第八章質(zhì)點動力學(xué)基本方程第八章質(zhì)點動力學(xué)基本方程

本章首先給出了動力學(xué)基本定律，然后建立質(zhì)點動力學(xué)基本方程，最后討論了質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題及其解法。123第八章質(zhì)點動力學(xué)基本方程動力學(xué)基本定律質(zhì)點的運動微分方程質(zhì)點動力學(xué)的基本問題第一定律不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。

不受力作用的質(zhì)點處于靜止?fàn)顟B(tài)，或保持其原有的速度(包括大小和方向)不變的性質(zhì)稱為慣性。包括受平衡力系作用的質(zhì)點§8-1

動力學(xué)基本定律一、牛頓三定律（慣性定律）第一定律闡述了物體作慣性運動的條件。

質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同?！?-1

動力學(xué)基本定律第二定律一、牛頓三定律

當(dāng)質(zhì)點上受到多個力的作用時,應(yīng)為此匯交力系的合力。第二定律闡述了力與加速度之間的關(guān)系。（力與加速度之間的關(guān)系定律）⑴質(zhì)點在力作用下有確定的加速度，使質(zhì)點運動狀態(tài)發(fā)生改變;⑵對于相同質(zhì)量的質(zhì)點，作用力大，其加速度也大；⑶用大小相等的力作用于質(zhì)量不同的質(zhì)點上，則質(zhì)量大的質(zhì)點加速度小，質(zhì)量小的質(zhì)點加速度大。質(zhì)點動力學(xué)的基本方程§8-1

動力學(xué)基本定律一、牛頓三定律第二定律質(zhì)量是質(zhì)點慣性的度量。重力加速度—

在重力作用下得到的加速度g由第二定律得一般取9.80m/s2力的單位：N（牛頓）1N=1kg×1m/s2=1kgm/s2

1g×1cm/s2=1dyn（達因）1N=105dyn一、牛頓三定律第二定律§8-1

動力學(xué)基本定律

兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別作用在這兩個物體之上。第三定律一、牛頓三定律（作用與反作用定律）既適用于平衡的物體，也適用于任何運動的物體。§8-1

動力學(xué)基本定律

在一般的工程問題中，把固定于地面的坐標(biāo)系或相對于地面作勻速直線平移的坐標(biāo)系作為慣性參考系。慣性參考系：牛頓三定律均適用的參考系。二、慣性參考系研究衛(wèi)星的軌道時：衛(wèi)星質(zhì)點；§8-1

動力學(xué)基本定律慣性參考系：坐標(biāo)原點在地心，三個坐標(biāo)軸分別指向三顆恒星(地球自轉(zhuǎn)影響不可忽略)研究天體的運動時：天體

質(zhì)點；慣性參考系：坐標(biāo)原點在日心，三個坐標(biāo)軸分別指向三顆恒星（地心影響不可忽略）1、質(zhì)點運動微分方程的矢量形式質(zhì)點動力學(xué)第二定律§8-2

質(zhì)點的運動微分方程

將動力學(xué)基本方程表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點的運動微分方程。2、質(zhì)點運動微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影§8-2

質(zhì)點的運動微分方程式中，為質(zhì)點直角坐標(biāo)形式的運動方程。3、質(zhì)點運動微分方程在自然軸上的投影§8-2

質(zhì)點的運動微分方程第一類問題：已知運動求力第二類問題：已知力求運動混合問題：第一類與第二類問題的混合(需要求導(dǎo))(需要求積分)4、質(zhì)點動力學(xué)的基本問題§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力（微分問題）解題步驟和要點：⑴正確選擇研究對象⑵受力分析,畫受力圖⑶進行運動分析⑷建立坐標(biāo)系，列出適當(dāng)形式的質(zhì)點運動微分方程⑸求解未知量一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點（在一般位置上進行分析）（分析質(zhì)點運動的特征量）一、第一類問題§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題例8-1

曲柄連桿機構(gòu)的曲柄OA以勻角速度

ω繞O

軸轉(zhuǎn)動，滑塊B

沿x

軸做往復(fù)直線運動。已知OA=r，AB=l，滑塊B

質(zhì)量為m。當(dāng)

=r/l較小時，以O(shè)為坐標(biāo)原點，滑塊B的運動方程近似為

。不計摩擦及連桿AB

的質(zhì)量，試求當(dāng)

=

t=0°和90°時,連桿AB所受的力?！?-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題

BAOxy滑塊平移，可視為質(zhì)點，由質(zhì)點運動微分方程可得由滑塊B的運動方程得§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題解:取滑塊B

