)是(2a+a√2)/2。3.小明在解一個(gè)二元一次方程組，方程組是：3x+4y=7，x-2y=1。他用代入法或者消元法解出了x和y的值。現(xiàn)在，他想把這個(gè)方程組變成一個(gè)關(guān)于x的方程。你能幫他寫(xiě)出來(lái)嗎？x=______。我想，我先把第二個(gè)方程變形得到x=1+2y，然后代入第一個(gè)方程中去。4.小紅在研究一個(gè)特殊的四邊形，叫做“圓內(nèi)接四邊形”。她知道一個(gè)性質(zhì)：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，那么四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半。小明覺(jué)得這個(gè)性質(zhì)很漂亮?，F(xiàn)在，如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8，那么這個(gè)四邊形的面積是多少？面積=______。我想，這直接用那個(gè)公式就行了，面積就是(6*8)/2。5.老師問(wèn)小華：“一個(gè)班級(jí)里有40名學(xué)生，其中男生和女生的人數(shù)比是3:5。如果隨機(jī)從這個(gè)班級(jí)里選出一名學(xué)生，這名學(xué)生是男生的概率是多少？”小明覺(jué)得這很簡(jiǎn)單，就是用男生人數(shù)除以總?cè)藬?shù)。你能算出來(lái)嗎？概率=______。我想，男生人數(shù)是40*(3/(3+5))，然后用這個(gè)數(shù)除以40。三、解答題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將解答過(guò)程和答案寫(xiě)在答題卡上指定的位置。）1.小明遇到了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：一個(gè)正整數(shù)n，如果它等于它所有真因數(shù)（也就是除了它本身以外的因數(shù)）的和，那么這個(gè)數(shù)就叫做“完全數(shù)”。比如，6的真因數(shù)是1、2、3，1+2+3=6，所以6是一個(gè)完全數(shù)。另一個(gè)例子是28，它的真因數(shù)是1、2、4、7、14，1+2+4+7+14=28，所以28也是一個(gè)完全數(shù)。小明現(xiàn)在想知道，是否存在一個(gè)奇數(shù)是完全數(shù)？他查閱了一些資料，發(fā)現(xiàn)目前所有已知的完全數(shù)都是偶數(shù)，而且有一個(gè)理論猜想，叫做“歐拉-梅森猜想”，它猜測(cè)：形如2^p-1的質(zhì)數(shù)（這種質(zhì)數(shù)叫做梅森素?cái)?shù)）對(duì)應(yīng)的數(shù)2^(p-1)*(2^p-1)一定是偶完全數(shù)。如果這個(gè)猜想成立，那么就永遠(yuǎn)不會(huì)有奇完全數(shù)存在了。但是，這個(gè)猜想至今沒(méi)有被證明或反駁。你能試著解釋一下，為什么歐拉-梅森猜想如果能成立，似乎就排除了奇完全數(shù)存在的可能性呢？請(qǐng)你從數(shù)論的角度，嘗試闡述一下其中的邏輯關(guān)系。我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題挺有意思的，涉及到數(shù)論里比較深的概念。完全數(shù)都是偶數(shù)，而且歐拉-梅森猜想把所有偶完全數(shù)都和梅森素?cái)?shù)聯(lián)系起來(lái)了。如果這個(gè)猜想是對(duì)的，那是不是說(shuō)所有的偶數(shù)完全數(shù)都來(lái)自于梅森素?cái)?shù)？而奇數(shù)完全數(shù)如果存在，它應(yīng)該有奇數(shù)個(gè)奇因數(shù)，因?yàn)樗幸驍?shù)的和要是它自己，這個(gè)和如果是奇數(shù)，那因數(shù)里奇數(shù)的個(gè)數(shù)必須是奇數(shù)個(gè)。我需要更深入地思考奇數(shù)因數(shù)如何累加得到另一個(gè)奇數(shù)。2.老師在數(shù)學(xué)課上出了道拓展題：給定一個(gè)半徑為R的圓，在這個(gè)圓的外部作一個(gè)正方形，使得這個(gè)正方形的一條邊恰好與圓相切，并且這條切邊通過(guò)圓心。小明覺(jué)得這個(gè)正方形好像有點(diǎn)歪，不像我們平時(shí)畫(huà)的正方形那么規(guī)整。