第4章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.1

拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3拉普拉斯反變換4.4系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.5系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分析*4.6系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般判別方法4.7LTI系統(tǒng)復(fù)頻域框圖和信號(hào)流圖4.8連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)

4.1拉普拉斯變換

4.1.1從傅里葉變換到拉普拉斯變換

由第3章可知，當(dāng)信號(hào)f(t)滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，可以進(jìn)行以下傅里葉變換和反變換：(4-1)(4-2)但有些信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用上式進(jìn)行傅里葉變換。這些信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件的原因是由于衰減太慢或者不衰減，例如，單位階躍信號(hào)f(t)=u(t)，t→∞，f(t)=1不衰減。為了克服以上困難，可用一個(gè)收斂因子e－σt與f(t)相乘，只要σ值選擇合適，就能保證f(t)e－σt滿足絕對(duì)可積條件，從而可求出f(t)e－σt的傅里葉變換，即(4-3)將上式與傅里葉變換定義式比較，可寫(xiě)作F

［f(t)e－σt］=F(σ+jω)取傅里葉反變換上式兩邊同除以e－σt，有(4-4)令s=σ+jω，其中σ是常數(shù)，則dω=

ds，于是式(4-3)和式(4-4)可以寫(xiě)為(4-5)(4-6)式(4-5)稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換，它是一個(gè)含復(fù)變量s的積分，把關(guān)于時(shí)間t為變量的函數(shù)變換為關(guān)于s為變量的復(fù)變函數(shù)F(s)，稱F(s)為f(t)的象函數(shù)。式(4-6)稱為F(s)的拉普拉斯反變換，稱f(t)為F(s)的原函數(shù)。以上兩式構(gòu)成一變換對(duì)，可簡(jiǎn)記為(4-7)在實(shí)際運(yùn)用中，時(shí)間信號(hào)大多為有始信號(hào)，即f(t)=f(t)u(t)，則式(4-5)寫(xiě)為(4-8)式(4-8)稱為單邊拉普拉斯變換。式中積分下限取0－，是考慮到f(t)中可能包含沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，一般情況下，認(rèn)為0和0－是等同的。本章主要討論單邊拉普拉斯變換，如不特別指出，本書(shū)的拉氏變換均指單邊的。

F(s)的拉氏反變換可寫(xiě)為(4-9)為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，常只寫(xiě)f(t)的t≥0部分。4.1.2拉普拉斯變換的收斂域

由上面的討論可知，F(xiàn)(s)存在的條件是被積函數(shù)為收斂函數(shù)，即(4-10)上式的存在取決于s值的選擇，也就是σ值的選擇。要求滿足條件：(4-11)式(4-11)是拉氏變換存在的充分條件。滿足式(4-11)的s值的范圍(即σ的取值集合)稱為拉氏變換的收斂域。在s平面(以σ為橫軸，jω為縱軸的復(fù)平面)上，收斂域是一個(gè)區(qū)域，它是由收斂坐標(biāo)σC決定的，σC的取值與信號(hào)f(t)有關(guān)。過(guò)σC平行于虛軸的一條直線稱為收斂軸或收斂邊界。對(duì)有始信號(hào)f(t)，若滿足以下條件(4-12)則收斂條件為σ>σC，在s平面的收斂域如圖4-1所示。圖4-1拉氏變換的收斂域凡是滿足式(4-12)的信號(hào)都稱為指數(shù)階信號(hào)，意思是指借助于衰減因子e－σt的衰減作用，使f(t)e－σt成為收斂函數(shù)，因此，它的收斂域都位于收斂軸的右側(cè)。

下面討論幾種典型信號(hào)的拉氏變換的收斂域。

(1)f1(t)=e－atu(t)(a>0)其收斂域?yàn)棣?gt;－a，σC=－a。

(2)f2(t)=u(t)此時(shí)σC=0，收斂域?yàn)棣?gt;0，即s平面的右半面為收斂域。

(3)f3(t)=Au(t)－Au(t－τ)

