13.3三角形的內(nèi)角與外角·13.3.1三角形內(nèi)角第十三章

三角形

1.會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.（重點(diǎn)）2.會(huì)運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.（難點(diǎn)）兄弟之爭(zhēng)在一個(gè)直角三角形里住著三兄弟，它們就是直角三角形的三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié).可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來(lái)，它指著老大說(shuō)：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行?。　崩洗笳f(shuō)：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來(lái)了……”.“為什么？”老二很納悶.同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，與三角形的形狀、大小無(wú)關(guān)，所以它們的說(shuō)法都是錯(cuò)誤的.除了度量以外，你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢?探究新知

我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°.與三角形的形狀、大小無(wú)關(guān)，所以它們的說(shuō)法都是錯(cuò)誤的.思考除了度量以外，你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢?折疊還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？探究新知剪拼ABC（小組合作，討論剪拼方法.各小組代表演式剪拼過(guò)程）探究新知三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)平角.觀測(cè)的結(jié)果不一定可靠，還需要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)明.從上面的操作過(guò)程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？還有其他的拼接方法嗎？在紙上任意畫一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.探究新知求證：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180o.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.求證：∠A+∠B+∠C=180o.證明：過(guò)點(diǎn)A作直線l，使直線l∥BC.

12∴∠B=∠1.∠C=∠2.∵∠2+∠1+∠BAC=180o.∴∠B+∠C+∠BAC=180o.作輔助線:在這里,為了證明的需要,在原來(lái)的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線.∵l∥BC.還有其他的方法嗎？探究新知ABCED12如圖，延長(zhǎng)BC到D，過(guò)C作CE∥BA，∴∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).

∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.證明：方法二探究新知CBAEDF證法3：過(guò)D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想

同學(xué)們還有其他的方法嗎？思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDEC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1試一試：同學(xué)們按照上圖中的輔助線，給出證明步驟？在這里，為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)為了證明三個(gè)角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線概念歸納三角形內(nèi)角和定理的“三個(gè)應(yīng)用”1.已知兩個(gè)角的度數(shù)求第三個(gè)角的度數(shù).2.已知一個(gè)角的度數(shù)求另外兩個(gè)角度數(shù)的和.3.已知三個(gè)角的度數(shù)關(guān)系，求這三個(gè)角的度數(shù).三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用新知探究例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.典例剖析【變式題】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.例2

如圖，C島在

A島的北偏東

50°方向，B島在

A島的北偏東

80°方向，C島在

B島的北偏西

40°方向.從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB呢？北AD北CB.E..分析：求

∠ACB，需先求

∠CAB、∠CBA.探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明解：由題意得∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°

-

50°=30°.由

AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°

-∠BAD=180°-

80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-

∠ABC-∠CAB

=180°-60°-30°

=90°.答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，從

C島看

A，B

兩島的視角∠ACB是90°.北AD北CB.E..探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明你還能給出其他解法嗎？解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE.∠1＝∠3，∠2＝∠4，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACB

＝

∠1

＋∠2

＝

∠3＋∠4

（等量代換）＝50°＋40°＝90°∠CAB＝∠BAD

－

∠3＝80

°－50°＝30°.∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°..北AD北CB.E.F1234探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明【練一練】1.如圖，在

△ABC

中，CD

平分∠ACB

交

AB

于點(diǎn)

D，過(guò)點(diǎn)

D

作

DE∥BC

交

AC

于點(diǎn)

E.若∠A

=

54°，∠B

=

48°，則

∠CDE

的大小為

(

)A.44°

B.40°

C.39°

D.38C∠A=54°，∠B

=48°∠ACB

=78°

∠DCB=39°∠CDE

=∠DCB=39°

分析：

DE∥BC探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明隨堂演練教材P13練習(xí)第2題2.如圖，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED

的度數(shù).CABDE隨堂演練教材P13練習(xí)第2題CABDE解：在△ADE中，∠ACD+∠AED=180°–∠A

=180°–40°=140°

.在△ABC中，∠B+∠C=180°–∠A

=180°–40°=140°

.∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED

=140°+140°

=280°

.隨堂演練3.已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.（1）若∠A=95°，∠B=40°，則∠C=_____；（2）若∠A:∠B

:∠C=4:5:9，則∠C=_____；（3）若∠A=2∠B=6∠C，則∠B=_____.（1）∠C=180°–∠A–∠B45°（2）設(shè)∠A=4x°，則∠B=5x°，∠C=9x°∴4x+5x+9x=180解得x=1090°54°（3）設(shè)∠C=x°，則∠A=6x°，∠B=3x°∴6x+3x+x=180解得x=18情境導(dǎo)入這是我們常用的一副直角三角尺，量一量自己手上的這兩把三角尺，其兩銳角的度數(shù)之和分別是多少？ABC對(duì)任意直角三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？都是90°教材P14例題第3題例3

如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，比較∠CAE與∠DBE的大小.ACDEB

1.（2024?長(zhǎng)沙）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，則∠1的度數(shù)為（）A．50°B．60°

C．70°

D．80°C感受中考2.（2023?聊城）如圖，分別過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，B作AD∥BE．若∠CA