第4章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析4.1概述4.2連續(xù)信號拉普拉斯變換及性質4.3部分分式法求逆拉普拉斯變換4.4連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析4.5MATLAB語言在復頻域分析中的應用小結習題4

4.1概述

連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析的數學方法是拉普拉斯變換，若干年來，拉普拉斯變換一直是信號系統(tǒng)分析理論的基石之一。拉普拉斯變換通常簡稱為拉氏變換(英文縮寫為LT或L)。j1

4.2連續(xù)信號拉普拉斯變換及性質

4.2.1單邊拉普拉斯變換

對于信號f(t)，常常由于t趨于正、負無窮大的過程中衰減得太慢，而不滿足絕對可積的條件。解決該問題的辦法是用

e－σt乘以f(t)，這樣總可以使得t趨于無窮時,f(t)e－σt以較

快的速度衰減，即f(t)e－σt滿足絕對可積的條件。于是令s=σ+jω，再以F(s)表示以上函數，則信號f(t)的拉普拉斯變換可以定義為

(4-1)

函數F(s)相應的傅里葉逆變換為兩邊同時乘以eσt得

令s=σ+jω，則jdω=ds，有

(4-2)式(4-1)定義的函數F(s)稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換(或象函數)，式(4-2)定義的函數f(t)稱為F(s)的雙邊拉普拉斯逆變換(或原函數)，它們統(tǒng)稱為雙邊拉普拉斯變換對。為了簡便，通常記為

(4-3)

或簡記為

(4-4)由于實際物理系統(tǒng)中常遇到的信號都是有始信號，即t<0時，f(t)=0，或者信號即使不起始于t=0時刻，而問題的討論卻只需考慮t≥0的部分。在這種情況下，式(4-1)可以改寫為

(4-5)

該式稱為單邊拉普拉斯變換，簡稱拉普拉斯變換。本課程主要討論單邊拉普拉斯變換。4.2.2常用信號拉普拉斯變換

1.單位沖激信號δ(t)

即

(4-6)

2.單位階躍信號ε(t)

即

(4-7)

顯然，常數常數

3.指數函數e-at

即

(4-8)

4.余弦信號cosω0t

因為

所以即

(4-9)

同理可得衰減余弦信號

(4-10)

5.正弦信號sinω0t

因為

所以即

(4-11)

衰減正弦信號

(4-12)

常用信號的拉普拉斯變換如表4-1所示。續(xù)表

4.2.3拉普拉斯變換性質

1.線性性質

如果

那么

(4-13)

式中，a1、a2是任意常數。

2.尺度變換

如果

那么

(4-14)

例4-1

已知求L［f(t)］。

解因為

所以

3.時移特性

如果

那么

(4-15)

式中，t0為任意實數。與尺度變換性質相結合，有

(4-16)例4-2

分別求圖4-1中兩個信號的單邊拉普拉斯變換。圖4-1例4-2圖

解因為

所以

4.復頻移(s域平移)特性

若

則

(4-17)

式中，s0為任意實數。

例4-3

求f(t)=e－αtcosω0tε(t)的拉普拉斯變換F(s)。

解設f1(t)=cosω0tε(t)，于是

例4-4

已知因果信號f(t)的象函數

求e－tf(3t－2)的象函數。

解綜合運用尺度變換和復頻移特性，可得

可見，利用性質求解信號的拉普拉斯變換比直接求解簡單得多。

5.時域微分特性(微分定理)

時域微分特性主要用于研究具有初始條件的微分方程。當信號f(t)的初始值f(0－)≠0時，若

則

(4-18)也可以將式(4-18)推廣到高階導數

(4-19)

6.時域積分特性(積分定理)

若

則

(4-20)也可以推廣到多重積分

(4-21)

例4-5

試通過階躍信號ε(t)的積分求斜坡信號tε(t)及tnε(t)的拉普拉斯變換。

解因為

而所以

又因為利用式(4-21)可得

即

7.卷積定理

時域卷積定理：如果

那么

(4-22)復頻域(s域)卷積定理：如果

那么

(4-23)

例4-6

已知某線性時不變系統(tǒng)的沖激響應h(t)=e－tε(t)，試用時域卷積定理求解輸入信號f(t)=ε(t)時的零狀態(tài)響應yzs(t)。

解因為所以

對其求拉普拉斯變換得

8.初值定理和終值定理

初值定理：如果

那么

(4-24)終值定理：如果

那么

(4-25)

