高考數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)課件一、引言：函數(shù)在高考中的核心地位函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的基石板塊，覆蓋選擇、填空、解答題（占比約20%-25%），既是中檔題的主力，也是壓軸題的重要載體（如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合）。其核心考點(diǎn)圍繞“三要素+四大性質(zhì)+五類函數(shù)”展開，復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是構(gòu)建體系、掌握方法、提升綜合應(yīng)用能力。二、基礎(chǔ)梳理：函數(shù)的“三要素”與求解邏輯函數(shù)的本質(zhì)是“定義域→對(duì)應(yīng)法則→值域”的映射關(guān)系，三要素是解決所有函數(shù)問(wèn)題的前提。（一）定義域：函數(shù)的“生存邊界”定義：自變量\(x\)的取值范圍（必須滿足使表達(dá)式有意義）。常見類型及解法：1.分式：分母≠0（如\(f(x)=\frac{1}{x-2}\)，定義域\(x≠2\)）；2.偶次根式：被開方數(shù)≥0（如\(f(x)=\sqrt{3x+1}\)，定義域\(x≥-\frac{1}{3}\)）；3.對(duì)數(shù)：真數(shù)>0且底數(shù)>0≠1（如\(f(x)=\log_2(x-1)\)，定義域\(x>1\)）；4.復(fù)合函數(shù)：分層求定義域（如\(f(x)=\sqrt{\log_{0.5}(2-x)}\)，需滿足\(\log_{0.5}(2-x)≥0\)且\(2-x>0\)，解得\(1≤x<2\)）。易錯(cuò)提醒：定義域必須用集合/區(qū)間表示，不可遺漏限制條件（如對(duì)數(shù)的真數(shù)、分式的分母）。（二）值域：函數(shù)的“輸出范圍”定義：函數(shù)值\(y\)的取值集合。常用方法：1.配方法（二次函數(shù)）：如\(f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2\)，值域\([2,+∞)\)；2.換元法（含根號(hào)/指數(shù)）：如\(f(x)=x+\sqrt{x-1}\)，令\(t=\sqrt{x-1}≥0\)，轉(zhuǎn)化為\(t2+t+1\)，值域\([1,+∞)\)；3.單調(diào)性法（單調(diào)函數(shù)）：如\(f(x)=2^x+1\)在\(R\)上遞增，值域\((1,+∞)\)；4.判別式法（分式二次函數(shù)）：如\(f(x)=\frac{x2+1}{x2-1}\)，變形為\((y-1)x2-(y+1)=0\)，由\(\Delta≥0\)得\(y≠1\)，值域\((-∞,1)∪(1,+∞)\)；5.數(shù)形結(jié)合法（絕對(duì)值/根號(hào)）：如\(f(x)=|x-1|+|x+2|\)，圖像為“平底型”，值域\([3,+∞)\)。（三）解析式：函數(shù)的“表達(dá)式”定義：描述自變量與函數(shù)值關(guān)系的式子。常用方法：1.待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型）：如二次函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(0)=1\)、\(f(1)=2\)、\(f(2)=5\)，設(shè)\(f(x)=ax2+bx+c\)，解得\(a=1,b=0,c=1\)，即\(f(x)=x2+1\)；2.換元法（復(fù)合函數(shù)）：如\(f(2x+1)=4x2+2x\)，令\(t=2x+1\)，則\(x=\frac{t-1}{2}\)，代入得\(f(t)=t2-t\)，即\(f(x)=x2-x\)；3.消元法（互為倒數(shù)/相反數(shù)）：如\(f(x)+2f(\frac{1}{x})=x\)，令\(x=\frac{1}{x}\)得\(f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{1}{x}\)，聯(lián)立解得\(f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}\)；4.賦值法（抽象函數(shù)）：如\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，令\(x=0,y=0\)得\(f(0)=0\)；令\(y=-x\)得\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)）。三、核心函數(shù)類型：高考的“高頻考點(diǎn)”高考對(duì)函數(shù)的考查集中在二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)四類，需熟練掌握其性質(zhì)與應(yīng)用。（一）二次函數(shù)：“永恒的經(jīng)典”形式：\(f(x)=ax2+bx+c\)（\(a≠0\)）。核心性質(zhì)：開口方向：\(a>0\)向上，\(a<0\)向下；對(duì)稱軸：\(x=-\frac{2a}\)；頂點(diǎn)坐標(biāo)：\((-\frac{2a},\frac{4ac-b2}{4a})\)。閉區(qū)間最值問(wèn)題（重點(diǎn)）：軸定區(qū)間動(dòng)：如\(f(x)=x2-2x+3\)在\([0,a]\)上的最值，分三類討論：1.