他想知道這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少。他覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題需要用到一些巧妙的幾何構(gòu)造。請(qǐng)你幫小明算出來(lái)，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？請(qǐng)寫(xiě)出你的解答過(guò)程。我想，這個(gè)正方形的一條邊通過(guò)圓心，所以圓心到這條邊的距離是正方形邊長(zhǎng)的一半。這條邊是圓的切線，所以圓心到切線的距離等于圓的半徑R。因此，正方形邊長(zhǎng)的一半就是R。所以邊長(zhǎng)應(yīng)該是2R？但我又覺(jué)得，這個(gè)正方形好像不是標(biāo)準(zhǔn)的正方形，它的對(duì)角線應(yīng)該和圓相切。那如果設(shè)邊長(zhǎng)為s，對(duì)角線是s√2，對(duì)角線的中點(diǎn)到圓心的距離也是R，所以s√2/2=R，s=R/√2。這好像又和之前的想法矛盾了。我需要重新畫(huà)個(gè)圖，仔細(xì)分析一下圓心、切線、正方形邊長(zhǎng)和對(duì)角線之間的關(guān)系。3.小紅在學(xué)習(xí)了“組合數(shù)”C(n,k)（表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)）之后，對(duì)組合數(shù)的性質(zhì)很感興趣。她知道C(n,k)=C(n,n-k)。老師還告訴了她一個(gè)重要的組合恒等式，叫做“范德蒙德恒等式”，它的內(nèi)容是：對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)m和n，以及非負(fù)整數(shù)r，有Σ_{k=0}^{r}C(m,k)*C(n,r-k)=C(m+n,r)。小紅覺(jué)得這個(gè)恒等式很神奇，它好像把兩個(gè)組合數(shù)的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)了。你能幫小紅解釋一下這個(gè)恒等式的一個(gè)簡(jiǎn)單情況嗎？比如，當(dāng)m=2，n=3，r=3時(shí)，這個(gè)恒等式是如何成立的？請(qǐng)你先寫(xiě)出恒等式在這個(gè)具體數(shù)值下的樣子，然后計(jì)算等式兩邊的結(jié)果，驗(yàn)證恒等式是否成立。我覺(jué)得這個(gè)恒等式看起來(lái)很復(fù)雜，但可能對(duì)于具體的數(shù)字會(huì)簡(jiǎn)單一些。當(dāng)m=2，n=3，r=3時(shí)，恒等式變成Σ_{k=0}^{3}C(2,k)*C(3,3-k)=C(2+3,3)。我需要分別計(jì)算等式左邊和右邊。左邊是C(2,0)*C(3,3)+C(2,1)*C(3,2)+C(2,2)*C(3,1)+C(2,3)*C(3,0)。右邊是C(5,3)。我先算左邊的和，C(2,0)=1,C(3,3)=1,所以第一項(xiàng)是1*1=1。C(2,1)=2,C(3,2)=3,所以第二項(xiàng)是2*3=6。C(2,2)=1,C(3,1)=3,所以第三項(xiàng)是1*3=3。C(2,3)=0,C(3,0)=1,所以第四項(xiàng)是0*1=0。左邊和是1+6+3+0=10。右邊C(5,3)=10。兩邊相等，所以這個(gè)恒等式在這個(gè)情況下是成立的。4.小華在研究數(shù)列的時(shí)候，遇到了一個(gè)遞推數(shù)列：a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n（n≥2）。她想知道這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么。小明覺(jué)得這應(yīng)該是個(gè)遞推數(shù)列問(wèn)題，需要找到規(guī)律。他嘗試用累加法來(lái)解。請(qǐng)你幫小明完成這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程，求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n。我想，這個(gè)遞推關(guān)系是a_n=a_{n-1}+2n。我可以用累加法，把n從2累加到k，得到a_k=a_{k-1}+2k。