2.2.2.1有理數(shù)的除法有理數(shù)的除法是有理數(shù)運算體系中的重要組成部分，它與有理數(shù)乘法緊密相關，是乘法的逆運算。理解并掌握有理數(shù)除法的規(guī)則和方法，對于解決各類數(shù)學問題，尤其是涉及數(shù)量分配、比例關系等實際問題，具有關鍵作用。接下來，我們將深入探究有理數(shù)除法的核心內容。有理數(shù)除法的定義已知兩個有理數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，叫做有理數(shù)除法。設\(a\)、\(b\)是兩個有理數(shù)，且\(ba?

0\)，若存在有理數(shù)\(x\)，使得\(x?·b=a\)，那么\(x\)就叫做\(a\)除以\(b\)所得的商，記作\(a?·b\)。這里，\(a\)稱為被除數(shù)，\(b\)稱為除數(shù)。例如，已知\(3??(-2)=-6\)，那么\(-6?·3=-2\)，其中\(zhòng)(-6\)是被除數(shù)，\(3\)是除數(shù)，\(-2\)是商。從這個例子可以直觀地看出，除法運算就是根據已知的積和一個因數(shù)，去尋找另一個因數(shù)的過程。特別要注意的是，在有理數(shù)除法中，除數(shù)\(b\)不能為\(0\)。因為假設\(a?·0=x\)，根據除法的定義，\(x?·0=a\)，但任何數(shù)乘以\(0\)都等于\(0\)，不可能等于非零的\(a\)，所以除數(shù)為\(0\)時，除法運算沒有意義。這就如同把\(5\)個蘋果平均分給\(0\)個人，這種情況在現(xiàn)實中無法實現(xiàn)，在數(shù)學運算里也是不被允許的。有理數(shù)除法法則法則一：除以一個不為\(0\)的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)符號表示：對于任意有理數(shù)\(a\)和不為\(0\)的有理數(shù)\(b\)，\(a?·b=a??\frac{1}\)。這里\(\frac{1}\)就是\(b\)的倒數(shù)，即\(b\)與\(\frac{1}\)的乘積為\(1\)。例如，\(2\)的倒數(shù)是\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)的倒數(shù)是\(-\frac{4}{3}\)。應用場景：當遇到不能整除的情況，特別是除數(shù)是分數(shù)時，運用這個法則能將除法轉化為乘法，從而簡化計算。比如計算\(4?·\frac{2}{3}\)，根據法則一，可轉化為\(4??\frac{3}{2}\)，然后按照乘法運算規(guī)則，\(4??\frac{3}{2}=\frac{4??3}{2}=6\)。再如計算\((-5)?·(-\frac{5}{6})\)，轉化為\((-5)??(-\frac{6}{5})\)，兩個負數(shù)相乘得正，\(5??\frac{6}{5}=6\)。法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。\(0\)除以任何一個不為\(0\)的數(shù)，都得\(0\)符號表示：設\(a\)、\(b\)為有理數(shù)且\(ba?

0\)，若\(a\)、\(b\)同號（即\(a>0,b>0\)或\(a<0,b<0\)），則\(a?·b=\frac{|a|}{|b|}\)（結果為正）；若\(a\)、\(b\)異號（即\(a>0,b<0\)或\(a<0,b>0\)），則\(a?·b=-\frac{|a|}{|b|}\)（結果為負）；\(0?·b=0\)（\(ba?

