圓錐曲線經(jīng)典題型解析集引言圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查對(duì)象（占比約15%~20%）。其問(wèn)題設(shè)計(jì)融合幾何性質(zhì)、代數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)等多模塊知識(shí)，能有效考查學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算求解與直觀想象能力。本文針對(duì)圓錐曲線的六大經(jīng)典題型（定義應(yīng)用、軌跡方程、直線與曲線位置關(guān)系、最值與范圍、定點(diǎn)定值、存在性問(wèn)題），系統(tǒng)解析解題思路，總結(jié)策略技巧，助力學(xué)生突破難點(diǎn)。一、題型一：定義應(yīng)用——回歸本質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算圓錐曲線的定義是其幾何性質(zhì)的“根”，靈活應(yīng)用定義可避免復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算，快速解決焦半徑、軌跡、最值等問(wèn)題。1.1核心定義回顧橢圓：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之和為常數(shù)（\(2a>2c\)）的點(diǎn)的軌跡；雙曲線：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（\(2a<2c\)）的點(diǎn)的軌跡；拋物線：平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與定直線（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡。1.2例題解析例1（橢圓定義求軌跡）已知點(diǎn)\(A(3,0)\)、\(B(-3,0)\)，動(dòng)點(diǎn)\(P\)滿足\(PA+PB=8\)，求\(P\)的軌跡方程。解析：焦點(diǎn)\(A\)、\(B\)的距離\(AB=6=2c\)，故\(c=3\)；常數(shù)\(PA+PB=8=2a\)，故\(a=4\)；由\(b^2=a^2-c^2\)得\(b^2=16-9=7\)。因此，軌跡方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1\)（橢圓）。例2（拋物線定義求最值）拋物線\(y^2=8x\)上一點(diǎn)\(P\)到焦點(diǎn)\(F\)的距離與到點(diǎn)\(A(5,2)\)的距離之和的最小值為多少？解析：拋物線\(y^2=8x\)的準(zhǔn)線為\(x=-2\)，焦點(diǎn)\(F(2,0)\)；根據(jù)拋物線定義，\(PF=P\)到準(zhǔn)線的距離\(d\)；因此\(PA+PF=PA+d\)，其最小值為點(diǎn)\(A\)到準(zhǔn)線\(x=-2\)的垂直距離（垂線段最短）。計(jì)算得最小值為\(5-(-2)=7\)（當(dāng)\(P\)在\(A\)向準(zhǔn)線作垂線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）。例3（雙曲線定義求焦半徑）雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)上一點(diǎn)\(P\)到右焦點(diǎn)\(F_2\)的距離為\(6\)，求\(P\)到左焦點(diǎn)\(F_1\)的距離。解析：雙曲線的\(a=3\)，\(c=5\)（\(c^2=a^2+b^2=9+16=25\)）；右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為\(c-a=2\)，左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為\(c+a=8\)；已知\(PF_2=6<8\)，故\(P\)在右支，根據(jù)雙曲線定義\(|PF_1-PF_2|=2a=6\)，得\(PF_1=PF_2+6=12\)。1.3解題策略識(shí)別定義特征：根據(jù)“距離之和/差”“定點(diǎn)與定直線距離相等”判斷曲線類型；利用定義轉(zhuǎn)化：拋物線定義將“焦半徑”轉(zhuǎn)化為“準(zhǔn)線距離”，橢圓/雙曲線定義直接求\(a,b,c\)；最值問(wèn)題：結(jié)合定義與幾何性質(zhì)（如“垂線段最短”）簡(jiǎn)化運(yùn)算。二、題型二：軌跡方程求解——方法選取，事半功倍軌跡方程是圓錐曲線的基礎(chǔ)題型，核心是將“幾何條件”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)方程”，常用方法有定義法、直接法、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）、參數(shù)法。2.1方法概述方法適用場(chǎng)景步驟**定義法**動(dòng)點(diǎn)滿足圓錐曲線定義識(shí)別定義→求\(a,b,c/p\)→寫方程**直接法**條件明確（如距離、垂直關(guān)系）設(shè)\((x,y)\)→列方程→化簡(jiǎn)**代入法**動(dòng)點(diǎn)與已知軌跡上的點(diǎn)有線性關(guān)系（中點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)→表示已知點(diǎn)→代入已知軌跡方程**參數(shù)法**曲線可參數(shù)化（如橢圓、圓）設(shè)參數(shù)（\(\theta\)、\(k\)）→消參數(shù)得方程2.2例題解析例4（代入法：中點(diǎn)軌跡）已知點(diǎn)\(A(4,0)\)，點(diǎn)\(B\)在圓\(x^2+y^2=4\)上，點(diǎn)\(P\)是線段\(AB\)的中點(diǎn)，求\(P\)的軌跡方程。