為研究對象，進行受力分析。Bx

例8-2

如圖振動輸送臺，已知臺面在鉛垂直方向的運動方程為（暫不研究x

軸方向的運動）。式中，ω=2πf

（f

為頻率，即每秒振動的次數(shù)）。物料隨臺面一起運動，在某頻率時，物料開始與臺面分離而向上拋起，求此最小頻率?！?-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題解:取物料為研究對象，進行受力分析。yOxy由質(zhì)點運動微分方程可得物料與臺面尚末分開時，物料的運動方程§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題yOxy由于m≠0，故有當(dāng)物料開始與臺面分離時，物料與臺面之間的作用力為零，即FN

=0。由此可得由上式可知，當(dāng)y

為最大值y=b

時，使物料與臺面分離的頻率最小，即（在一般位置上進行分析）已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動（積分問題）解題步驟和要點：⑴正確選擇研究對象⑵受力分析,畫受力圖⑶進行運動分析二、第二類問題（分析質(zhì)點的運動特征、運動初始條件）⑸求解未知量⑷建立坐標(biāo)系，列出適當(dāng)形式的質(zhì)點運動微分方程§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題⑸求解未知量

根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運動的初始條件，求出質(zhì)點的運動。如果力是常量或是時間及速度函數(shù)時：如果力是位置的函數(shù)時：先進行變量置換，再分離變量積分直接分離變量積分已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動（積分問題）二、第二類問題§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題例8-3

如圖(a)所示，置于光滑水平面上的物塊與一彈簧相連。已知物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)為k。若在彈簧伸長量為a

時釋放物塊，求物塊的運動規(guī)律?！?-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題解:取物塊為研究對象，進行受力分析。Oxx將物塊簡化為一質(zhì)點，其沿x軸的運動微分方程為以彈簧末變形處O為坐標(biāo)原點，建立圖示坐標(biāo)系。彈簧力水平方向,并指向O點物體在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為|x|微分方程的解為其中,A、θ為任意常數(shù),由運動的初始條件決定物塊的運動方程為物塊做簡諧振動：

n—圓頻率周期為T=2π/

n振動中心為O點振幅為a§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題—

自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式例8-4

如圖(a)所示，物體在阻尼介質(zhì)中自由降落的情況。設(shè)物體所受到的介質(zhì)阻力F=cAρv2

，其中c

為阻力系數(shù)，ρ

是介質(zhì)密度，A

是物體垂直于速度方向的最大截面積，v是物體降落的速度?！?-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題解：取物體為研究對象，物體可看作一質(zhì)點。物體在任意位置處受到重力P、介質(zhì)阻力F

的作用，受力如圖8.5所示。由題意可知，F(xiàn)

是速度的函數(shù)。物體在阻尼介質(zhì)中自由降落，即物體豎直向下做直線運動。以點O

為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸x

軸沿鉛垂線向下為正向。物體的運動微分方程§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題在運動開始不久的一段時間內(nèi)，由于速度v

較小，則阻力F=cAρv2

也較小，故P－cAρv2＞0，因此物體加速降落。但隨著物體速度的逐漸增加，介質(zhì)阻力按速度平方迅速增大，于是重力與介質(zhì)阻力的合力所引起的加速度逐漸減小。當(dāng)速度達到某一極限速度v極限時，加速度為零當(dāng)物體達到極限速度后，將勻速下降。由于阻力隨著物體的大小，形狀不同而不同，因此極限速度與物體的重量、體積和形狀有關(guān)。在選礦工業(yè)的生產(chǎn)過程中，就經(jīng)常利用液體來分離大小不同的混合物。由工程實際可知，有很多問題是第一類問題和第二類問題的綜合，即已知質(zhì)點的一部分受力和運動，要求另一部分力和運動，這類問題稱為混合問題。三、混合問題§8-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題例8-5

如圖所示圓錐擺，不可伸長的繩一端系有小球，另一端系在固定點O處。已知擺捶質(zhì)量m=0.1kg，繩長l=0.3m，繩與鉛直線夾角

=60°。若擺捶在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求擺捶的速度v

與繩張力F

的大小?！?-3

質(zhì)點動力學(xué)的基本問題解：取擺捶為研究對象，作用在擺捶上的力

有重力mg

和繩的拉力F

。擺捶的運動微分方程為考慮到，聯(lián)立上式可解得繩的張力與拉力F

的大小相等。第一定律（慣性定律）不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。一、動力學(xué)基本定律

質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。第二定律（力與加速度之間的關(guān)系定律）

兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別作用在這兩個物體之上。第三定律（作用與反作用定律）【小結(jié)】1、質(zhì)點運動微分方程的矢量形式2、質(zhì)點運動微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影二、質(zhì)點的運動微分方程3、質(zhì)點運動微分方程在自然軸上的投影【小結(jié)】三、質(zhì)點動力學(xué)的基本問題【小結(jié)】解質(zhì)點動力學(xué)問題的方法和步驟：（1）選研究對象，通常選擇含