1．如圖，在菱形ABCD中，上ABC=60°,點(diǎn)P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為射線BP上的一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合【問題解決】（1）如圖①,若點(diǎn)P與線段AC的中點(diǎn)O重合，則上PBC=度，線段BP與線段AC的位【問題探究】段BE與線段EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，將線段BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到EF，射線EF交射線BC于2．綜合與探究：如圖，上AOB=90°,點(diǎn)P在DAOB的平分線上，PA丄如圖①,過點(diǎn)P作PC丄OB于點(diǎn)C，根據(jù)題意在圖①中畫出PC，圖中DAPC的度數(shù)為如圖②,點(diǎn)M在線段AO上，連接PM，過點(diǎn)P作PN丄PM交射線OB于點(diǎn)N，求證：點(diǎn)M在射線AO上，連接PM，過點(diǎn)P作PN丄PM交射線OB于點(diǎn)N，射線NM與射線PO三角形ABC中，CA=CB,上C=90°,過點(diǎn)B作射線BD^AB，垂足為B，點(diǎn)P在CB上．如圖②,若點(diǎn)P在線段CB上，畫出射線PA，并將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段PA與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；如圖③,若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，探究線段BA,BP,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．如圖，在□ABCD中，AN為BC邊上的高，，點(diǎn)M在AD邊上，且BA=BM，點(diǎn)E是線段AM上任意一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得△FBE．如圖①,當(dāng)上BAD=60°,將△ABE沿BE翻折后，使點(diǎn)F與點(diǎn)M重合，則=______；當(dāng)上BAD=30°,將△ABE沿BE翻折后，若EF丄AD，且AE=MD，根據(jù)題意在備用圖中的面積為S2．（1）問題解決：如圖①,若AB//CD，求證：（2）探索推廣：如圖②,若AB與CD不平行1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；（3）拓展應(yīng)用：如圖③,在OA上取一點(diǎn)E，使OE=OC，過點(diǎn)E作EFⅡCD交OD于點(diǎn)F，點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)G，且OG=2GH，若求值．“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．:點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）:點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的ΘO上（依據(jù)2）:點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(3)拓展探究：如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；@若，AD.AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條上ADC=120°,從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角(2)【拓展遷移】如圖，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．:OO,＝BO＝6:∠OBO,=∠ABC＝60°:∠OBA=∠O,BC:（SAS）:OA＝O′C:當(dāng)O，O′，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在OO′的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC取最大值，最大值是．過點(diǎn)A作AF丄BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若求的值．F是BE的中點(diǎn)，連接AF．___________；如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明該結(jié)論；若不成接寫出AF的最小值．（1）折紙不僅是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，也是一項(xiàng)益智的數(shù)學(xué)道題：將一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，如圖①,在同一平面內(nèi)得到△AEC，CE【理解運(yùn)用】（2）小明在老師給予的題目啟發(fā)下，進(jìn)行了如下操作：如圖@，在矩形ABCD的AD邊上取一點(diǎn)M，使AM=2DM，在BC邊上取一點(diǎn)N，將四邊形ABNM沿MN翻折，在同一平CD上時(shí)，求MN的長(zhǎng)度；【拓展遷移】AC翻折，如圖③,在同一平面內(nèi)得到△APC，CP交AD于點(diǎn)Q，當(dāng)△APD為直角三角形時(shí)，求BC的長(zhǎng)．【操作判斷】（1）如圖2，將△BCD沿CD方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置時(shí)，點(diǎn)D，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分__________【深入思考】（2）如圖3，當(dāng)BD丄MN時(shí)，垂足為Q，MN與CB交于點(diǎn)P，DM與CB交于點(diǎn)E，求線段PE的長(zhǎng)．