解析：設(shè)\(P(x,y)\)，\(B(x_1,y_1)\)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得\(x=\frac{4+x_1}{2}\)，\(y=\frac{0+y_1}{2}\)，解得\(x_1=2x-4\)，\(y_1=2y\)；將\(x_1,y_1\)代入圓的方程得\((2x-4)^2+(2y)^2=4\)；化簡(jiǎn)得\((x-2)^2+y^2=1\)（圓心\((2,0)\)、半徑1的圓）。例5（參數(shù)法：橢圓上的動(dòng)點(diǎn)軌跡）橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)上一點(diǎn)\(P\)，過(guò)\(P\)作\(y\)軸的垂線，垂足為\(Q\)，求線段\(PQ\)中點(diǎn)\(M\)的軌跡方程。解析：設(shè)橢圓參數(shù)方程為\(x=5\cos\theta\)，\(y=4\sin\theta\)（\(\theta\)為參數(shù)），則\(P(5\cos\theta,4\sin\theta)\)，\(Q(0,4\sin\theta)\)；中點(diǎn)\(M\)的坐標(biāo)為\((\frac{5}{2}\cos\theta,4\sin\theta)\)；消去參數(shù)\(\theta\)得\(\frac{(2x)^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，即\(\frac{4x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)。例6（直接法：距離條件）動(dòng)點(diǎn)\(P(x,y)\)滿足到點(diǎn)\(F(1,0)\)的距離比到\(y\)軸的距離大1，求\(P\)的軌跡方程。解析：列方程：\(\sqrt{(x-1)^2+y^2}=|x|+1\)；平方化簡(jiǎn)：\((x-1)^2+y^2=x^2+2|x|+1\)，即\(-2x+y^2=2|x|\)；分類討論：當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(-2x+y^2=2x\)，得\(y^2=4x\)（拋物線）；當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(-2x+y^2=-2x\)，得\(y^2=0\)（即\(y=0\)，但\(x<0\)時(shí)\(\sqrt{(x-1)^2+y^2}=|x|+1\)化簡(jiǎn)后為\(y=0\)，但需驗(yàn)證：當(dāng)\(x<0\)，\(y=0\)時(shí)，左邊\(|x-1|=1-x\)，右邊\(|x|+1=-x+1\)，等式成立，故\(x<0\)時(shí)軌跡為\(y=0\)（\(x<0\)）。結(jié)論：軌跡方程為\(y^2=4x\)（\(x\geq0\)）和\(y=0\)（\(x<0\)）。2.3解題策略優(yōu)先用定義法：若條件符合圓錐曲線定義，直接應(yīng)用可簡(jiǎn)化運(yùn)算；直接法需化簡(jiǎn)：注意平方后可能產(chǎn)生增根，需驗(yàn)證；代入法適用于相關(guān)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)與已知軌跡上的點(diǎn)有線性關(guān)系時(shí)，用代入法；參數(shù)法簡(jiǎn)化三角函數(shù)：橢圓、圓的參數(shù)方程可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值或軌跡。三、題型三：直線與圓錐曲線位置關(guān)系——聯(lián)立方程，韋達(dá)定理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考重點(diǎn)（占比約30%），核心是聯(lián)立方程與韋達(dá)定理，考查位置關(guān)系判斷、弦長(zhǎng)計(jì)算、中點(diǎn)弦問(wèn)題。3.1位置關(guān)系判斷聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消去一個(gè)變量得二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）：\(\Delta>0\)：相交（兩個(gè)不同交點(diǎn)）；\(\Delta=0\)：相切（一個(gè)交點(diǎn)）；\(\Delta<0\)：相離（無(wú)交點(diǎn)）。注：當(dāng)直線為“一次項(xiàng)”（如\(x=1\)）時(shí)，需單獨(dú)討論（如與拋物線\(y^2=4x\)交于一點(diǎn)，但不是相切）。3.2核心公式弦長(zhǎng)公式：若直線與曲線交于\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則\(AB=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot|y_1-y_2|\)（\(k\)為直線斜率）；中點(diǎn)坐標(biāo)公式：\(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\)，\(y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\)（\((x_0,y_0)\)為中點(diǎn)）；點(diǎn)差法：用于中點(diǎn)弦問(wèn)題，設(shè)中點(diǎn)\((x_0,y_0)\)，代入曲線方程相減得斜率\(k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\)（橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)）。