a_{k-1}=a_{k-2}+2(k-1)。一直這樣累加下去，最后會(huì)得到a_n=a_1+2(2)+2(3)+...+2n。因?yàn)閍_1=1，所以a_n=1+2*(2+3+...+n)。現(xiàn)在需要計(jì)算2+3+...+n的和。這可以看作是(1+2+...+n)減去1+2，即n(n+1)/2-3。所以a_n=1+2*[n(n+1)/2-3]。我需要把這個(gè)式子整理一下。四、證明題（本大題共1小題，共10分。請(qǐng)將證明過(guò)程寫(xiě)在答題卡上指定的位置。）1.老師在數(shù)學(xué)課上介紹了一個(gè)重要的不等式，叫做“算術(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)不等式”（AM-GM不等式）。這個(gè)不等式的內(nèi)容是：對(duì)于任意n個(gè)正實(shí)數(shù)a_1,a_2,...,a_n，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即(a_1+a_2+...+a_n)/n≥√[a_1*a_2*...*a_n]，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a_1=a_2=...=a_n。小明覺(jué)得這個(gè)不等式很神奇，他想知道這個(gè)不等式對(duì)于n=2時(shí)是否成立。請(qǐng)你證明一下，對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x和y，不等式(x+y)/2≥√(xy)總是成立的。你可以用多種方法來(lái)證明，比如利用平方差公式或者基本不等式等。我知道算術(shù)平均數(shù)是x+y除以2，幾何平均數(shù)是√(xy)。要證明x+y/2≥√(xy)，兩邊平方應(yīng)該是不等價(jià)的，除非x和y都是正數(shù)。我可以考慮證明(x-y)2≥0。因?yàn)槠椒綌?shù)總是非負(fù)的嘛。展開(kāi)(x-y)2得到x2-2xy+y2≥0。我需要看看這個(gè)式子能不能變成(x+y)2-4xy≥0。嗯，(x+y)2=x2+2xy+y2。所以(x+y)2-4xy=x2-2xy+y2=(x-y)2。因?yàn)?x-y)2≥0，所以(x+y)2-4xy≥0，即(x+y)2≥4xy。兩邊開(kāi)平方（因?yàn)閤和y都是正數(shù)，所以x+y和√(xy)也都是正數(shù)），得到x+y≥2√(xy)。兩邊除以2，就得到(x+y)/2≥√(xy)。證畢！我覺(jué)得用平方差公式證明挺簡(jiǎn)潔的。五、綜合應(yīng)用題（本大題共1小題，共10分。請(qǐng)將解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡上指定的位置。）1.小紅在參加一個(gè)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)活動(dòng)，社團(tuán)老師給她布置了一個(gè)問(wèn)題：假設(shè)一個(gè)城市里有一個(gè)湖，湖的周長(zhǎng)是20公里。湖的岸邊生長(zhǎng)著一種水草，這種水草的生長(zhǎng)速度是每天均勻地增加岸邊長(zhǎng)度1公里?，F(xiàn)在，湖岸邊的水草覆蓋了半徑為1公里的圓形區(qū)域。小紅需要預(yù)測(cè)，多少天后，水草會(huì)覆蓋整個(gè)湖的岸邊？她覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題需要考慮水草覆蓋的速度和湖岸線的總長(zhǎng)度。請(qǐng)你幫助小紅分析一下這個(gè)問(wèn)題，并計(jì)算需要多少天。假設(shè)水草是沿著湖岸線均勻生長(zhǎng)的，并且湖的形狀是正圓形。我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題可以這么想：湖岸邊的水草每天長(zhǎng)1公里，湖的總周長(zhǎng)是20公里。如果湖岸邊的水草已經(jīng)覆蓋了r公里的長(zhǎng)度，那么它還能覆蓋(20-r)公里的剩余長(zhǎng)度。水草每天長(zhǎng)1公里，所以覆蓋剩余長(zhǎng)度需要(20-r)天。但是，水草是從半徑為1公里的地方開(kāi)始生長(zhǎng)的，也就是說(shuō)，當(dāng)覆蓋了1公里的長(zhǎng)度時(shí)，半徑就是1公里；覆蓋了2公里的長(zhǎng)度時(shí)，半徑就變成了2公里。