例4-7

求圖4-2所示鋸齒波f(t)的拉普拉斯變換。

解首先寫出f(t)的時域函數表達式圖4-2例4-7圖應用拉普拉斯變換的時移特性，有本題還可以利用時域微分性質求解。由時域微分性質，有L［f″(t)］=s2F(s)，所以得

拉普拉斯變換的性質如表4-2所示。續(xù)表

4.3部分分式法求逆拉普拉斯變換

常見的象函數F(s)是s的有理分式，一般形式是

(4-26)若不是真分式，即m≥n，可用多項式除法將象函數F(s)分解為有理多項式與有理真分式之和。例如，下面主要討論有理真分式的情形。

若F(s)是s的實系數有理真分式(m<n)，則可寫為

(4-27)

其中，z1,z2,z3,…,zm是N(s)=0的根，稱為F(s)的零點，p1,p2,p3,…,pn是D(s)=0的根，稱為F(s)的極點。求解拉普拉斯逆變換的過程如下：

(1)求F(s)的極點。

(2)將F(s)展開為部分分式和的形式。

(3)查變換表求出原函數f(t)。4.3.1單極點逆拉普拉斯變換

1.單階實數極點

其中，p1,p2,p3,…,pn為不同的實數根。于是F(s)可以分解為

(4-28)式中，K1,K2,…,Kn為n個待定系數?？稍谑?4-28)兩邊同乘以因子(s－pi)，再令s=pi，于是等式右邊僅留下系數Ki，所以

i=1，2，…，n

(4-29)

原函數

(4-30)

例4-8

求的原函數f(t)。

解

令

則所以

2.單階共軛復數極點

(4-31)共軛極點為：p1=－α+jβ，p2=－α－jβ。

實際上，K1,K2也互為共軛。

例4-9

求的逆變換f(t)。

解因為所以4.3.2重極點逆拉普拉斯變換求K11時，方法同第一種情況，即

求其他系數，要用下式(4-32)當i=2,

當i=3,

例4-10

求的原函數f(t)。

解

由于

因此所以

4.4連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

4.4.1微分方程的變換解

設線性時不變系統(tǒng)的激勵為f(t)，響應為y(t)，于是描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為

(4-33)設系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0－)，y(1)(0－)，…，y(n－1)(0－)，同時由于f(t)是在t=0時接入的，因此在t=0－時f(t)的各階導數均為零。對上式兩邊分別取拉普拉斯變換，并利用時域微分特性，可得

即

(4-34)

下面以具體例題說明微分方程的變換解的求解方法。

例4-11

描述某線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

已知輸入f(t)=ε(t)，初始狀態(tài)y′(0－)=1，y(0－)=2。試求系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。

解對微分方程取拉普拉斯變換，可得

即

可解得全響應將F(s)=和初值代入上式，得于是零輸入響應、零狀態(tài)響應分別為

全響應為實際上，如果直接對Y(s)取拉普拉斯反變換，亦可求得全響應。因為

易得可見直接求全響應時，零狀態(tài)響應分量和零輸入響應分量已經疊加在一起，看不出由不同原因引起的各個響應分量的具體情況。這時拉普拉斯變換作為一種數學工具，將微分方程變?yōu)榇鷶捣匠蹋瑫r自動引入了初始狀態(tài)，從而簡化了微分方程的求解。4.4.2連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數

系統(tǒng)函數在系統(tǒng)分析與綜合中占有重要的地位，下面討論如何圍繞系統(tǒng)函數進行系統(tǒng)分析。如前所述，系統(tǒng)函數

H(s)是零狀態(tài)響應的拉普拉斯變換與激勵的拉普拉斯變換之比，即

(4-35)從上式可以看出，系統(tǒng)函數與系統(tǒng)的激勵、初始狀態(tài)無關，僅取決于系統(tǒng)本身的結構和元件參數，式中常數K稱為增益，為式(4-26)中分子、分母多項式最高次項系數之比，即

K=。我們知道，當系統(tǒng)的激勵為δ(t)時，零狀態(tài)響應為h(t)，故

(4-36)即系統(tǒng)的沖激響應h(t)與系統(tǒng)函數H(s)構成了一對拉普拉斯變換對，二者分別從時域和復頻域兩個角度表征了同一系統(tǒng)的特性。為了說明H(s)在系統(tǒng)分析中的重要作用，我們把