3.3例題解析例7（弦長(zhǎng)計(jì)算）直線\(y=x+2\)與橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)\(AB\)。解析：聯(lián)立方程：\(\frac{x^2}{9}+\frac{(x+2)^2}{4}=1\)，化簡(jiǎn)得\(13x^2+36x+0=0\)（即\(x(13x+36)=0\)）；解得\(x_1=0\)，\(x_2=-\frac{36}{13}\)；弦長(zhǎng)\(AB=\sqrt{1+1^2}\cdot|0-(-\frac{36}{13})|=\sqrt{2}\cdot\frac{36}{13}=\frac{36\sqrt{2}}{13}\)。例8（中點(diǎn)弦：點(diǎn)差法）橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，求以點(diǎn)\(M(5,4)\)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程。解析：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，代入橢圓方程得：\(\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}=1\)，\(\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}=1\)；兩式相減得：\(\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{25}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{16}=0\)；因\(M(5,4)\)是中點(diǎn)，故\(x_1+x_2=10\)，\(y_1+y_2=8\)，代入得：\(\frac{10(x_1-x_2)}{25}+\frac{8(y_1-y_2)}{16}=0\)，化簡(jiǎn)得斜率\(k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{16\times10}{25\times8}=-\frac{4}{5}\)；直線方程為\(y-4=-\frac{4}{5}(x-5)\)，即\(4x+5y-40=0\)。例9（位置關(guān)系判斷）直線\(y=kx+1\)與雙曲線\(\frac{x^2}{2}-y^2=1\)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求\(k\)的取值范圍。解析：聯(lián)立方程：\(\frac{x^2}{2}-(kx+1)^2=1\)，化簡(jiǎn)得\((1-2k^2)x^2-4kx-4=0\)；需滿足：\(\begin{cases}1-2k^2\neq0\\\Delta=(-4k)^2-4(1-2k^2)(-4)>0\end{cases}\)；解不等式：\(1-2k^2\neq0\)→\(k\neq\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)；\(\Delta=16k^2+16(1-2k^2)=16k^2+16-32k^2=16(1-k^2)>0\)→\(-1<k<1\)。結(jié)論：\(k\in(-1,-\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)。3.4解題策略聯(lián)立方程是基礎(chǔ)：無(wú)論求弦長(zhǎng)還是中點(diǎn)弦，都需聯(lián)立直線與曲線方程；韋達(dá)定理是關(guān)鍵：弦長(zhǎng)、中點(diǎn)坐標(biāo)等均可用韋達(dá)定理表示，避免求具體交點(diǎn)；點(diǎn)差法簡(jiǎn)化運(yùn)算：中點(diǎn)弦問(wèn)題用點(diǎn)差法可直接求斜率，無(wú)需聯(lián)立方程；注意斜率不存在：當(dāng)直線垂直于\(x\)軸時(shí)，需單獨(dú)討論（如\(x=1\)與橢圓的交點(diǎn)）。四、題型四：最值與范圍問(wèn)題——幾何代數(shù)，雙管齊下最值與范圍問(wèn)題是圓錐曲線的難點(diǎn)（占比約20%），核心是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，常用方法有幾何法（定義、參數(shù)方程）和代數(shù)法（二次函數(shù)、不等式）。4.1方法概述方法適用場(chǎng)景步驟**幾何法**與定義、幾何性質(zhì)相關(guān)（如焦半徑、點(diǎn)到直線距離）利用定義/參數(shù)方程→轉(zhuǎn)化為幾何線段最值**代數(shù)法**與變量線性組合相關(guān)（如\(x+y\)、\(xy\)）設(shè)變量→轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)→求值域4.2例題解析例10（幾何法：參數(shù)方程求最值）橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)上一點(diǎn)\(P\)，求\(x+y\)的最大值。