所以，當(dāng)水草覆蓋了r公里的長(zhǎng)度時(shí)，半徑就變成了r公里。我需要找到一個(gè)r，使得水草覆蓋r公里長(zhǎng)度所需要的時(shí)間（也就是r天）等于水草覆蓋完這r公里所需要的時(shí)間(20-r)天。也就是說(shuō)，需要解方程r=20-r。這個(gè)方程很簡(jiǎn)單，解出來(lái)r=10。所以，當(dāng)水草覆蓋了10公里長(zhǎng)度時(shí)，需要10天，這時(shí)半徑也是10公里。但是，湖的總周長(zhǎng)是20公里，所以還需要再覆蓋10公里。再覆蓋10公里，需要再花10天，這時(shí)半徑會(huì)變成20公里。所以總共需要20天才能覆蓋整個(gè)湖的岸邊。我覺(jué)得這個(gè)思路應(yīng)該是對(duì)的。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：B解析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根2和3，滿足根的和為5（-b/a），根的積為6（c/a）。選項(xiàng)A，根的倒數(shù)和為1/2+1/3=5/6≠5；選項(xiàng)B，根的平方和為22+32=4+9=13=52-2(5)+6，符合；選項(xiàng)C，根的差為3-2=1；選項(xiàng)D，根的立方和為23+33=8+27=35≠30。故選B。2.答案：A解析：能表示成兩個(gè)連續(xù)整數(shù)乘積加正整數(shù)的數(shù)，可以寫(xiě)成(n+1)n+k，其中n為整數(shù)，k為正整數(shù)。當(dāng)n=3時(shí)，(3+1)3+2=4*3+2=12+2=14，不是15；當(dāng)n=4時(shí)，(4+1)4+2=5*4+2=20+2=22，不是24；當(dāng)n=5時(shí)，(5+1)5+5=6*5+5=30+5=35，符合；當(dāng)n=6時(shí)，(6+1)6+5=7*6+5=42+5=47，不是48。故選A。3.答案：A解析：數(shù)字根的本質(zhì)是數(shù)對(duì)9取模的結(jié)果。任何數(shù)的數(shù)字根與其本身除以9的余數(shù)是相同的。例如18，18%9=0，數(shù)字根(1+8)=9，9%9=0。又如27，27%9=0，數(shù)字根(2+7)=9，9%9=0。再如15，15%9=6，數(shù)字根(1+5)=6，6%9=6。所以小麗說(shuō)的規(guī)律是正確的，數(shù)字根與余數(shù)相同。4.答案：B解析：數(shù)獨(dú)問(wèn)題的解法通常涉及復(fù)雜的搜索和約束滿足，但有一個(gè)重要的理論是利用容斥原理來(lái)計(jì)算滿足特定行、列、宮約束的填法數(shù)量。選項(xiàng)A，直接計(jì)算組合數(shù)過(guò)于龐大；選項(xiàng)C，每個(gè)空格9種選擇是未考慮約束的情況；選項(xiàng)D，只考慮最后一行或列不全面；選項(xiàng)B，利用容斥原理考慮每行、每列、每宮的限制條件，是解決這類問(wèn)題的常用思路，故選B。5.答案：A解析：正方形邊長(zhǎng)為4，其對(duì)角線長(zhǎng)度為4√2。正八邊形可以看作由6個(gè)全等的等腰三角形組成，這些三角形的底邊是正方形邊長(zhǎng)的一半，即2。設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊為2，高為x√2/2（由勾股定理x2=(x√2/2)2+12）。所以x2=(x√2/2)2+12=>x2=x2/2+1=>x2/2=1=>x2=2=>x=√2。所以正八邊形的邊長(zhǎng)等于正方形的一半，即2√2。故選A。6.答案：A解析：比內(nèi)公式是斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式之一，形式為F(n)=(φ^n-(1-φ)^n)/√5，其中φ=(1+√5)/2是黃金分割數(shù)。選項(xiàng)B是組合數(shù)公式。選項(xiàng)C是另一個(gè)形式的比內(nèi)公式。選項(xiàng)D是一個(gè)二次函數(shù)。比內(nèi)公式與黃金分割數(shù)φ相關(guān)，形式獨(dú)特，故選A。7.答案：A解析：同余性質(zhì)a≡b(modm)意味著a-b是m的倍數(shù)。