1.2.3直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）1.2.3直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課通過(guò)直線與圓的位置關(guān)系的探究，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握?qǐng)A的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力。結(jié)合北師大版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)的內(nèi)容，設(shè)計(jì)一系列實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、推理等方式，深刻理解直線與圓的位置關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng)。通過(guò)直線與圓的位置關(guān)系的探究，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，提升抽象思維能力；通過(guò)推理過(guò)程，強(qiáng)化邏輯推理能力；通過(guò)構(gòu)建模型，鍛煉數(shù)學(xué)建模能力；通過(guò)圖形的觀察與分析，培養(yǎng)直觀想象能力。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-明確本節(jié)課的核心內(nèi)容，以便于教師在教學(xué)過(guò)程中有針對(duì)性地進(jìn)行講解和強(qiáng)調(diào)。

-重點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，包括相離、相切和相交。

-舉例：通過(guò)具體圓和直線的方程，判斷它們的位置關(guān)系，并給出相應(yīng)的結(jié)論。

-重點(diǎn)二：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解決實(shí)際問(wèn)題。

-舉例：計(jì)算圓的弦長(zhǎng)、圓心到直線的距離等。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-識(shí)別并指出本節(jié)課的難點(diǎn)內(nèi)容，以便于教師采取有效的教學(xué)方法幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

-難點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系的判定條件推導(dǎo)。

-舉例：推導(dǎo)直線與圓相切的條件，即圓心到直線的距離等于圓的半徑。

-難點(diǎn)二：復(fù)雜情況下直線與圓的位置關(guān)系判斷。

-舉例：在直線與圓相交的情況下，如何確定交點(diǎn)的具體位置，以及如何計(jì)算弦長(zhǎng)和圓心到直線的距離。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，包括北師大版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如直線與圓的位置關(guān)系演示動(dòng)畫(huà)。

3.實(shí)驗(yàn)器材：準(zhǔn)備直尺、圓規(guī)等工具，用于學(xué)生進(jìn)行直線與圓的位置關(guān)系實(shí)驗(yàn)操作。

4.教室布置：布置教室環(huán)境，設(shè)置分組討論區(qū)，提供足夠的空間進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作和小組合作學(xué)習(xí)。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)**用時(shí)：45分鐘**

**一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘**）

-教師展示生活中常見(jiàn)的圓形物體，如硬幣、鐘表等，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些物體的共同特征。

-提問(wèn)：這些圓形物體在幾何學(xué)中如何描述？它們與直線有何關(guān)系？

-引導(dǎo)學(xué)生回顧直線和圓的基本定義，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊。

**二、講授新課（20分鐘**）

1.直線與圓的位置關(guān)系

-講解直線與圓相離、相切和相交的定義。

-通過(guò)幾何圖形和方程示例，展示不同位置關(guān)系的判定方法。

-用時(shí)：5分鐘

2.直線與圓的位置關(guān)系判定

-推導(dǎo)直線與圓相切的條件，即圓心到直線的距離等于圓的半徑。

-講解如何計(jì)算圓心到直線的距離，并應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

-用時(shí)：5分鐘

3.直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用

-通過(guò)實(shí)例展示如何利用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算弦長(zhǎng)、圓心到直線的距離等。

-引導(dǎo)學(xué)生思考如何將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活中。

-用時(shí)：5分鐘

**三、鞏固練習(xí)（10分鐘**）

-分組進(jìn)行練習(xí)，每組選擇一個(gè)直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題進(jìn)行討論和解答。

-教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問(wèn)。

-用時(shí)：10分鐘

**四、課堂提問(wèn)（5分鐘**）

-提問(wèn)：直線與圓的位置關(guān)系在哪些領(lǐng)域有應(yīng)用？

-引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的重要性。

-用時(shí)：5分鐘

**五、師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（5分鐘**）

-教師提出一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，如“如何證明直線與圓相切的條件？”