解析：設(shè)橢圓參數(shù)方程為\(x=4\cos\theta\)，\(y=3\sin\theta\)（\(\theta\)為參數(shù)）；則\(x+y=4\cos\theta+3\sin\theta=5\sin(\theta+\varphi)\)（\(\varphi=\arctan\frac{4}{3}\)，輔助角公式）；因\(\sin(\theta+\varphi)\leq1\)，故\(x+y\)的最大值為\(5\)。例11（代數(shù)法：二次函數(shù)求范圍）拋物線\(y^2=4x\)上一點(diǎn)\(P(x,y)\)，求\(x+y\)的取值范圍。解析：由\(y^2=4x\)得\(x=\frac{y^2}{4}\)，代入\(x+y\)得\(f(y)=\frac{y^2}{4}+y\)；轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：\(f(y)=\frac{1}{4}(y^2+4y)=\frac{1}{4}(y+2)^2-1\)；因\(y\in\mathbb{R}\)，故\(f(y)\geq-1\)（當(dāng)\(y=-2\)時(shí)取最小值）。結(jié)論：\(x+y\)的取值范圍為\([-1,+\infty)\)。例12（幾何法：點(diǎn)到直線距離最值）雙曲線\(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)上一點(diǎn)\(P\)到直線\(x-y+1=0\)的距離的最小值。解析：設(shè)雙曲線參數(shù)方程為\(x=2\sec\theta\)，\(y=\tan\theta\)（\(\theta\)為參數(shù)）；點(diǎn)\(P\)到直線的距離為\(d=\frac{|2\sec\theta-\tan\theta+1|}{\sqrt{2}}\)；令\(t=2\sec\theta-\tan\theta\)，則\(t\sec\theta-\tan\theta=2\)，利用輔助角公式得\(\sqrt{t^2+1}\sin(\theta-\alpha)=2\)（\(\alpha=\arctant\)）；因\(|\sin(\theta-\alpha)|\leq1\)，故\(\sqrt{t^2+1}\geq2\)，即\(t^2+1\geq4\)，\(t^2\geq3\)，\(|t|\geq\sqrt{3}\)；因此\(d=\frac{|t+1|}{\sqrt{2}}\geq\frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)（當(dāng)\(t=-\sqrt{3}\)時(shí)取最小值）。4.3解題策略幾何法優(yōu)先：若問(wèn)題與定義、參數(shù)方程相關(guān)，用幾何法可簡(jiǎn)化運(yùn)算；代數(shù)法適用于復(fù)雜條件：若問(wèn)題與變量線性組合相關(guān)，用代數(shù)法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；參數(shù)方程簡(jiǎn)化三角函數(shù)：橢圓、雙曲線的參數(shù)方程可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，利用\(\sin\theta,\cos\theta\)的有界性；注意變量范圍：如橢圓中\(zhòng)(x\in[-a,a]\)，雙曲線中\(zhòng)(|x|\geqa\)，避免超出范圍。五、題型五：定點(diǎn)定值問(wèn)題——消去參數(shù)，尋找不變量定點(diǎn)定值問(wèn)題是圓錐曲線的熱點(diǎn)（占比約15%），核心是證明某量與參數(shù)無(wú)關(guān)，常用方法有設(shè)參數(shù)→聯(lián)立方程→韋達(dá)定理→消參數(shù)。5.1核心思路定點(diǎn)問(wèn)題：證明直線\(y=kx+m\)過(guò)定點(diǎn)\((x_0,y_0)\)，即\(m=kx_0+y_0\)（與\(k\)無(wú)關(guān)）；定值問(wèn)題：證明某量（如\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\)、弦長(zhǎng)比）與參數(shù)（如\(k\)、\(m\)）無(wú)關(guān)。5.2例題解析例13（直線過(guò)定點(diǎn)）橢圓\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，過(guò)點(diǎn)\(M(0,1)\)的直線\(l\)與橢圓交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求證：直線\(AB\)過(guò)定點(diǎn)\((0,0)\)？（注：調(diào)整條件為“過(guò)點(diǎn)\(M(0,2)\)的直線\(l\)與橢圓交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求證：直線\(AB\)過(guò)定點(diǎn)\((0,0)\)”更合理）解析：設(shè)直線\(l\)的方程為\(y=kx+2\)（過(guò)點(diǎn)\(M(0,2)\)），代入橢圓方程得\(\frac{x^2}{4}+(kx+2)^2=1\)；化簡(jiǎn)得\((1+4k^2)x^2+16kx+12=0\)；設(shè)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=-\frac{16k}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{12}{1+4k^2}\)；若直線\(AB\)過(guò)定點(diǎn)\((0,0)\)，則\(\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}\)（斜率相等），即\(x_1y_2-x_2y_1=0\)；代入\(y_1=kx_1+2\)、\(y_2=kx_2+2\)得：\(x_1(kx_2+2)-x_2(kx_1+2)=0\)，化簡(jiǎn)得\(2(x_1-x_2)=0\)，即\(x_1=x_2\)，與直線與橢圓交于兩點(diǎn)矛盾，故直線\(AB\)不過(guò)定點(diǎn)\((0,0)\)。