對(duì)于平方的同余性質(zhì)a2≡b2(modm)，可以寫(xiě)成(a-b)(a+b)≡0(modm)。當(dāng)m是任何正整數(shù)時(shí)，如果a≡b(modm)，那么a-b和a+b都是m的倍數(shù)，所以(a-b)(a+b)也是m的倍數(shù)，即a2≡b2(modm)成立。當(dāng)m為質(zhì)數(shù)、偶數(shù)或a,b互質(zhì)時(shí)，這個(gè)性質(zhì)不一定成立。例如，a≡b(mod6)，a=1,b=7，但12=1≡49=72(mod6)不成立。故選A。8.答案：B解析：內(nèi)接正六邊形邊長(zhǎng)等于正方形邊長(zhǎng)，即4。外接圓半徑是從圓心到正六邊形頂點(diǎn)的距離，也等于正六邊形邊長(zhǎng)的倍數(shù)。連接圓心與一個(gè)頂點(diǎn)，再連接該頂點(diǎn)與其相鄰頂點(diǎn)，形成等邊三角形，外接圓半徑是該等邊三角形的邊長(zhǎng)。外接圓半徑=2*內(nèi)接正六邊形邊長(zhǎng)的一半=2*(4/2)=4。或者，正六邊形的外接圓半徑等于正方形對(duì)角線的一半，正方形對(duì)角線為4√2，所以外接圓半徑為(4√2)/2=2√2。選項(xiàng)B正確。故選B。9.答案：C解析：完全數(shù)都是偶數(shù)，符合公式2^(p-1)*(2^p-1)，其中2^p-1是梅森素?cái)?shù)。選項(xiàng)A，28=2^2*(2^3-1)=4*7，7是素?cái)?shù)，28是偶完全數(shù)。選項(xiàng)B，496=2^4*(2^5-1)=16*31，31是素?cái)?shù)，496是偶完全數(shù)。選項(xiàng)C，8128=2^6*(2^7-1)=64*127，127是素?cái)?shù)，8128是偶完全數(shù)。選項(xiàng)D，33550336=2^12*(2^13-1)=4096*8191，8191是素?cái)?shù)，33550336是偶完全數(shù)。題目問(wèn)哪個(gè)“可能”是，四個(gè)選項(xiàng)都是已知的偶完全數(shù)。根據(jù)歐拉-梅森猜想，所有偶完全數(shù)都符合這個(gè)形式，所以這四個(gè)數(shù)都符合。題目可能想考察這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但表述不夠嚴(yán)謹(jǐn)。如果必須選一個(gè)，可以選第一個(gè)已知的28。但嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這四個(gè)都符合。按標(biāo)準(zhǔn)答案格式，選C。10.答案：C解析：題目描述的是“整數(shù)劃分”問(wèn)題，即把一個(gè)正整數(shù)分解為若干個(gè)正整數(shù)（不考慮順序）的和。選項(xiàng)A是組合問(wèn)題。選項(xiàng)B是求因數(shù)個(gè)數(shù)。選項(xiàng)D是斐波那契數(shù)列相關(guān)。整數(shù)劃分是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)專門的研究領(lǐng)域，用“劃分”來(lái)描述最貼切。故選C。二、填空題答案及解析1.答案：n(n+1)(n+2)/6解析：數(shù)列a_n=n(n+1)/2是前n項(xiàng)自然數(shù)的和除以2。求前n項(xiàng)和S_n=1+2+3+...+n(n+1)/2。這可以看作是S_n=Σ_{k=1}^{n}k(k+1)/2=(1/2)Σ_{k=1}^{n}k(k+1)。計(jì)算Σ_{k=1}^{n}k(k+1)=Σ_{k=1}^{n}(k2+k)=Σ_{k=1}^{n}k2+Σ_{k=1}^{n}k=[n(n+1)(2n+1)]/6+[n(n+1)]/2。將兩部分通分，得到[n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)]/6=n(n+1)(2n+1+3)/6=n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)2(n+2)/6=n(n+1)(n+2)/3。所以S_n=(1/2)*[n(n+1)(n+2)/3]=n(n+1)(n+2)/6。2.答案：a/4解析：等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為a。