0\)）。應用場景：在能整除的情況下，使用這個法則更為簡便。它分為商的符號法則和商的絕對值法則兩部分。例如計算\((-42)?·(-6)\)，因為被除數(shù)\(-42\)和除數(shù)\(-6\)同號，根據法則，先確定商的符號為正，再把絕對值相除，\(|-42|?·|-6|=42?·6=7\)，所以\((-42)?·(-6)=7\)。又如計算\(36?·(-9)\)，被除數(shù)\(36\)是正數(shù)，除數(shù)\(-9\)是負數(shù)，異號得負，\(|36|?·|-9|=36?·9=4\)，則\(36?·(-9)=-4\)。而\(0?·(-3.72)\)，根據\(0\)除以任何一個不為\(0\)的數(shù)都得\(0\)，結果就是\(0\)。分數(shù)的符號法則與有理數(shù)除法的關聯(lián)分數(shù)的符號法則：分數(shù)的分子、分母與分數(shù)線前面的符號，改變其中任意兩個的符號，分數(shù)的值不變。用公式表示為\(\frac{a}=\frac{-a}{-b}=-\frac{-a}=-\frac{a}{-b}\)。例如\(\frac{2}{3}=\frac{-2}{-3}=-\frac{-2}{3}=-\frac{2}{-3}\)。利用分數(shù)的符號法則化簡分數(shù)規(guī)律：在分子、分母及分數(shù)線前的符號中，如果“\(-\)”號的個數(shù)是奇數(shù)，則分數(shù)的值為負，如果“\(-\)”號的個數(shù)是偶數(shù)，分數(shù)的值為正。比如\(\frac{-3}{-5}\)，“\(-\)”號個數(shù)為\(2\)（偶數(shù)），所以\(\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}\)；而\(\frac{-4}{7}\)，“\(-\)”號個數(shù)為\(1\)（奇數(shù)），所以\(\frac{-4}{7}\)就是負數(shù)。在有理數(shù)除法運算中，如果結果用分數(shù)表示，就可以運用這些符號法則來快速確定分數(shù)的正負以及進行化簡。例如計算\((-12)?·(-18)\)，結果為\(\frac{-12}{-18}\)，根據分數(shù)符號法則，可化簡為\(\frac{12}{18}\)，再約分得到\(\frac{2}{3}\)。有理數(shù)乘除法的混合運算有理數(shù)的除法可以化為乘法，所以有理數(shù)的乘除混合運算可以統(tǒng)一成乘法運算，其步驟如下：將所有除數(shù)轉化為其倒數(shù)，所有除法轉化為乘法：例如計算\(2?·3??\frac{4}{5}?·(-\frac{1}{2})\)，先把除法轉化為乘法，變?yōu)閈(2??\frac{1}{3}??\frac{4}{5}??(-2)\)。確定積的符號：根據多個有理數(shù)相乘的符號法則，“偶正奇負，見\(0\)為\(0\)”。在\(2??\frac{1}{3}??\frac{4}{5}??(-2)\)中，有\(zhòng)(1\)個負數(shù)，所以積的符號為負。運用乘法運算律簡化運算，并求出最后結果：對于\(2??\frac{1}{3}??\frac{4}{5}??(-2)\)，可以先計算\(2??(-2)=-4\)，再計算\(\frac{1}{3}??\frac{4}{5}=\frac{4}{15}\)，最后\(-4??\frac{4}{15}=-\frac{16}{15}\)。在這個過程中，如果式子中有可以湊整或便于約分的數(shù)，可利用乘法交換律和結合律進行簡便運算。例如計算\((-8)??\frac{5}{6}?·\frac{1}{3}??(-\frac{1}{4})\)，轉化為乘法后為\((-8)??\frac{5}{6}??3??(-\frac{1}{4})\)，運用乘法交換律和結合律，\([(-8)??(-\frac{1}{4})]??(\frac{5}{6}??3)=2??\frac{5}{2}=5\)。有理數(shù)除法運算的注意事項除數(shù)不能為\(0\):這是有理數(shù)除法運算的首要原則，任何情況下都不能違背。在進行復雜的運算時，一定要先檢查除數(shù)是否為\(0\)，若除數(shù)為\(0\)，則整個運算無意義，無需繼續(xù)計算。例如\(5?·0\)，直接判定該運算錯誤，不能得出結果。正確運用除法法則：根據題目中數(shù)字的特點和運算形式，選擇合適的除法法則。如果能整除且數(shù)字較為簡單，優(yōu)先考慮法則二確定商的符號和絕對值；如果不能整除或除數(shù)是分數(shù)，用法則一將除法轉化為乘法進行計算。例如計算\(15?·(-3)\)，用法則二，同號得正，絕對值相除得\(5\)，結果為\(-5\)；而計算\(6?·\frac{3}{4}\)，用法則一轉化為\(6??\frac{4}{3}=8\)。注意符號的處理：無論是在確定商的符號，還是在乘除混合運算中確定積的符號，都要嚴格按照“同號得正，異號得負”的規(guī)則。在運算過程中，可將數(shù)字的符號單獨標記出來，分別進行運算，避免因符號混亂導致錯誤。例如計算\((-3)?·(-2)??(-4)\)，先算\((-3)?·(-2)=\frac{3}{2}\)，再算\(\frac{3}{2}??(-4)\)，一個正數(shù)乘以一個負數(shù)，結果為負，\(\frac{3}{2}??4=6\)，所以最終結果為\(-6\)。結果的化簡：運算完成后，如果結果是分數(shù)形式，要將其化為最簡分數(shù)。例如計算\((-10)?·15\)，結果為\(-\frac{10}{15}\)，約分后得到\(-\frac{2}{3}\)。若結果是假分數(shù)，可根據實際情況化為帶分數(shù)，如\(\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\)。典型例題解析例1：計算\((-24)?·6\)解題思路：本題兩個數(shù)能整除，且被除數(shù)\(-24\)與除數(shù)\(6\)異號，適用有理數(shù)除法法則二。解答過程：根據法則二，兩數(shù)相除異號得負，并把絕對值相除。\(|-24|?·|6|=24?·6=4\)，所以\((-24)?·6=-4\)。例2：計算\(\frac{3}{4}?·(-\frac{9}{8})\)解題思路：除數(shù)是分數(shù)，不能直接整除，采用有理數(shù)除法法則一，將除法轉化為乘法。解答過程：根據法則一，\(\frac{3}{4}?·(-\frac{9}{8})=\frac{3}{4}??(-\frac{8}{9})\)。先確定積的符號，一個正數(shù)乘以一個負數(shù)得負，再計算\(\frac{3??8}{4??9}=\frac{24}{36}\)，約分后為\(\frac{2}{3}\)，所以結果為\(-\frac{2}{3}\)。例3：計算\((-18)?·(-3)??(-\frac{1}{2})\)解題思路：這是乘除混合運算，先將除法轉化為乘法，再確定積的符號，最后計算結果。解答過程：將除法轉化為乘法，原式變?yōu)閈((-18)??(-\frac{1}{3})??(-\frac{1}{2})\)。式子中有\(zhòng)(2\)個負數(shù)，根據“偶正奇負”，積的符號為正。然后計算\(18??\frac{1}{3}??\frac{1}{2}=6??\frac{1}{2}=3\)，所以最終結果為\(-3\)。例4：計算\(0?·(-\frac{5}{7})??(-1)\)解題思路：因為\(0\)除以任何不為\(0\)的數(shù)都得\(0\)，所以先計算\(0?·(-\frac{5}{7})\)。解答過程：\(0?·(-\frac{5}{7})=0\)，再乘以\(-1\)，\(0??(-1)=0\)，所以最終結果為\(0\)。有理數(shù)除法作為有理數(shù)運算的重要環(huán)節(jié)，與乘法、加法、減法共同構成了完整的有理數(shù)運算體系。通過理解除法的定義，熟練運用除法法則，遵循運算注意事項，多進行相關練習，就能準確、高效地解決有理數(shù)除法及與之相關的各類數(shù)學問題，為后續(xù)更深入的數(shù)學學習奠定堅實基礎。2024人教版數(shù)學八年級上冊授課教師：