運用s域分析法求解系統(tǒng)響應的步驟歸納如下：

(1)求輸入f(t)的變換式F(s)。

(2)計算H(s)。實際上就是對于給定的激勵，計算輸出Yzs(s)與輸入F(s)的比值。也可以由系統(tǒng)的結構及數學模型直接求得。

(3)求零狀態(tài)響應yzs(t)。可從F(s)與H(s)乘積的反變換中求出。以上求解系統(tǒng)響應的過程，可由圖4-3表述。如果系統(tǒng)本身存在初始儲能，系統(tǒng)的完全響應還應考慮零輸入響應。若系統(tǒng)函數H(s)的收斂域包含虛軸，則系統(tǒng)存在頻率響應。頻率

響應函數與系統(tǒng)函數之間的關系為

(4-37)圖4-3系統(tǒng)響應的求解過程示意圖

例4-12

已知當輸入f(t)=e－tε(t)時，某線性時不變因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

求該系統(tǒng)的頻率響應、沖激響應和描述該系統(tǒng)的微分方程。

解因為

所以易得，頻率響應為

沖激響應為由于H(s)的分母、分子多項式系數與微分方程等號兩邊的系數是一一對應的，因此微分方程為

此外，如果將系統(tǒng)函數H(s)的極點pi、零點zj畫在復平面上，可得系統(tǒng)函數的零、極點分布圖。零點用“○”表示，極點用“×”表示。

例如，的零、極點分布圖如圖4-4(a)所示。圖4-4零、極點分布圖又如，已知H(s)的零、極點分布圖如圖4-4(b)所示，并且增益K=2，則H(s)的表達式為

下面討論H(s)極點的位置與其時域響應h(t)的函數形式。H(s)按其極點在s平面上的位置可分為：在左半平面、虛軸和右半平面三類。對于因果系統(tǒng)，H(s)的極點均在左半平面。

(1)在左半平面：響應函數均為衰減函數，即當t→∞時，響應均趨于0。

第一，若系統(tǒng)函數有負實單極點p=－α(α>0)，則H(s)的分母多項式中有因子s+α，所對應的響應為衰減指數函數

Ke－αtε(t)。第二，若有一對共軛復極點p1,2=－α±jβ，則所對應的響應為減幅正弦振蕩。

(2)在虛軸上：響應函數均為等幅振蕩。

此時α=0，p1,2=±jβ，所對應的響應為等幅正弦函數

Kcos(βt+θ)ε(t)。特別地，當極點位于原點時，響應為階躍函數Kε(t)。

(3)在右半平面：響應函數均為遞增函數，即當t→∞時，響應均趨于∞。

第一，若系統(tǒng)函數有正實單極點p=α(α>0)，則所對應的響應為增幅指數函數Keαtε(t)。第二，若有一對共軛復極點p1,2=α±jβ，則所對應的響應為增幅正弦振蕩。

凡極點位于左半平面，零點位于右半平面，并且所有零點與極點對于虛軸為一一鏡像對稱的系統(tǒng)函數即為全通函數。對于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)函數而言，右半平面沒有零點的系統(tǒng)函數稱為最小相移函數。接下來，介紹系統(tǒng)的s域模擬框圖。系統(tǒng)的模擬不是對系統(tǒng)的仿制，而是數學意義上的等效，也就是說，用來模擬系統(tǒng)的裝置和被模擬的系統(tǒng)具有相同的數學模型，因此，它們的輸入、輸出關系完全等效。模擬系統(tǒng)的框圖稱為系統(tǒng)的模擬圖，它是若干基本運算器的框圖的組合。系統(tǒng)的s域框圖基本運算單元如圖4-5所示。圖4-5系統(tǒng)的s域框圖基本運算單元

例4-13

已知某線性時不變系統(tǒng)有圖4-6(a)所示的時域框圖，試列出其微分方程。圖4-6例4-13圖

解設左邊加法器輸出為X(s)，可畫出s域框圖如圖4-6(b)所示，則s域代數方程為

得又

所以微分方程為4.4.3電路復頻域模型

1.電阻元件的s域模型

電阻元件的s域模型如圖4-7所示。圖4-7電阻元件的s域模型

2.電感元件的s域模型

電感元件的s域模型如圖4-8所示。圖4-8電感元件的s域模型

3.電容元件的s域模型

電容元件的s域模型如圖4-9所示。圖4-9電容元件的s域模型有了電路元件的復頻域模型，就可以得到一般電路的復頻域模型。時域的KVL、KCL方程在復頻域中同樣成立。只要分別取拉普拉斯變換，就可以得到復頻域形式