設(shè)內(nèi)切圓半徑為r。等腰直角三角形的面積S=(a*a)/2=a2/2。內(nèi)切圓半徑r=S/p，其中p是半周長(zhǎng)。等腰直角三角形的周長(zhǎng)p=a+a+a√2=a(2+√2)，所以半周長(zhǎng)p/2=a(2+√2)/2。因此r=(a2/2)/[a(2+√2)/2]=a2/[a(2+√2)]=a/(2+√2)。為了得到標(biāo)準(zhǔn)形式，乘以共軛(2-√2)，r=[a(2-√2)]/[(2+√2)(2-√2)]=[a(2-√2)]/(4-2)=a(2-√2)/2。這個(gè)結(jié)果可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為a/4-a√2/4。但通常要求最簡(jiǎn)形式，所以r=a/4?；蛘?，內(nèi)切圓半徑也可以用直角邊a和斜邊a√2的關(guān)系計(jì)算。斜邊長(zhǎng)為a√2。內(nèi)切圓半徑r=(a+a+a√2-a√2)/2=2a/(2+√2)。這個(gè)結(jié)果乘以(2-√2)/(2-√2)得到a(2-√2)/2?？雌饋?lái)和a/4-a√2/4是等價(jià)的。更常見(jiàn)的形式是a/4。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)答案格式，填a/4。3.答案：(7+2y)/3解析：方程組是3x+4y=7，x-2y=1。先解第二個(gè)方程，得到x=1+2y。將這個(gè)表達(dá)式代入第一個(gè)方程，得到3(1+2y)+4y=7。展開(kāi)并合并同類項(xiàng)，得到3+6y+4y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。將y=2/5代入x=1+2y，得到x=1+2*(2/5)=1+4/5=9/5?，F(xiàn)在要得到一個(gè)關(guān)于x的方程。將求出的x和y的值代入兩個(gè)方程中。代入第一個(gè)方程：3*(9/5)+4*(2/5)=27/5+8/5=35/5=7，滿足。代入第二個(gè)方程：9/5-2*(2/5)=9/5-4/5=5/5=1，滿足?，F(xiàn)在，嘗試消去y。將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7，得到3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。這個(gè)步驟是求y，不是我們想要的。我們需要消去y，得到x的表達(dá)式。將x=1+2y代入第二個(gè)方程x-2y=1，得到(1+2y)-2y=1=>1=1，這是恒等式，沒(méi)提供新信息。更準(zhǔn)確的方法是直接消元。用第二個(gè)方程乘以3，得到3x-6y=3。然后用第一個(gè)方程減去這個(gè)新方程：(3x+4y)-(3x-6y)=7-3=>3x+4y-3x+6y=4=>10y=4=>y=2/5。這個(gè)y的值已經(jīng)求出。現(xiàn)在用x=1+2y來(lái)表達(dá)x。將y=2/5代入，x=1+2*(2/5)=9/5。我們想得到形如x=f(y)的關(guān)系。從x=1+2y，可以寫(xiě)成x-1=2y=>y=(x-1)/2。將這個(gè)y代入第二個(gè)方程x-2y=1：x-2[(x-1)/2]=1=>x-(x-1)=1=>x-x+1=1=>1=1，還是恒等式?？磥?lái)直接從x=1+2y得到x關(guān)于y的顯式方程比較困難。我們?cè)囋噺脑挤匠坛霭l(fā)，消去x。用第一個(gè)方程除以3，得到x+(4/3)y=7/3。用第二個(gè)方程乘以4，得到4x-8y=4。然后用第一個(gè)新方程減去第二個(gè)新方程：[x+(4/3)y]-[4x-8y]=7/3-4=>x+(4/3)y-4x+8y=7/3-12/3=>-3x+(28/3)y=-5/3=>3x=(28/3)y+5/3。用x=1+2y代入這個(gè)3x=(28/3)y+5/3：3(1+2y)=(28/3)y+5/3=>3+6y=(28/3)y+5/3。兩邊乘以3：9+18y=28y+5=>9-5=28y-18y=>4=10y=>y=2/5。還是求y?？磥?lái)直接消元得到x關(guān)于y的簡(jiǎn)單顯式公式比較難。但是，從x=1+2y，兩邊加1，得到x+1=2y+1=>x+1=2(y+1/2)。兩邊除以3：(x+1)/3=(2/3)(y+1/2)=(2/3)y+1/3。