高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第2課時求空間角高考解答題專項四2026考點一異面直線所成的角典例突破例1.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,點E是棱SD的中點.(1)證明:SC⊥AE;(2)求異面直線CE與BS所成角的余弦值.方法總結(jié)用向量法求異面直線所成角的步驟

對點訓(xùn)練1如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AF∥DE,AF=AD=2DE,AF⊥底面ABCD.(1)證明:BD∥平面CEF;(2)求異面直線BD與CE所成角的余弦值.(1)證明如圖①,連接AC,交BD于點M,取CF的中點N,連接MN,NE.又由AF∥DE,AF=2DE,所以MN∥DE,MN=DE,故四邊形MNED是平行四邊形,所以BD∥NE.又因為BD?平面CEF,NE?平面CEF,所以BD∥平面CEF.圖①

(2)解以A點為坐標原點,建立空間直角坐標系如圖②所示,圖②

考點二直線與平面所成的角典例突破例2.

如圖,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M,N分別為AE,BC的中點.(1)證明:FN⊥AD;(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.又CD⊥CF且CD⊥BC,∴∠BCF為二面角F-DC-B的平面角,∠BCF=60°,∴△BCF為等邊三角形.又N為BC的中點,∴FN⊥BC.又CF?平面BCF,CB?平面BCF且CB∩CF=C,∴DC⊥平面BCF.又FN?平面BCF,∴FN⊥DC.又DC?平面ABCD,BC?平面ABCD且DC∩BC=C,∴FN⊥平面ABCD.又AD?平面ABCD,∴FN⊥AD.方法總結(jié)求直線與平面所成角的兩種方法

對點訓(xùn)練2如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明:A1C=AC;(2)已知AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)證明

∵A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如圖,過點A1作A1O⊥CC1交CC1于點O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距離為1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.

(方法2

空間向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC兩兩垂直.如圖,以C為坐標原點,建立空間直角坐標系.考點三二面角典例突破例3.(2024新高考Ⅱ,17)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=8,

(1)證明:EF⊥PD;(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.則EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠EAF=4,所以EF=2,所以EF2+AE2=AF2,所以AE⊥EF,即PE⊥EF,DE⊥EF.又PE∩DE=E,PE,DE?平面PDE,所以EF⊥平面PDE.又PD?平面PDE,所以EF⊥PD.(2)解如圖,連接EC.由題可得DE=

,CD=3.因為∠ADC=90°,所以DE2+DC2=EC2,所以EC=6,所以PE2+CE2=PC2,所以PE⊥CE.又PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CE?平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.又ED?平面ABCD,所以PE⊥ED,即EF,ED,EP兩兩垂直.分別以EF,ED,EP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則設(shè)平面PCD與平面PBF所成的二面角為α,方法總結(jié)利用空間向量求二面角的兩種常用方法

對點訓(xùn)練3(2024九省聯(lián)考)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,O為AC與BD的交點,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.(1)證明:C1O⊥平面ABCD;(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.(1)證明連接BC1,DC1.因為底面ABCD是邊長為2的正方形,所以BC=DC,又因為∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1.因為O為線段BD的中點,所以C1O⊥BD.則C1C2=OC2+C1O2,所以C1O⊥OC,又OC∩BD=O,OC?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD.(2)解

因為在正方形ABCD中,AC⊥BD,又C1O⊥平面ABCD,所以以點O為坐標原