專題11換元法考向考向一整體換元法【方法儲(chǔ)備】對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題,如果直接求解有困難,或不易下手,或由問題的條件難以直接得出結(jié)論時(shí),常將一個(gè)或幾個(gè)式子分別看成整體,用一個(gè)或幾個(gè)新“元”代換它們,使得以新元為基礎(chǔ)的問題求解比較簡(jiǎn)易,解決以后將結(jié)果倒回去恢復(fù)原來的元,即可得原問題的結(jié)果.【典例精講】例1(2023·湖北省·模擬題)對(duì)于函數(shù)fx，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f(?x)=?f(x)，稱fx為“局部奇函數(shù)”.若f(x)=4x?m·2x+1+mA.1?3≤m≤1+3 B.1?解：由“局部奇函數(shù)”可得：

4x?2m?2x+m2?3+4?x?2m?2?x+m2?3=0，

整理可得：(4x+4?x)?2m(2x+2?x)+2m2?6=0，

考慮到4x+4?x=(2x+2?x)2?2，從而可將2x+2?x視為整體，

方程轉(zhuǎn)化為：(2x+2?x)2?2m(2x+2?x)+2m2?8=0【拓展提升】練11(2023·湖南省模擬)用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若f'x是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f''x是f?(x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的曲率K=|f''(x)|(1+[f'(x)]2)32，則曲線f(x)=x在解：(1)由題意得f'(x)=12x，f″(x)=?14x?32，則f'1=12,f''1=?14，則K=f''11+f'1232=2532，

(2)由題意得，g'(x)=cosx，g''(x)=?sinx，∴K2練12(2023·福建省聯(lián)考)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,FA.0,22 B.22,5解：設(shè)F1(?c,0)，F(xiàn)2可設(shè)|PF2|=t，可得由∠F1PF2=π2，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即為(λ2+1)t2=4c2，②

由②÷①2，可得e2=λ2+1(λ+1)練13(2023·江西省月考）已知定義在1,+∞上的函數(shù)fx=exx?x+lnx，若?x≥1，A.1,6 B.1,6 C.1,9 D.2,9解：f(x)=exx?x+lnx=exelnx?x+lnx=ex?lnx?(x?lnx)，

令t=x?lnx(x≥1)，則t'=x?1x≥0(x≥1)，所以t=x?lnx在1,+∞上單調(diào)遞增，

則t?1，y=et?t，y'=et?1，顯然y'恒大于0，即y=et?t在1,+∞上單調(diào)遞增，

所以f(x)=exx?x+lnx在1,+∞考向二三角換元法考向二三角換元法圓錐曲線有一個(gè)特點(diǎn)，就是曲線上的點(diǎn)不易于直接表達(dá)（拋物線除外），例如橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，為了表示橢圓上一點(diǎn)，需要引入兩個(gè)參數(shù)x【典例精講】例2.(2023·遼寧省期末)已知橢圓C1：x2a12+y2b12=1a1>b1>0與雙曲線C2：x2a22?y2bA.7 B.27 C.43 解：不妨設(shè)點(diǎn)P為第一象限的交點(diǎn)，則由橢圓的定義可得PF由雙曲線的定義可得PF所以PF因此cos?π3所以a12+3a因此2e1+所以當(dāng)sinθ+φ=1時(shí)，2e故選：B．【拓展提升】練21(2023·福建省·模擬題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P(32,0)，A、B是圓C：x2+(y?12)2=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足PA=PB，則△PAB面積的最大值是

．

解：圓C：x2+(y?12)2=36的圓心C(0,12)，半徑為6，

如圖，作PC所在直徑EF，交AB于點(diǎn)D，

因?yàn)镻A=PB，CA=CB=R=6，所以PC⊥AB，EF為垂徑，

要使面積S△PAB最大，則P，D位于C的兩側(cè)，

并設(shè)CD=x，可得PC=14+34=1，

故PD=1+x，AB=2BD=236?x2，

可令x=6cosθ，

S△PAB=12|AB|?|PD|=(1+x)36?x2

=(1+6cosθ)?6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，

設(shè)函數(shù)f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，

f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ?6)，

由f′(θ)=6(12cos練22(2023·遼寧省聯(lián)考)分割比ω=5?12≈0.618被譽(yù)為“人間最巧的比例”.離心率e=5?12的橢圓被稱為“優(yōu)美橢圓”，在平面直角坐標(biāo)系中的“優(yōu)美橢圓”C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A、B，“優(yōu)美橢圓”C上動(dòng)點(diǎn)P(解：設(shè)點(diǎn)P(acosθ,bsinθ)，θ≠kπ，k∈Z，

優(yōu)美橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A(?a,0)考向三比值換元法考向三比值換元法【方法儲(chǔ)備】對(duì)于多元函數(shù)fx1,x2,我們稱x1,x2為雙變量，一般來說，我們無法對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，可以采用“先轉(zhuǎn)換后構(gòu)造”的解題策略：fx1,x2?【典例精講】例3.(2023·湖北省模擬)函數(shù)f(x)=lnx?ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(A.0<a<1 B.x1x2>1

C.解：∵函數(shù)f(x)=lnx?ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，

∴l(xiāng)nx?ax+1=0有兩個(gè)根，∴a=lnx+1x，

∴y=a與y=lnx+1x有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖，

設(shè)g(x)=lnx+1x(x>0)，∴g'(x)=?lnxx2，

當(dāng)g'(x)>0時(shí)，解得0<x<1，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)g'(x)<0時(shí)，解得x>1，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

∴g(x)max=g(1)=1，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→0，當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→?∞，

∴當(dāng)0<a<1時(shí)，y=a與y=lnx+1x有兩個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)f(x)=lnx?ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，故A正確；

結(jié)合圖象可知1e<x1<1<x2，

∵lnx1?ax1+1=0lnx2?ax2+1=0，∴a=lnx1?lnx2x1?x2，

要證明x1+【拓展提升】練31(2023·海南省期末)若存在正數(shù)x,y，使得(3e2y?x)(lnx?lny)?ay=0，其中e解：由(3e2y?x)(lnx?lny)?ay=0，x，y為正數(shù)，

a=3e2y?xlnx?lnyy=(3e2?xy)ln(xy)，

令t=xy，t>0，則gt=3e2?tlnt，則g't=?lnt+3e2t?1練32(2023·河北省月考)若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y，不等式(2x?y)?(lny?lnx+1)≤xa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為解：不等式(2x?y)?(lny?lnx+1)≤xa對(duì)x、y>0恒成立，

可得(2?yx)?(lnyx+1)≤1a，

可設(shè)t=yx(t>0)，可得f(t)=(2?t)(lnt+1)，

f'(t)=?(lnt+1)+2?tt=?lnt+2t?2，

由y=?lnt和y=2t?2在t>0時(shí)單調(diào)遞減，可得f'(t)在t>0時(shí)單調(diào)遞減，

則f'(1)=0，當(dāng)t>1時(shí)，f'(t)<f'(1)=0，f(t)遞減；練33(2023·廣東省廣州市·期中考試)已知△ABC

的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，角A是直角，則bc?bb2+c2的取值范圍是解：法一：∵

bc?bb2+c2=bc?b2b2+c2=cb則

bc?bb∵

t?1+2當(dāng)且僅當(dāng)

t?1=2t?1

，即

t=∴

bc?bb故

0<bc?b②當(dāng)

c=b

時(shí)，

bc?bb③當(dāng)

c<b

時(shí)，則

bc?bb令

cb?1=m∈(?1,0)

，可得

c則

b(c?b)b2+c∵令f(m)=m+2m+2，

易得