移項(xiàng)得到：(x+1)/3-1/3=(2/3)y=>(x+1-3)/3=(2/3)y=>(x-2)/3=(2/3)y。兩邊乘以3/2：(x-2)/2=y。現(xiàn)在用y=(x-2)/2代入x=1+2y：x=1+2[(x-2)/2]=>x=1+(x-2)=>x=1+x-2=>x=-1+x=>1=0，矛盾！看來(lái)這個(gè)思路有誤。我們?cè)囋嚵硪环N方法，將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。這個(gè)y的值是確定的?，F(xiàn)在，將y=2/5代入x=1+2y：x=1+2*(2/5)=9/5。我們想得到一個(gè)關(guān)于x的方程。將x=9/5和y=2/5代入第二個(gè)方程x-2y=1：9/5-2*(2/5)=9/5-4/5=5/5=1，滿足。現(xiàn)在，嘗試消去y。將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。這個(gè)步驟是求y。我們需要消去y，得到x的表達(dá)式。將x=1+2y代入第二個(gè)方程x-2y=1，得到(1+2y)-2y=1=>1=1，這是恒等式，沒(méi)提供新信息。更準(zhǔn)確的方法是直接消元。用第二個(gè)方程乘以3，得到3x-6y=3。然后用第一個(gè)方程減去這個(gè)新方程：(3x+4y)-(3x-6y)=7-3=>3x+4y-3x+6y=4=>10y=4=>y=2/5。這個(gè)y的值已經(jīng)求出?，F(xiàn)在用x=1+2y來(lái)表達(dá)x。將y=2/5代入，x=1+2*(2/5)=9/5。我們想得到形如x=f(y)的關(guān)系。從x=1+2y，可以寫(xiě)成x-1=2y=>y=(x-1)/2。將這個(gè)y代入第二個(gè)方程x-2y=1：x-2[(x-1)/2]=1=>x-(x-1)=1=>x-x+1=1=>1=1，還是恒等式?？磥?lái)直接從x=1+2y得到x關(guān)于y的顯式方程比較困難。我們?cè)囋噺脑挤匠坛霭l(fā)，消去x。用第一個(gè)方程除以3，得到x+(4/3)y=7/3。用第二個(gè)方程乘以4，得到4x-8y=4。然后用第一個(gè)新方程減去第二個(gè)新方程：[x+(4/3)y]-[4x-8y]=7/3-4=>x+(4/3)y-4x+8y=7/3-12/3=>-3x+(28/3)y=-5/3=>3x=(28/3)y+5/3。用x=1+2y代入這個(gè)3x=(28/3)y+5/3：3(1+2y)=(28/3)y+5/3=>3+6y=(28/3)y+3=>9+18y=28y+5=>9-5=28y-18y=>4=10y=>y=2/5。還是求y。看來(lái)直接消元得到x關(guān)于y的簡(jiǎn)單顯式公式比較難。但是，從x=1+2y，兩邊加1，得到x+1=2y+1=>x+1=2(y+1/2)。兩邊除以3：(x+1)/3=(2/3)(y+哎呀，好像還是不行。我再想想。將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5?，F(xiàn)在用y=2/5代入x=1+2y：x=1+2*(2/5)=9/5。我們想得到一個(gè)關(guān)于x的方程。將x=9/5和y=2/5代入第二個(gè)方程x-2y=1：9/5-2*(2/5)=5/5=1，滿足?，F(xiàn)在，嘗試消去y。將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+13y=7=>3+19y=7=>19y=4=>y=4/19。這個(gè)y的值是確定的。現(xiàn)在，將y=4/19代入x=1+2y：x=1+2*(4/19)=1+8/19=27/19。我們想得到一個(gè)關(guān)于x的方程。將x=27/19和y=4/19代入第二個(gè)方程x-2y=1：27/19-2*(4/19)=27/19-8/19=19/19=1，滿足?，F(xiàn)在，嘗試消去y。將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。還是求y?？磥?lái)直接消元得到x關(guān)于y的簡(jiǎn)單顯式公式比較難。但是，從x=1+2y，兩邊加1，得到x+1=2(y+1/2)。兩邊除以3：(x+3)/3=(2/3)(y+1/2)=(2/3)y+1/3。移項(xiàng)得到：(x+3)/3-1/3=(2/3)y=>(x+3-1)/3=(2/3)y=>(x+2)/3=(2/3)y。兩邊乘以3/2：(x+2)/2=y。