這是一個(gè)時(shí)域有限信號(hào)(時(shí)限信號(hào))或積分是有界的，對(duì)σ沒(méi)有要求，即全平面收斂。一般而言，對(duì)于任何有界的非周期信號(hào)，其能量有限，都為無(wú)條件收斂。

(4)f4(t)=eatu(t)(a>0)這是一個(gè)增長(zhǎng)的單邊指數(shù)信號(hào)其收斂域?yàn)棣?gt;a，σC=a。

由上例可以看出，對(duì)一些增長(zhǎng)很快的信號(hào)，如、tt等，無(wú)法找到合適的σ值使其收斂，所以不存在拉氏變換。但實(shí)際中遇到的一般都是指數(shù)階信號(hào)，式(4-12)總能滿足，也就是說(shuō)，其單邊拉氏變換總是存在的，所以用拉氏變換分析信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)，一般不再注明收斂域。4.1.3常用信號(hào)的拉氏變換

下面根據(jù)拉氏變換的定義式,求一些常用信號(hào)的拉氏變換。

1.單位階躍信號(hào)u(t)

即

2.單位沖激信號(hào)δ(t)即

3.指數(shù)信號(hào)eatu(t)即

4.正弦信號(hào)sinω0tu(t)

即同理可得

5.t的正冪信號(hào)tnu(t)使用分部積分法有即當(dāng)n=1時(shí)，tu(t)當(dāng)n=2時(shí)，t2u(t)為計(jì)算時(shí)查找方便，現(xiàn)將一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換列于表4-1中。

4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

拉普拉斯變換的性質(zhì)反映了信號(hào)的時(shí)域特性與s域特性的關(guān)系，熟悉它們對(duì)于掌握復(fù)頻域分析方法十分重要。同時(shí)，拉氏變換是由傅里葉變換推出來(lái)的，所以拉氏變換的性質(zhì)在很多情況下同傅里葉變換是相似的，即用復(fù)頻率s代替頻率jω，不同的是拉普拉斯變換是單邊的而傅里葉變換是雙邊的。4.2.1線性性質(zhì)

若f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，則有

af1(t)+bf2(t)aF1(s)+bF2(s)

(4-13)

式中a、b為任意常數(shù)。證明略。4.2.2時(shí)移(延時(shí))特性

若f(t)F(s)，則有

f(t－t0)u(t－t0)F(s)

(4-14)

式中，t0>0。

證明令x=t－t0，dx=dt，于是有在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)要注意：

(1)t0>0十分重要，因?yàn)槿绻鹴0<0，信號(hào)的波形左移可能越過(guò)原點(diǎn)而無(wú)拉普拉斯變換；

(2)因果信號(hào)f(t)u(t)延時(shí)后得到信號(hào)f(t－t0)u(t－t0)可應(yīng)用該性質(zhì)，但f(t－t0)u(t)和f(t)u(t－t0)不能直接應(yīng)用該性質(zhì)。

【例4-1】

求圖4-2所示的波形的拉普拉斯變換。圖4-2例4-1圖

【解】(1)f1(t)=t

F1(s)=

(2)

(3)

(4)

可見(jiàn)，只有F4(s)是根據(jù)F2(s)應(yīng)用延時(shí)性質(zhì)直接求出的。

【例4-2】

求圖4-3所示矩形脈沖序列的拉氏變換。f3(t)=(t－t0)u(t)=tu(t)－t0u(t)f4(t)=(t－t0)u(t－t0)圖4-3矩形脈沖序列

【解】

該周期信號(hào)可寫(xiě)作其中，f0=u(t)－u(t－τ)為單個(gè)矩形脈沖。由及拉氏變換的延時(shí)性質(zhì)可知再利用延時(shí)性質(zhì)可得由此例題，我們可以得出周期信號(hào)的單邊拉普拉斯變換的一般公式為其中，F(xiàn)0(s)是第一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的拉普拉斯變換。4.2.3尺度變換特性

