第頁通關(guān)練13二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．已知二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為（

）A．16 B．12 C．10 D．8【解析】由題意知，，∴且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D.2．若不等式的解集為，則二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為（

）A．-1，-7 B．0，-8 C．1，-1 D．1，-7【解析】的解集為，，1是方程的根，且，，，，則二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值故選：D．3．函數(shù)在上的最小值為，最大值為2，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【解析】當(dāng)x≥0時(shí)，，當(dāng)＜0時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，由=，解得=2．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)＜0時(shí)，由,即，解得=，∴此時(shí)=，∵[]上的最小值為，最大值為2，∴2，，∴的最大值為，故選：B．4．若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】為開口方向向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)令，解得：，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：C5．已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間[m，n]，其中，若f（x）的值域?yàn)閇-4，4]，則的取值范圍是（

）A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]【解析】若，，函數(shù)為增函數(shù)，時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，作圖如下，為使取最大，應(yīng)使盡量大，盡量小，此時(shí)，由，即，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí)最小，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)都在對(duì)稱軸右側(cè)，則由，解得，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，但，等號(hào)取不到，，時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的取值范圍是，故選：C6．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，（）滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【解析】當(dāng)0≤x≤2時(shí)，0≤x2≤4，當(dāng)2<x≤3時(shí)，2<3x－4≤5，則[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令=t∈(2，4]，則，，∴，當(dāng)，即時(shí)，有最小值，故選：A.二、多選題7．定義在上的奇函數(shù)在上的解析式，則在上正確的結(jié)論是（

）A． B． C．最大值 D．最小值【解析】由題可知，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，已知在上的解析式，則當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，可知，，且最大值為，無最小值，所以在上正確的結(jié)論是ABC.故選：ABC.8．設(shè)函數(shù)，存在最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值可能是（

）A．2 B．-1 C．0 D．1【解析】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，若，則，所以此時(shí)，存在最小值，若，則當(dāng)時(shí)，，無最小值，若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，則要使存在最小值時(shí)，則，解得，綜上或.故選：BC.三、填空題9．已知函數(shù)．則函數(shù)的最大值和最小值之積為______【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最大值和最小值之積為.故答案為：8010．函數(shù)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，則__________．【解析】為偶函數(shù)，所以，即或，當(dāng)時(shí)，值域不符合，所以不成立；當(dāng)時(shí)，，若值域?yàn)?，則，所以.故答案為：.11．對(duì)，不等式恒成立，則m的取值范圍是___________；若在上有解，則m的取值范圍是___________.【解析】（1）關(guān)于x的不等式函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，則，解得m的取值范圍是.（2）若在上有解，則在上有解，易知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)記，則，，在上單調(diào)遞減，故，綜上可知，，故m的取值范圍是.故答案為：；四、解答題12．已知二次函數(shù)，滿足，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求在區(qū)間上的值域.【解析】（1）解：由可得，，由得，所以，解得，所以.（2）解：由（1）可得：，則的圖象的對(duì)稱軸方程為，，又因?yàn)椋?，所以，在區(qū)間上的值域?yàn)?13．，不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)b，c的值；(2)時(shí)，求的值域．【解析】(1)解：由題意，1和3是方程的兩根，所以，解得；(2)解：由（1）知，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，，所以的值域?yàn)?14．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的最值；(2)若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴在上單凋遞減，在上單調(diào)遞增，∴，.（2），∴要使在上為單調(diào)函數(shù)，只需或，解得或．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．15．已知二次函數(shù).(1)求的對(duì)稱軸；(2)若，求的值及的最值.【解析】(1)解：因?yàn)槎魏瘮?shù)，所以對(duì)稱軸．(2)解：因?yàn)?，所?所以.

