高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)與常用公式匯編一、集合與簡(jiǎn)易邏輯（一）集合的概念與運(yùn)算1.集合的基本性質(zhì)：元素具有確定性（如“成績(jī)好的學(xué)生”不構(gòu)成集合）、互異性（如{1,1,2}應(yīng)表示為{1,2}）、無(wú)序性（如{1,2}={2,1}）。2.集合的表示方法：列舉法：{1,2,3}（適用于有限集）；描述法：{x|x>2}（適用于無(wú)限集）；韋恩圖：用圓表示集合，直觀展示集合關(guān)系。3.集合的關(guān)系：子集：若?x∈A，都有x∈B，則A?B（空集?是任何集合的子集）；真子集：A?B且?x∈B，x?A，則A?B（空集是任何非空集合的真子集）。4.集合的運(yùn)算：交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}（如{1,2}∩{2,3}={2}）；并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}（如{1,2}∪{2,3}={1,2,3}）；補(bǔ)集：?_UA={x|x∈U且x?A}（U為全集，如U=R，A={x|x>0}，則?_UA={x|x≤0}）。（二）簡(jiǎn)易邏輯1.邏輯聯(lián)結(jié)詞：且（∧）：p∧q全真才真（如“1+1=2且2>3”為假）；或（∨）：p∨q全假才假（如“1+1=3或2>1”為真）；非（?）：?p與p真假相反（如“?(1+1=2)”為假）。2.命題的四種形式：原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若?p則?q；逆否命題：若?q則?p（逆否命題與原命題等價(jià)，如“若x>2，則x2>4”的逆否命題“若x2≤4，則x≤2”為真）。3.充要條件：充分條件：p?q（p是q的充分條件，如“x>3”是“x>2”的充分條件）；必要條件：q?p（p是q的必要條件，如“x>2”是“x>3”的必要條件）；充要條件：p?q（p與q等價(jià)，如“x2=4”是“x=2或x=-2”的充要條件）。4.全稱命題與特稱命題：全稱命題：?x∈M，p(x)（如“所有偶數(shù)都是2的倍數(shù)”），否定為?x∈M，?p(x)；特稱命題：?x∈M，p(x)（如“存在奇數(shù)是2的倍數(shù)”），否定為?x∈M，?p(x)。二、函數(shù)（一）函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B為非空數(shù)集，若對(duì)A中每一個(gè)x，都有唯一y∈B與之對(duì)應(yīng)，則f:A→B為函數(shù)，記為y=f(x)（x∈A為定義域，y∈B為值域）。2.定義域的求法：分式：分母≠0（如y=1/(x-1)的定義域?yàn)閤≠1）；偶次根式：被開方數(shù)≥0（如y=√(x-2)的定義域?yàn)閤≥2）；對(duì)數(shù)：真數(shù)>0且底數(shù)>0≠1（如y=log?(x+1)的定義域?yàn)閤>-1）；三角函數(shù)：tanx的定義域?yàn)閤≠kπ+π/2（k∈Z）。3.值域的求法：配方法（二次函數(shù)）：y=x2-2x+3=(x-1)2+2，值域?yàn)閇2,+∞)；換元法（如y=x+√(x-1)，令t=√(x-1)≥0，則y=t2+1+t，值域?yàn)閇1,+∞)；單調(diào)性法（如y=2^x+1，遞增，值域?yàn)?1,+∞)）；基本不等式法（如y=x+1/x，x>0，值域?yàn)閇2,+∞)）。（二）函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)性：定義：若x?<x?∈I，有f(x?)<f(x?)（遞增）或f(x?)>f(x?)（遞減）；判定：導(dǎo)數(shù)法（f’(x)>0遞增，f’(x)<0遞減）、復(fù)合函數(shù)“同增異減”（如y=log?(x2+1)，內(nèi)層x2+1遞增，外層log?t遞增，故整體遞增）。2.奇偶性：奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)（如y=x3，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；偶函數(shù)：f(-x)=f(x)（如y=x2，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱）；性質(zhì)：奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0；偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。3.周期性：定義：f(x+T)=f(x)（T≠0，如sin(x+2π)=sinx，周期為2π）；常見周期：f(x+a)=-f(x)→周期2a；f(x+a)=1/f(x)→周期2a。（三）基本初等函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)：y=a^x（a>0≠1），定義域R，值域(0,+∞)；運(yùn)算：a^m·a^n=a^(m+n)，(a^m)^n=a^(mn)，a^(-m)=1/a^m；性質(zhì)：a>1遞增（如y=2^x），0<a<1遞減（如y=(1/2)^x）。2.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log_ax（a>0≠1），定義域(0,+∞)，值域R；運(yùn)算：log_a(MN)=log_aM+log_aN，log_a(M/N)=log_aM-log_aN，log_aM^n=nlog_aM；換底公式：log_ab=log_cb/log_ca（如log?3=ln3/ln2）；性質(zhì)：a>1遞增（如y=log?x），0<a<1遞減（如y=log_(1/2)x）。