\(a<1\)：?jiǎn)握{(diào)遞減，最大值\(f(0)=3\)，最小值\(f(a)=a2-2a+3\)；2.\(1≤a≤2\)：最小值\(f(1)=2\)，最大值\(f(0)=3\)；3.\(a>2\)：?jiǎn)握{(diào)遞增，最小值\(f(1)=2\)，最大值\(f(a)=a2-2a+3\)。易錯(cuò)提醒：最值不一定在頂點(diǎn)取得，需結(jié)合對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系判斷。（二）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：“互為反函數(shù)的搭檔”1.指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）定義域：\(R\)；值域：\((0,+∞)\)；單調(diào)性：\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減；圖像：過(guò)點(diǎn)\((0,1)\)，無(wú)限接近\(x\)軸（\(a>1\)時(shí)左低右高，\(0<a<1\)時(shí)左高右低）。2.對(duì)數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）定義域：\((0,+∞)\)；值域：\(R\)；單調(diào)性：\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減；圖像：過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)，無(wú)限接近\(y\)軸（\(a>1\)時(shí)左低右高，\(0<a<1\)時(shí)左高右低）。3.圖像變換：平移：\(y=2^{x+1}-3\)是\(y=2^x\)左移1個(gè)單位+下移3個(gè)單位；對(duì)稱：\(y=\log_2(-x)\)是\(y=\log_2x\)關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱。4.指數(shù)對(duì)數(shù)方程/不等式：方程：\(2^x=8→x=3\)；\(\log_3(x+1)=2→x=8\)；不等式：\(2^x>4→x>2\)（\(a>1\)時(shí)，指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的冪）；\(\log_{0.5}(x-1)>0→1<x<2\)（\(0<a<1\)時(shí)，對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為真數(shù)在\((0,1)\)之間）。（三）冪函數(shù)：“形狀由指數(shù)決定”形式：\(y=x^α\)（\(α\)為常數(shù)）。核心性質(zhì)：定義域：\(α\)為正整數(shù)時(shí)\(R\)；\(α\)為負(fù)整數(shù)時(shí)\(x≠0\)；\(α\)為分?jǐn)?shù)時(shí)需考慮奇偶性（如\(α=\frac{1}{2}\)時(shí)\(x≥0\)，\(α=\frac{1}{3}\)時(shí)\(R\)）；單調(diào)性：\(α>0\)時(shí)在\((0,+∞)\)遞增；\(α<0\)時(shí)在\((0,+∞)\)遞減；奇偶性：\(α\)為奇整數(shù)時(shí)奇函數(shù)（如\(y=x3\)）；\(α\)為偶整數(shù)時(shí)偶函數(shù)（如\(y=x2\)）。四、函數(shù)的性質(zhì)：解題的“鑰匙”函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性是解決綜合問(wèn)題的核心工具，需熟練掌握其定義、判斷方法及應(yīng)用。（一）單調(diào)性：“函數(shù)的增減趨勢(shì)”定義：對(duì)于區(qū)間\(D\)內(nèi)的任意\(x_1<x_2\)，若\(f(x_1)<f(x_2)\)則遞增，若\(f(x_1)>f(x_2)\)則遞減。判斷方法：1.定義法：取值→作差→變形→定號(hào)→結(jié)論（如證明\(f(x)=x3\)遞增：\(f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_12+x_1x_2+x_22)<0\)，故遞增）；2.導(dǎo)數(shù)法：若\(f’(x)>0\)在\(D\)上恒成立，則遞增；若\(f’(x)<0\)則遞減（如\(f(x)=x3+2x\)，\(f’(x)=3x2+2>0\)，在\(R\)上遞增）。應(yīng)用：比較大?。篭(2^{0.3}>2^{0.2}\)（\(y=2^x\)遞增）；解不等式：\(f(x)>f(1)\)（\(f(x)\)遞增→\(x>1\)）；求最值：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)取得最值（如\(f(x)=x\)在\([1,2]\)上最大值\(2\)，最小值\(1\)）。（二）奇偶性：“函數(shù)的對(duì)稱特征”定義：偶函數(shù)：\(f(-x)=f(x)\)，圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱（如\(f(x)=x2\)、\(f(x)=|x|\)）；奇函數(shù)：\(f(-x)=-f(x)\)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（如\(f(x)=x3\)、\(f(x)=\sinx\)）。