高等數(shù)學(xué)定理與公式速查手冊一、一元函數(shù)微積分（一）極限與連續(xù)1.極限的定義（ε-δ語言）設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若對任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)，存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(0<|x-x_0|<\delta\)時(shí)，恒有\(zhòng)(|f(x)-A|<\varepsilon\)，則稱\(A\)為\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時(shí)的極限，記為：\[\lim_{x\tox_0}f(x)=A\]2.兩個(gè)重要極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)（推廣：\(\lim_{\alpha(x)\to0}\frac{\sin\alpha(x)}{\alpha(x)}=1\)）；\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\)（推廣：\(\lim_{\alpha(x)\to0}(1+\alpha(x))^{\frac{1}{\alpha(x)}}=e\)）。3.無窮小的比較（\(x\tox_0\)時(shí)）設(shè)\(\alpha(x),\beta(x)\)為無窮小：高階無窮?。篭(\alpha(x)=o(\beta(x))\Leftrightarrow\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0\)；同階無窮?。篭(\alpha(x)\simC\beta(x)\Leftrightarrow\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\neq0\)；等價(jià)無窮小：\(\alpha(x)\sim\beta(x)\Leftrightarrow\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1\)。常用等價(jià)無窮?。╘(x\to0\)）：\(\sinx\simx\),\(\tanx\simx\),\(\ln(1+x)\simx\),\(e^x-1\simx\),\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\),\((1+x)^\alpha-1\sim\alphax\)。4.極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則：若\(g(x)\leqf(x)\leqh(x)\)且\(\limg(x)=\limh(x)=A\)，則\(\limf(x)=A\)；單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)遞增（遞減）且有上界（下界）的數(shù)列必有極限。（二）導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)：\[f'(x_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]左導(dǎo)數(shù)\(f'_-(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)，右導(dǎo)數(shù)\(f'_+(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^+}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)?？蓪?dǎo)條件：\(f'(x_0)\)存在當(dāng)且僅當(dāng)\(f'_-(x_0)=f'_+(x_0)\)。2.基本導(dǎo)數(shù)公式（部分）\((C)'=0\)（\(C\)為常數(shù)）；\((x^\alpha)'=\alphax^{\alpha-1}\)（\(\alpha\in\mathbb{R}\)）；\((e^x)'=e^x\),\((a^x)'=a^x\lna\)（\(a>0,a\neq1\)）；\((\sinx)'=\cosx\),\((\cosx)'=-\sinx\),\((\tanx)'=\sec^2x\)；\((\lnx)'=\frac{1}{x}\),\((\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}\)（\(a>0,a\neq1\)）；\((\arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\),\((\arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}\)。3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)\(y=f(u),u=\varphi(x)\)，則：\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)\]4.高階導(dǎo)數(shù)\((e^x)^{(n)}=e^x\)；\((\sinx)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\),\((\cosx)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\)；\((\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\)。（三）積分1.不定積分的定義與性質(zhì)定義：若\(F'(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx=F(x)+C\)（\(C\)為任意常數(shù)）；性質(zhì)：\(\int[f(x)\pmg(x)]dx=\intf(x)dx\pm\intg(x)dx\)，\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\neq0\)）。2.基本不定積分公式（部分）\(\intx^\alphadx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\)（\(\alpha\neq-1\)）；\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)；\(\inte^xdx=e^x+C\),\(\inta^xdx=\frac{a^x}{\lna}+C\)（\(a>0,a\neq1\)）；\(\int\sinxdx=-\cosx+C\),\(\int\cosxdx=\sinx+C\)；\(\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsinx+C\),\(\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctanx+C\)。3.換元積分法第一類換元（湊微分）：\(\intf(\varphi(x))\varphi'(x)dx=F(\varphi(x))+C\)；第二類換元：\(\sqrt{a^2-x^2}\tox=a\sint\),\(\sqrt{x^2+a^2}\tox=a\tant\),\(\sqrt{x^2-a^2}\tox=a\sect\)。4.分部積分法\[\intudv=uv-\intvdu\]常用配對：多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)（\(u=\)多項(xiàng)式）、多項(xiàng)式與三角函數(shù)（\(u=\)多項(xiàng)式）、對數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式（\(u=\lnx\)）。5.牛頓-萊布尼茨公式若\(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的原函數(shù)，則：\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\]（四）中值定理與泰勒公式1.拉格朗日中值定理若\(f(x)\)在\([a,b]\)連續(xù)、\((a,b)\)可導(dǎo)，則存在\(\xi\in(a,b)\)，使得：\[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\]2.泰勒公式（帶拉格朗日余項(xiàng)）若\(f(x)\)在\(x_0\)處有\(zhòng)(n+1\)階導(dǎo)數(shù)，則：\[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\]其中\(zhòng)(\xi\in(x_0,x)\)。常用麥克勞林展開（\(x_0=0\)）：\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\)；\(\sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m})\)；\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\)（\(x>-1\)）。（五）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.單調(diào)性判別若\(f'(x)>0\)在\((a,b)\)內(nèi)恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)嚴(yán)格遞增；若\(f'(x)<0\)，則嚴(yán)格遞減。2.極值判別必要條件：若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)且取極值，則\(f'(x_0)=0\)（駐點(diǎn)）；充分條件：一階導(dǎo)數(shù)法：\(x_0\)左鄰域\(f'(x)>0\)、右鄰域\(f'(x)<0\)，則\(f(x_0)\)為極大值；反之則為極小值；二階導(dǎo)數(shù)法：若\(f'(x_0)=0\)且\(f''(x_0)>0\)，則\(f(x_0)\)為極小值；若\(f''(x_0)<0\)，則為極大值。