第十六章軸對稱和中心對稱16.3角的平分線第2課時角平分線性質(zhì)定理的逆定理

角平分線性質(zhì)定理的逆定理1.【學科特色·教材變式】(2025湖北武漢期中)兩個完全一樣

的三角尺按如圖所示的方式擺放在△ABC內(nèi),它們的頂點重

合于點M,則點M一定在

()

A

A.∠A的平分線上B.AC邊的高上C.BC邊的垂直平分線上D.AB邊的中線上解析如圖,作射線AM,由題意得,MG=MH,MG⊥AB,MH⊥AC,∴AM平分∠BAC,故選A.2.如圖,OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線,P是射線OC上任意一點,

PD⊥OA,PE⊥OB,下列條件:①∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③∠DPO=∠EPO.其中,能判定OC是∠AOB的平分線的有(

)

A.0個

B.1個

C.2個

D.3個D解析①∵∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB的平分線,故①符

合題意;②∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OC是∠AOB的平分

線,故②符合題意;③易得△POD≌△POE(AAS),∴∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB的平分線,故③符合題意,故選D.3.如圖,點P到∠AOB兩邊的距離相等,若∠POB=30°,則∠AOB

=__________°.

60

解析∵點P到∠AOB兩邊的距離相等,∴OP平分∠AOB,∴∠AOB=2∠POB=60°.4.(2024黑龍江齊齊哈爾二十八中期中)如圖,DE⊥AB交AB的

延長線于點E,DF⊥AC于點F,若∠ABD+∠C=180°,BE=CF,求

證:AD平分∠BAC.證明∵∠ABD+∠C=180°,∠ABD+∠DBE=180°,∴∠C=∠DBE,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E=∠DFC=90°,在△DEB和△DFC中,

∴△DEB≌△DFC(ASA),∴DE=DF,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴點D在∠BAC的平分線上,∴AD平分∠BAC.

用尺規(guī)作已知角的平分線5.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=26°.淇淇按下列步驟作圖:①以點A為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交AB,AC于點E,F;②分別以點E,F為圓心,適當長為半徑畫弧,兩弧相交于點G;③作射線AG,交BC于點D,則∠ADC的度數(shù)為

()A.50°

B.52°

C.58°

D.64°C

解析由作圖可知,AD平分∠BAC.∵∠C=90°,∠B=26°,∴∠BAC=180°-90°-26°=64°,∴∠DAC=

∠BAC=32°,∴∠ADC=180°-90°-32°=58°.6.如圖,在△ABC中,∠C=90°,以點A為圓心,任意長為半徑畫

弧,分別交AB,AC于點M,N,再分別以點M,N為圓心,大于MN一

半的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,

DC=2,則點D到AB的距離是

()A.2

B.3

C.4

D.5

A

解析過點D作DH⊥AB于點H(圖略).由題中作圖過程可知

AD平分∠CAB,∵∠C=90°,∴DC⊥AC,∵DH⊥AB,∴DH=DC

=2,∴點D到AB的距離為2,故選A.7.【新考向·尺規(guī)作圖】(2024河北石家莊趙縣期中)如圖,已知

△ABC.(1)尺規(guī)作圖:作∠BAC的平分線交BC于點G(不寫作法,保留作

圖痕跡).(2)如果AB=6,AC=10,△ABG的面積為18,求△ACG的面積.解析

(1)如圖,AG即為所作.

(2)∵AG平分∠BAC,∴點G到AB和AC的距離相等,∴S△ABG∶S△ACG=AB∶AC,即18∶S△ACG=6∶10,∴S△ACG=

=30.

8.(2025山東臨沂期中,★★☆)如圖,直線l1,l2,l3表示三條公路.

現(xiàn)要建造一個中轉(zhuǎn)站P,使P到三條公路的距離都相等,則中轉(zhuǎn)

站P可選擇的位置有()

A.1處

B.2處

C.3處

D.4處

D

解析如圖,三條公路圍成的中間部分為三角形,易知這個三

角形兩個內(nèi)角平分線的交點以及三個外角兩兩平分線的交點

都滿足要求.(1)三角形兩個內(nèi)角平分線的交點,共一處;(2)三

個外角兩兩平分線的交點,共三處.故選D.9.(2024河北秦皇島月考,★★☆)如圖,在∠AOB的兩邊OA,OB

上取點M,N,連接MN.若MP平分∠AMN,NP平分∠MNB.(1)求證:OP平分∠AOB.(2)若MN=8,△PMN與△OMN的面積分別是16,24,求線段OM

與ON的長度之和.備用圖解析

(1)證明:如圖,過點P作PC⊥OA,垂足為C,過點P作PD⊥

MN,垂足為D,過點P作PE⊥OB,垂足為E,∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD,∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴PD=PE,∴PC=PE,∴OP平分∠AOB.(2)∵△PMN的面積是16,MN=8,∴

MN·PD=16,∴

×8PD=16,∴PD=4,∴PD=PC=PE=4,∵四邊形MONP的面積=△PMN的面積+△OMN的面積=16+24=40,∴△POM的面積+△PON的面積=40,∴

OM·PC+

ON·PE=40,∴

OM×4+

ON×4=40,∴OM+ON=20,即線段OM與ON的長度之和為20.

10.【新課標·推理能力】如圖1,點P是∠AOB的平分線OC上

的一點,我們可以在OA,OB上取點M,N,使OM=ON,連接PM,PN,

就可以得到△POM≌△PON.(1)請你在圖1中,根據(jù)題意,畫出上面敘述的△POM和△PON,

并加以證明.(2)請你參考(1)中作全等三角形的方法,解答下列問題:①如圖2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分別是∠BAC,∠BCA的平分線,AD,CE相交于點F.請直接寫出FE與FD

之間的數(shù)量關(guān)系.②如圖3,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而①中的其他條件

都不變,請問:①中所得結(jié)論是否仍然成立?若成立,請證明;若

不成立,請說明理由.

圖1圖2圖3解析

(1)圖形如圖1.證明如下:∵點P是∠AOB的平分線上的一點,∴∠POM=∠PON.在△POM和△PON中,

∴△POM≌△PON(SAS).圖1圖2(2)①FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD.②結(jié)論FE=FD仍然成立.證明:如圖2,過點F分別作FG⊥AB于點G,FH⊥BC于點H,則∠FGE=∠FHD=90°.∵∠B=60°,且AD,CE分別是∠BAC,∠BCA的平分線,∴∠BAC+∠BCA=120°,∠2=

∠BAC,∠3=

∠BCA