若f(t)F(s)，且有實(shí)常數(shù)a>0，則

證明L[f(at)]=

f(at)e－stdt令x=at，dx=adt，則使用尺度變換特性時(shí)，注意必須滿足a>0。如果a<0，信號(hào)f(at)有翻轉(zhuǎn)關(guān)系，因而f(at)翻轉(zhuǎn)到t<0的部分的單邊拉氏變換將為零，使信息丟失。

如果信號(hào)既有延時(shí)又有變換時(shí)間的尺度，則有：

若f(t)F(s)，且有實(shí)常數(shù)a>0，b≥0，則式(4-17)可以通過(guò)先延時(shí)后尺度變換或先尺度變換后延時(shí)導(dǎo)出。4.2.4復(fù)頻移特性

若f(t)F(s)，則有(4-18)式中s0=σ0+jω0為復(fù)常數(shù)。證明該性質(zhì)表明，時(shí)域f(t)乘以，相當(dāng)于復(fù)頻域里F(s)發(fā)生了的復(fù)頻率移動(dòng)。

【例4-3】

求衰減的正弦信號(hào)e－atsinω0t·u(t)的拉氏變換。

【解】

因?yàn)樗匀绻盘?hào)既有時(shí)移又有復(fù)頻移,則其結(jié)果也具有一般性,即若f(t)F(s)，且有t0>0，則有(4-19)證明從略。4.2.5時(shí)域微分性質(zhì)(定理)若f(t)F(s)，且存在，則有(4-20)

證明因?yàn)閒(t)是指數(shù)階信號(hào)，在收斂域內(nèi)有，所以同理可以推證

【例4-4】

已知f(t)=e-atu(t)，求[SX(]df(t)[]dt[SX)]的拉氏變換。

【解】

可用兩種方法求解：

解法一：由基本定義式求解。

因?yàn)樗越夥ǘ河晌⒎中再|(zhì)求解。已知?jiǎng)t4.2.6時(shí)域積分性質(zhì)(定理)

若f(t)F(s)，則證明因?yàn)樗云渲?，右端第一?xiàng)積分為常數(shù)，即第二項(xiàng)積分由分部積分可得所以如果函數(shù)積分區(qū)間從零開(kāi)始，則有(4-22)同理可推得(4-23)

【例4-5】

求f(t)=t2u(t)的拉氏變換。

【解】

因?yàn)閼?yīng)用積分定理可得4.2.7

s域微分性質(zhì)

若f(t)F(s)，則有證明根據(jù)定義F(s)=

f(t)e－stdt，所以同理可推出

【例4-6】

求f(t)=te－atu(t)的拉氏變換。

【解】

因?yàn)楦鶕?jù)式(4-24)可以直接寫(xiě)出即4.2.8s域積分性質(zhì)

若f(t)F(s)，則證明

【例4-7】

求的拉氏變換。

【解】

因?yàn)樗?.2.9卷積定理

1.時(shí)域卷積定理

若f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，則有

f1(t)*f2(t)F1(s)·F2(s)

(4-27)

證明

【例4-8】

已知f1(t)=e－λtu(t)，f2(t)=u(t)，求f1(t)*f2(t)。

【解】

而所以

2.s域卷積定理

若f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，則有

(4-28)也可寫(xiě)為式中積分路線σ=C是F1(η)和F2(s－η)收斂域重疊部分內(nèi)與虛軸平行的直線。這里對(duì)積分路徑的限制較嚴(yán)，積分復(fù)雜，因此該定理應(yīng)用較少。4.2.10初值定理

設(shè)f(t)不包含δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，且f(t)F(s)，則有(4-29)證明由時(shí)域微分定理可知因?yàn)樵趨^(qū)間(0－，0+)，t=0，則所以對(duì)上式令s→∞，取極限有證畢值得注意的是，應(yīng)用初值定理的條件是F(s)為真分式，這意味著f(t)在時(shí)域不含沖激及其導(dǎo)數(shù)。事實(shí)上，若F(s)不是真分式，也就是f(t)在t=0時(shí)刻含有沖激及其導(dǎo)數(shù)，應(yīng)將F(s)先化為真分式，即將時(shí)域的沖激及其導(dǎo)數(shù)去掉后再求初始值，因?yàn)槌跏贾滴挥趖=0+時(shí)刻，而不是沖激及其導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)的t=0時(shí)刻，沖激及其導(dǎo)數(shù)對(duì)f(0+)的求取沒(méi)有貢獻(xiàn)。

