新高考高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)全透視

專題12.1直線與直線方程（精講精析篇）

一、核心素養(yǎng)

1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，判斷兩條直線平行或垂直，凸顯

直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

2.考查直線方程的三種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)抽象的

核心素養(yǎng).

3.結(jié)合解方程組求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的咳心素養(yǎng).

4.結(jié)合距離問題，考查距離公式的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

二、考試要求

1.理解平面直角坐標(biāo)系，理解直線的傾斜角與斜率的概念，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式，了

解直線方程與一次函數(shù)的關(guān)系.

2.會(huì)求過兩點(diǎn)的直線斜率.

3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.

4.會(huì)求過兩點(diǎn)的直線斜率、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離.

三、主干知識(shí)梳理

（-）直線的傾斜角與斜率

I.直線的傾斜角

①定義.當(dāng)直線/與X軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，X軸的正方向與直線/向上的方向之間所成的角a

叫做直線/的傾斜角.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的幀斜角為0°.

②范圍：傾斜角。的范圍為OWav/r.

2.直線的斜率

①定義.一條直線的傾斜角a（a090）的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母A表示，即女=tana,

傾斜角是90°的直線沒有斜率.當(dāng)直線/與4軸平行或重合時(shí)，?=0\^=tanO=0.

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.經(jīng)過兩點(diǎn)［（?,乂），泗）（菁工不）的直線的斜率公式為

3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率.傾斜角為90°的直線斜率不存在.

4.直線的傾斜角a、斜率火之間的大小變化關(guān)系：

7T

（1）當(dāng)?！闧0,一）時(shí)，k>O,a越大，斜率越大：

2

（2）當(dāng)a嗎,幻時(shí)，Z<O,a越大，斜率越大.

（二）直線的方程

1.直線的點(diǎn)斜式方程：直線/經(jīng)過點(diǎn)6（見,為），且斜率為％,則直線/的方程為：

y-乂=k（x-X。）.這個(gè)方程就叫做音線點(diǎn)斜式方程.

特別地，直線/過點(diǎn)（0/），則直線/的方程為：y=這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程.

2.直線的兩點(diǎn)式方程

直線/過兩點(diǎn)鳥（*2，y2）其中（工產(chǎn)工2，）；工）’2），則直線/的方程為：

V—V.X—X.

--'=------w占，y這個(gè)方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程.

__

%-yx?-x,

當(dāng)占=9時(shí)，直線與x軸垂直，所以直線方程為：工=①；當(dāng)乂=”時(shí)，直線與y軸垂直，直線方程

為：y=y-

特別地，若直線/過兩點(diǎn)《（〃,（））,鳥（0/）（4〃/0）,則直線/的方程為：

XV

士+2=1,這個(gè)方程叫做直線的截距式方程.

ah

3.直線的一般式方程

關(guān)于羽），的二元一次方程Ax+B），+C=O（A,B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程.

Ar

由一般式方程可得，B不為0時(shí)，斜率k=-一，截距人=一一.

BB

（三）兩條直線平行與垂直

1.兩直線的平行關(guān)系

（1）對(duì)于兩條不重合的直線44,其斜率為配之，有4/%=，1=&.

（2）對(duì)于兩條直線4：4x+8]），+G=0,Z2:Ax+B2y+C2=0,有

/,///2=A"-=o,4C-產(chǎn)o.

2.兩條直線的垂直關(guān)系

⑴對(duì)于兩條直線4,其斜率為加區(qū)，有4上，2==_1-

（2）對(duì)于兩條直線/]：4E+4），+C1=0,/2:A.x+B2y+C2=0,有《_Lq=A4+&坊=0.

（四）距離問題

1.兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)兩點(diǎn)片（內(nèi),凹）,鳥（工2，必），則忸2|=J32—《）2+（必一丁4?

2.點(diǎn)到直線的距離公式

設(shè)點(diǎn)外（%，%），直線/：4x+B.y+C=0,則點(diǎn)4（%,打）到直線/：4x+By+C=0的距離

「出（）+為（）+。|

3.兩平行線間的距離公式

設(shè)兩條平行直線4：幾+3￥+6=0,/2：—+6）'+。2=0,則這兩條平行線之間的距離

（五）兩條直線的交點(diǎn)

1.兩條直線相交：對(duì)于兩條直線4：4x+qy+G=0,i2：4工+層），+。2=0,若A層一HO,則

A.x+B]），+C[=0

方程組；''八有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).