（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段DM與CB交于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)B在線段MN上時(shí)，試求線段BE的問題，如圖，在△ABC中，點(diǎn)M、N分別為AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)且AB=AC，上BAC=90°,AF丄MN于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，將NA繞點(diǎn)N得到ND，連接DA、DC．求證：AF=CD；上BAC=90°,連接BN、CM，求BN+CM的最小值．已知，如圖①,在△ABC中，AB=BC=CA=2，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接AE，CE．求CE的長(zhǎng)；AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)E，連接AE，CE．求CE的長(zhǎng)；15．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們對(duì)矩形進(jìn)行探究，已知AB=3，BC=4，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AEF．【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)E落在AC上，連接CF，則CF=___________．【深入探究】(2)如圖，旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，連接CE與AF相交于點(diǎn)H，若∠FEH=∠FHE時(shí)，求sinDECA的值．【拓展應(yīng)用】為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫出MN的長(zhǎng)．中，AB=2，BC=3，E是BC邊上一點(diǎn)，連接DE，將△CDE沿DE翻C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)F恰好落在AD邊上，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合)，連接EP，作EC關(guān)于EP的對(duì)稱線段EC'，射線C'F交射線EP于點(diǎn)G，連接DG．如圖①,當(dāng)點(diǎn)C'落在AB邊上時(shí)，上EGC'的度數(shù)是________；如圖@，當(dāng)點(diǎn)C'不在AB邊上時(shí)，求的值；17．綜合與探究：在正方形ABCD中，P為射線DB上一動(dòng)點(diǎn)，E為射線DC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過點(diǎn)P作PF丄PE交直線DA于點(diǎn)F．(1)【操作判斷】如圖①,連接AC交BD于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，根據(jù)題意在圖①中畫出PF，并探究DE，F(xiàn)D，DB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；(2)【問題探究】如圖@，當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在DC的延長(zhǎng)線和DA的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)寫出DE，F(xiàn)D，DB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，O為BD的中點(diǎn)，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，連作延長(zhǎng)線、作平行線等）把分散的條件相對(duì)集中，(1)【操作判斷】如圖①,在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，連接AE，AF，上EAF=45°,連接EF，探索線段DE，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小軍的思路：過點(diǎn)A作AG丄AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證△ABG≌根據(jù)小軍的思路，在圖①中補(bǔ)全圖形，請(qǐng)寫出線段DE，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(2)【問題探究】如圖②,在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，BC的延長(zhǎng)線上，連接(3)【拓展延伸】如圖③,在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，CB上，連接AE，AF，已知上EAF=45°,BF=19．在矩形ABCD中，E是射線CB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF丄AE分別交直線AE，AB于點(diǎn)G，F(xiàn)，且AE=DF．如圖①,若點(diǎn)E在線段BC上，求證：四邊形ABCD是正方形；過點(diǎn)A作AM∥FD交直線CD于點(diǎn)M，直線ME，DF相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意畫出圖形，試探究EM，GH，AG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小紅找到一塊如圖①的等腰三角形的鐵皮，餅烙好一面后將其翻身，這塊餅正好落在“鍋”A．三角形的穩(wěn)定性B.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形C.三角形內(nèi)角和等于180°如圖②,小紅找到一塊直角三角形的鐵皮．如果餅烙好一面后將其翻身，那么這塊餅不能正好落在“鍋”中．小紅將餅切了一刀，然后將兩小塊都翻身，結(jié)果餅就能正好落在“鍋”中，如圖③,小星拿到一塊既不是等腰三角形也不是直角三角形的鐵皮．小星只切3刀，也能如圖④,小星最后拿到一塊凸四邊形ABCD鐵皮．他能否在四邊形內(nèi)部取一點(diǎn)P，使切法如圖，在△ABC中，上ABC=90°,A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PD．【操作判斷】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，連接BD，根據(jù)題意，在圖1中畫出PD，BD，圖中四邊形ABDC的形狀是______．