3.冪函數(shù)：y=x^α（α∈R），如y=x2（偶函數(shù)，遞增區(qū)間(0,+∞)）、y=x^(1/2)（定義域[0,+∞)，遞增）、y=x^(-1)（奇函數(shù)，遞減區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)）。三、三角函數(shù)（一）任意角的三角函數(shù)1.弧度制：180°=π弧度，弧長(zhǎng)l=αr（α為圓心角弧度數(shù)，r為半徑）；2.三角函數(shù)定義：設(shè)角α終邊過(guò)點(diǎn)P(x,y)，r=√(x2+y2)，則：sinα=y/r（正弦），cosα=x/r（余弦），tanα=y/x（正切）；3.符號(hào)規(guī)律：sinα在一、二象限正，cosα在一、四象限正，tanα在一、三象限正。（二）同角三角函數(shù)關(guān)系與誘導(dǎo)公式1.同角關(guān)系：sin2α+cos2α=1（平方關(guān)系）；tanα=sinα/cosα（商數(shù)關(guān)系）；sec2α=1+tan2α（倒數(shù)關(guān)系）。2.誘導(dǎo)公式（記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限）：sin(π+α)=-sinα（π是奇數(shù)次π/2，變余弦？不，π=2×π/2，偶數(shù)次，不變；符號(hào)看α為銳角時(shí)，π+α在第三象限，sin為負(fù)，故sin(π+α)=-sinα）；cos(π/2-α)=sinα（π/2是奇數(shù)次，變正弦；α為銳角時(shí)，π/2-α在第一象限，cos為正，故cos(π/2-α)=sinα）。（三）三角恒等變換1.和差公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB；cos(A±B)=cosAcosB?sinAsinB；tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1?tanAtanB)。2.倍角公式：sin2α=2sinαcosα；cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；tan2α=2tanα/(1-tan2α)。3.輔助角公式：asinα+bcosα=√(a2+b2)sin(α+φ)（tanφ=b/a，如sinα+cosα=√2sin(α+π/4)）。（四）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)sinxcosxtanx定義域RRx≠kπ+π/2值域[-1,1][-1,1]R周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性[2kπ-π/2,2kπ+π/2]遞增[2kπ-π,2kπ]遞增(kπ-π/2,kπ+π/2)遞增（五）解三角形1.正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為外接圓半徑）；應(yīng)用：已知兩角及一邊（如A=60°,B=45°,a=2，求b）；2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA；應(yīng)用：已知兩邊及夾角（如b=3,c=4,A=60°，求a）；3.面積公式：S=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)acsinB（如a=2,b=3,C=60°，S=(1/2)×2×3×sin60°=(3√3)/2）。四、數(shù)列（一）等差數(shù)列1.定義：a_n-a_{n-1}=d（n≥2，d為公差）；2.通項(xiàng)公式：a_n=a?+(n-1)d（如a?=1,d=2，a?=1+4×2=9）；3.前n項(xiàng)和公式：S_n=n(a?+a_n)/2=na?+n(n-1)d/2（如a?=1,d=2，S?=5×(1+9)/2=25）；4.性質(zhì)：若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q（如a?+a?=a?+a?）。（二）等比數(shù)列1.定義：a_n/a_{n-1}=q（n≥2，q為公比，q≠0）；2.通項(xiàng)公式：a_n=a?q^(n-1)（如a?=1,q=2，a?=1×2^4=16）；3.前n項(xiàng)和公式：S_n=a?(1-q^n)/(1-q)（q≠1，如a?=1,q=2，S?=(1-2^5)/(1-2)=31）；4.性質(zhì)：若m+n=p+q，則a_ma_n=a_pa_q（如a?a?=a?a?）。（三）數(shù)列求和方法1.錯(cuò)位相減法（適用于等差×等比數(shù)列，如S_n=1×2+2×22+3×23+…+n×2^n）：兩邊乘2得2S_n=1×22+2×23+…+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)；相減得-S_n=2+22+…+2^n-n×2^(n+1)=2(2^n-1)/(2-1)-n×2^(n+1)；故S_n=(n-1)×2^(n+1)+2。2.裂項(xiàng)相消法（適用于分式數(shù)列，如S_n=1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/(n(n+1))）：1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，故S_n=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1)。