-學(xué)生分組討論，嘗試給出證明過(guò)程。

-教師邀請(qǐng)學(xué)生分享討論結(jié)果，并給予評(píng)價(jià)和指導(dǎo)。

-用時(shí)：5分鐘

**六、核心素養(yǎng)能力的拓展（5分鐘**）

-教師提出一個(gè)與直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的研究性問(wèn)題，如“是否存在一個(gè)圓，使得它和任意一條直線都相切？”

-學(xué)生分組進(jìn)行探究，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。

-教師總結(jié)學(xué)生的探究成果，并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)探究的重要性。

-用時(shí)：5分鐘

**七、總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘**）

-教師總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

-布置作業(yè)，要求學(xué)生完成相關(guān)練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

-用時(shí)：5分鐘

**教學(xué)創(chuàng)新點(diǎn)**：

-通過(guò)實(shí)際生活中的實(shí)例引入課題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

-采用分組討論和探究式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和探究精神。

-結(jié)合多媒體資源，提高教學(xué)效果。

-注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)資源拓展1.拓展資源

-直線與圓的位置關(guān)系在解析幾何中的地位：解析幾何中，直線與圓的位置關(guān)系是研究圓的性質(zhì)和圖形變換的基礎(chǔ)，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線等圓錐曲線有著重要的鋪墊作用。

-直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用實(shí)例：在建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量、機(jī)械制造等領(lǐng)域，直線與圓的位置關(guān)系被廣泛應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算圓弧長(zhǎng)度、確定圓心位置等。

2.拓展建議

-學(xué)生可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析幾何中關(guān)于直線與圓的方程，探究不同條件下直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。

-鼓勵(lì)學(xué)生研究不同圓的半徑和直線的斜率對(duì)位置關(guān)系的影響，分析其數(shù)學(xué)規(guī)律。

-通過(guò)幾何軟件（如Geogebra）進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，直觀展示直線與圓的位置關(guān)系如何隨著參數(shù)的變化而變化。

-閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目，如數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的幾何問(wèn)題，提高解題技巧和創(chuàng)新能力。

-結(jié)合實(shí)際生活場(chǎng)景，如汽車行駛軌跡、鐘表指針的運(yùn)動(dòng)等，分析其中的幾何關(guān)系，將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

-探索直線與圓的位置關(guān)系在數(shù)學(xué)史上的發(fā)展，了解不同數(shù)學(xué)家對(duì)此問(wèn)題的研究方法和成果。

-參考教材附錄中的練習(xí)題，嘗試解決一些更具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，如涉及多個(gè)圓和直線的復(fù)雜圖形問(wèn)題。

-通過(guò)網(wǎng)絡(luò)資源（如教育平臺(tái)、學(xué)術(shù)期刊）了解直線與圓的位置關(guān)系在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用案例，拓寬視野。

-參加數(shù)學(xué)興趣小組或?qū)W術(shù)講座，與其他同學(xué)和專家交流心得，提高數(shù)學(xué)思維和表達(dá)能力。教學(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)

-通過(guò)提問(wèn)：教師可以在課堂教學(xué)中適時(shí)提問(wèn)，檢查學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的理解程度。例如，可以提問(wèn)學(xué)生如何判斷直線與圓的位置關(guān)系，或者如何計(jì)算圓心到直線的距離。通過(guò)學(xué)生的回答，教師可以了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。

-通過(guò)觀察：教師應(yīng)密切關(guān)注學(xué)生的課堂參與度，包括學(xué)生的注意力集中程度、課堂互動(dòng)情況以及是否能夠積極參與討論。觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)可以幫助教師評(píng)估學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)態(tài)度。

-通過(guò)測(cè)試：在課堂結(jié)束時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)一些簡(jiǎn)短的測(cè)試題，如選擇題、填空題或簡(jiǎn)答題，以評(píng)估學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度。測(cè)試題應(yīng)與課堂講授內(nèi)容緊密相關(guān)，以便于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

-認(rèn)真批改：教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，確保每個(gè)學(xué)生都能得到個(gè)性化的反饋。批改時(shí)應(yīng)注意作業(yè)的準(zhǔn)確性和解題思路的清晰度。