A2x+^2y+C2=0

A^+町+G=()

2.兩條直線/1：4久+片），+的=°，/2：4工+82），+。2=0,聯(lián)立方程組，

A2X+B2y+C2=()

若方程組有無數(shù)組解，則44重合.

（六）對(duì)稱問題

i.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

2.兩條直線的垂百關(guān)系

（1）對(duì)于兩條直線人4,其斜率為匕，比2,有IJA-T.

（2）對(duì)于兩條直線/]:\x+B）y+G=0,l2:4戈+B2y+C2=0,有匕工40ABi+4g=0.

務(wù)怎樣考2小試牛刀強(qiáng)自信！

一、命題規(guī)律

i.高考對(duì)直線方程的考查要求較低，但呈現(xiàn)綜合性較強(qiáng)的趨勢：與充要條件、基本不等式、導(dǎo)數(shù)、圓、圓

錐曲線等相結(jié)合.

2.高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的考查，呈現(xiàn)綜合性較強(qiáng)的趨勢，與充要條件、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意

義等相結(jié)合.較多年份在大題中與其它知識(shí)綜合考查.其中兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直

的條件的應(yīng)用以及距離公式，是高考的熱點(diǎn)，另外，兩直線的位置關(guān)系與向量的結(jié)合，也應(yīng)予以足夠的重

視.

二、真題展示

I.（2021?湖南高考真題）點(diǎn)（0T）到直線版-4y+l=0的距離為（）

734

A.—B.-C.-D.

555

【答案】D

【分析】

利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】

|3XO-4X(-1)-H|_5_

點(diǎn)。-1）到直線孔-4），+1=0的距離為d=1

4+(了丁

故選：D.

2.（浙江高考真題）直線x-2），+1=（）關(guān)于直線工=1對(duì)稱的直線方程是（)

A.x+2y-l=0B.2x+y-l=0

C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0

【答案】D

【分析】

設(shè)所求直線上任一點(diǎn)（x,y）,關(guān)于x=l的對(duì)稱點(diǎn)求出，代入已知直線方程，即可得到所求直線方程.

【詳解】

設(shè)所求直線上任一點(diǎn)（X，J）,則它關(guān)于x=l對(duì)稱點(diǎn)為（23），）在直線x-2y+l=0上，.?.27-2），+1=0化

簡得x+2y-3=0故選答案D.

故選D.

::錦囊計(jì)?從容應(yīng)對(duì)有妙招！

考點(diǎn)01直線的傾斜角與斜率

【典例1】（2020?浙江高二期中）直線=0的傾斜角為（）

A.—B.-C.-D.

434

【答案】D

【分析】

求出直線的斜率后可求直線的傾斜角.

【詳解】

直線x-V3y-l=0的斜率為近，故其傾斜角0滿足tan0=立,

33

而。40,乃），故。=￡,

6

故選：D.

【典例2】（2020?貴州高二學(xué)業(yè)考試）直線/的傾斜角則其斜率的取值范圍為（）

【答案】B

【解析】

直線的傾斜角為/I），則斜率為tana,y=tanx在上為增函數(shù).

由于直線/的傾斜角aw,所以其斜率的取值范圍為tanfjanf,即（1,、萬）.

143；I43）

故選：B

【典例3】（2021?全國高二單元測試）已知點(diǎn)32,-3）,5（-3,-2）.若直線/：，心+y-〃-1=0與線段A8相

交，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（）

（31「3一

A.I54,+8）B.--,4

（\\「彳3]

C.二,+8D.-4,-

\5J14」

【答案】A

【分析】

直線/過定點(diǎn)。（1，1），且與線段相交，利用數(shù)形結(jié)合法，求出力、的斜率,

從而得出/的斜率的取值范圍用得解

【詳解】

設(shè)直線/過定點(diǎn)「（”,y）,則直線/:必+），—〃i=o可寫成皿x-D+y-1=0,

令|x廣-1="0,解得x二=1,「直線」必過定點(diǎn).）.

-3-1-2-13

左曰二=-4，^?=—7-7=7-;直線/：〃a+y-〃Ll=0與線段A/3相交,

2—1—3—14

則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是u[4,y).