【問題探究】（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，C都不重合時(shí)，連接DC，試猜想DC與BC的位置關(guān)系，并利用圖2【拓展延伸】（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，C都不重合時(shí)，若AB=6，AP=5，求CD的型”，通常用“旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)”看待圖形的幾何變換，使得兩個(gè)分散的角【問題初探】AB、BC邊上的點(diǎn)，且上EDF=45o，求出圖中線段EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系．如圖1，從條件出發(fā)：將VADE繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o到VCDM位置，根據(jù)“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”分析CM與AE之間的關(guān)系，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，可證得結(jié)論．【類比分析】【學(xué)以致用】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，DABC與DADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、F分別在射交AC于點(diǎn)E．【問題解決】（1）如圖①,在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，將DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得EF，若F恰好落在BC邊上，求證：△ADE≌△BEF；【問題探究】（2）如圖②,在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，將DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得EF，連接BF，DF．若AB=4，求點(diǎn)F到BC的距離；【拓展延伸】（3）如圖③,在菱形ABCD中，E為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊DC上，接寫出DF的長(zhǎng)．直線AC左側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)．作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接BE，直線BE與直線AD交于點(diǎn)F，連接AE，CF．【動(dòng)手操作】【問題探究】【拓展延伸】時(shí)，若直接寫出EF，BF，AF的數(shù)量關(guān)系以及EF的值．【回歸教材】如圖1，在△ABC中，如果AB>AC，那么我們可以將△ABC折疊，折邊AC落在AB上，較大量的一部分與較小量相等的問題，這是幾何中研究不【類比探究】【拓展運(yùn)用】【問題解決】（1）如圖①,在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在邊AB的垂直平分線MG上時(shí)，求【操作探究】（2）如圖②,在（1）的條件下，折痕BE交MG于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BF交邊CD于連接BE，將△ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在邊BC的垂直平分線上時(shí)，求AE的長(zhǎng)．29．綜合與探究主題：矩形的折疊的探究某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組用一ABCD中，AD足夠長(zhǎng)進(jìn)行探究活動(dòng)．操作一：在AD上有一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在A￠;操作二：射線PA￠交BC于M，過M作MN丄AD交AD于N．（1）寫出與DAPB相等的一個(gè)角為，PM與BM的數(shù)（2）如圖，若點(diǎn)A與M重合，判斷四邊形ABMN的形狀，并說明理由；在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)Q在射線BC上，將△ABQ沿AQ翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處．(1)【初步探究】如圖①,若點(diǎn)Q在線段BC上，點(diǎn)E恰好落在對(duì)角線AC上，則CE的長(zhǎng)為______；(3)【拓展提升】如圖③,若點(diǎn)Q在線段BC上，點(diǎn)P是線段DC的三等分點(diǎn)，將△ADP沿AP翻折，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，若A，E，G三點(diǎn)共線，求出BQ的長(zhǎng)．如圖②,點(diǎn)E在線段BC上（不與點(diǎn)B，C重合將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交CD如圖③,點(diǎn)E在射線CB上，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交射線DC于點(diǎn)F．若菱形【初步探究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分DF的位置關(guān)系是________，數(shù)量關(guān)系是________；【知識(shí)遷移】（2）如圖2，在矩形ABCD中，BC=2CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為直線AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=2CF，連接CE，DF．探究CE與DF存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【深入研究】（3）如圖3在（2）的條件下，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC的延長(zhǎng)線上，EC的延長(zhǎng)線與DF交于點(diǎn)H．