專題12：圓錐曲線的統(tǒng)一定義<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線,其方程形式為二元二次方程,從幾何角度上看都是平面截圓錐面所得的截線,這就是這幾種曲線的統(tǒng)一性,而它們的統(tǒng)一性還體現(xiàn)在定義中.圓錐曲線的定義(包括橢圓、雙曲線的第一定義，橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一定義，是研究圓錐曲線有關(guān)問題的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，它反映了圓錐曲線的本質(zhì)和屬性，因此若能靈活運(yùn)用其定義，則能使許多問題得以順利解決。<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：題型一：圓錐曲線的第一定義圓錐曲線的定義是：用一平面去截割一個(gè)圓錐面，得到的截交線就稱為圓錐曲線，阿波羅尼奧斯就是采用平面截割圓錐的方法進(jìn)行研究的。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；繼續(xù)用余下的傾斜角度的平面截割，可得到雙曲線，利用Dandelin雙球（這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面π及圓錐均相切）。結(jié)論1：利用橢圓第一定義可證明：FA+AE=BA+AC=定值。結(jié)論2：上面一個(gè)Dandelin球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行，記這個(gè)圓所在平面為π',如果平面π與平面π'的交線為m，在圖中橢圓上任取一點(diǎn)A，該Dandelin球與平面π的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線（稱點(diǎn)F為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)為離心率e）例1圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名?因?yàn)樗梢詮膱A錐中截取獲得.我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角θ不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與θ和圓錐軸截面半頂角α有如下關(guān)系(θ,α∈(0,π2)):當(dāng)θ>α?xí)r，截口曲線為橢圓;當(dāng)θ=α?xí)r，截口曲線為拋物線;當(dāng)θ<α?xí)r，截口曲線為雙曲線.(如圖1)現(xiàn)有一定線段AB與平面β夾角為φ(如圖2)，B為斜足，β上一動點(diǎn)P滿足∠BAP=γ，設(shè)P點(diǎn)在β上的運(yùn)動軌跡是Γ，則(

)

A.當(dāng)φ=π4，γ=π6時(shí)，Γ是橢圓 B.當(dāng)φ=π3，γ=π6時(shí)，Γ是雙曲線

C.當(dāng)φ=π4，γ=π4【思路點(diǎn)撥】由∠BAP=γ知P在以A為頂點(diǎn)，母線與軸AB夾角為γ的圓錐側(cè)面上，又P點(diǎn)在平面β上，所以P點(diǎn)的軌跡是平面β與圓錐側(cè)面的交線，結(jié)合題意，對各選項(xiàng)分析即可．【規(guī)范解析】解：由∠BAP=γ知P在以A為頂點(diǎn)，母線與軸AB夾角為γ的圓錐側(cè)面上，

又P點(diǎn)在平面β上，所以P點(diǎn)的軌跡是平面β與圓錐側(cè)面的交線，

由題意，對各選項(xiàng)進(jìn)行分析：

對A,因?yàn)槠矫?/p>

β與圓錐的軸的夾角為

π4,圓錐軸截面半頂角為

π6，由π4>π6，知Γ是橢圓，故A正確；

對B,因?yàn)槠矫?/p>

β與圓錐的軸的夾角為

π3,圓錐軸截面半頂角為

π6，由π3>π6，知Γ是橢圓，故B不正確；

對C,因?yàn)槠矫?/p>

β與圓錐的軸的夾角為

π4,圓錐軸截面半頂角為

π4,由兩角相等,知Γ是拋物線,故C正確；

對D,因?yàn)槠矫?/p>

β與圓錐的軸的夾角為

π例2如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個(gè)問題進(jìn)行過研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinal?dandelin(1794?1847)的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于E,F，在截口曲線上任取一點(diǎn)A，過A作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于C,B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.由B,C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E,F為焦點(diǎn)的橢圓．如圖②，一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知A1A2是橢圓的長軸，PA1垂直于桌面且與球相切，PA1=5【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意易知A1A2為橢圓的長軸，長為2a，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，A1F=a?c【規(guī)范解析】解：易知A1A2為橢圓的長軸，長為2a，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，A1F=a?c，