五、不等式（一）基本性質(zhì)1.傳遞性：a>b,b>c?a>c；2.乘除性：a>b,c>0?ac>bc；a>b,c<0?ac<bc；3.倒數(shù)性：a>b>0?1/a<1/b。（二）均值不等式1.重要不等式：a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）；2.基本不等式：(a+b)/2≥√(ab)（a,b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）；應(yīng)用：求最值（如x>0，x+1/x≥2，當(dāng)x=1時(shí)取最小值2）；推廣：(a+b+c)/3≥√(abc)（a,b,c>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）。（三）一元二次不等式1.解集與二次函數(shù)關(guān)系：設(shè)方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac，Δ>0時(shí)，方程有兩實(shí)根x?<x?，ax2+bx+c>0（a>0）的解集為(-∞,x?)∪(x?,+∞)；Δ=0時(shí)，方程有重根x?，ax2+bx+c>0（a>0）的解集為(-∞,x?)∪(x?,+∞)；Δ<0時(shí)，ax2+bx+c>0（a>0）的解集為R。（四）線性規(guī)劃1.步驟：設(shè)變量：如設(shè)x為產(chǎn)品A的產(chǎn)量，y為產(chǎn)品B的產(chǎn)量；列約束條件：如x≥0,y≥0,2x+y≤10（資源限制）；寫目標(biāo)函數(shù)：如z=3x+2y（利潤(rùn)函數(shù)）；畫可行域：在平面直角坐標(biāo)系中畫出約束條件表示的區(qū)域；找最優(yōu)解：平移目標(biāo)函數(shù)直線，找到可行域內(nèi)使z最大或最小的點(diǎn)（通常在頂點(diǎn)處）。五、立體幾何（一）空間幾何體的表面積與體積1.棱柱：體積V=S底×高（如長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高）；2.棱錐：體積V=(1/3)S底×高（如正四面體體積=(√2/12)a3，a為棱長(zhǎng)）；3.圓柱：表面積S=2πr2+2πrh（r為底面半徑，h為高），體積V=πr2h；4.圓錐：表面積S=πr2+πrl（l為母線長(zhǎng)，l=√(r2+h2)），體積V=(1/3)πr2h；5.球：表面積S=4πR2（R為球半徑），體積V=(4/3)πR3。（二）空間點(diǎn)線面位置關(guān)系1.平行判定：直線與平面平行：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行（如a?α,b?α,a∥b?a∥α）；平面與平面平行：一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行（如a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β）。2.垂直判定：直線與平面垂直：直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直（如a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b?l⊥α）；平面與平面垂直：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線（如l⊥α,l?β?α⊥β）。（三）空間角與距離1.線線角：異面直線所成角，范圍(0°,90°]，求法：平移直線使其相交，取銳角或直角；2.線面角：直線與平面所成角，范圍[0°,90°]，定義：直線與它在平面內(nèi)的射影所成的角；3.二面角：兩個(gè)平面所成角，范圍[0°,180°]，求法：找平面角（如在兩個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線）或用向量法（cosθ=±|n?·n?|/(|n?||n?|)，n?,n?為平面法向量）；4.點(diǎn)到平面距離：點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng)度，求法：向量法（d=|PA·n|/|n|，P為點(diǎn)，A為平面內(nèi)點(diǎn)，n為平面法向量）。六、解析幾何（一）直線與圓1.直線的方程：點(diǎn)斜式：y-y?=k(x-x?)（過(guò)點(diǎn)(x?,y?)，斜率k）；一般式：Ax+By+C=0（A,B不同時(shí)為0）；2.直線的位置關(guān)系：平行：k?=k?且b?≠b?（斜截式）；垂直：k?k?=-1（斜截式，k?≠0,k?≠0）；3.圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)式：(x-a)2+(y-b)2=r2（圓心(a,b)，半徑r）；一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0，圓心(-D/2,-E/2)，半徑√(D2+E2-4F)/2）；4.直線與圓的位置關(guān)系：幾何法：圓心到直線距離d與半徑r的關(guān)系（d<r相交，d=r相切，d>r相離）；代數(shù)法：聯(lián)立方程消元，判別式Δ>0相交，Δ=0相切，Δ<0相離。（二）圓錐曲線1.橢圓：定義：到兩定點(diǎn)F?,F?距離之和為2a（2a>|F?F?|=2c）的點(diǎn)的軌跡；標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0，焦點(diǎn)在x軸上，b2=a2-c2）；性質(zhì)：離心率e=c/a（0<e<1，e越小橢圓越圓），準(zhǔn)線x=±a2/c。