點(diǎn)G為EH上的點(diǎn)，且HG=2HD，請(qǐng)用等式表示線段BG與HC的數(shù)量關(guān)@BM，CE的數(shù)量關(guān)系為________；如圖（2當(dāng)上BAC=120°,且點(diǎn)D在線段CA上時(shí)，探究：線段AE，CE，BE之間的數(shù)射線BC，在射線BC上截切CE=CA，并分別連接DE，AE，其中AE分別交BD，CD于點(diǎn)(2)【問題探究】當(dāng)點(diǎn)E是線段AB上任意一點(diǎn)時(shí)，探究線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明11）30，BP丄AC2）CE=2BE，理由見解析3）AP的長(zhǎng)為2或.（2）如圖，把△ABE繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBQ，證明△BEQ為等邊三角形，可得（3）如圖，當(dāng)P在線段OA上，記BP與AD交于點(diǎn)H，證明△HAB∽△BEG，可得,設(shè)FG=x，則EF=BE=2x，可得，證明△APH∽△CPB，再進(jìn)一步解答即可；如圖，當(dāng)P在線段OC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BP于H，同理可得：△BAH∽△GEB，進(jìn)一步可得答案.【詳解】解1）∵在菱形ABCD中，:△ABC為等邊三角形，∵點(diǎn)P與線段AC的中點(diǎn)O重合，（2）如圖，把△ABE繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBQ，（3）如圖，當(dāng)P在線段OA上，記BP與AD交于點(diǎn)H，:AHⅡBC，:上ABC=60°,:△HAB∽△BEG，:EG=3x，:ADⅡBC，:△APH∽△CPB，:△ABC為等邊三角形，如圖，當(dāng)P在線段OC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BP于H，:△BAH∽△GEB，:AH=10，綜上：AP的長(zhǎng)為2或.判定與性質(zhì)，含30角的直角三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵.（3）分M在線段AO，線段AO的延長(zhǎng)線討論，利用相:四邊形OAPC是矩形，:PA=PC，:矩形OAPC是正方形，:△APM≌△CPN，:AM=CN，（3）解：①當(dāng)M在線段AO上時(shí)，如圖，延長(zhǎng)NM、PA相交于點(diǎn)G，:AG=ON=3x，:APⅡOB，:△ONF∽△PGF，OFON3x3PFPG3x+2x5OFON3x3PFPG3x+2x5:=，②當(dāng)M在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過P作PC丄OB于C，并延長(zhǎng)交MN于G:△APM≌△CPN，:ON-OM=AO+AM-OM:△CGN∽△OMN，x，:△OMF∽△PGF，或理由見解析（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫出圖形，求出BA,BP,BE之間的數(shù)量關(guān)系即可．連接AE，如圖所示：:PA=PE．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，連接AE，延長(zhǎng)CB，作EF丄CB于點(diǎn)F，如圖所示：根據(jù)解析（2）可知，PA=PE，:△PEF≌△APC，:EF=PC，:△EBF為等腰直角三角形，:BE=EF，即BA-BE=BP；當(dāng)點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE，作EF丄CB于點(diǎn)F，如圖所示：:PA=PE，:△PEF≌△APC，:PF=AC，:BC=AC，:PF=BC，:△EBF為等腰直角三角形，綜上分析可知，BA-BE=BP或BE=BA+BP．理可得上ABE=180°-上AEB-上BAE=22.5°,根據(jù)點(diǎn)M在AD邊上，當(dāng)AD=AM時(shí)，m取:△ABM是等邊三角形，:AB=AM=BM:ADⅡBC，:△AMB是等腰直角三角形，:上FEM=上AMB=45°,QADⅡNC，:上BAE=上ABN=45°,:上ABE=180°-上AEB-上BAE=22.5°,△AMB是等腰直角三角形，AN為底邊上的高，則AN=AMQ點(diǎn)M在AD邊上，:當(dāng)AD=AM時(shí)，m取得最小值，最小值為（3）如圖，連接FM，:FB=AB=2a，:上ABE=180°-30°-135°=15°,:上ABF=30°,:上ABM=120°,在Rt△FBM中，F(xiàn)B=AB=BM，:FM=FB=2a，延長(zhǎng)FE交NC于點(diǎn)G，如圖，:EG丄GB，:GB=EG=a，:AE=EF=MD=(-1)a，在Rt△EFM中ADADAN51）見解析21）中的結(jié)論成立，理由見解析3）DE=OD.sin∠DOE，BF=OB.sin∠BOF，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；:DE=OD.sin∠DOE，BF=OB.sin∠BOF，:DE=OD.sin∠DOE，BF=OB.sin∠BOF，S△AOB=S2=2OA.BF=2OA.OB.sin∠BOF:==；2（3）如圖所示，過點(diǎn)A作AM∥EF交OB于M，取BM中點(diǎn)N，連“EFⅡCD，:△OEF≥△OCD（AAS:OD=OF，“EF∥AM，:△OEF一△OAM，:HN是△ABM的中位線，:HNⅡAMⅡEF，:△OGF一△OHN，“OG=2GH，:點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）:點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的ΘO上（同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等）:點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上:A,B,C,D四點(diǎn)共圓，一一故答案為：45°QE點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱，:上AED=上ABD，:A,D,B,E四點(diǎn)共圓；QAE,AC關(guān)于AD對(duì)稱，QAB=AC，:△BAD∽△FAB，:AD.AF=AB2，:AD.AF=8．