-點(diǎn)評(píng)反饋：在批改作業(yè)的同時(shí)，教師應(yīng)給予學(xué)生具體的點(diǎn)評(píng)和反饋，指出作業(yè)中的錯(cuò)誤和不足，同時(shí)表?yè)P(yáng)學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和進(jìn)步。

-及時(shí)反饋：作業(yè)的反饋應(yīng)在學(xué)生提交后盡快進(jìn)行，以便學(xué)生能夠及時(shí)了解自己的學(xué)習(xí)情況，并據(jù)此調(diào)整學(xué)習(xí)策略。

-鼓勵(lì)學(xué)生：在作業(yè)評(píng)價(jià)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力，對(duì)于有困難的學(xué)生提供額外的輔導(dǎo)和幫助，幫助他們克服學(xué)習(xí)障礙。

3.評(píng)價(jià)方式多樣化

-多元評(píng)價(jià)：除了傳統(tǒng)的書(shū)面測(cè)試，還可以采用口頭報(bào)告、小組討論、項(xiàng)目展示等多種評(píng)價(jià)方式，以全面評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

-自我評(píng)價(jià)：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，反思自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中的表現(xiàn)，以及如何改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。

-同伴評(píng)價(jià)：通過(guò)同伴間的互評(píng)，學(xué)生可以學(xué)習(xí)如何從他人的角度看待問(wèn)題，同時(shí)也能提高自己的評(píng)價(jià)能力。

4.評(píng)價(jià)記錄與分析

-教師應(yīng)記錄學(xué)生的評(píng)價(jià)結(jié)果，包括課堂表現(xiàn)、作業(yè)成績(jī)、測(cè)試成績(jī)等，以便進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

-分析評(píng)價(jià)結(jié)果，找出學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)，為后續(xù)教學(xué)提供參考。

5.評(píng)價(jià)與教學(xué)改進(jìn)

-根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果，教師應(yīng)調(diào)整教學(xué)策略，針對(duì)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行重點(diǎn)講解和練習(xí)。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與教學(xué)評(píng)價(jià)過(guò)程，收集學(xué)生的反饋意見(jiàn)，共同改進(jìn)教學(xué)效果。課后作業(yè)1.作業(yè)題目：已知圓的方程為\(x^2+y^2=25\)，直線方程為\(y=2x+1\)。求圓心到直線的距離。

解答：首先，圓心坐標(biāo)為\((0,0)\)，直線方程為\(y=2x+1\)，即\(2x-y+1=0\)。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，圓心到直線的距離\(d\)為：

\[

d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

\]

代入\(A=2\),\(B=-1\),\(C=1\),\(x_0=0\),\(y_0=0\)，得到：

\[

d=\frac{|2\cdot0-1\cdot0+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}

\]

所以，圓心到直線的距離為\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)。

2.作業(yè)題目：直線\(3x+4y-12=0\)與圓\(x^2+y^2=16\)的位置關(guān)系。

解答：圓的半徑\(r=4\)，圓心到直線的距離\(d\)為：

\[

d=\frac{|3\cdot0+4\cdot0-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}

\]

因?yàn)閈(d=\frac{12}{5}>4=r\)，所以直線與圓相離。

3.作業(yè)題目：求直線\(x-2y+1=0\)與圓\(x^2+y^2=4\)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

解答：將直線方程代入圓的方程，得到：

\[

(2y-1)^2+y^2=4

\]

化簡(jiǎn)得：

\[

5y^2-4y-3=0

\]

解這個(gè)一元二次方程，得到\(y=1\)或\(y=-\frac{3}{5}\)。將\(y\)的值代入直線方程，得到對(duì)應(yīng)的\(x\)值，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,1)\)和\((-1,-\frac{3}{5})\)。

4.作業(yè)題目：已知直線\(y=mx+c\)與圓\(x^2+y^2=r^2\)相切，求\(m\)和\(c\)的關(guān)系。

解答：圓心到直線的距離\(d\)為\(r\)，即：

\[

d=\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=r

\]

解得：

\[

c^2=r^2(m^2+1)

\]

所以，\(m\)和\(c\)的關(guān)系為\(c^2=r^2(m^2+1)\)。

5.作