第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

單元

§2.1控制系統(tǒng)的微分方程（2學(xué)時）

學(xué)

教

的

』能夠?qū)M成系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理學(xué)定

求

律'化學(xué)定律等來列寫控制系統(tǒng)運(yùn)動方程式O

重點(diǎn)重點(diǎn)：控制系統(tǒng)運(yùn)動方程式

難點(diǎn)難點(diǎn)：環(huán)節(jié)間的負(fù)載效應(yīng)

考核方法過程考核

本章我僅將討論控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模問題。對于給定的系統(tǒng)，

由于所研究的問題不同，可以有不同的數(shù)學(xué)模型。因此，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

模型不是唯一的，一個系統(tǒng)可以有多個數(shù)學(xué)模型。因此，建立合理的

數(shù)學(xué)模型是分析與設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的最重要工作。

建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有分析法和實(shí)驗(yàn)法兩種。本章介思政：由

紹用分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。辯證唯物

一個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以有多種形式。對于具體的系統(tǒng)或研究

主義中的

方法，一種數(shù)學(xué)模型可能比另一種更為合適。

認(rèn)識論，

1.控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程式

闡述如何

控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程式是用微分方程的形式描述系統(tǒng)運(yùn)動過

程中各變量之間的相互關(guān)系，它既定性又定量地描述整個系統(tǒng)的運(yùn)發(fā)現(xiàn)科學(xué)

動過程。問題，進(jìn)

求取控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程式的步驟：

而如何認(rèn)

1.分析系統(tǒng)的工作原理及各變量之間的關(guān)系，找出系統(tǒng)的輸入

識自我，

量和輸出量；

教學(xué)進(jìn)程

由模型的

（教學(xué)內(nèi)容2根.據(jù)描述系統(tǒng)運(yùn)動特性的基本定律，從系統(tǒng)的輸入端開始依次

教學(xué)方法寫出各元件的運(yùn)動方程，并要考慮各相聯(lián)元件之間的負(fù)載效應(yīng)；抽象建

輛助手段3.在上述方程中消去中間變量，求取只含有系統(tǒng)輸入、輸出變立，談自

師生互動量及其各階導(dǎo)數(shù)的方程式，并將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式。

時間分配我認(rèn)知與

板書設(shè)計(jì)）

【例題2-1】機(jī)械系統(tǒng)：設(shè)有由彈簧-質(zhì)最-阻尼器構(gòu)成的機(jī)械系統(tǒng)提升，進(jìn)

加圖2-1-1所示.試訓(xùn)寫以///』J//而，如何

V

力/⑺為輸入變量、以位移做一個到

*1

八，＞內(nèi)外兼

）"）為輸出變量的系統(tǒng)運(yùn)

動方程式。修，知行

▼_v<r>

統(tǒng)一的理

■■

工人。

//77/，

2-1-1機(jī)械平移系統(tǒng)

【例題2-2】電氣系統(tǒng)：設(shè)有由電阻R、目感人和電容C組成的

RLC電路如圖2-1-2所示，試列寫以電源電壓〃為輸入變量，電容

兩端電壓4為輸出變量的系統(tǒng)運(yùn)動方程式。

RL

圖2-1-2RLC

對于例2-1和例2-2,若適當(dāng)選擇系統(tǒng)參數(shù)，從數(shù)學(xué)角度來說,

可以得到完全相同的運(yùn)動方程式。如果系統(tǒng)加上相同的輸入信號，

會得到相同的輸出響應(yīng)。這種性質(zhì)稱為機(jī)械系統(tǒng)與電氣系統(tǒng)在數(shù)學(xué)描

述上的相似性。

【例題2-3】機(jī)電系統(tǒng)：設(shè)有帶載直流電動機(jī)控制系統(tǒng)如圖2-2-

3所示，假設(shè)電動機(jī)空載。試列寫(1)以電動機(jī)力矩M為輸入變

量，分別以電動機(jī)輸出軸角速度0及角位移e為輸出變量時系統(tǒng)的

運(yùn)動方程式。(2)以電樞電壓〃為輸入變量，分別以電動機(jī)輸出軸

角速度3及角位移。為輸出變量時系統(tǒng)的運(yùn)動方程式。

圖2-1-3帶載直流電動機(jī)系統(tǒng)