(2)①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABC△EBA≥△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°,AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°,可得（2）①以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形，連結(jié)CG，根據(jù)正方形性質(zhì)，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°,再證△EBA≥△GBC（SAS）得出:BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°,:∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，:∠EBA=∠DBC，:△EBA≥△DBC（SAS:∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°,:△ADC為鈍角三角形，:以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．（2）證明：①以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形．“四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，:∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，“EG為正方形的對(duì)角線，:∠BEA=∠BGE=45°,:∠EBA=∠GBC，:△EBA≥△GBC（SAS:AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°,:△AGC為直角三角形，:以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形；:△AGC為直角三角形，AE2+AG2=10，:四邊形ABCD為正方形，【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方最小值，過點(diǎn)B作BF⊥OO￠于點(diǎn)F，又:四邊形ABCD為正方形:AC=2ABcos30°=6:當(dāng)點(diǎn)C在線段OO￠上時(shí)，OC最小:點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，OC=091）123）（2）證明△ADE∽△DCF即可．（3）構(gòu)造矩形ABHC，延長(zhǎng)AF交CH于點(diǎn)G，利用勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)【詳解】解1）解：:四邊形ABCD是正方形，:DF丄AE于點(diǎn)G，:△ABE≌△DAF(ASA)，:DF=AE，（2）解：:四邊形ABCD為矩形，:DF丄AE于點(diǎn)G，:△ADE∽△DCFDFCD63AEAD84DFCD63AEAD84（3）解：構(gòu)造矩形ABHC，延長(zhǎng)AF交CH于點(diǎn)G，如圖所示，:點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得:△ABD∽△CAG:四邊形ABHC為矩形，:ABⅡCG，:△ABF∽△GCF，判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)如圖，延長(zhǎng)BA至P，使AP=AB，連接PC,PE，證明結(jié)合E在以C圓心，CE為半徑的圓上，可得當(dāng)C,E,P共線時(shí)，PE最小，最小值為PC-CE，再進(jìn)一步求解即可.:F是BE的中點(diǎn)，:AF=DF=BF=EF，:△AFD是等腰直角三角形，:AD=AF，如圖，延長(zhǎng)AF至G，使FG=AF，連接GE,GD，:F是BE的中點(diǎn)，:BF=EF，:△AFB≌△GFE，:△DEG≌△DCA，:AF=GF，:△AFD是等腰直角三角形，:AD=AF，:（1）中的結(jié)論成立.（3）解：如圖，延長(zhǎng)BA至P，使AP=AB，連接PC,PE，:F為BE的中點(diǎn)，:AF為△BEP的中位線，:E在以C圓心，CE為半徑的圓上，:當(dāng)C,E,P共線時(shí)，PE最小，最小值為PC-CE，:PE的最小值為4-2=2，2距離的最值，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.111）AC=22）MN=3）或或或（2）延長(zhǎng)GM交BC于S，過N作NT丄AD交于T，由矩形的性質(zhì)，結(jié)合折疊的性質(zhì)得（3）當(dāng)上PAD=90°時(shí)i）P在AD上方時(shí)，延長(zhǎng)PA交BC于A￠,由平行四邊形的性質(zhì)及i）P在AD下方時(shí)，過C作CC￠丄AB交于C￠,由平形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及矩形的判定、矩形的判定及性質(zhì)得上CAB:上B=90°,ADⅡBC，:CF=CE-EF=3-1=2，:AF=CF=2，在Rt△AEF中，在Rt△AEC中，（2）延長(zhǎng)GM交BC于S，過N作NT丄AD交于T，:AB=NT=5，:上DMG=60°,:上DMN=60°,在Rt△NTM中，sin上（i）如圖，P在AD上方時(shí)，延長(zhǎng)PA交BC于A￠,:ADⅡBC，:AB=AC，:BC=2A￠B，:BC=2；（i）如圖，P在AD下方時(shí)，:ADⅡBC，:上BAD=150°,:BC=AC，:上DPQ=60°,:AD=BC，ADⅡBC，:QA=QC，:AD-QA=PC-QC，:PQ=DQ，:上DQP=60°,:上AQC=60°,:△ACQ是等邊三角形，:上CAB=90°,:AB=CD，ABⅡCD,上B=上ADQ:上QCA=上CAQ，CD=AP，:QA=QC，:AP-QA=CD-QC，:DQ=PQ，:△DPQ是等邊三角形，:上DQP=60°,:上AQC=60°,:△ACQ是等邊三角形，:上ACB=90°,綜上所述：BC的長(zhǎng)為或2或或．121）AB=CD￠23）或（2）先通過勾股定理算AB，結(jié)合直角三角形斜邊中線性質(zhì)得CD、AD、BD長(zhǎng)度，利用再用三角函數(shù)求DE、EM，最后算PE．