故選:A

【總結(jié)提升】

1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求

出直線上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用tana=k

求傾斜角.

2.求直線的斜率與傾斜角的范圍.若斜率〃是含參數(shù)的一個(gè)式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若

是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開結(jié)合的方法求其范圍.

3.由斜率取值范圍確定直線傾斜隹的范圍要利用正切函數(shù))，=lanx的圖象，特別要注意傾斜角取值范圍的限

制；

4.求解直線的傾斜角與斜率問題要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，要注意直線的傾斜角由銳角變到電角及由直角

變到鈍角時(shí)，需依據(jù)正切函數(shù))，=tan%的單調(diào)性求攵的范圍.

考點(diǎn)02直線的方程

【典例4】(2021?全國高二期中)已知直線)，=g+22-1過定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為一.

【答案】(-2,-1)

【分析】

把方程整理為關(guān)于左的方程，由恒等知識(shí)可得.

【詳解】

解：由>=依+2左一1,得：&*+2)-()，+1)=0,

故工=-2,)，=-1,故直線恒過定點(diǎn)(-2,-1),

故答案為：(-2,-1).

【典例5】（2021?山西晉中?高二期末（理））在，取?中，已知力（3,-2）、8（5,4）,且邊AC的中點(diǎn)尸在V軸

上，邊BC的中點(diǎn)。在4軸上，求：

（I）頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）直線PQ的一般方程.

【答案】（1）（TY）；（2）3x-y-3=0.

【分

（1）設(shè)點(diǎn)。（乂封，則由題意可得等=0,號(hào)=。，從而可求出的值，

（2）由（1）可得P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可利用截距式求出直線方程

【詳解】

（1）設(shè)點(diǎn)c（x,y）,???邊AC的中點(diǎn)P在＞軸上，

?,?于=0,解得工=-3,

???邊5c的中點(diǎn)。在“軸上,

???三二0,解得尸-4,

故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-3,-4）.

（2）由（1）可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)是（。,-3）,

所以直線PQ的方程是

即直線PQ的一般方程為力-k3=0.

【總結(jié)提升】

1.求直線方程的常用方法：

（1）直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程.

（2）待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)廣待定系數(shù)的方程（組）求系數(shù)，

最后代入求出直線方程.

（3）直線在x（y）軸上的截距是直線與x（y）軸交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為

0,而不是距離.

2.求直線方程的注意事項(xiàng)

（1）在求直線方程時(shí)，根據(jù)題目的條件選擇適當(dāng)?shù)男问?

（2）對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類與整合思想的運(yùn)用（若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情

況；若采用截距式，應(yīng)先判斷截距是否為零）.

考點(diǎn)03兩條直線平行與垂直

【典例6】（2021?江蘇高二專題練習(xí)）直線小工-〃少+6=0和直線左〃“+），-1=0（〃好用的位置關(guān)系是

（）

A.相交且垂直B.平行C.相交且不垂直D.不確定

【答案】A

【分析】

根據(jù)〃?=0和〃?/0分類討論即可.

【詳解】

解：當(dāng)〃2=0時(shí)，/）J-

當(dāng)加工0時(shí)，k1=上,k2=-m,

m

則人？刈-1,則4，/2.

綜上，知4,4，

故選：A.

［典例7］（福建高考真題）“a=l”是“直線x+產(chǎn)。和直線x-ay=0互相垂直”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

直線x+y=（）和直線工一4=0互相垂直的充要條件是1x（一-+1＞：1=0,即。=1,故選c

【典例8】（2020?浙江麗水高二期末）已知直線《：2工+”+3。=0,，2：（。-1）工+3），+7-。=0,若“〃

則〃=:若L上％，則。二.

【答案】3|

【解析】

,:4:2x+ay+3a=0112:（a-l）x+3y+7-〃=0,

若“〃2，則2x3——1）=0,即（a—3）（々+2）=0,

，〃=3,或。=—2,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)〃=一2時(shí)，兩直線重合，應(yīng)舍去，

a=3；

若4_L4,則2（。-1）+3。=0,

2

/.〃=一；

5

故答案為：3；—?.

【易錯(cuò)提醒】

當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同

時(shí)還要注意X,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.