(4-38)

應用電路分析中的基本分析方法(節(jié)點法、網孔法等)和基本定理(如疊加定理、戴維南定理等)，列出復頻域的代數方程，并求解響應的象函數，對所求響應的象函數進行拉普拉斯反變換，即可得出響應的時域解。

例4-14

如圖4-10(a)所示電路，開關S在t=0時閉合，已知

uC1(0－)=3V，uC2(0－)=0V，試求開關閉合后的電流i1(t)。圖4-10例4-14圖

解由給定的初始條件可得s域模型如圖4-10(b)所示。方

程為取拉普拉斯反變換得4.4.4連續(xù)時間系統(tǒng)穩(wěn)定性

若一個系統(tǒng)對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(BoundInputBoundOutput,BIBO)穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。

連續(xù)系統(tǒng)在時域穩(wěn)定的充分必要條件是

(4-39)

其中，M是有限的正實數。對于因果系統(tǒng)，可以根據系統(tǒng)函數H(s)的極點在s平面中的位置來判定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。若全部極點都落在s平面的左半平面，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。只要有一個極點落在s平面的右半平面或虛軸上，則該系統(tǒng)必是不穩(wěn)定系統(tǒng)。

連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別，是根據系統(tǒng)函數的極點位置作出的。只要判斷H(s)的極點，即系統(tǒng)函數分母多項式的特征根是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，并不

必知道各特征根的確切值。例如，某連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數

易得其極點分別為s1,2=－1±j,s3=－3，零點、極點分布圖如圖4-11所示?？梢娙齻€極點均分布在s平面的左半部分，故該系統(tǒng)必為穩(wěn)定系統(tǒng)。圖4-11零點、極點分布圖

4.5MATLAB語言在復頻域分析中的應用

調用laplace函數L=LAPLACE(F)，實現單邊拉普拉斯變換。

輸入變量F為連續(xù)時間信號f(t)的符號表達式，輸出變量

L為返回默認符號變量s的關于F的拉普拉斯變換的符號表達式。

例4-15

重求式(4-9)的余弦信號cosω0t的拉普拉斯變換。我們假設ω0=2，則f(t)=cos(2t)ε(t)。

解代碼如下:

symst； %定義時間符號變量

F=cos(2*t)； %定義函數f(t)

L=laplace(F)

%計算f(t)的拉普拉斯變換

運行結果為

L=

s/(s∧2+4)如果我們將ω0=2代入式(4-9)，同樣可得

可見，與運用MATLAB求解的結果是一樣的。

調用函數［R，P，K］=RESIDUE(B，A)求解象函數的拉普拉斯逆變換。

B表示分子多項式的各項系數，A表示分母多項式的各項系數。若假設已知，則調用該函數可以簡單地求出部分分式展開式中的常數項K，各項分式的常系數R和分母多項式的根P。

例4-16

重求例4-8，

的原函數f(t)。

解代碼如下:

A=［16116］；

B=［2142515］；

［R，P，K］=RESIDUE(B，A)

運行結果為

R=6.0000－5.00001.0000

P=－3.0000－2.0000－1.0000

K=2所以

可見，與原例題的結果是一致的。調用函數SYS=TF(NUM，DEN)和［P，Z］=PZMAP(SYS)求解系統(tǒng)函數的零點、極點分布。

SYS表示系統(tǒng)函數，NUM表示分子多項式的各項系數，DEN表示分母多項式的各項系數。［P，Z］=PZMAP(SYS)求解零點、極點的值。PZMAP(SYS)畫零點、極點分布圖。

例4-17

求

的零點、極點，并畫分布圖。

解代碼如下:

NUM=［24］；

DEN=［12221］；

SYS=TF(NUM，DEN)；

PZMAP(SYS)；

［P，Z］=PZMAP(SYS)運行結果為

P=0.0000+1.0000i

0.0000-1.0000i

－1.0000

－1.0000