2.雙曲線：定義：到兩定點(diǎn)F?,F?距離之差的絕對(duì)值為2a（0<2a<|F?F?|=2c）的點(diǎn)的軌跡；標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2-y2/b2=1（a>0,b>0，焦點(diǎn)在x軸上，b2=c2-a2）；性質(zhì)：離心率e=c/a（e>1，e越大雙曲線開口越大），漸近線y=±(b/a)x。3.拋物線：定義：到定點(diǎn)F（焦點(diǎn)）與定直線l（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡；標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2px（p>0，焦點(diǎn)F(p/2,0)，準(zhǔn)線x=-p/2）；性質(zhì)：離心率e=1，焦半徑|PF|=x?+p/2（P(x?,y?)在拋物線上）。七、概率統(tǒng)計(jì)（一）概率的基本概念1.隨機(jī)事件：可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件（如“擲骰子得6點(diǎn)”）；2.概率的性質(zhì)：互斥事件：A∩B=?，P(A∪B)=P(A)+P(B)；對(duì)立事件：A∪B=Ω且A∩B=?，P(?A)=1-P(A)。（二）古典概型與幾何概型1.古典概型：基本事件有限且等可能，P(A)=事件A包含的基本事件數(shù)/總基本事件數(shù)（如擲骰子得偶數(shù)點(diǎn)的概率=3/6=1/2）；2.幾何概型：基本事件無(wú)限且均勻分布，P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積、體積）/總區(qū)域長(zhǎng)度（面積、體積）（如在[0,1]區(qū)間內(nèi)取數(shù)，取到0.5的概率=0，取到小于0.5的概率=0.5）。（三）統(tǒng)計(jì)1.抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（如抽簽法）；系統(tǒng)抽樣（如按編號(hào)間隔抽樣）；分層抽樣（如按性別分層抽樣）；2.數(shù)字特征：均值：μ=(x?+x?+…+x?)/n（反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)）；方差：σ2=(1/n)Σ(x?-μ)2（反映數(shù)據(jù)離散程度）；中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列后中間的數(shù)（反映數(shù)據(jù)中等水平）；眾數(shù)：數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)）。八、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（一）導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的定義：f’(x?)=limΔx→0[f(x?+Δx)-f(x?)]/Δx（如f(x)=x2，f’(1)=limΔx→0[(1+Δx)2-1]/Δx=limΔx→0(2Δx+Δx2)/Δx=2）；2.幾何意義：f’(x?)是函數(shù)y=f(x)在x?處的切線斜率，切線方程為y-f(x?)=f’(x?)(x-x?)（如f(x)=x2在x=1處的切線方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1）。（二）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)函數(shù)：C’=0；冪函數(shù)：(x^n)’=nx^(n-1)（如(x3)’=3x2）；正弦函數(shù)：(sinx)’=cosx；余弦函數(shù)：(cosx)’=-sinx；指數(shù)函數(shù)：(e^x)’=e^x；對(duì)數(shù)函數(shù)：(lnx)’=1/x。（三）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.單調(diào)性：f’(x)>0?f(x)遞增，f’(x)<0?f(x)遞減（如f(x)=x3，f’(x)=3x2≥0，故f(x)在R上遞增）；2.極值：f’(x?)=0且f’(x)在x?兩側(cè)符號(hào)變化（如f(x)=x3-3x，f’(x)=3x2-3，令f’(x)=0得x=±1，x=1時(shí)f’(x)由正變負(fù)，故f(1)=-2是極小值；x=-1時(shí)f’(x)由負(fù)變正，故f(-1)=2是極大值）；3.最值：在閉區(qū)間[a,b]上，最值在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得（如f(x)=x3-3x在[0,2]上的最大值為f(2)=8-6=2，最小值為f(1)=-2）。九、復(fù)數(shù)（一）復(fù)數(shù)的定義與分類1.復(fù)數(shù)：形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，i為虛數(shù)單位，i2=-1；實(shí)部：Re(z)=a；虛部：Im(z)=b；2.分類：實(shí)數(shù)：b=0（如3）；虛數(shù)：b≠0（如2+3i）；純虛數(shù)：a=0且b≠0（如5i）。（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算