（3）分點(diǎn)B與點(diǎn)N重合和不重合兩種情況．重合時(shí)，作輔助線EG丄AB，利用角相等得質(zhì)推角相等，得EC=ED，用三角函數(shù)求CE，進(jìn)而算B:上D￠DN=90°,即旋轉(zhuǎn)角為90°,:EM=DM-DE=2，:在Rt△PEM中，PE=EM×tanM=；（3）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)N重合時(shí)，如圖：過點(diǎn)E作EG丄AB于點(diǎn)G，由旋轉(zhuǎn)和平:ED=EB，:DG=BG=BD=，22當(dāng)點(diǎn)B不與點(diǎn)N重合時(shí)，如圖：過點(diǎn)E作EG丄DC于點(diǎn)G，:MN∥DC，:EC=ED，綜上：BE的長(zhǎng)為或131）見解析（2）見解析（3）5（3）如圖所示，將BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BP，連接AP，PM，PC，則時(shí)BN+CM的值最小，根據(jù)題意可得QB=QP，由勾股定理可得QB=，則,在Rt△PQC中，由勾股定理可得PC=5，由此即可求解．∵將NA繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到ND，:△ANM≌△NDC(SAS)，:MN=CD；:△ABC是等腰直角三角形，:四邊形AFCD是平行四邊形，:AF=CD；:四邊形ACBP是平行四邊形，:AB=AC，AN=BM，:AB-BM=AC-AN，即AM=CN，:△APM≌△CBN(SAS)，:BN=PM，:BN+CM=CM+PM，當(dāng)點(diǎn)P，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM+PM=PC，此時(shí)BN如圖所示，過點(diǎn)P作PQ丄CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，:QB=QP，在Rt△BPQ中，BP2=QB2+QP2，解得，負(fù)值舍去在Rt△PQC中:BN+CM的最小值為5．（3）過點(diǎn)A作AG丄BC于點(diǎn)G，點(diǎn)D在點(diǎn)G的左側(cè)和右側(cè)兩種情況，分別畫出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和:△ABC為等邊三角形，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，:△FDE≌△BAD(AAS)，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)G的左側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)H，:△AHC∽△DHE，:△CHE∽△AHD，PE=PH，通過證明△FPH∽△AQH得到PH=4HQ，設(shè)HQ=x，在Rt△AEQ和Rt△AHQ中分別利用勾股定理，得到關(guān)于x的方程，解出x的值，求出AQ的長(zhǎng)，再在Rt△ACQ中利且M在BC的上方三種情況討論，畫出對(duì)應(yīng)的示意圖，利用相似三角形的性質(zhì)與判定、三角:上B=90°,:AC===5，故答案為：2．:HF=EF=4，:AH=AF-HF=5-4=1，:△FPH∽△AQH，:PH=4HQ，設(shè)HQ=x，則PE=PH=4x，在Rt△AEQ中，AQ2=AE2-EQ2=32-(9x)2，在Rt△AHQ中，AQ2=AH2-HQ2=1-x2，:32-(9x)2=1-x2，解得舍去負(fù)值:在Rt△ACQ中，sin上Q點(diǎn)M，N分別為CF，BC中點(diǎn)，:AM丄:上:上AMC=上NMC，:A,N,M三點(diǎn)共線，:上ANB=上CNM，:△ABN∽△CMN，@若上MNC=90°且M在BC的下方，連接BF，如圖，Q點(diǎn)M，N分別為CF，BC中點(diǎn)，:上FBC=上MNC=90°,:A,B,F三點(diǎn)共線，:BF=AF-AB=5-3=2，③若上MNC=90°且M在BC的上方，連接BF，如圖，Q點(diǎn)M，N分別為CF，BC中點(diǎn)，:上FBC=上MNC=90°,:A,B,F三點(diǎn)共線，:綜上所述，MN的長(zhǎng)為或1或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、EF=30°,得（2）過點(diǎn)E作EH丄C'G于點(diǎn)H．設(shè)上C'=x，則上C'EF=180°-2x．得:EF=CD=2，得HF=1．得HG=HE=，:FG= :四邊形CDFE是矩形．:矩形CDFE是正方形，:BE=BC-CE=1．在Rt△BEC'中，cos上:上EFC'=上EC'F=75故答案為：45°;（2）解：如解圖①,過點(diǎn)E作EH丄C'G于點(diǎn)H．:上C'EF=180°-2x．:上FEH=上C'EH=90°-x．:△HEF∽△GED，于點(diǎn)I，:HF=1，:FG=HG-HF=-1．②如解圖③,當(dāng)點(diǎn)G在線段C'F上時(shí)，過點(diǎn)G作GH丄AD于點(diǎn)H，,設(shè)DG與EF相交于點(diǎn)I．:△GIE∽△FID，:DI=DG-GI=2-2．:△IFD∽△GHD，綜上所述，△DFG的面積為或【點(diǎn)睛】本題考查了矩形翻折．熟練掌握矩形判定和性質(zhì)，翻折性質(zhì)，正方形判定和性質(zhì)，（2）用同樣的方法來證明，先過點(diǎn)P作PG丄PD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G（3）根據(jù)題意可分兩種情況來求解，連接AC，則AC過點(diǎn)O，①當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上，BP>BO時(shí)，過點(diǎn)P作PG丄PD交DA于點(diǎn)G，得△PDG是等腰直角三角形，可求DG，再由△GPF≌△PED，GF=DE=2；@當(dāng)點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得DE的值．在正方形ABCD中，:△ODE≌△OAF，:DE=AF，在等腰Rt△APD中，2:△PDE≌△PGF，:DE=GF，:=，DP=，①如解圖③,連接AC，則AC過點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上，BP>BO時(shí)，過點(diǎn)P作PG丄PD交DA于點(diǎn)G，:DE=GF=2；②如解圖④,連接AC，則AC過點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，BP>BO時(shí)，過點(diǎn)P作PG丄PD交AD于點(diǎn)G，:DE=GF=6．