在直角三角形PA1A2中，球的截面圓是其內(nèi)切圓，

設(shè)A1A2=x，則由三角形面積不變性可得：12×5x=12練1古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯著作《圓錐曲線論》中采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支(把圓錐面換成相應(yīng)的二次錐面時(shí)，則可得到雙曲線)?，F(xiàn)有一個(gè)正方體ABCD?A1B1C1D1，點(diǎn)O為線段B1D1的中點(diǎn)，P是平面A1BD內(nèi)一動點(diǎn)，如圖所示，若直線OCA.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是能將立方體ABCD?A1B1C【規(guī)范解析】解：因?yàn)橹本€OC與PC所成角為45°，所以點(diǎn)P在以CO為軸的圓錐曲線的表面上，

且是平面A1BD內(nèi)一動點(diǎn)，連接AC交BD于點(diǎn)M，

則在平面ACC1A1中易得A1M//CO，所以O(shè)C//平面故選C練2古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為1的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段EO的中點(diǎn)，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為

，M，N是該曲線上的兩點(diǎn)且MN//CD，若MN經(jīng)過點(diǎn)F，則|MN|=

．【思路點(diǎn)撥】利用平面切割圓錐的方法，結(jié)合截面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到的是拋物線，即可得到答案；建立合適的平面直角坐標(biāo)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可知，MN為拋物線的通徑，從而求解得到答案．【規(guī)范解析】解：因?yàn)镋是母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段EO的中點(diǎn)，

所以O(shè)E//PA，又PA?截面CDE，OE?截面CDE，

故PA//截面CDE，

由截面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到的是拋物線，

故過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為拋物線；

由題意可知，PO⊥平面AOB，又OB?平面AOB，則PO⊥OB，

則OB=OP=OC=1，因?yàn)镋為母線PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E=22，

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，BP為y軸，OE為x軸，如圖所示，

則C(?22,1)，

設(shè)拋物線的方程為y2=mx，

將點(diǎn)C代入方程可得，1=?22m，解得m=?2，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=?2x，

因?yàn)镸，N是該曲線上的兩點(diǎn)且MN//CD，

則MN⊥x軸，又題型二：題型二：圓錐曲線的第二定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F與到一條定直線L（F不在L上）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0<e<1時(shí)，它表示橢圓；當(dāng)e>1時(shí)，它表示雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，它表示拋物線．（其中e是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線是圓錐曲線的準(zhǔn)線）.橢圓、雙曲線上的任一點(diǎn)和焦點(diǎn)連結(jié)的線段長稱為焦半徑.（1）橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)F1、F則PF1=a+e（2）雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，Px0簡記為：絕對值內(nèi)看焦，左“＋”右“－”；去絕對值看支，左“－”右“＋”.即：若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則PF1=?(e若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF1=e例3已知橢圓C:x225+y216=1內(nèi)有一點(diǎn)A(2,1),F是橢圓C的左焦點(diǎn)，P在橢圓【思路點(diǎn)撥】3|PA|+5|PF|?=3(|PA|+53|PF|)，即求|PA|+53|PF|的最小值.橢圓C的離心率為e=ca=【規(guī)范解析】3|PA|+5|PF|?=3(|PA|+53|PF|)易知橢圓C的離心率為e=ca=35則由橢圓的第二定義知，53|PF|等于橢圓上的點(diǎn)過點(diǎn)P作左準(zhǔn)線的垂線，垂足為E,則|PA|+|PE|?≥?|AE|，當(dāng)且僅當(dāng)A,P,E三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，此時(shí)|AE|?=2?(?25故3(|PA|+53|PF|)例4已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與拋物線的準(zhǔn)線l1交于點(diǎn)M，若PMA．3 B．43 C．34 【思路點(diǎn)撥】設(shè)Px1,y1,Qx2,y2【規(guī)范解析】設(shè)Px1,y聯(lián)立拋物線得：k2x2由直線l與拋物線準(zhǔn)線l1交于M，則x由PM=2FP得：?1?x1=2∴PF=x1+1=4故選：A.練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，y軸右側(cè)的兩點(diǎn)A，B在橢圓Γ上，且直線AB與圓O:x2+y2=b2A.12 B.35 C.34【思路點(diǎn)撥】利用切點(diǎn)的垂直特性和勾股定理巧妙計(jì)算AP，利用焦半徑公式計(jì)算AF，發(fā)現(xiàn)AP+AF為定值后同理可得BP+BF且算出周長，最后解出a并求得離心率．【規(guī)范解析】解：首先證明橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一點(diǎn)P(x,y)到左、右兩焦點(diǎn)F1、F2的距離

|PF1|=a+cax，|PF2|=a?cax(焦半徑公式);