考點(diǎn)04距離問題

【典例9】（2020?全國高考真題（文））點(diǎn)（0,-1）到直線y—左（X+1）距離的最大值為（）

A.1B.72C.6D.2

【答案】B

【解析】

由y=-x+l）可知直線過定點(diǎn)P（-1,0）,設(shè)4（0,7），

當(dāng)直線y-以工+1）與AP垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線y-A（x+1）距離最大，

即為|AP|=&.

故選：B.

【典例1（）】（2018?北京高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cose,sin。）到直線

1一m），-2=0的距離，當(dāng)。、團(tuán)變化時(shí)，d的最大值為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】

尸為單位圓上一點(diǎn)，而直線柒—/＞一2=0過點(diǎn)A（2,0）,則根據(jù)幾何意義得4的最大值為Q4+1.

QCOS26）Isin?〃=l,〈為單位圓上一點(diǎn),而直線X一叼-2=0過點(diǎn)4（2,0）,

所以d的最大值為。4+1=2+1=3,選C.

【典例11】（2021?江蘇高二專題練習(xí)）已知定點(diǎn)A（0,（））B（l,0）,若直線），=質(zhì)上總存在點(diǎn)P,滿足條件

PA=4iPB，則實(shí)數(shù)女的取值范圍為（）

A.（l,+oo）B.（-oo,l）C.（一1,1）D.[-L1]

【答案】D

【分析】

設(shè)P（x,H）,由兩點(diǎn)間的距離公式可得上的一元二次方程，由AN0解〃的不等式即可.

【詳解】

???點(diǎn)P在直線y=收上，，可設(shè)P（x，依），

由P4=灰尸8，得PA。=2PB?，

由兩點(diǎn)間的距離公式可得：

222222

x-i-kx=2（x-\）+2kxf

整理可得（二+1*—4x+2=0,

由A=16-8儼+1”0,

解得-I4W1,

故選：D.

【總結(jié)提升】

兩種距離的求解思路

（1）點(diǎn)到直線的距離的求法

可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式.

（2）兩平行線間的距離的求法

①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.

②利用兩平行線間的距離公式（利用公式前需把兩平行線方程中x,y的系數(shù)化為相同的形式）.

考點(diǎn)05兩條直線的交點(diǎn)

【典例12]（全國高考真題）已知點(diǎn)/（-1,0）,8（1,0）,（7（0,1）,直線（加＞0）將△4%分

割為面積相等的兩部分，則。的取值范圍是（）

11

D.

L32J

【答案】B

【解析】

由題意可得，三角形/次7的面積為-ABOC=\,

2

由于直線產(chǎn)=々產(chǎn)8（蘇>0）與x軸的交點(diǎn)為W（一2,0）,

a

由直線尸akb（a>0）將△力肉分割為面積相等的兩部分，可得0>0,

故-一<0,故點(diǎn)也在射線的上.

y=ax+b\-ba+b

設(shè)直線尸ax+b和比的交點(diǎn)為此則由，?可得點(diǎn),V的坐標(biāo)為（一,——）.

x+y=la+l。+1

則點(diǎn)*為線段/范的中點(diǎn)，故4（1,-）,

22

把4、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=ax+b,求得a=b=；.

②若點(diǎn)"在點(diǎn)。和點(diǎn)力之間，如圖：

此時(shí)b>g,點(diǎn)N在點(diǎn)8和點(diǎn)。之間，

3

由題意可得三角形用傷的面積等于2,

即」加8-）、=1，即+二可得q=_^_>o,求得/,<1,

2-'22VaJ〃+121-2/72

故有」V6V」.

32

③若點(diǎn)M在點(diǎn)4的左側(cè)，

則5V,，由點(diǎn)必的橫坐標(biāo)一2<一1,求得b>a.

3ci

y=cix+b1-ba-b

設(shè)直線y=a武力和力「的交點(diǎn)為凡則由H求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（一，——）,

y=x+la-\a-\

此時(shí)，由題意可得，三角形。W的面積等于l，即J,?（1-力?|加-M，|=’，

222

11_A1_A1

即一（1-ZO“--——-|=-,化簡可得2（1-6）2=|a2-1|.

2a+\a-\2

由于此時(shí)6>a>（）,（）<<?<1,：,2（1-/?）2=|a2-11=1-a2.