【例題2-4］根據(jù)圖27-4所示電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，試列寫以參

考輸入電壓"，為輸入變量，以電動機(jī)輸出角速度0為輸出變量

時控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程式。

百

圖2-1-4電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的方框圖

教學(xué)設(shè)計(jì)：課堂講授，給出思考題，案例建模

思考題：中學(xué)物理是如何求粘性摩擦力的？

作業(yè)布置筋作業(yè)題：習(xí)題2-5,2-6

習(xí)復(fù)習(xí)內(nèi)容預(yù)習(xí)：傳遞函數(shù)

復(fù)習(xí)：拉普拉斯變換

2

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§2.2傳遞函數(shù)及matlab建模(4學(xué)時)

孝

攵學(xué)

目

的

要

和

求要求學(xué)生理解傳遞函數(shù)的定義及性質(zhì)?掌握傳遞函數(shù)的求取方法

重點(diǎn)重點(diǎn)：傳遞函數(shù)的定義及性質(zhì)

難點(diǎn)難點(diǎn)：控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

考核方法過程考核'期末考試

應(yīng)用拉氏變換求解線性定常系統(tǒng)的微分方程時，可以得到控制

系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅能表征

系統(tǒng)動態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化時系統(tǒng)動態(tài)

性能的變化情況。古典控制理論中的分析與設(shè)計(jì)的方法，如頻率法、

根軌跡法，均是以傳遞函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型。因此，傳遞函數(shù)是控制理

論中最重要的基本概念。

1.傳遞函數(shù)的定義及性質(zhì)

1.傳遞函數(shù)的定義

在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出變量的拉氏變換X2($)與思政：數(shù)

輸入變量的拉氏變換X(s)之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。學(xué)變換與

傳遞函數(shù)通常記為g——

等效傳遞

G(S)3AG(S)A

函數(shù)求取

X>(s)------------

過程中，

教學(xué)進(jìn)程圖2-2-1傳遞函數(shù)

(教學(xué)內(nèi)容如圖2-2-1所示。上述定義也適用于線性元部件。蘊(yùn)含的誠

教學(xué)方法【例題2?5】試求取圖2-1-1所示機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，信、平等

輔助手段

師生互動的社會主

時間分配【例題2-6】設(shè)有二級RC濾波網(wǎng)絡(luò)如圖2-2-2所示。以電壓〃為輸義核心價(jià)

板書設(shè)計(jì))

入變量，電容器G兩端電壓〃，為輸出變量，試求該濾波網(wǎng)絡(luò)的傳值觀。

U(s)

遞函數(shù)一￡r￡2

圖2-2-2二級RC濾波網(wǎng)絡(luò)

【例題2-7］求如圖2-1-3所示帶載直流電動機(jī)控制系統(tǒng)的傳遞函

數(shù)")=〃⑶及G%(S)=M.

3

函數(shù)形式

【例題2-8】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

G(s)=7—3)

5(35+45+1)

建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)模型。

課堂演示I28.m?講解matlab程序并顯示運(yùn)行結(jié)果。

2.系統(tǒng)典型聯(lián)接時等效傳遞函數(shù)的求取

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)的求取

圖2-8串聯(lián)環(huán)節(jié)的方框圖

結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于每個串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘

積v

2.同向并聯(lián)環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)的求取

G(s)

圖2-9并聯(lián)環(huán)節(jié)的方框圖

結(jié)論：同向并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于每個并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

的代數(shù)和。

圖270反饋回路的方框圖

結(jié)論：負(fù)(正)反饋回路的等效傳遞函數(shù)為一分式，其分子為

前向通道的傳遞函數(shù)，其分母為1力吐(減去)前向通道和反饋通

道傳遞函數(shù)的乘積。

4.MATLAB求雙等效傳遞函數(shù)

5

【調(diào)用格式】

sys=series(sysl,sys2)%系統(tǒng)的串聯(lián)

與系統(tǒng)的并聯(lián)

sys=parallel(sysl#sys2)

%系統(tǒng)的反饋

sys=feedback(sysl/sys2,sign)

【說明】

1.sysl為前向通道的數(shù)學(xué)模型，sys2為反饋通道的數(shù)學(xué)模

型。

2.sign為反饋的極性，sign=l為正反饋連接，signal為負(fù)反

饋連接(缺省值r

【例題2-9】已知兩個線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為

12s+4〃/、s+6

G(s)=________，G(s)=________

152+55+22r+75+l

分別應(yīng)用seriesOsparallel()>feedback。三個函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的

