浙江省龍泉市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編專項測評考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設筷子露在外面的長為hcm，則h的取值范圍是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤122、如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．33、如圖，已知點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是()A．48 B．60C．76 D．804、《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何.”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若設門的寬為x寸，則下列方程中，符合題意的是（）A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝10025、有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了上圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．1 B．2021 C．2020 D．20196、已知點是平分線上的一點，且，作于點，點是射線上的一個動點，若，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．57、如圖，正方體盒子的棱長為2，M為BC的中點，則一只螞蟻從A點沿盒子的表面爬行到M點的最短距離為（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地，問木長幾何？”其意思為：今有墻高1丈，倚木桿于墻，使木之上端與墻平齊，牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．問木桿是多長？（1丈=10尺）設木桿長為x尺根據(jù)題意，可列方程為______．2、某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時，梯子A到左墻的距離AE為0.7m，梯子頂端D到地面的是樣子離DE為2.4m，若梯子底端A保持不動，將梯子斜塞在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為1.5m，則這兩面直立墻壁之間的安全道的寬BE為__________m．3、如圖，一個高，底面周長的圓柱形水塔，現(xiàn)制造一個螺旋形登梯，為了減小坡度，要求登梯繞塔環(huán)繞一周半到達頂端，問登梯至少為___________長．4、如圖，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的長為_______5、圖，在菱形ABCD中，，是銳角，于點E，M是AB的中點，連接MD，若，則的值為______．6、如圖，在中，，，，現(xiàn)將沿進行翻折，使點剛好落在上，則__________．7、小聰準備測量河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊遠的水底，竹竿高出水面，把竹竿的頂端拉向岸邊，竹竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為__________．8、如圖，已知，那么數(shù)軸上點所表示的數(shù)是________．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．2、如圖，小明家在一條東西走向的公路北側米的點處，小紅家位于小明家北米（米）、東米（米）點處．（1）求小明家離小紅家的距離；（2）現(xiàn)要在公路上的點處建一個快遞驛站，使最小，請確定點的位置，并求的最小值．3、如圖，一個長5m的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為4m，如果梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點．（1）求梯子底端B外移距離BD的長度；（2）猜想CE與BE的大小關系，并證明你的結論．4、勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，在《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，漢代數(shù)學家趙爽為證明勾股定理創(chuàng)制的“趙爽弦圖”也流傳至今．迄今為止已有多種證明勾股定理的方法．下面是數(shù)學課上創(chuàng)新小組驗證過程的一部分．請認真閱讀并根據(jù)他們的思路將后續(xù)的過程補充完整：將兩張全等的直角三角形紙片按圖所示擺放，其中，點在線段上，點在邊兩側，試證明：．5、我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中記載“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈八，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部6尺遠．問：折處離地還有多高的竹子？（1丈=10尺）6、如圖，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，點D為BC的中點，．（1）求證：△ABC≌△DEB．（2）連結AE，若BC＝4，直接寫出AE的長．7、如圖，高速公路上有A，B兩點相距10km，C，D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，求BE的長．-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先找出h的值為最大和最小時筷子的位置，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，如圖所示：此時，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：B．【考點】本題考查了勾股定理的實際應用問題，解答此題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形找出何時h有最大及最小值，同時注意勾股定理的靈活運用，有一定難度．2、A【解析】【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當直線l⊥AC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．【考點】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構建全等三角形是解答此題的關鍵．3、C【解析】【詳解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=∴S陰影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-=100-24=76.故選：C.4、D【解析】【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，設門的寬為x寸，則門的高度為（x+68）寸，利用勾股定理及門的對角線長1丈（100寸），即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.【詳解】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.設門的寬為x寸，則門的高度為（x+68）寸，依題意得：x2+（x+68）2＝1002.故選：D.【考點】本題主要考查了勾股定理的應用、由實際問題抽象出一元二次方程，準確計算是解題的關鍵．5、B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結合圖形總結規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2021，故選：B．【考點】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．6、B【解析】【分析】根據(jù)垂線段最短可得PN⊥OA時，PN最短，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，再結合勾股定理求解即可．【詳解】解：當PN⊥OA時，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵，，，∴由勾股定理可知：PM=3，∴PN的最小值為3．故選B．【考點】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)及勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．7、B【解析】【分析】先利用展開圖確定最短路線，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，螞蟻沿路線AM爬行時距離最短；∵正方體盒子棱長為2，M為BC的中點，∴，∴，故選：B．