(2)EF=BF-DE，理由見解析（2）在BC上截取BH=DE，連接AH，然后類似（1）證明即可；（3）分兩種情況討論：①點(diǎn)E在線段CD上；@點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，根據(jù)相似三角形:DBAG+DBAE=DBAE+DDAE，:△ABG≌△ADE(ASA)，:AG=AE,DE=BG，:上BAF+上EAD=45°,:DGAB+DBAF=DGAF=DEAF=45°,QAF=AF，:△AEF≌△AGF(SAS)，:EF=GF，又GF=BF+BG，:DE+BF=EF；（2）解：EF=BF-DE，理由如下：如圖@，在BC上截取BH=DE，連接AH，:AB=AD，DABH=DADE=在△ABH和△ADE中，??:△ABH≌△ADE(SAS)，:AH=AE，上BAH=上DAE，:DDAF+DEAD=DDAF+DBAH=45°,:上HAF=上EAF=45°,在△AHF和△AEF中，:△AHF≌△AEF(SAS)，:HF=EF，:EF=HF=BF-BH=BF-DE；（3）解：分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，上EAF=45°,則點(diǎn)F在線段BC上，如圖③,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P，使BP=BF=4，過點(diǎn)P作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)AF交PQ于點(diǎn)R，連接RE，則四邊形APQD是正方形，QPQⅡBC，:△ABF∽△APR，BFAB123PRAP164如圖③,過點(diǎn)A作AN丄AE交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，同理可證△APN≌△ADE，:DNAR=DEAR，QAN=AE，AR=AR，②當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，上EAF=45°,則點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，如圖④,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P，使BP=BF=4，過點(diǎn)P作BC的平行線PQ，交DE于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)AF交QP的延長(zhǎng)設(shè)DE=n，則EQ=n-16，:PR=DG，AR=AG，:RE=GE=DE-DG=DE-PR=n-，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等和由勾股定理得(3)EM=(GH-AG)或EM=(GH-AG)；見解析（3）根據(jù)題意分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，然后:AB=AD，:四邊形ABCD是正方形．:△AGF∽△DGA，:AG=2．在Rt△AFG中，AF2=FG2+AG2=:DC=AD=2；（3）解：第一種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，QAMⅡFD，:上1=上5．:△ABE≌△ADM(ASA)，:AE=AM，:△AEM是等腰直角三角形，QDHGE=90°,:GE=GH，:EM=(GH+AG)．QAMⅡFD，:△ABE≌△ADM(ASA)，:AE=AM，:△AEM是等腰直角三角形，:上:△EGH是等腰直角三角形，:GE=GH，（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，連接CM即可；分AB，DF平分AC，由直角三角形的斜邊中線將直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形，得別作AB,AC,BC的垂直平分線交于點(diǎn)Q，連接AQ,BQ,CQ，由垂直平分線的性質(zhì)得圖④,假設(shè)點(diǎn)P存在，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和即可證明結(jié)論．（2）解：由操作發(fā)現(xiàn)：餅正好落在“鍋”中，即餅翻折以作出斜邊AB上的垂直平分線交AB與點(diǎn)M，連接CM，則CM=AM=BM，:△BCM,△ACM都是等腰三角形，都是軸對(duì)稱圖形，如圖@所示為所求：（3）解：如圖③-1所示，作AD丄BC于D，DE平分AB，DF平分AC，分別交AB和AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖③-2所示，分別作AB,AC,BC的垂直平分線交于點(diǎn)Q，連接AQ,BQ,CQ，得△QAB,△QAC,△QBC是等腰如圖④,假設(shè)點(diǎn)P存在，平分線的作法及性質(zhì)等，理解題意，掌握軸對(duì)稱圖形的(3)3或3:△EAB≌△DAC(SAS)，:△AEB∽△ADC，:△EAB∽△DAC，:△EAB∽△DAC，綜上，BE的長(zhǎng)為3或3．:ABⅡCD，:四邊形ABDC是平行四邊形，:AP=EP，∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PD，:PD=PB，在△APB和△EPD中，:EDⅡBC，:AB=BC，:四邊形EBCD是平行四邊形，:四邊形EBCD是矩形，:DC丄BC；:△EPA是等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖，:AB=6，定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理231）EF=FC+AE2）53）17散的角和線段轉(zhuǎn)換為可以利用全等三角形性質(zhì)的圖形，從而找AE=AG，上BAE=上DAG，再通過SAS條件證（3）在DF上截圖DM=BE，通過SAS條件證明△ADM≌△AB【詳解】解1）EF=FC+AE，理由如下：:將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，:△DAE≌△DCM，:DE=DM,AE=CM,上ADE=上CDM，B、C、M三點(diǎn)共線，ìDE=DMìDE=DM:EF=FM，:AB=AD,BE=DG，:上EAF=45°,:AE=AG,AF=AF，:EF=FG，在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2，2:BE=5．