高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第一節(jié)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第二章2026內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.梳理等式的性質(zhì),理解不等式的概念.2.掌握不等式的性質(zhì).3.能夠利用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法作差法(與0比較)作商法(與1比較)a-b>0?

注意作商法與作差法使用條件的區(qū)別a-b=0?

=1(a,b≠0)a-b<0?

<1(a∈R,b>0)a>ba=ba<b>1(a∈R,b>0)?a>b(a∈R,b>0)

?a=b(a,b≠0)?a<b(a∈R,b>0)微點(diǎn)撥使用作商法比較大小的注意點(diǎn)使用作商法比較大小時(shí),注意其使用條件是b>0,實(shí)質(zhì)是要求要比較的兩個(gè)數(shù)(式)均為正數(shù),在此條件下才能由

>1推出a>b.這是因?yàn)楫?dāng)a,b<0時(shí),由

>1應(yīng)推得a<b.2.等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性:若a=b,則b=a.(2)傳遞性:若a=b,b=c,則a=c.(3)可加性:若a=b,則a±c=b±c.(4)可乘性:若a=b,則ac=bc,若a=b,c=d,則ac=bd.3.不等式的性質(zhì)

注意不等式的性質(zhì)中有些是可逆的,有些是不可逆的

(1)對(duì)稱性:a>b?

.

(2)傳遞性:a>b,b>c?

.

(3)可加性:a>b?

.

(4)可乘性:a>b,c>0?

;a>b,c<0?

.

(5)同向可加性:a>b,c>d?

.

(6)同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0?

.

(7)同正可乘方性:a>b>0?

.

b<aa>ca+c>b+cac>bcac<bca+c>b+d

ac>bdan>bn(n∈N,n≥2)微思考對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,如果a>b,是否一定有?常用結(jié)論

對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若a>b,則ac2>bc2.(

)(4)若a<x<b,則a2<x2<b2.(

)××√×2.(多選)若a>b,則下列不等式中正確的有(

)A.a-b>0 B.2a>2bC.ac>bc D.a2>b2答案

AB

解析對(duì)于A選項(xiàng),若a>b,則a-b>0,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x在R上單調(diào)遞增,所以當(dāng)a>b時(shí),2a>2b,故B正確;對(duì)于C選項(xiàng),若a>b,當(dāng)c≤0時(shí),ac>bc不成立,故C不正確;對(duì)于D選項(xiàng),令a=1,b=-2,滿足a>b,但a2<b2,故D不正確.故選AB.3.若-3<a<1,2<b<4,則a2-b的取值范圍是

.

答案

(-4,7)

解析

因?yàn)?3<a<1,所以0≤a2<9.又-4<-b<-2,所以-4<a2-b<7,故a2-b的取值范圍是(-4,7).增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小典例突破例1.(1)(多選)(2024廣西二模)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.a+b>0 B.ac>bc(2)已知等比數(shù)列{an}中,a1>0,q>0,其前n項(xiàng)和為Sn,則

的大小關(guān)系為

.

(3)已知θ∈

,且a=cos2θ,b=cosθ-sinθ,則a與b的大小關(guān)系為

.

解析

(1)a+b+c=0且a>b>c,則a>0,c<0,故a+b>0,A正確;因?yàn)閍>b,c<0,所以ac<bc,B錯(cuò)誤;因?yàn)閍>b>c,a-b>0,b-c>0,(a-b)-(b-c)=a+c-2b=-3b,當(dāng)b>0時(shí),0<a-b<b-c,則方法總結(jié)

答案

<

考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用(多考向探究)考向1.利用不等式性質(zhì)判斷大小關(guān)系典例突破例2.(1)(2024廣東廣州模擬)下列命題為真命題的是(

)(2)(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)答案(1)B

(2)ACD

故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,∵c>d,∴-d>-c,∵a>b,∴a-d>b-c,故B正確;對(duì)于C,取a=-2,b=-1,則a2=4,ab=2,b2=1,此時(shí)a2>ab>b2,故C錯(cuò)誤;故選B.方法點(diǎn)撥

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(多選)如果a<b<0,c<d<0,那么下面一定成立的是(

)A.a+d<b+c

B.ac>bd答案

(1)BD

(2)BD

解析(1)取a=c=-2,b=d=-1,則a+d=b+c=-3,ac2=-8,bc2=-4,故A,C不正確;因?yàn)?a>-b>0,-c>-d>0,所以ac>bd,故B正確;考向2.利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍典例突破例3.(1)已知2<a<6,-3<b<2,試求a-2b,,ab2的取值范圍;(2)已知-1<x+2y<4,2<2x-3y<3,試求4x+y的取值范圍.解

(1)因?yàn)?<a<6,-3<b<2,所以-4<-2b<6,于是-2<a-2b<12.故a-2b的取值范圍為(-2,12).因?yàn)?<a<6,-3<b<2,所以0≤b2<9,所以0≤ab2<54.故ab2的取值范圍為[0,54).因此4x+y=2(x+2y)+(2x-3y).因?yàn)?1<x+2y<4,2<2x-3y<3,所以0<2(x+2y)+(2x-3y)<11,即0<4x+y<11,故4x+y的取值范圍是(0,11).名師點(diǎn)析根據(jù)不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì),注意其成立的條件.(2)同向不等式的兩邊可以相加,如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化,就會(huì)擴(kuò)大其取值范圍.(3)建立待求范圍式子的整體與已知范圍式子的整體的關(guān)系,最后一次性運(yùn)用不等式的性質(zhì)求得取值范圍.(2)已知2b<a<-b,則

的取值范圍為

.

答案(1)D

(2)(-1,2)

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2024廣東高三期末)已知1≤a-b≤3,3≤a+b≤7,則5a+b的取值范圍為(

)A.[15,31] B.[14,35] C.[12,30] D.[11,27]解析

(1)設(shè)5a+b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b(m,n∈R),則5a+b=2(a-b)+3(a+b),又1≤a-b≤3,3≤a+b≤7,所以2≤2(a-b)≤6,9≤3(a+b)≤21,由不等式的性質(zhì)得11≤2(a-b)+3(a+b)≤27,則5a+b的取值范圍為[11,27].故選D.考向3.不等式性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用典例突破例4.某營(yíng)救小組有48人,需要乘船過(guò)河去執(zhí)行營(yíng)救任務(wù),現(xiàn)從甲、乙兩種型號(hào)的船中選擇一種.甲型號(hào)的船比乙型號(hào)的船少5艘.若只選擇甲型號(hào)的,每艘船載4人,則船不夠;每艘船載5人,則有船沒(méi)有載滿.若只選擇乙型號(hào)的,每艘船載3人,則船不夠;每艘船載4人,則有多余的船.甲型號(hào)的船有(

)艘.A.9 B.10

C.11

D.12答案

B

解析設(shè)甲船型號(hào)的有x艘,則乙型號(hào)的船有(x+5)艘,由題意得

解得9.6<x<11,因?yàn)閤為正整數(shù),所以x=10.故選B.名師點(diǎn)析不等式實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解題技巧(1)閱讀理解題意,發(fā)現(xiàn)其中的不等關(guān)系.(2)運(yùn)用不等號(hào)、不等式等表示量與量的不等關(guān)系,建立不等式(組).(3)運(yùn)用不等式的性質(zhì)比較大小或得到變量的取值范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4為了支援邊遠(yuǎn)山區(qū)的教育事業(yè),某市組織了一支由13名教師組