【考點】本題考查了螞蟻爬行的最短路徑為題，涉及到了正方形的性質(zhì)、正方體的展開圖、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，解題關鍵是牢記相關概念與靈活應用．二、填空題1、102+（x-1）2=x2【解析】【分析】當木桿的上端與墻頭平齊時，木桿與墻、地面構成直角三角形，設木桿長為x尺，則木桿底端離墻有（x-1）尺，根據(jù)勾股定理可列出方程．【詳解】解：如圖，設木桿AB長為x尺，則木桿底端B離墻的距離即BC的長有（x-1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案為：102+（x-1）2=x2．【考點】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是由實際問題抽象出直角三角形，從而運用勾股定理解題．2、2.7【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，同理可得出AB的長，進而可得出結論．【詳解】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，∴AD2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，∴AB2+1.52=6.25，∴AB2=4．∵AB＞0，∴AB=2米．∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．故答案為2.7．【考點】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．3、20m．【解析】【分析】試題分析：要求登梯的長，需將圓柱的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果，在求線段長時，借助于勾股定理．【詳解】將圓柱表面按一周半開展開呈長方形，

∵圓柱高16m，底面周長8m，設螺旋形登梯長為xm，∴x2=（1×8+4）2+162=400，∴登梯至少=20m故答案為：20m【考點】本題考查圓柱形側面展開圖新問題，涉及勾股定理，掌握按要求將圓柱側面展開圖形的方法，會利用圓周，高與對角線組成直角三角形，用勾股定理解決問題是關鍵．4、13【解析】【分析】先根據(jù)△BCE等腰直角三角形得出BC的長，進而可得出BD的長，根據(jù)△ABD是等腰直角三角形可知AB=BD．在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的長．【詳解】∵△BCE等腰直角三角形，BE=5，∴BC=5．∵CD=17，∴DB=CD﹣BE=17﹣5=12．∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB=BD=12．在Rt△ABC中，∵AB=12，BC=5，∴AC13．故答案為13．【考點】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟知等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)是解答此題的關鍵．5、【解析】【分析】延長DM交CB的延長線于點首先證明，設，利用勾股定理構建方程求出x即可解決問題．【詳解】延長DM交CB的延長線于點H，四邊形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，設，，，，，，或舍棄，，故答案為．【考點】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確添加輔助線，構造全等三角形解決問題是解決本題的關鍵．6、【解析】【詳解】解：設CD=x，則AD=A′D=4-x．在直角三角形ABC中，BC==5．則A′C=BC-AB=BC-A′B=5-3=2．在直角三角形A′DC中：AD2+AC2=CD2．即：（4-x）2+22=x2．解得：x=．故答案為：2.57、2【解析】【分析】根據(jù)河水深度、竹竿到岸邊的距離、竹竿長構成直角三角形，利用勾股定理進行計算即可．【詳解】根據(jù)題意畫出示意圖，如圖，則AC=0.5m，，，所以BC即為河水深度，，∵，∴是直角三角形，∴，∴，解得：BC=2（m），故答案為：2．【考點】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意畫示意圖找出與所求邊長相關線段所構成直角三角形是解題關鍵．8、【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理得：OB=．即OA=．又點A在數(shù)軸的負半軸上，則點A對應的數(shù)是-．【詳解】解：由圖可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足為C，取BC=1，故，∵A在x的負半軸上，∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是-．故答案為：-．【考點】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，勾股富士蝗應用，熟練運用勾股定理，同時注意根據(jù)點的位置以確定數(shù)的符號．三、解答題1、216平方米【解析】【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理計算AC，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根據(jù)面積公式計算即可．【詳解】連接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，∴AC==15，∵AB＝39，BC＝36，AC=15∴，∴∠ACB=90°，∴這塊空地的面積為：==216（平方米），故這塊草坪的面積216平方米．【考點】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握定理并靈活運用是解題的關鍵．2、（1）米；（2）見解析，米【解析】【分析】（1）如圖，連接AB，根據(jù)勾股定理即可得到結論；（2）如圖，作點A關于直線MN的對稱點A'，連接A'B交MN于點P．驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值即為A'B，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解：（1）如圖，連接AB，由題意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，∵AB＞0∴AB=1300米；（2）如圖，作點A關于直線MN的對稱點A'，連接A'B交MN于點P．驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值即為A'B，由題意知AD=200米，A'C⊥MN，∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt△A'BC中，∵∠ACB=90°，∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，∵A'B＞0，∴A'B=1500米，即從驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值為1500米．【考點】本題考查軸對稱-最短問題，勾股定理，題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題．3、（1）BD=1m；（2）CE與BE的大小關系是CE=BE，證明見解析.【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出OB，求出OC，再根據(jù)勾股定理求出OD，即可求出答案；（2）求出△AOB和△DOC全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OC=OB，∠ABO=∠DCO，求出∠OCB=∠OBC，求出∠EBC=∠ECB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可．【詳解】（1）∵AO⊥OD，AO=4m，AB=5m，∴OB==3m，∵梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點，∴OC=AO﹣AC=3m，∵CD=AB=5m，∴由勾股定理得：OD=4m，∴BD=OD﹣OB=4m﹣3m=1m；（2）CE與BE的大小關系是CE=BE，證明如下：連接CB，由（1）知：AO=DO=4m，AB=CD=5m，∵∠AOB=∠DOC=90°，在Rt△AOB和Rt△DOC中，∴Rt△AOB≌Rt△DOC（HL），∴∠ABO=∠DCO，OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ABO﹣∠OBC=∠DCO﹣∠OCB，∴∠EBC=∠ECB，∴CE=BE．【考點】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等，能靈活運用勾股定理進行計算是解（1）的關鍵，能求出∠DCO=∠ABO和OC=OB是解（2）的關鍵．4、見解析．【解析】【分析】首先連結，作延長線于，則，根據(jù)，易證，再根據(jù)，，兩者相等，整理即可得證．【詳解】證明：連結，作延長線于，則即，∴∴即有：∴【考點】本題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出四