串聯(lián)、并聯(lián)和負(fù)反饋連接。

課堂演示I29.m,講解matlab程序并顯示運(yùn)行結(jié)果。

3.控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)方框圖的一般形式如圖2-2-6所示。圖中R(s)為參

考輸入信號的拉式變換式，尸⑸為擾動信號的拉式變換式，C(5)

為輸出信號的拉式變換式，￡(s)為偏差信號的拉式變換式。

G(s)G(s)為前向通道的傳遞函數(shù)，”(s)為反饋通道的傳遞函數(shù)。

圖2-2-6控制系統(tǒng)方框圖

在反饋控制系統(tǒng)中，定義前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)

的乘積為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，通常記為G(s)。根據(jù)定義，圖2-

2-6所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(5)=G,(5)G2(5)H(S)

1.輸出信號。⑺對于輸入信號N/)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令f⑴=0,①(s)=Q^=GO

R(s)1+G(s)

對于單位反饋系統(tǒng)，由于“(s)=l,所以系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

為G⑸=G($)G(5)，則①(s)=-^-

21+G(s)

2.輸出信號c⑺對于干擾信號/⑺的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令4)=0,6(s)="工吧—

F(s)I+G(s)

6

若/?(/)/()、/⑺工0時，即輸入信號和干擾信號同時作用于系

統(tǒng)時，可以求得此時系統(tǒng)輸出為

C(S)=^)G(S)R(S)+_SI^./(s)=①㈤R(s)+①(5)F(5)

1+G(s)1+G(s)1

3.偏差信號￡(。對于輸入信號Nf)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令f(t)=O,①￡(s)=一立=』

R(s)1+G(s)

對于單位反饋系統(tǒng)，有①

4.偏差信號對干擾信號/(r)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令4)=0,M(s)=如」空迦也

'戶(s)1+G(6)

同理，當(dāng)/?⑺wo,f(t)工0時，則專

?)=_!_R(S)_G2(S)H4G)

1+Gto1+G(s)

=0,/?(5)+0>^(5)F(5)

方程1+G(s)=0稱為反饋系統(tǒng)特征方程。

教學(xué)設(shè)計(jì)：課堂講授，給出思考題

思考題：傳遞函數(shù)的參數(shù)與運(yùn)動方程式的參數(shù)有何關(guān)系？

作業(yè)題：1.習(xí)題2-5、2-6,求傳遞函數(shù)。

僦布置及將

2.練習(xí)用MATLAB建立傳遞函數(shù)模型tf,零極點(diǎn)增益模型zpko

預(yù)習(xí)：控制系統(tǒng)的方框圖及其簡化

復(fù)習(xí)：系統(tǒng)典型聯(lián)接時等效傳遞函數(shù)的求取

7

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§2.3控制系統(tǒng)的方框圖及Simulink仿真（4學(xué)時）

孝攵學(xué)

目的

要

和求要求學(xué)生掌握控制系統(tǒng)方框圖的簡化以及Simulink仿真

重點(diǎn)重點(diǎn)：控制系統(tǒng)方框圖的簡化方法

難點(diǎn)難點(diǎn)：方框圖的繪制

考核方法過程考核、期末考試

方框圖是控制理論中廣泛采用的一種數(shù)學(xué)模型，是從具體系統(tǒng)

中抽象出來圖形化的數(shù)學(xué)模型。用方框圖表示控制系統(tǒng)，可以直觀

地了解系統(tǒng)的構(gòu)成及信號的傳遞方向，并且可以清楚地表明信號在

傳遞過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。

L方框圖的構(gòu)成

控制系統(tǒng)的方框圖又稱方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，圖2-3-2所示。

思政：從

哲學(xué)的角

圖2-3-2控制系統(tǒng)方也圖

度談，方

教學(xué)進(jìn)程控制系統(tǒng)的方框圖一般由四種基本單元組成?？驁D化簡

（教學(xué)內(nèi)容1.函數(shù)方框這樣一種

教學(xué)方法2.信號線透過現(xiàn)象

輔助手段

3.相加點(diǎn)

師生互動看本質(zhì)，

時間分配4.分支點(diǎn)凡事找規(guī)