證明：因?yàn)镕1(?c,0)、F2(c,0)，

所以|PF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1?x2a2)

=c2a2x2+2cx+a2=|a+cax|;

同理可得|PF2|=(x?c練4已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P【思路點(diǎn)撥】求得橢圓的a，b，c，延長PI交x軸于M，設(shè)P(x0,y0)，I(x,y)，M(m,0)，【規(guī)范解析】解：橢圓C：x24+y23=1的a=2，b=3，c=1，

延長PI交x軸于M，

設(shè)P(x0,y0)，I(x,y)，M(m,0)，

連接IF1，IF2，

設(shè)PF1=s，PF2=t，則s+t=2a=4，

MF1=m+1，MF2=1?m，

由內(nèi)角平分線定理可得

st=m+1題型三：圓錐曲線的題型三：圓錐曲線的的第三定義平面內(nèi)的動點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1?a,0A其中兩個(gè)定點(diǎn)為橢圓和雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn).其中如果常數(shù)e2如果e2反之，若橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b雙曲線的方程為x2a2?y2b2=1例5（多選）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A(?5,0)，B(5,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為常數(shù)λ(λ≠0)，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C.下列說法中正確的有(

)A.存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(?6,0)，(6,0)的距離之和為定值

B.存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(?6,0)，(6,0)的距離之差的絕對值為定值

C.存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(0,?6)，(0,6)的距離之和為定值

D.存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(0,?6)，(0,6)的距離之差的絕對值為定值【思路點(diǎn)撥】設(shè)M坐標(biāo)為x,yx≠±5,y≠0，則

yx+5·【規(guī)范解析】解：設(shè)M坐標(biāo)為(x,y)x≠±5,y≠0，由yx+5·yx?5=λ，得y2=λ(x2?25)(x≠±5)，

對于A項(xiàng)，存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(?6,0)，(6,0)的距離之和為定值

則c=6，且焦點(diǎn)在x軸上，此時(shí)?1<λ<0，a=5<c=6，矛盾，故A錯(cuò)誤；

對于B項(xiàng)，存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(?6,0)，(6,0)的距離之差的絕對值為定值

則c=6，且焦點(diǎn)在x軸上，此時(shí)λ>0，a=5<c=6，符合題意，故B正確．

對于C項(xiàng)，存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(0,?6)，(0,6)的距離之和為定值

則c=6，且焦點(diǎn)在y軸上，此時(shí)?25λ>36，符合題意，故C正確;

對于D項(xiàng)，存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)(0,?6)，(0,6)的距離之差的絕對值為定值

則c=6，且焦點(diǎn)在y軸上，但y例6（多選）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>b>0的左，右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，直線PA1，PAA.雙曲線C的漸近線方程為y=±34x B.雙曲線C的離心率為72

C.kPA【思路點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可．【規(guī)范解析】解：設(shè)P(x,y)，則y2=b2(x2a2?1)，因?yàn)锳1(?a,0)，A2(a,0)，

故kPA1?kPA2=yx+a?yx?a=y2x2?a2=b2(x2a2?1)x2?a2=b根據(jù)對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，則β>α，則∠A1PA2=β?α，

則tan∠A1PA2=tan(β?α)=tanβ?tanα1+tanα?tanβ=47練5橢圓C:x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA.[12,34] B.[【思路點(diǎn)撥】由橢圓C：x24+y23=1可知其左頂點(diǎn)A1(?2,0)，右頂點(diǎn)A【規(guī)范解析】解：由橢圓C：x24+y23=1可知其左頂點(diǎn)A1(?2,0)，右頂點(diǎn)A2(2,0)．