判斷步驟：1.檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（若否，則非奇非偶）；2.計(jì)算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較（相等則偶，相反則奇，否則非奇非偶）。應(yīng)用：簡(jiǎn)化計(jì)算：\(f(-1)=-f(1)\)（奇函數(shù)）；求解析式：已知\(f(x)\)是偶函數(shù)且\(x≥0\)時(shí)\(f(x)=x2+1\)，則\(x<0\)時(shí)\(f(x)=f(-x)=x2+1\)。（三）周期性：“函數(shù)的重復(fù)規(guī)律”定義：存在非零常數(shù)\(T\)，使得\(f(x+T)=f(x)\)（\(T\)為周期，最小正周期為最短周期）。常見周期函數(shù)：正弦函數(shù)：\(\sin(x+2π)=\sinx\)（周期\(2π\(zhòng))）；余弦函數(shù)：\(\cos(x+2π)=\cosx\)（周期\(2π\(zhòng))）；正切函數(shù)：\(\tan(x+π)=\tanx\)（周期\(π\(zhòng))）。周期求法：若\(f(x+a)=-f(x)\)，則周期\(T=2a\)（如\(f(x+2)=-f(x)\)→\(f(x+4)=f(x)\)）；若\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\)，則周期\(T=2a\)（如\(f(x+1)=\frac{1}{f(x)}\)→\(f(x+2)=f(x)\)）。應(yīng)用：求函數(shù)值（如\(f(2023)=f(____×505)=f(3)\)，若周期為\(4\)）。（四）對(duì)稱性：“函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系”1.點(diǎn)對(duì)稱：函數(shù)關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)對(duì)稱→\(f(2a-x)+f(x)=2b\)（如\(f(x)\)關(guān)于\((1,0)\)對(duì)稱→\(f(2-x)+f(x)=0\)）；2.軸對(duì)稱：函數(shù)關(guān)于直線\(x=a\)對(duì)稱→\(f(2a-x)=f(x)\)（如\(f(x)\)關(guān)于\(x=2\)對(duì)稱→\(f(4-x)=f(x)\)）。對(duì)稱性與周期性的關(guān)系：若函數(shù)關(guān)于\(x=a\)和\(x=b\)對(duì)稱（\(a≠b\)），則周期\(T=2|a-b|\)；若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)\((a,0)\)和點(diǎn)\((b,0)\)對(duì)稱（\(a≠b\)），則周期\(T=2|a-b|\)；若函數(shù)關(guān)于\(x=a\)對(duì)稱且關(guān)于點(diǎn)\((b,0)\)對(duì)稱（\(a≠b\)），則周期\(T=4|a-b|\)。五、函數(shù)的圖像：“直觀的解題工具”函數(shù)圖像是連接“抽象概念”與“具體問(wèn)題”的橋梁，通過(guò)圖像可快速解決方程、不等式、參數(shù)范圍等問(wèn)題。（一）圖像變換：“從基礎(chǔ)到復(fù)雜”1.平移變換：左加右減（\(x\)軸方向）：\(f(x)→f(x+a)\)（\(a>0\)左移，\(a<0\)右移）；上加下減（\(y\)軸方向）：\(f(x)→f(x)+b\)（\(b>0\)上移，\(b<0\)下移）。2.伸縮變換：橫向伸縮（\(x\)軸方向）：\(f(x)→f(kx)\)（\(k>0\)，\(k>1\)壓縮，\(0<k<1\)拉伸）；縱向伸縮（\(y\)軸方向）：\(f(x)→af(x)\)（\(a>0\)，\(a>1\)拉伸，\(0<a<1\)壓縮）。3.對(duì)稱變換：關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱：\(f(x)→-f(x)\)；關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱：\(f(x)→f(-x)\)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：\(f(x)→-f(-x)\)；關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱：\(f(x)→f^{-1}(x)\)（前提：\(f(x)\)單調(diào)）。（二）圖像的應(yīng)用：“解決問(wèn)題的直觀方法”1.解方程：\(f(x)=g(x)\)→找兩函數(shù)圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)（如解\(|x-1|=2x\)，圖像交點(diǎn)為\(x=\frac{1}{3}\)）；2.解不等式：\(f(x)>g(x)\)→找\(f(x)\)圖像在\(g(x)\)圖像上方的\(x\)范圍（如解\(|x-1|>2x\)，圖像顯示\(x<\frac{1}{3}\)）；3.求參數(shù)范圍：如\(f(x)=x2-2tx+3\)在\([1,3]\)上的最小值為\(2\)，求\(t\)的值：對(duì)稱軸\(x=t\)，分情況討論：1.\(t<1\)：最小值\(f(1)=4-2t=2→t=1\)（舍去）；2.