注：正確的定點(diǎn)問(wèn)題需調(diào)整條件，如“過(guò)點(diǎn)\(M(1,1)\)的直線\(l\)與橢圓交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求證：直線\(AB\)過(guò)定點(diǎn)\((0,0)\)”，需根據(jù)具體條件推導(dǎo)。例14（向量乘積定值）拋物線\(y^2=4x\)，過(guò)焦點(diǎn)\(F(1,0)\)的直線\(l\)與拋物線交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\)的定值。解析：設(shè)直線\(l\)的方程為\(x=my+1\)（過(guò)焦點(diǎn)\(F(1,0)\)，避免討論斜率不存在），代入拋物線方程得\(y^2=4(my+1)\)；化簡(jiǎn)得\(y^2-4my-4=0\)；設(shè)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則\(y_1+y_2=4m\)，\(y_1y_2=-4\)；計(jì)算向量乘積：\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2\)；由\(x_1=my_1+1\)、\(x_2=my_2+1\)得\(x_1x_2=(my_1+1)(my_2+1)=m^2y_1y_2+m(y_1+y_2)+1\)；代入得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=m^2(-4)+m(4m)+1+(-4)=-4m^2+4m^2+1-4=-3\)。結(jié)論：\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\)為定值\(-3\)。5.3解題策略設(shè)參數(shù)要靈活：避免討論斜率不存在，可設(shè)直線方程為\(x=my+n\)；韋達(dá)定理表示條件：將定點(diǎn)、定值條件轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的表達(dá)式；消去參數(shù)得結(jié)論：通過(guò)解方程消去參數(shù)，得到定點(diǎn)坐標(biāo)或定值；驗(yàn)證特殊情況：如直線斜率為0或不存在時(shí)，是否滿足定點(diǎn)或定值。六、題型六：存在性問(wèn)題——假設(shè)存在，推導(dǎo)驗(yàn)證存在性問(wèn)題是圓錐曲線的難點(diǎn)（占比約15%），核心是假設(shè)存在，通過(guò)代數(shù)推導(dǎo)判斷是否有解。6.1解題步驟1.假設(shè)存在：假設(shè)存在滿足條件的直線/點(diǎn)；2.推導(dǎo)方程：根據(jù)條件列方程（如中點(diǎn)坐標(biāo)、垂直關(guān)系）；3.解方程：解出參數(shù)（如斜率、坐標(biāo)）；4.驗(yàn)證合理性：檢查判別式是否大于0（直線與曲線有交點(diǎn)）或是否在曲線范圍內(nèi)。6.2例題解析例15（存在性問(wèn)題：中點(diǎn)弦）橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，是否存在直線\(l\)，使得\(l\)與橢圓交于\(A,B\)兩點(diǎn)，且\(AB\)的中點(diǎn)為\(M(3,2)\)？解析：假設(shè)存在直線\(l\)，設(shè)其斜率為\(k\)，則直線方程為\(y-2=k(x-3)\)；聯(lián)立橢圓方程得\(\frac{x^2}{9}+\frac{(k(x-3)+2)^2}{4}=1\)；化簡(jiǎn)得\((4+9k^2)x^2+18k(2-3k)x+9(2-3k)^2-36=0\)；設(shè)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則中點(diǎn)\(M\)的橫坐標(biāo)為\(\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{9k(2-3k)}{4+9k^2}=3\)；解方程得：\(-\frac{9k(2-3k)}{4+9k^2}=3\)，化簡(jiǎn)得\(-9k(2-3k)=3(4+9k^2)\)，即\(-18k+27k^2=12+27k^2\)，解得\(-18k=12\)，\(k=-\frac{2}{3}\)；驗(yàn)證判別式：\(\Delta=[18k(2-3k)]^2-4(4+9k^2)[9(2-3k)^2-36]\)，代入\(k=-\frac{2}{3}\)得：\(\Delta=[18\times(-\frac{2}{3})\times(2-3\times(-\frac{2}{3}))]^2-4(4+9\times\frac{4}{9})[9(2+2)^2-36]\)\(=[(-12)\times(2+2)]^2-4(4+4)[9\times16-36]\)\(=(-48)^2-4\times8\times(144-36)\)\(=2304-32\times108\)\(=2304-3456=-1152<0\)；因判別式小于0，故不存在這樣的直線\(l\)。例