板書設(shè)計(jì)）2.方框圖的繪制律，抓住

方框圖繪制步驟：

事物的本

1.寫出組成系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程；

質(zhì)和主要

2.求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，繪制各環(huán)節(jié)的方框圖：

矛盾。

3.從輸入端入手，按信號流向依次將各環(huán)節(jié)方框圖用信號線連接

成整體，即得控制系統(tǒng)方框圖。

【例題2-101繪制如圖2-3-3所示RC電路的方框圖。

3.方框圖的簡化

控制系統(tǒng)方框圖往往比較復(fù)雜，具有多條反饋回路。為了便于

8

對系統(tǒng)進(jìn)行分析，經(jīng)常需要根據(jù)等效原則進(jìn)行適當(dāng)變換，是復(fù)雜的方

框圖得到簡化。

1.分支點(diǎn)的移動規(guī)則

根據(jù)分支點(diǎn)移動前后所得的分支信號保持不變的等效原則，可

將分支點(diǎn)順著信號流向或逆著信號流向移動。

(1)前移

(2)后移

2.相加點(diǎn)移動規(guī)則

根據(jù)保持相加點(diǎn)移動前后總的輸出保持不變的等效原則，可以將相

加點(diǎn)前后移動。

(1)前移

(2)后移

3.等效單位反饋?zhàn)儞Q規(guī)則

4.交換或合并比較點(diǎn)原則

5.內(nèi)反饋線消除規(guī)則

應(yīng)用上述各項(xiàng)基本規(guī)則，可將包含許多反饋回路的復(fù)雜方框圖進(jìn)

行簡化，但在簡化過程中，一定要記住下列兩條原則：

1.前向通道中傳遞函數(shù)的乘積保持不變；

2.反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。

【例題2-11】試簡化圖2-3-13(a)所示系統(tǒng)方框圖，并求系統(tǒng)的

C(s)

閉環(huán)傳遞函數(shù)—O

R3

圖2-3-13(a)方框圖簡化

【例題2-12］兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)的方框圖如圖2-3-14所示。試將

其加以簡化，并求①(s),59。

圖2-3-14RC兩級濾波網(wǎng)絡(luò)的方框圖

課堂演示I212.m以及T2319.slx?講解matlab程序并顯示運(yùn)

行結(jié)果。

4.Simulink建模與仿真

9

使用Simulink對復(fù)雜系統(tǒng)建模可以不用進(jìn)行方框圖化簡，直

接求取線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，并進(jìn)行仿真。

【調(diào)用格式】

[num,den]=linmod('model')%工作點(diǎn)附近求取傳遞函數(shù)模

型

[t,y]=sim('model',timespan,option,ut)%動態(tài)系統(tǒng)仿真

【說明】

1.'model'為Simulink生成的模型文件名；

2.timespan為仿直時間設(shè)置，可指定終止時間和起止時間：

3.option是用于設(shè)置初始條件、步長與容許誤差等值；

4.ut為外部輸入信號，y為仿真輸出。

【例題2-13]例2-2中當(dāng)/?=1.6。,七=2.1H。=0.30/時，

求取RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)并進(jìn)行Simulink仿真。

課堂演示I213.ni以及T232i.slx?講解matlab程序并顯示運(yùn)

行結(jié)果。

教學(xué)設(shè)計(jì)：課堂講授，給出思考題

思考題：對于圖1-3所示電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，畫出方框圖是否比推導(dǎo)運(yùn)動方

程更直觀易懂？

作業(yè)布置及刊作業(yè)題：1.習(xí)題2-7>2-8>2-9

2.練習(xí)用MATLAB對系統(tǒng)進(jìn)行串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接

預(yù)習(xí)：信號流圖

復(fù)習(xí)：方柩圖的繪制

10

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

單元

§2.4脈沖響應(yīng)(2學(xué)時)

孝教學(xué)

目

的

要

和掌握脈沖響應(yīng)與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系

求

重占

/1\\重點(diǎn)：脈沖響應(yīng)與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系

難點(diǎn)難點(diǎn)：理想單位脈沖函數(shù)的定義

考核方法過程考核

在初始條件為零的條件下，線性定常系統(tǒng)的輸入信號為理想單

位脈沖函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出信號稱為控制系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。

1.理想單位脈沖函數(shù)的定義及性質(zhì)

1.理想單位脈沖函數(shù)的定義

理想單位脈沖函數(shù)5(。的定義為

°Z*°廣帥波=1

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