設(shè)P(x0∵?2≤kPA2≤?1，∴?2≤?34練6(多選)設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，E(0,b)，A(m,n)為橢圓E上一點(diǎn)，m≠0，點(diǎn)B、A關(guān)于x軸對稱，直線EA，EB分別與xA.|AE|的最大值為a2+b2

B.直線EA，EB的斜率乘積為定值

C.若y軸上存在點(diǎn)P，使得∠MPO=∠PNO，則P的坐標(biāo)為(0,a)或(0,?a)

【思路點(diǎn)撥】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及應(yīng)用問題，利用橢圓的幾何性質(zhì)何斜率的定義求解.【規(guī)范解析】解：因?yàn)锳(m,n)在橢圓C上，所以m2a2+n2b2=1，m2=a2(1?n2b2)，

所以|AE|=m2+(n?b)2=?c2b2n2?2bn+a2+b2≤a2c，A錯(cuò)誤；

所以xM=bmb?n，xN=bmb+n，

所以O(shè)P2=OM?ON=|bmb?n||bmb+n|=b2m2b2?n2，

因?yàn)閙2=a2(1?<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.在實(shí)際生活中，常常要用到如圖1所示的“直角彎管”.它的制作方法如下：如圖2，用一個(gè)與圓柱底面所成角為45°的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到“直角彎管”.在制作“直角彎管”時(shí)截得的截口是一個(gè)橢圓，若將圓柱被截開的一段(如圖3)的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展開成平面圖形，則截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象(如圖4).記該正弦型函數(shù)的最小正周期為T，截口橢圓的離心率為e.若圓柱的底面直徑為2，則(

)

A.T=2π，e=12 B.T=2π，e=22

C.T=4π，e=1【解析】解：設(shè)截口橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距長為c，

因?yàn)閳A柱的底面直徑為2，所以2b=CD=2，故b=1，因?yàn)闄E圓截面與底面的夾角為45°，

所以∠AOB=45°，所以2b=OB=OAcos45°=2acos45°，所以a=2，

所以c=a2?b2=1，所以e=ca=12=22，

觀察圖4知，正弦型函數(shù)的最小正周期T為圓柱的側(cè)面展開圖的底邊邊長，即圓柱的底面圓的周長，所以T=2π×1=2π．A.4.5 B.5.5 C.6 D.7.5【解析】解：經(jīng)過橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)F做直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若FA+2FB=0，

設(shè)B(x1,y1)，則A的橫坐標(biāo)為：3?2x1，橢圓的準(zhǔn)線方程為3.已知F是橢圓C：x29+y25=1的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，AA.9 B.72 C.4 D.【解析】

解：因?yàn)閍=5，b=5，所以c=2，則左準(zhǔn)線方程為x=?a2c=?92，則PF1d=e=23，所以d=32PF1，

所以|PA|+32?|PF|=PA+d，

所以過A作左準(zhǔn)線的垂線4.已知點(diǎn)P是雙曲線C：x28?y24=1上的動點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線CA.[0,6]

B.(2,6]

C.(1【解析】解：設(shè)P(x,y)x>0，由焦半徑公式|PF1|=ex+a，|PF2|=ex?a，

則|PF1|+|PF2||OP|=ex+a+ex?ax2+y2

(y2=x22?4,e=62)，

則原式5.已知橢圓x22+y2=1，點(diǎn)M1，M2，…，M5為其長軸AB的6等分點(diǎn)，分別過這5點(diǎn)作斜率為k(k≠0)的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10，則直線【解析】解：如圖所示，

由橢圓的性質(zhì)可得kAP1?kBP1=kAP2?kBP2=?b2a2=?12．

由橢圓的對稱性可得kBP1=kAP10，kB6.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法，如圖，將兩個(gè)完全相同的圓錐對頂放置(兩圓錐的頂點(diǎn)和軸都重合)，已知兩個(gè)圓錐的底面直徑均為2，側(cè)面積均為5π，記過兩個(gè)圓錐軸的截面為平面α，平面α與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線為AC、BD.已知平面β平行于平面α，平面β與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分，且C的兩條漸近線分別平行于AC、BD，則該雙曲線C的離心率為

．

【解析】解：以矩形ABCD的中心O為原點(diǎn)，