.____iB

兩邊開方可得>/2（一力=J1—萬<1,???1??！墩?，化簡可得心1一半

歷I

故有1一注

23

綜上可得b的取值范圍應(yīng)是，

<>

故選：B.

【典例13］（2021?江蘇高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系式0），中，已知定點(diǎn)尸（T,0）,動(dòng)直線4：），=&（》+2）

與動(dòng)直線l2：y=-：（x-2）相交于點(diǎn)Q,則ZOPQ的最大值為.

【答案】30

【分析】

2

根據(jù)兩直線方程求交點(diǎn)Q,根據(jù)斜率公式可得1alI。"口，結(jié)合基本不等式求解最值即可.

K+一

【詳解】

廣心+2)

4k

解：由\(.\解得X=不勺

y=--(x-2)A-+1)'E

K

2—2k'Ark2-2k24

則。=-2+-2

k2+\'\+k2)k2+\k2+\

所以設(shè)/0。。="0。40<90。.

4k

1+公2k2

???定點(diǎn)P(-4,0),??.tane=ZpQy>0,

2-2k：+4八3八

\+k2I

則￡+42、層=25當(dāng)且僅當(dāng)#時(shí)取等號(hào),

k'k

tan<9<-^==—=tan30°,^OPQ=6><3O°,

2V33

故答案為：30.

【總結(jié)提升】

1.兩直線交點(diǎn)的求法

求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo).

2.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法

求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.也可借

助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程.

考點(diǎn)06對(duì)稱問題

【典例14］（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)p（x,y）,直線/:2x+3y-5=0,則

（1）P（x,y）關(guān)于y=x+a的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)

（2）/:2x+3），-5=0關(guān)于），=x+。的對(duì)稱直線方程,

【答案】（y-a,x+。）2（y-a）+3（x+a）-5=。

【解析】

（1）設(shè)P（x,y）關(guān)于y=工+。的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（毛,%）,

則PQ的中點(diǎn)MW乜，與包在直線y=x+〃」L

設(shè)直線PQ的斜率為攵，

?.?直線y=x+。的斜率為1，該直線與直線P。垂直，

y+No二九+%?,

22，整理可得，y（°｝=x°..+x+2a,

yy。=］

兩式相加解得飛二＞一“，

兩式相減解得Y）=X+。，

所以P（x,?。╆P(guān)于y=X+。的對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)為（y—a,X+4）.

?3

x=I——a

2x+3y-5=05

（2）由《，解得

y=X+a?2

y=1+—a

,5

即直線2x+3），一5二0與直線y=x+a的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（1-［凡1+B,

（32

設(shè)/:2x+3y-5=0關(guān)于y=x+a的對(duì)稱直線為「，則/'必過N1—之。,1+不。

\JJ

在直線21+3），-5=0任取一點(diǎn)A（l,l）,

由⑴點(diǎn)4（1,1）關(guān)于直線y=x+a的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1一41+4）,

l+-tz-（l+tz）3

???直線為I'的斜率/=-\----------=

所以直線為/'的方程為＞—（1+。）=_"|卜_（1一。）］,

整理可得2(y-a)+3(x+a)-5=0,

化簡可得2(y—(i)+3(x+a)—5=0.

故答案為：（y-a,x+a）：2（），一。）+3*+。）-5=0

【典例15]（2021?江蘇高二專題練習(xí)）已知“BC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（-2,。），8（2,0）,C（0,2）.

（1）若過P（l，2）的直線y=ax+/2將8c分割為面積相等的兩部分，求人的值;

（2）一束光線從E（LO）點(diǎn)出發(fā)射到8C上的。點(diǎn)，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射到x軸上的尸點(diǎn)，最后再

經(jīng)x軸反射，反射光線所在宜線為/,證明直線/經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）〃=2-[6；（2）證明見解析，（一1，一4）.