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時間：

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2.2.2.1有理數(shù)的除法第二章

有理數(shù)的運算aiTujmiaNg能表述出有理數(shù)除法法則.會運用法則進行有理數(shù)除法運算.你能很快地說出下列各數(shù)的倒數(shù)嗎？a5701a的倒數(shù)1(1)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù).(2)0沒有倒數(shù).8×9=_____，72÷9=_____，(－4)×3=_____，(－12)÷3=_____，2×(－3)=_____，(－6)÷2=_____，(－4)×(－3)=_____，12÷(－4)=_____，0×(－6)=_____，0÷(－6)=_____.728－12－4－6－312－300觀察右側算式，思考兩個有理數(shù)相除時：除法能否轉化為乘法？商的符號如何確定？商的絕對值如何確定？怎樣計算8÷(-4)？根據除法是乘法的逆運算，計算8÷(-4)，就是要求一個數(shù)，使它與-4相乘得8.因為

(-2)×(-4)=8，所以

8÷(-4)=-2

.另一方面，我們有8×(-

)=-2

.于是有8÷(-4)=8×(-)

.8÷(-4)=8×(-)

.一個數(shù)除以-4，等于乘-4的倒數(shù)-.換其他數(shù)的除法進行類似討論，是否仍有除以a(a≠0)可以轉化為乘？12÷(-6)12×(-)

=-2=-2有理數(shù)除法法則1：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).表達式為：a÷b=a×（b

≠0）除號變乘號除數(shù)變倒數(shù)作因數(shù)72÷9=______=____，(－12)÷(－)=_____________=____，(－)÷2=________=____，12÷(－)=________=_____，0÷(－6)=________=____.8(－12)×(－4)48－160同號兩數(shù)相除，轉變成同號兩數(shù)相乘，結果得正異號兩數(shù)相除，轉變成異號兩數(shù)相乘，結果得負零除以任何非零數(shù)得零觀察思考觀察上面的算式，看看商的符號及其絕對值與除數(shù)、被除數(shù)有什么關系？法則2：兩數(shù)相除，同號得____，異號得____，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得____.正負0（1）如果a<0，b>0，那么ab____0，____0.（2）如果a>0，b<0，那么ab____0，____0.（3）如果a<0，b<0，那么ab____0，____0.（4）如果a=0，b≠0，那么ab____0，____0.<<<<>>==0÷(－)0÷(－3)計算：=0×(－)=0=0×(－)=00可以作除數(shù)嗎？為什么？例題【教材P44】例4計算：

（1）(-36)÷9；（2）.

解：（1）(-36)÷9=-(36÷9)=-4；

（2）.解題策略有理數(shù)除法的兩個法則的靈活選用：如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)（或小數(shù)），且能整除，一般選用法則2計算，其他情況一般選用法則1.例5化簡：

（1）

；（2）.

解：（1）=(-2)÷3=-(2÷3)=；（2）=(-45)÷(-12)=45÷12=

.

帶有分數(shù)線的數(shù)可以理解為分子除以分母.一般地，根據有理數(shù)的除法，形如（p，q是整數(shù)，q

≠0）的數(shù)都是有理數(shù)；有理數(shù)又都可以寫成上述形式（整數(shù)可以看成分母為1的分數(shù)）.這樣，有理數(shù)就是形如（p，q

是整數(shù)，q

≠0）的數(shù).（1）；（2）；（3）.化簡：鞏固練習解：（1）=(－3)÷5=－(3÷5)=；（2）=4÷(－12)=－(4÷12)=；（3）=－[(－8)÷2.4]=8÷2.4=

.（a，b

是有理數(shù)，b

≠0）【教材P45】1.計算：（1）(-18