3.漸近線水平漸近線：\(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=C\Rightarrowy=C\)；垂直漸近線：\(\lim_{x\tox_0^\pm}f(x)=\pm\infty\Rightarrowx=x_0\)；斜漸近線：\(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=k\neq0\)且\(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=b\Rightarrowy=kx+b\)。二、多元函數(shù)微積分（一）偏導(dǎo)數(shù)與全微分1.偏導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)\(z=f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)處對\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)：\[f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Deltax}\]對\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)類似。2.全微分的定義若\(\Deltaz=f(x+\Deltax,y+\Deltay)-f(x,y)=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)），則\(dz=Adx+Bdy\)?？晌l件：\(f_x,f_y\)連續(xù)，則\(dz=f_xdx+f_ydy\)。3.復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)\(z=f(u,v),u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)\)，則：\[\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx},\quad\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialy}\]（二）重積分1.二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)：\(D=\{(x,y)|a\leqx\leqb,\varphi_1(x)\leqy\leq\varphi_2(x)\}\)，則：\[\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\]極坐標(biāo)：\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)，\(d\sigma=rdrd\theta\)，則：\[\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\betad\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\]2.三重積分的計(jì)算柱坐標(biāo)：\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=z\)，\(dV=rdrd\thetadz\)；球坐標(biāo)：\(x=r\sin\varphi\cos\theta,y=r\sin\varphi\sin\theta,z=r\cos\varphi\)，\(dV=r^2\sin\varphidrd\varphid\theta\)。（三）曲線積分與曲面積分1.格林公式設(shè)\(D\)為平面閉區(qū)域，\(L\)為\(D\)的正向邊界，\(P,Q\)連續(xù)可偏導(dǎo)，則：\[\oint_LPdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy}\right)d\sigma\]2.高斯公式設(shè)\(\Omega\)為空間閉區(qū)域，\(\Sigma\)為\(\Omega\)的外側(cè)邊界，\(P,Q,R\)連續(xù)可偏導(dǎo)，則：\[\oiint_\SigmaPdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega\left(\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}+\frac{\partialR}{\partialz}\right)dV\]三、無窮級數(shù)（一）常數(shù)項(xiàng)級數(shù)1.收斂的定義若部分和\(S_n=\sum_{k=1}^nu_k\)的極限存在，則級數(shù)\(\sum_{n=1}^\inftyu_n\)收斂，記為\(S=\lim_{n\to\infty}S_n\)。2.正項(xiàng)級數(shù)判別法比較判別法：\(0\lequ_n\leqv_n\)，則\(\sumv_n\)收斂\(\Rightarrow\sumu_n\)收斂；\(\sumu_n\)發(fā)散\(\Rightarrow\sumv_n\)發(fā)散；比值判別法：\(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)，\(\rho<1\)收斂，\(\rho>1\)發(fā)散；根值判別法：\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\)，\(\rho<1\)收斂，\(\rho>1\)發(fā)散。3.交錯(cuò)級數(shù)（萊布尼茨判別法）若\(u_n>0\)單調(diào)遞減且\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)，則\(\sum(-1)^{n-1}u_n\)收斂。（二）冪級數(shù)1.收斂半徑與收斂域收斂半徑：\(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)（比值法）或\(R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)（根值法）；收斂域：求\(|x|<R\)內(nèi)的收斂區(qū)間，再判斷端點(diǎn)\(x=\pmR\)的斂散性。2.冪級數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)求導(dǎo)：\(S'(x)=\sum_{n=1}^\inftyna_nx^{n-1}\)，收斂半徑不變；逐項(xiàng)積分：\(\int_0^xS(t)dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)，收斂半徑不變。（三）傅里葉級數(shù)1.傅里葉系數(shù)設(shè)\(f(x)\)在\([-\pi,\pi]\)上可積，其傅里葉級數(shù)為\(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cosnx+b_n\sinnx)\)，其中：\(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)dx\)；\(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)\cosnxdx\)（\(n=1,2,\cdots\)）；\(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)\sinnxdx\)（\(n=1,2,\cdots\)）。2.收斂定理（狄利克雷條件）若\(f(x)\)在\([-\pi,\pi]\)上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，且只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則傅里葉級數(shù)在\(x\)處收斂于\(\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}\)（\(x^+\)為右極限，\(x^-\)為左極限）。四、常微分方程（一）一階方程1.一階線性方程形式：\(\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\)，通解為：\[y=e^{-\intP(x)dx}\left(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C\right)\]2.可分離變量方程形式：\(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)，解法：\(\int\frac{dy}{g(y)}=\intf(x)dx\)。（二）高階線性方程1.二階線性齊次方程形式：\(y''+P(x)y'+Q(x)y=0\)，解的結(jié)構(gòu)：若\(y_1,y_2\)線性無關(guān)，則通解為\(y=C_1y_1+C_2y_2\)。2.常系數(shù)線性齊次方程形式：\(y''+ay'+by=0\)，特征方程\(r^2+ar+b=0\)：實(shí)根\(r_1\neqr_2\)：\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)；實(shí)根\(r_1=r_2=r\)：\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)；復(fù)根\(r=\alpha\pmi\beta\)：\(y=e^{\alphax}(C_1\cos\betax+C_2\sin\betax)\)。五、線性代數(shù)基礎(chǔ)（一）行列式1.行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置：\(|A^T|=|A|\)；換行：交換兩行，行列式變