【分析】

（1）結(jié)合圖形分析可得直線「=如+人的斜率大于直線小的斜率，由此可得直線），=奴+〃只能與8CAB

相交，設(shè)其與8c的交點(diǎn)為。點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)為R,根據(jù)題設(shè)條件得到比例關(guān)系，列方程求兒

（2）設(shè)尸（〃?，（）），結(jié)合光線反射的性質(zhì)求出直線EO的斜率，由此可得直線/的方程，進(jìn)而可得定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

（1）直線4c的方程為：x+j-2=0,

直線.y=ax+〃只能與8C、人B相交，其與8C的交點(diǎn)為。點(diǎn),

y=ax+bb+2a

由，得）'Q=%>0，

x+y=2\+a

(h]

直線y=ax+O與x矩1交點(diǎn)為R__,0,-2<-<2,

\aJa

上2+介處網(wǎng)

\BR\\BQ\=1

即1

\BA\\CB\~2"a+a

4x2722

化簡得：S+2a)2=4a(a+l),又b+a=2,

362-12Z?+8=0,解得：/?=2±|V3,

J

而〃=2-〃>0,:.b=2—\/3.

3

(2)設(shè)尸(加0),直線4c的方程為：x—y+2=(),直線8c的方程為：x+y-2=0,

設(shè)F（/〃,0）關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為耳（內(nèi)，y）,

』」+2=。

2?,

則，解得耳（一2,〃葉2）,

-^-=-1

內(nèi)-m

同理可得6關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為鳥（-〃?，4）,

4

則丹在直線￡。上，所以直線的斜率為-----

—m-1

的斜率為二7，/方程為）'='7（工一”?），即〃7（y+4）=4x-y,

〃i+l/n+l

了./過定點(diǎn)（-1，-4）.

F2

【總結(jié)提升】

涉及對(duì)稱問題，主要有以下幾種情況:

1.若點(diǎn)尸（.%,比）關(guān)丁直線/：/U十4，十c=o對(duì)稱，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)是。（“，乂），則線段尸。的中點(diǎn)在直線/上

Ax^±^+Bx^^+C=0

29

且直線尸Q_L/,由此可得一方程組?,A，解這個(gè)方程組得：此，乂的值,

^4x(-^)=-1

x(TB

從而求得對(duì)■稱點(diǎn)的坐標(biāo).

2.若直線/:Ar+4v+C=0關(guān)于點(diǎn)尸（與,先）對(duì)稱，由于對(duì)稱百線必與直線/：―+4y+C=0平行，故

可設(shè)對(duì)稱直線為/':Ar+B），+C0=0.因?yàn)橹本€/」'間的距離是點(diǎn)P到直線/:Ar+&，+C=0的距離的

二倍，則有上以二2乂叫+分。+。,解這個(gè)方程可得C。的值（注意這里求出的CQ有兩個(gè)），再結(jié)

合圖形可求得對(duì)稱直線/'的方程.

3.若直線/:At+By+C=0關(guān)于直線/°：4工+%），+C。=0對(duì)稱，則在直線/:Ar+By+C=0上取兩

點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線/。對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式便可得直線/關(guān)于直線對(duì)稱的宜線的方程.

倒艮能行！及時(shí)鞏固求提升！

鞏固提升

1.（河北高考模擬（文））若直線4：y=k*-4）與直線4關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱，則直線人過定點(diǎn)（）

A.(0,4)B.(0,2)

C.(-2,4)D.(4,-2)

【答案】B

【解析】

直線4：y=Mx-4）恒過定點(diǎn)（4,0）,其關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱的點(diǎn)為（0,2）,又由于直線4：丫=以、-4）與直線

心關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱，故直線人恒過定點(diǎn)（0,2）.

2.（全國高考真題（文））等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為筋凈--纓=領(lǐng)與x-7y-4=0,原點(diǎn)在等腰三

角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（）.

1口

A.3B.2C.--I）.--

【答案】A

【解析】

4：x+y-2=0,%=-1,乙：工一7卜-4=0,42=；，設(shè)底邊為。=去由題意，。到/J斤成的角等于

k—kk—k〃+]Tk—1

/,到。所成的角于是有丁一再將A、B、C、D代入驗(yàn)證得正確答案是A.

\+k】k\+k2kk-\7+3

3.12021.江蘇高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)尸（1,1）,直線/：），=履+1,則點(diǎn)尸到直線/的距離的取值范圍是（）

A.[0,1]B.（0,1]C.[0J）D.

【答案】C

【分

利用點(diǎn)到直線距離公式列式，再借助函數(shù)求其值域即得.

【詳解】

IAI

點(diǎn)P（1,1）到直線/：仙-y+i=o的距離d=訪學(xué).

