96.新試卷背景下排列組合問題的十大應(yīng)用本節(jié)主要介紹排列組合與二項式定理中的基本問題，新高考目前在該板塊主要考察一道小題，同時排列組合問題會和古典概型結(jié)合深度考察，但難度整體不大，屬于基礎(chǔ)題，讀者只需掌握常見的排列組合模型與二項式定理的基本性質(zhì)便可輕松應(yīng)考.一．基本原理考點1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理1.分類計數(shù)原理定義：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有方法數(shù)：2.分步計數(shù)原理定義：做一件事，完成它需要分成個步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同的方法……做第個步驟有種不同的方法，那么完成這件事共有方法數(shù)：考點2.排列1.排列的定義2.排列數(shù)（1）排列數(shù)定義（2）排列數(shù)公式（1）全排列1.組合的定義2.組合數(shù)3.組合數(shù)公式4.組合數(shù)的性質(zhì)考點4.常見的一些排列問題及其解決方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法4.分組分配問題4.1（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：（1）非均勻不編號分組：個不同元素分成組，每組元素數(shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為.（2）均勻不編號分組：將個不同元素分成不編號（即無序）的組，每組元素數(shù)目相等，其分法種數(shù)為.（3）部分均勻不編號分組：將個不同元素分成不編號的組，其中有組元素個數(shù)相等，其分法種數(shù)為，如果再有組均勻分組，應(yīng)再除以.4.2分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．二．典例分析★1.排列，組合公式及應(yīng)用★2.排列組合中的特殊優(yōu)先原則例2．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（

）A．100個 B．125個 C．225個 D．250個解析：依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬位與個位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類辦法：最少2個0，取奇數(shù)字有種，占萬位和個位，兩個0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有種，例2．為確保馬拉松賽事在某市順利舉行，組委會在沿途一共設(shè)置了7個飲水點，每兩個飲水點中間再設(shè)置一個服務(wù)站，一共6個服務(wù)站.由含甲?乙在內(nèi)的13支志愿者服務(wù)隊負(fù)責(zé)這13個站點的服務(wù)工作，每一個站點有且僅有一支服務(wù)隊負(fù)責(zé)服務(wù)，則甲隊和乙隊在不同類型的站點服務(wù)且不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．甲隊和乙隊在不同類型的站點服務(wù)且不相鄰，分以下三種情況，1、從2個端點飲水點任選一個安排甲，再從與該飲水點不相鄰的5個服務(wù)站選一個安排乙；2、從中間5個飲水點任選一個安排甲，再從不與該飲水點相鄰的4個服務(wù)站選一個安排乙；3、從6個服務(wù)站任選一個安排甲，再從不與該服務(wù)站相鄰的5個飲水站選一個安排乙；例3．為了強化學(xué)生安全意識，落實“12530”安全教育，某學(xué)校讓學(xué)生用這5個數(shù)字再加一個0來設(shè)定自己教室儲物柜密碼，若兩個0之間至少有一個數(shù)字，且兩0不都在首末兩位，可以設(shè)置的密碼共有（

）A．72 B．120 C．216 D．240★3.相鄰問題例4.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）A．種 B．種 C．種 D．種例5．某學(xué)校參加社會實踐活動的1名教師和甲、乙、丙、丁4名學(xué)生站成一排合影留念，則教師不站在兩端，且甲、乙相鄰的概率為（

）A． B． C． D．★4.不相鄰問題例6．將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為 ()A． B． C． D．例7.已知3名男同學(xué)、2名女同學(xué)和1名老師站成一排，女同學(xué)不相鄰，老師不站兩端，則不同的排法共有（

）A．336種 B．284種 C．264種 D．186種★5.定序問題例8．在古典名著《紅樓夢》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．72種 B．36種 C．12種 D．6種★6.涂色問題例10．如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（

）A．48 B．56 C．72 D．256A．240 B．420 C．336 D．120

★7.分組分配問題例12．甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)報名參加學(xué)校舉辦的三項不同活動，每人只能報其中一項活動，每項活動至少有一個人參加，則甲、乙、丙三位同學(xué)所報活動各不相同的概率為（

）A． B． C． D．A． B． C． D．例14.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種★8.正難則反A. B. C. D.9.★不定方程與擋板問題擋板法A． B． C． D．許有空盒的放法種數(shù).現(xiàn)在在每個盒子里各加一個相同的小球，問題等價于將個相同小球放入三個盒子，沒有空盒的放法種數(shù)，則只需在個小球中形成的空位（不包含兩端）中插入兩塊板即可，A．165 B．120 C．38 D．35解析：如圖，將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個空隙中任選三個插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球故選：A.10.★排列組合綜合應(yīng)用（新情境）例17.幾個重要的競賽（強基）背景（1）容斥原理下的錯位排列.三．習(xí)題演練1．某校甲、乙、丙、丁4個小組到A，B，C這3個勞動實踐基地參加實踐活動，每個小組選擇一個基地，則每個基地至少有1個小組的概率為（

）A． B． C． D．2．現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個學(xué)校三人，要求每個學(xué)校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為（

）A．216 B．432 C．864 D．1080解析：求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有種方法，3．某表彰會上3名男同學(xué)和4名女同學(xué)從左至右排成一排上臺領(lǐng)獎，則女生甲與女生乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰的排法種數(shù)為（

）A．194 B．240 C．388 D．4804．小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．48 B．32 C．24 D．165．一個信息設(shè)備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個電子元件被點亮?xí)r可發(fā)出紅色光?藍(lán)色光?綠色光中的一種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，根據(jù)這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示不同