【例4-9】

已知，求初始值f(0+)。

【解】

因?yàn)槿糁苯討?yīng)用初值定理，便有顯然結(jié)果不正確。但若去掉F(s)中的－1，即取F(s)的真分式部分，就意味著去掉時(shí)域信號(hào)f(t)中的沖激－δ(t)，故有4.2.11終值定理

若f(t)F(s)，且f(∞)=

存在，則有證明由時(shí)域微分定理令s→0，對(duì)上式取極限=f(∞)－f(0－)所以(證畢)終值定理的應(yīng)用是有條件的，要先根據(jù)信號(hào)f(t)對(duì)應(yīng)的拉氏變換F(s)的極點(diǎn)分布，從復(fù)頻域判定信號(hào)f(∞)是否存在。只有當(dāng)F(s)的極點(diǎn)位于s平面的左半平面和原點(diǎn)上且只有單極點(diǎn)時(shí)，才能應(yīng)用終值定理。

表4-2列出了單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)，以供查閱。

4.3拉普拉斯反變換

在系統(tǒng)復(fù)頻域分析中，經(jīng)常會(huì)遇到求拉氏反變換的問(wèn)題。對(duì)于單邊拉氏變換，象函數(shù)F(s)的拉氏反變換為(4-31)這是一個(gè)復(fù)變函數(shù)積分，直接積分比較困難。下面介紹幾種對(duì)實(shí)用中常遇到的F(s)求拉氏反變換的一般性方法。4.3.1逆變換查表法

如果F(s)是比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，可利用常見(jiàn)信號(hào)的拉氏變換表，查出對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，或者借助拉氏變換的若干性質(zhì)，配合查表，求出原時(shí)間信號(hào)。

【例4-10】已知，求其拉氏反變換f(t)。

【解】

由拉氏變換表可知

所以f(t)=L

－1[F(s)]=2δ(t)+e－2tcos2tu(t)

【例4-11】

求的拉氏反變換f(t)。

【解】

其中由卷積定理可知f(t)=L－1[F(s)]=[tu(t)]*[u(t)－u(t－t0)]4.3.2部分分式展開(kāi)法

分析線性非時(shí)變系統(tǒng)時(shí)，常常遇到的象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可表示為s的兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即(4-32)式中各系數(shù)ai(i=0，1，2，…，m)，bj(j=0，1，…，n－1)都是實(shí)數(shù)；m和n都是正整數(shù)。根據(jù)m和n的大小不同，F(xiàn)(s)可能是有理真分式，也可能是有理假分式。當(dāng)n≤m時(shí)，F(xiàn)(s)為有理假分式，可用長(zhǎng)除法化成s的多項(xiàng)式加有理真分式的形式。對(duì)于s的多項(xiàng)式，其時(shí)域原函數(shù)為沖激函數(shù)及沖激偶函數(shù)，很容易求得。故求拉氏反變換時(shí)，主要針對(duì)的是F(s)=為有理真分式時(shí)，其原函數(shù)如何求解。由數(shù)學(xué)中的赫維賽德(Heaviside)展開(kāi)定理可知，有理真分式F(s)可展開(kāi)為一系列部分分式之和。部分分式的形式由B(s)=0的根的形式?jīng)Q定，下面我們分三種情況進(jìn)行討論。

1.B(s)=0的根為單實(shí)根或F(s)具有單極點(diǎn)

設(shè)Si(i=1，2，…，n)為B(s)=0的n個(gè)互不相同的單實(shí)根，則F(s)可作如下部分分式展開(kāi)：

(4-33)式中ki為待定系數(shù)。對(duì)式(4-33)兩端乘(s－si)，且取s=si，得(4-34)部分分式系數(shù)確定后，由典型信號(hào)的拉氏變換可得(4-35)

