中學三角函數(shù)典型例題及講解三角函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容之一，既是代數(shù)與幾何的橋梁，也是后續(xù)學習微積分、物理等學科的基礎。本文圍繞同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導公式、三角恒等變換、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、解三角形五大板塊，選取典型例題進行詳細講解，重點突出解題思路、易錯點及方法總結(jié)，旨在幫助學生系統(tǒng)掌握三角函數(shù)的核心知識與解題技巧。一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系核心公式：1.平方關(guān)系：\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)2.商數(shù)關(guān)系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)（\(\cos\alpha\neq0\)）例題1：已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。分析：本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系。關(guān)鍵是根據(jù)角所在象限確定三角函數(shù)的符號——\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)為第二象限角，此時\(\cos\alpha<0\)，\(\tan\alpha<0\)。解答：由平方關(guān)系得：\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\)。由商數(shù)關(guān)系得：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。點評：若題目未給出角的象限，\(\cos\alpha\)會有正負兩種可能（如\(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)時\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)），需分情況討論。符號判斷是同角三角函數(shù)問題的易錯點，必須牢記各象限三角函數(shù)的符號規(guī)律（一全正、二正弦、三正切、四余弦）。二、誘導公式核心口訣：“奇變偶不變，符號看象限”“奇變偶不變”：當角度加上\(\frac{k\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）時，若\(k\)為奇數(shù)，三角函數(shù)名稱改變（\(\sin\leftrightarrow\cos\)，\(\tan\leftrightarrow\cot\)）；若\(k\)為偶數(shù)，名稱不變?！胺柨聪笙蕖保簩⒃且暈殇J角，判斷其所在象限的原三角函數(shù)符號，即為誘導后的符號。例題2：化簡\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos(\alpha-\pi)\tan(\pi+\alpha)\)。分析：本題需逐步應用誘導公式化簡，每一步都要遵循“奇變偶不變，符號看象限”的原則。解答：1.化簡\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\)：\(\frac{\pi}{2}\)是\(\frac{\pi}{2}\times1\)，\(k=1\)為奇數(shù)，故\(\sin\to\cos\)；將\(\alpha\)視為銳角，\(\frac{\pi}{2}-\alpha\)在第一象限，\(\sin\)為正，故符號為正。因此：\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha\)。2.化簡\(\cos(\alpha-\pi)\)：先變形為\(\cos(-(\pi-\alpha))=\cos(\pi-\alpha)\)（余弦函數(shù)為偶函數(shù)）；\(\pi\)是\(\frac{\pi}{2}\times2\)，\(k=2\)為偶數(shù)，故\(\cos\)不變；將\(\alpha\)視為銳角，\(\pi-\alpha\)在第二象限，\(\cos\)為負，故符號為負。因此：\(\cos(\alpha-\pi)=\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)。3.化簡\(\tan(\pi+\alpha)\)：\(\pi\)是\(\frac{\pi}{2}\times2\)，\(k=2\)為偶數(shù)，故\(\tan\)不變；將\(\alpha\)視為銳角，\(\pi+\alpha\)在第三象限，\(\tan\)為正，故符號為正。因此：\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\)。將上述結(jié)果代入原式：原式\(=\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)\cdot\tan\alpha=-\cos^2\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\cos\alpha\sin\alpha\)。點評：誘導公式的應用需注意兩點：先將角度轉(zhuǎn)化為\(k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha\)的形式（\(k\in\mathbb{Z}\)，\(\alpha\)為銳角）；符號由原函數(shù)在目標象限的符號決定，與\(\alpha\)無關(guān)。三、三角恒等變換核心公式：1.和差角公式：\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)；\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)。2.二倍角公式：\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)；\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)。例題3：證明\(\frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\)。分析：本題考查三角恒等式的證明，通常有“從左到右”“從右到左”或“兩邊化簡到同一形式”三種思路。左邊含\(\sin2\alpha\)和\(\cos2\alpha\)，可嘗試用二倍角公式展開；右邊含\(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\)，可利用和角公式展開。解答：左邊：\(\frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}\)利用二倍角公式，\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)，\(1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\)，故：左邊\(=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}\)（分子分母約去\(\cos\alpha+\sin\alpha\)，需保證\(\cos\alpha+\sin\alpha\neq0\)）。右邊：\(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\)利用和角公式\(\tan(\theta+\phi)=\frac{\tan\theta+\tan\phi}{1-\tan\theta\tan\phi}\)，\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)，故：右邊\(=\frac{\tan\frac{\pi}{4}+\tan\alpha}{1-\tan\frac{\pi}{4}\tan\alpha}=\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\frac{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}\)（分子分母同乘\(\cos\alpha\)）。結(jié)論：左邊=右邊，等式成立。點評：三角恒等式證明的關(guān)鍵是“目標導向”——觀察左右兩邊的差異（如角度、函數(shù)名稱、次數(shù)），選擇合適的公式轉(zhuǎn)化。本題中，左邊的二次式通過完全平方公式降次，右邊的正切通過“切化弦”轉(zhuǎn)化為正弦余弦，最終統(tǒng)一形式。例題4：求\(\sin15^\circ\cos15^\circ\)的值。分析：本題考查二倍角公式的逆用（即“半角公式”的思路）。注意到\(\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}\times2\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}\sin30^\circ\)，直接應用二倍角公式化簡。解答：\(\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}\times2\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}\sin30^\circ=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)。