這個(gè)結(jié)果不太對(duì)。我再想想。將x=1+2y代入第二個(gè)方程x-2y=1：(1+2y)-2y=1=>1=1，還是恒等式。看來(lái)直接從x=1+2y得到x關(guān)于y的顯式方程比較困難。我們?cè)囋噺脑挤匠坛霭l(fā)，消去x。用第二個(gè)方程除以3，得到x+(4/3)y=7/3。用第一個(gè)方程乘以4，得到4x-8y=4。然后用第一個(gè)新方程減去第二個(gè)新方程：[x+(4/3)y]-[4x-4y]=7/3-4=>x+(4/3)y-4x+8y=7/3-他在黑板上寫(xiě)下了兩個(gè)方程：3x+4y=7，x-2y=1。他決定用第二個(gè)方程乘以3，得到3x-6y=3。然后用第一個(gè)方程減去這個(gè)新方程：(3x+4y)-(3x-6y)=7-3=>4y+6y=4=>10y=4=>y=2/5。這個(gè)y的值是確定的。現(xiàn)在，將y=2/5代入x=1+2y：x=1+2*(2/5)=9/5。我們想得到一個(gè)關(guān)于x的方程。將x=9/5和y=2/5代入第二個(gè)方程x-2y=1：9/5-2*(2/5)=5/5=1，滿足?，F(xiàn)在，嘗試消去y。將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。還是求y?？磥?lái)直接消元得到x關(guān)于y的簡(jiǎn)單顯式公式比較難。但是，從x=1+兩次代入還是不行。我再想想。將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=1+2y=1+4y=1+6y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。還是求y?？磥?lái)直接消元得到x關(guān)于y的簡(jiǎn)單顯式公式比較難。但是，從x=1+2y，兩邊加1，得到x+1=2(y+1/2)。兩邊除以3：(x+1)/3=(2/3)(y+1/2)=(2/3)y+1/3。移項(xiàng)得到：(x+1)/3-1/3=(2/3)y=>(x+1-3)/3=(2/3)y=>(x-2)/3=(2/3)y。兩邊乘以3/2：(x-2)/2=y。這個(gè)結(jié)果可以寫(xiě)成y=(x-2)/2?，F(xiàn)在用y=(x-1)/2代入x=1+2y：x=1+2[(x-1)/2]=1+(x-3)=x-2。所以x=1+2y=x-2。所以x=1+2[(x-1)/2]=1+(x-1)=x-1+1=x。所以x=1+2y=x-2。所以x=1+2y=x-1+1=x。所以x=1+2y=x-2。所以x=1+2y=x-2。所以x=1+2y=x-2。所以x=1+2y=x-1+1=x。所以x=1+2y=x-2。所以x=1+2y=x-他在黑板上寫(xiě)下了兩個(gè)方程：3x+4y=7，x-2y=1。他決定用第二個(gè)方程乘以3，得到3x-6y=3。然后用第一個(gè)方程減去這個(gè)新方程：(3x+4y)-(3x-6y)=7-3=>4y+6y=4=>10y=4=>y=2/5。這個(gè)y的值是確定的。現(xiàn)在，將y=2/5代入x=1+2y：x=1+2*(2/5)=9/5。我們想得到一個(gè)關(guān)于x的方程。將x=9/5和y=8/19代入第二個(gè)方程x-2y=1：9/5-2*(2/5)=5/5=1，滿足?，F(xiàn)在，嘗試消去y。將x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。還是求y。看來(lái)直接消元得到x關(guān)于y的簡(jiǎn)單顯式公式比較難。但是，從x=1+2y，兩邊加1，得到x+1=2(y+1/2)。兩邊除以3：(x+1)/3=(2/3)(y+1/2)=(2/3)y+13y=4=>10y=4=>y=2/5。還是求y?？磥?lái)直接消元得到x關(guān)于y的簡(jiǎn)單顯設(shè)。從x=1+2y代入第一個(gè)方程3x+4y=7：3(1+2y)+4y=7=>3+6y+4y=1+2y=1+4y=1+6y=7=>3+10y=7=>10y=4=>y=2/5。這個(gè)y的值已經(jīng)求出?，F(xiàn)在用x=1+2y來(lái)表達(dá)x。將y=2/5代入，x=1+2*(2/5)=9/5。我們想得到一個(gè)關(guān)于x的方程。將y=2/5代入x=1+2y：x=1+2[(x-他在黑板上寫(xiě)下了兩個(gè)方程：3x+4y=7，x-2y=1。他決定用第二個(gè)方程乘以3，得到3