【例4-12】

求F(s)=的拉氏反變換f(t)。

【解】

由B(s)=s3+6s2+11s+6=(s+3)(s+2)(s+1)得B(s)=0的根為

s1=－3，s2=－2，s3=－1所以

k1=(s+3)F(s)|s=－3=6

k2=(s+2)F(s)|s=－2=－5

k3=(s+1)F(s)|s=－1=1

因此

f(t)=(6e－3t－5e－2t+e－t)u(t)

【例4-13】

求F(s)=的拉氏反變換f(t)。

【解】

因?yàn)閙>n，F(xiàn)(s)不是真分式，應(yīng)先用長(zhǎng)除法將其化為真分式，即

k1=(s+2)F1(s)|s=－2=5

k2=(s+1)F1(s)|s=－1=－1

所以

f(t)=3δ′(t)－δ(t)+5e－2tu(t)－e－tu(t)

2.B(s)=0有重根或F(s)具有重極點(diǎn)

設(shè)B(s)=0有一個(gè)p階重根s1，(n－p)個(gè)單根si(i=2，3，…，n－p+1)，則F(s)可寫(xiě)為(4-36)其中是與重極點(diǎn)s1無(wú)關(guān)的其余部分，可用前述方法求其原函數(shù)。重極點(diǎn)系數(shù)k1i(i=1，2，…，p)的求法如下：(4-37)式中i=1，2，…，p。因?yàn)長(zhǎng)[tnu(t)]=，利用復(fù)頻移特性可得原函數(shù)為(4-38)

【例4-14】

求的拉氏反變換f(t)。

【解】

所以

3.B(s)=0含有共軛復(fù)根或F(s)有共軛復(fù)極點(diǎn)

F(s)為有理式，當(dāng)出現(xiàn)復(fù)根時(shí)，必共軛成對(duì)，這時(shí)原函數(shù)將出現(xiàn)正弦或余弦項(xiàng)。把B(s)作為一個(gè)整體來(lái)考慮，可使求解過(guò)程簡(jiǎn)化。

【例4-15】

求F(s)=的拉氏反變換f(t)。

【解】

因?yàn)锽(s)=s2+2s+2有一對(duì)共軛復(fù)根s1，2=－1±j,把分母多項(xiàng)式統(tǒng)一處理，即所以

f(t)=(3cost+2sint)e－tu(t)4.3.3留數(shù)法(圍線積分法)

由單邊拉普拉斯反變換式可知，該積分實(shí)際上是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的線積分，其積分路徑是s平面內(nèi)平行于jω軸σ=C1>σC的直線AB(即直線AB必須在收斂軸以右)，如圖4-4所示。根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理知，若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)奇點(diǎn)外處處解析，C為D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉合曲線，則有(4-39)圖4-4為了能用留數(shù)定理計(jì)算式4-39的積分，可從σ－j∞到σ+j∞補(bǔ)足一條路徑，構(gòu)成一閉合圍線積分，如圖4-4中虛線所示。補(bǔ)充的這條路徑C是半徑為∞的圓弧，可以證明，沿該圓弧的積分為零，即F(s)estds=0，這樣拉氏反變換的積分就可用留數(shù)定理求出，它等于圍線中被積函數(shù)F(s)est所有極點(diǎn)的留數(shù)和，即

f(t)=L

－1[F(s)]=∑Res[F(s)est，sk]

(4-40)

下面給出用留數(shù)法求拉氏反變換的公式：

(1)為有理真分式，且只有n個(gè)單值極點(diǎn)(4-41)

(2)為n階有理真分式，且有p階重極點(diǎn)s′及(n－p)階單值極點(diǎn)(4-42)

【例4-16】

求F(s)=的拉氏反變換f(t)。

【解】

F(s)有兩個(gè)單值極點(diǎn)s1=0，s2=－3和一個(gè)二重極點(diǎn)s3=－1，它們的留數(shù)分別為

所以

4.4系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

拉普拉斯變換是分析線性連續(xù)系統(tǒng)的有力工具，它將描述系統(tǒng)的時(shí)域微積分方程變換為s域的代數(shù)方程，便于運(yùn)算和求解；同時(shí)它將系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然地包含于象函數(shù)的代數(shù)方程中，既可分別求得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，也可一舉求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。