點評：二倍角公式的逆用（如\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha\)）是簡化計算的常用技巧，需熟練掌握。類似地，\(\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\)、\(\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)（降次公式）也是高頻考點。四、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)核心函數(shù)：形如\(y=A\sin(\omegax+\phi)+B\)（\(A>0,\omega>0\)）的函數(shù)，其中：\(A\)：振幅（決定最值，最大值為\(|A|+B\)，最小值為\(-|A|+B\)）；\(\omega\)：角頻率（決定周期，\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)）；\(\phi\)：初相（決定圖像的左右平移，“左加右減”）。例題5：求函數(shù)\(y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\)的周期、對稱軸方程、單調(diào)遞增區(qū)間及最值。分析：本題考查\(y=A\sin(\omegax+\phi)\)型函數(shù)的性質(zhì)，采用“整體代換”法——將\(2x+\frac{\pi}{3}\)視為一個整體（記為\(\theta\)），轉(zhuǎn)化為\(y=2\sin\theta\)的性質(zhì)，再解\(x\)的范圍。解答：1.周期：\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。2.對稱軸方程：正弦函數(shù)\(y=\sin\theta\)的對稱軸為\(\theta=k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），故：\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)→\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。3.單調(diào)遞增區(qū)間：正弦函數(shù)\(y=\sin\theta\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\(\theta\in\left[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}\right]\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），故：\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)→\(k\pi-\frac{5\pi}{12}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。4.最值：當\(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1\)時，\(y_{\text{max}}=2\times1=2\)；當\(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-1\)時，\(y_{\text{min}}=2\times(-1)=-2\)。點評：對于\(y=A\cos(\omegax+\phi)\)或\(y=A\tan(\omegax+\phi)\)型函數(shù)，性質(zhì)分析同理：余弦函數(shù)的對稱軸為\(\omegax+\phi=k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），單調(diào)遞增區(qū)間為\(\omegax+\phi\in\left[2k\pi-\pi,2k\pi\right]\)；正切函數(shù)的周期為\(T=\frac{\pi}{\omega}\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\(\omegax+\phi\in\left(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}\right)\)（無對稱軸）。五、解三角形核心定理：1.正弦定理：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)為△ABC外接圓半徑）；2.余弦定理：\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)（\(A\)為邊\(a\)的對角）；3.面積公式：\(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB\)。例題6：在△ABC中，已知\(a=2\)，\(b=3\)，\(A=30^\circ\)，求角\(B\)和角\(C\)的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）。分析：本題考查正弦定理的應用，屬于“已知兩邊及其中一邊的對角（SSA）”型問題，需注意多解情況——當\(b>a\)且\(\sinB<1\)時，\(B\)有銳角和鈍角兩種可能。解答：根據(jù)正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，代入已知值：\(\frac{2}{\sin30^\circ}=\frac{3}{\sinB}\)→\(\frac{2}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{\sinB}\)→\(4=\frac{3}{\sinB}\)→\(\sinB=\frac{3}{4}\)。判斷解的情況：\(b=3>a=2\)，故\(B>A=30^\circ\)；\(\sinB=\frac{3}{4}<1\)，故\(B\)有兩解：\(B_1=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\)（銳角）；\(B_2=\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\)（鈍角）。計算角\(C\)：當\(B=B_1=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\)時，\(C_1=\pi-A-B_1=\pi-30^\circ-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)=150^\circ-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\)；當\(B=B_2=\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\)時，\(C_2=\pi-A-B_2=\pi-30^\circ-\left(\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\right)=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)-30^\circ\)。驗證\(C_2\)的有效性：\(\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)>\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=30^\circ\)，故\(C_2>0\)，兩解均有效。結(jié)論：\(B=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\)，\(C=150^\circ-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\)；或\(B=\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\)，\(C=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)-30^\circ\)。點評：SSA型問題的解的情況總結(jié)（\(a,b\)為邊，\(A\)為\(a\)的對角）：若\(\sinB>1\)：無解；若\(\sinB=1\)：\(B=90^\circ\)，一解；若\(0<\sinB<1\)：\(b>a\)：兩解（銳角+鈍角）；\(b=a\)：一解（\(B=A\)）；\(b<a\)：一解（銳角）。例題7：在△ABC中，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(C=60^\circ\)，求邊\(c\)的長度及△ABC的面積。分析：本題考查余弦定理與面積公式的應用，屬于“已知兩邊及夾角（SAS）”型問題，直接代入公式計算即可。解答：1.求邊\(c\)：根據(jù)余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，代入已知值：\(c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\cos60^\circ=9+16-24\times\frac{1}{2}=25-12=13\)，故\(c=\sqrt{13}\)（邊長為正）。2.求面積：根據(jù)面積公式\(S=\frac{1}{2}ab\sinC\)，代入已知值：\(S=\frac{1}{2}\times3\times4\times\sin60^\circ=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\)。點評：余弦定理適用于以下情況：已知兩邊及夾角（SAS）：求第三邊；已知三邊（SSS）：求任意角；已知