當(dāng)2=0時(shí)，d=o,當(dāng)ZwO時(shí),,恒有于是得Ovdvl,綜合得O?d<l,

所以點(diǎn)P到直線1的距離的取值范圍是［。⑴.

故選：c

4.（2021?山西晉中?高二期末（理））已知線段48兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4（-2,3）和3（4,2）,若直線

//+〃?）,+〃—1=。與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［）

【答案】C

【分析】

判斷出直線/所過定點(diǎn)結(jié)合圖象求得〃?的取值范圍

【詳解】

直線］:x+〃少+小-1=。恒過的定點(diǎn)?（1,一1）,=

當(dāng)加=0時(shí)，直線/方程為x=l,與線段A8有交點(diǎn)，符合題意.

1?/4~|

當(dāng)加工。時(shí)，直線，的斜率為，則C-00,-彳u［l，+8），

mmV3J

3「3一

解得—iq〃v0或Ov〃?V=,綜上，/〃w-1A.

故選：C

5.【多選題】（2021.江蘇高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率

B.點(diǎn)（。,2）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為（1,1）

C.直線x-）」2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

D.經(jīng)過點(diǎn)（1/）且在工軸和y軸上截距都相等的直線方程為）=2=0

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念判定A：根據(jù)“一垂直二中點(diǎn)”檢驗(yàn)判定B;求得截距然后計(jì)算面積判定C；

注意到截距可能都是零的特殊情況否定D.

【詳解】

解：當(dāng)直線的傾斜角為90。時(shí)，直線不存在斜率,

所以所有的直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，故A正確;

點(diǎn)（0,2）與（1,1）的中點(diǎn)坐標(biāo)，方

滿足直線方程y=x+i,

并且兩點(diǎn)的斜率為：-1,

所以點(diǎn)（0,2）關(guān)于直線），=X+1的對(duì)稱點(diǎn)為（1,1）,

故B正確;

直線x-y-2=0在兩坐標(biāo)軸上的我距分別為：2,-2,

與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是：^x2x2=2,

故C正確：

經(jīng)過點(diǎn)（1,1）且在x軸和），軸上截距都相等的直線方程為x+）」2=0或）=x,

所以D不正確；

故選:ABC.

6.（2021.江蘇高二專題練習(xí)）已知直線乙的傾斜角為60。，直線4經(jīng)過點(diǎn)40,6）,B（-2,-2>/3）,則直線乙

與4的位置關(guān)系是______.

【答案】平行或重合

【分析】

分別求出直線乙與4的斜率，由此可得兩直線的位置關(guān)系.

【詳解】

由已知，得勺=tan6O°=J5,百/2力）,

141-（-2）

：?%=。，但直線人在J軸上的截距不確定，

直線4與，2的位置關(guān)系是平行或重合.

故答案為：平行或重合.

7.12020?浙江溫州市?瑞安中學(xué)高二期中）若直線《：2x+"廳+3=0與，2：2x+（2—〃?）y—2=0互相平行，則〃】

的值為;它們之間的距離為.

【答案】I舊

【分析】

由直線平行的公式求解“，再根據(jù)線線間的距離公式求解即可

【詳解】

因?yàn)橹本€4：2%+/町，+3=（）與/2：2羊+（2-〃?）），-2=0互相平行，故2（2-帆）-2〃7=0,解得小=1,此時(shí)

（:2x+y+3=0,/2:2x+y-2=0,故它們之間的距離d」3一（-2）1=加

V22-12

故答案為：1,石

8.（2020.浙江而二期中）已知點(diǎn)”（-2.1）,直線/過點(diǎn)M且與電線x-2），+l=0平行，則直線/的方程為

;點(diǎn)”關(guān)于直線工->+1=。的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】x-2），+4=（）（0,-1）

【分析】

根據(jù)所求直線與直線x-2y+l=0平行，設(shè)方程為X-2），+〃=0（〃川求解；設(shè)點(diǎn)“關(guān)于直線4一3，+1=。的對(duì)

稱點(diǎn)的坐標(biāo)為"（X,），）,求解.

+1=0

【詳解】

因?yàn)樗笾本€與直線x-2y+1=0平行,

所以設(shè)方程為工-2了+〃=0（〃工