所以．因?yàn)?，所以開口向上，又對(duì)稱軸為，所以最小值為，無最大值.16．函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【解析】(1)解：由題意，函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，綜上函數(shù)在上的值域?yàn)?(2)解：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.17．已知函數(shù)在上的最大值為3，最小值為．(1)求的解析式；(2)若，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）的開口向上，對(duì)稱軸為，所以在區(qū)間上有：，即，所以.（2）依題意，使得，即，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.18．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為1．(1)求，的值；(2)若正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值．【解析】(1)由，可得其對(duì)稱軸方程為，所以由題意有，解得.(2)由（1）為，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以的最小值為.19．已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)求在上的最小值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不等式，即，解得或，即不等式的解集為.（2）由函數(shù)，可得的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為，要使得在上單調(diào)遞增，則滿足，所以的取值范圍為.（3）由函數(shù)，可得的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減，在上遞增，所以最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以最小值為，綜上可得，在上的最小值為.20．已知函數(shù)f（x）＝x|x﹣m|＋n.(1)當(dāng)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)m＝1，n＞1時(shí)，求函數(shù)y＝f（x）在[0，n]上的最大值.【解析】(1)因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1＋m|，解得m＝0，此時(shí)f（x）＝x|x|，對(duì)?x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù),故m＝0.(2)f（x）＝x|x﹣1|＋n＝所以f（x）在和[1，n]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中，，令得，，所以時(shí)，，.時(shí)，所以，因此y＝f（x）在[0，n]上的最大值為.21．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且滿足．(1)求函數(shù)的解析式：(2)求函數(shù)在上的最小值；(3)若滿足，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)不相等且正的不動(dòng)點(diǎn)，求t的取值范圍．【解析】（1）∵的圖象過點(diǎn)，∴①又，∴②由①②解，，∴；（2），，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴．綜上，．（3）設(shè)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)、，且，，∴，即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根、．∴，解得．22．已知函數(shù).(1)若且的最小值為，求不等式的解集；(2)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）解：的圖象是對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線，所以，，因?yàn)椋獾?，由得，即，得，因此，不等式的解集?（2）解：由得，設(shè)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是開口向上的拋物線，要使當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即在上恒成立，則，可得，解得.23．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式，即為，即，所以，所以或，所以原不等式的解集為．（2），由題意或，這時(shí)解得，若，則，所以；若，即，所以，則，綜上，或．24．已知函數(shù)（為常數(shù)），在時(shí)取得最大值2.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和最小值.【解析】（1）由題意知,∴,∴.（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，又，∴最小值為.25．已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上有最小值為，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若時(shí)，對(duì)任意的，總有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）可知的對(duì)稱軸為，開口向上，當(dāng)，即時(shí)，，解得或（舍），∴．當(dāng)，即時(shí)，，解得，∴．綜上，或．（2）由題意得，對(duì)，．∵，，∴，．∴，解得，∴．26．已知二次函數(shù)滿足，且.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖像沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)解：設(shè)?∴，∴，∴，，又，∴，∴.∵對(duì)稱軸為直線，，，，∴函數(shù)的值域.(2)解：由（1）可得：∵直線與函數(shù)的圖像沒有公共點(diǎn)∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴.27．已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值，并指出此時(shí)的取值；(2)求的最小值，并表示為關(guān)于的函數(shù)．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)的最大值為.(2)的對(duì)稱軸為，開口向上，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以.28．已知二次函數(shù).(1)當(dāng)對(duì)稱軸為時(shí)，（i）求實(shí)數(shù)a的值；（ii）求f（x）在區(qū)間上的值域.(2)解不等式.【解析】(1)解：（i）由題得；（ii），對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，..所以f（x）在區(qū)間上的值域?yàn)?(2)解：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.29．已知函數(shù)，．(1)若在上的值域?yàn)椋蟮闹担?2)若關(guān)于的不等式只有一個(gè)正整數(shù)解，求的取值范圍．【解析】(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)，，對(duì)稱軸，且，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在取得最小值，所以，即，方程在上無解，綜上得：；(2)解：關(guān)于的不等式只有一個(gè)正整數(shù)解，等價(jià)于只有一個(gè)正整數(shù)解，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，在上遞減，在遞增，而，，，，，當(dāng)不等式只有一個(gè)正整數(shù)解，所以的取值范圍為．30．已知函數(shù)，．(1)若的值域?yàn)?，求a的值．(2)證明：對(duì)任意，總存在，使得成立．【解析】(1)解：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以，解得?2)證明：由題意，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，所以．設(shè)在上的值域?yàn)镸，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以；?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以；?dāng)，即