\(1≤t≤3\)：最小值\(f(t)=3-t2=2→t=1\)（符合）；3.\(t>3\)：最小值\(f(3)=12-6t=2→t=\frac{5}{3}\)（舍去）。綜上，\(t=1\)。六、解題策略與技巧：“提升效率的關(guān)鍵”函數(shù)問(wèn)題的解決需結(jié)合數(shù)學(xué)思想，以下是高頻思想的應(yīng)用：（一）分類討論思想：“不重不漏”適用場(chǎng)景：二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系、對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的范圍、參數(shù)的不同取值。例子：解不等式\(\log_a(x-1)>0\)：當(dāng)\(a>1\)時(shí)，\(\log_a(x-1)>0→x-1>1→x>2\)；當(dāng)\(0<a<1\)時(shí)，\(\log_a(x-1)>0→0<x-1<1→1<x<2\)。結(jié)論：解集為\((2,+∞)\)（\(a>1\)）或\((1,2)\)（\(0<a<1\)）。（二）轉(zhuǎn)化與化歸思想：“化未知為已知”適用場(chǎng)景：指數(shù)對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式、復(fù)合函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為內(nèi)層與外層函數(shù)問(wèn)題。例子：解不等式\(2^{x2-2x}>4\)：轉(zhuǎn)化為\(2^{x2-2x}>22\)→\(x2-2x>2\)→\(x2-2x-2>0\)→\(x>1+\sqrt{3}\)或\(x<1-\sqrt{3}\)。（三）數(shù)形結(jié)合思想：“直觀與抽象結(jié)合”適用場(chǎng)景：絕對(duì)值函數(shù)最值、方程/不等式解的個(gè)數(shù)、參數(shù)范圍。例子：求函數(shù)\(f(x)=|x-1|+|x+2|\)的最小值：圖像為“平底型”，在\(x∈[-2,1]\)時(shí)\(y=3\)，故最小值為\(3\)。（四）函數(shù)與方程思想：“轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題”適用場(chǎng)景：方程解的個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、參數(shù)范圍。例子：求函數(shù)\(f(x)=x3-3x+1\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：求導(dǎo)得\(f’(x)=3(x-1)(x+1)\)，單調(diào)性：\(x<-1\)遞增，\(-1<x<1\)遞減，\(x>1\)遞增；極值：\(f(-1)=3>0\)，\(f(1)=-1<0\)，故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為\(3\)（在\((-∞,-1)\)、\((-1,1)\)、\((1,+∞)\)各一個(gè)）。七、高考真題演練：“貼近實(shí)戰(zhàn)”（一）2023年新高考Ⅰ卷第7題（選擇題）題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=\ln(1+|x|)-\frac{1}{1+x2}\)，則\(f(x)\)（）A.是奇函數(shù)，且在\((0,+∞)\)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在\((0,+∞)\)單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在\((0,+∞)\)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在\((0,+∞)\)單調(diào)遞減思路分析：1.判斷奇偶性：計(jì)算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較；2.判斷單調(diào)性：當(dāng)\(x>0\)時(shí)，化簡(jiǎn)\(f(x)\)，求導(dǎo)驗(yàn)證。解答過(guò)程：奇偶性：\(f(-x)=\ln(1+|-x|)-\frac{1}{1+(-x)2}=f(x)\)，故為偶函數(shù)（排除A、B）；單調(diào)性：當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)=\ln(1+x)-\frac{1}{1+x2}\)，求導(dǎo)得\(f’(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{2x}{(1+x2)2}>0\)（兩項(xiàng)均為正），故在\((0,+∞)\)單調(diào)遞增（選C）。易錯(cuò)點(diǎn)：忽略求導(dǎo)驗(yàn)證單調(diào)性，或誤以為\(-\frac{1}{1+x2}\)單調(diào)遞減，導(dǎo)致錯(cuò)誤判斷。（二）2021年全國(guó)甲卷第13題（填空題）題目：函數(shù)\(f(x)=x3-3x2+2x\)的單調(diào)遞減區(qū)間是________。思路分析：?jiǎn)握{(diào)遞減→\(f’(x)<0\)，求導(dǎo)后解不等式。解答過(guò)程：求導(dǎo)：\(f’(x)=