在△ADM和△ABE中，在△EAF和△MAF中，:EF=MF；:EF=DF-BE，與性質(zhì)、三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)解得：CD=6．:PD=AP．:BC=CD:CHⅡBE,CH=BE，:CE=PB，:△ECH≌BPE(AAS)，:△APE∽△AEB，251）見解析2）23）5或2或△ADE≌△MEF，得到AD=AB=EM=4，根據(jù)E是AB的中點(diǎn)，可得AE=EB=BM=2，【詳解】解1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知，DE=EF，上DEF=90°,??:△ADE≌△BEF(AAS)；:△ADE≌△MEF(AAS)；:AD=AB=EM=4，:AE=EB=BM=2，:四邊形NBMF為矩形，:FN=BM=2，即點(diǎn)F到BC的距離為2；:AC丄①若DE=DC，則點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，此時(shí)DF=DC=5；:△DEF∽△DCE，:DE2=5DF，:DF=2；:△DEF∽△DCE，:DE2=DF.DC，即綜上所述，DF的長(zhǎng)為5或2或．【分析】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、30度直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形和相關(guān)【詳解】（1）以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，交AD與點(diǎn)N，以N為圓心，NC長(zhǎng)為半徑畫圓，與上一個(gè)圓交點(diǎn)即為點(diǎn)E，連接BE，直線BE與直線AD交于點(diǎn)F，連接AE，2:AB=AC=2，:△ACE是等邊三角形，故答案為：2；證明：在BE上截取點(diǎn)G，使得BG=EF，連接AG，:FG2=AF2+AG2=2AF2:FG=AF，:BF=AF+EF；（3）連接CE交AD于M，于H，過點(diǎn)A作AN⊥BE于N，:AN⊥BE，1:AG=AF=2AN，F(xiàn)N=GN=FG=AN，21:FG=AF，:BF=AF+EF，在Rt△ABH中在Rt△ACM中，AC2=AM2+CM2，解得不合題意，舍去于H，過點(diǎn)A作AN⊥BE于N，∵AN⊥BE，:FG=AF，:BF=BG-FG，:AF=3，在Rt△ABH中在Rt△ACM中，AC2=AM2+CM2，:BD=CD，:AB>AC．:△ABC∽△DBA，ACABBCADDBBA:AC=kAD，AB=kDB，BC=kAB=k2DB，:(AD+BC)-(AB+AC)=(AD+k2BD)-(kBD+kAD)=(k-1)(kBD-AD)=(k-1)(AB-AD)．:AB>AD，BC>AB，:(k-1)(AB-AD)>0，:(AD+BC)-(AB+AC)>0，281）30°23）或上MBF=60°,再根據(jù)折疊即可解答．（2）由矩形的性質(zhì)得上HBC=30°,由三角函數(shù)得到，再根據(jù)垂直平分線和中位線得再根據(jù)S四邊形DEFH=S矩形ABCD-2S△ABE-S△BCH即可解答．（3）如圖③,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4，由垂直平分線得2④,點(diǎn)E在射線AD上時(shí)，點(diǎn)F恰好落在邊BC的垂直平分線上時(shí)，由垂直平分線得:在Rt△BMF中，sin上BFM==，:上BFM=30°,:上MBF=60°,:上HBC=30°,:在Rt△BCH中，tan上HBC=HC=,BC=5，BC3:MNⅡAD，:MN是△BAE的中位線，:AE=2，（3）如圖③,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4， :GF=3-，:在Rt△EGF中，(2-x)2+(3-)2=x2，解得如圖④,點(diǎn)E在射線AD上時(shí)，點(diǎn)F恰好落在邊BC的垂直平分線上時(shí)，QGH是BC的垂直平分線，:GF=3+，:在Rt△EGF中解得【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，為或【分析】本題考查了矩形與折疊，長(zhǎng)方形的性質(zhì)、勾股（2）先證明四邊形ABMN是矩形，再證明AB=AN即可得出結(jié)論；（3）設(shè)A'M=x≥0，則A'P=3x，分點(diǎn)A￠在線段P據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理分別求出AN，MN的長(zhǎng)即可．:ADⅡBC，上A=上ABM=90°,:四邊形ABMN是矩形，:MN=AB，:PM=BN；（2）ABMN為正方形．理由如下：又ABMN為矩形，故ABMN為正方形．Rt△PMN中，PN=AN-AP=x，得由（1）可知：BM=PM=A'P-A'M=2x，即AN=2x，RtΔPMN中，PN=AP-AN=x，得（2）先作AD的垂直平分線，再以A為圓心AB為半徑畫弧交AD的垂直平分線于點(diǎn)E，連接AE,DE，易得AE=DE，最后作DBAE的角平分線AQ交射線BC于點(diǎn)Q即可；設(shè)AD勾股定理求出EF=，得到EG=+4，證明△ABQ≌△AEQ(SAS)，得到EQ延長(zhǎng)AB,DC到M,N，連接MN，使得AMND是正方形，延長(zhǎng)AQ交MN于點(diǎn)H，連接GH,MQ，三點(diǎn)共線，分DP=CD和DP=CD兩種情況討論，利用勾股定理建立方程，求出MH，再根據(jù)S△AMH=S△AMQ+S△MQH，建立方程求解即可．∵點(diǎn)E落在對(duì)角線AC上，:CE=AC-AE=2-4；設(shè)AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，連接EQ，∵EG垂直平分AD，AD=6，:四邊形ABGF,CDFG都是矩形，:EQ=BQ，22（3）延長(zhǎng)AB,DC到M,N，連接MN，使得AMND是正方形，延長(zhǎng)AQ交MN于點(diǎn)H，連接:AD=AM，:AM=AG，:△AMH≌△AGH(SAS)，::P,G,H三點(diǎn)共線，:S△AMH=S△AMQ+S△MQH，:S△AMH=S△AMQ+S△MQH，