4.4.1微分方程的變換解

設(shè)LTI系統(tǒng)的激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為y(t)，描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式可寫(xiě)為(4-43)式中系數(shù)ai(i=0，1，…，n)、bj(=0，1，…，m)均為實(shí)數(shù)，設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0－)，y(1)(0－)，…，y(n－1)(0－)。

令L[y(t)]=Y(s)，L[f(t)]=F(s)。根據(jù)時(shí)域微分定理，y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換為L(zhǎng)[y(i)(t)]=siY(s)－si－1－py(p)(0－)(i=0,1,…,n)(4-44)如果f(t)是t=0時(shí)接入的，則在t=0－時(shí)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，即f(j)(0－)=0(j=0，1，…，m)，因而f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換為

L[f(j)(t)]=sjF(s)(j=0，1，…，m)

(4-45)取式(4-43)的拉氏變換，并將式(4-44)、(4-45)代入，得即(4-46)由上式可解得(4-47)式中A(s)=

是方程(4-43)的特征多項(xiàng)式；B(s)=

bjsj;多項(xiàng)式A(s)和B(s)的系數(shù)僅與微分方程的系數(shù)ai、bj有關(guān)；M(s)=，它也是s的多項(xiàng)式，其系數(shù)與ai和響應(yīng)的各初始狀態(tài)y(p)(0－)有關(guān)而與激勵(lì)無(wú)關(guān)。由式(4-47)可以看出，其第一項(xiàng)僅與初始狀態(tài)有關(guān)而與輸入無(wú)關(guān)，因而是零輸入響應(yīng)yx(t)的象函數(shù)Yx(s)；其第二項(xiàng)僅與激勵(lì)有關(guān)而與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，因而是零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的象函數(shù)，記為Yf(s)。于是式(4-47)可寫(xiě)為(4-48)式中Yx(s)=，Yf(s)=

F(s)。取上式逆變換，得系統(tǒng)的全響應(yīng)

y(t)=yx(t)+yf(t)

(4-49)

【例4-17】

一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)滿足微分方程

y″(t)+3y′(t)+2y(t)=4f′(t)+3f(t)已知y(0－)=－2，y′(0－)=3，f(t)=u(t)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。

【解】

對(duì)微分方程取拉普拉斯變換，有

s2Y(s)－sy(0－)－y‘(0－)+3sY(s)－3y(0－)+2Y(s)=4sF(s)+3F(s)

即

(s2+3s+2)Y(s)－[sy(0－)+y'(0－)+3y(0－)]=(4s+3)F(s)

可解得(4-50)將F(s)=L[u(t)]=和各初始值代入上式，得對(duì)以上兩式取逆變換，得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為

yx(t)=L

－1[Yx(s)]=(－e－t－e－2t)u(t)

yf(t)=L－1[Yf(s)]=(1.5+e－t－2.5e－2t)u(t)系統(tǒng)的全響應(yīng)

y(t)=yx(t)+yf(t)=(1.5－3.5e－2t)u(t)本題如果只求全響應(yīng)，可直接將有關(guān)初始條件和F(s)代入式(4-50)，整理后可得取逆變換即可得到全響應(yīng)y(t)，結(jié)果同上。

當(dāng)給定一個(gè)電路時(shí)，首先根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)和激勵(lì)，按照電路定律建立響應(yīng)與激勵(lì)之間的微分方程，然后再按上述過(guò)程求全響應(yīng)。

【例4-18】

圖4-5所示的RLC電路，輸入激勵(lì)電壓為u(t)，求響應(yīng)電流i(t)。設(shè)初始狀態(tài)為iL(0－)，uC(0－)。

【解】

根據(jù)基爾霍夫定律，有對(duì)上式取拉氏變換，得圖4-5例4-18圖所以上式中第一項(xiàng)與初始狀態(tài)有關(guān)，是零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)只與激勵(lì)U(s)=有關(guān)，是零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)。對(duì)I(s)進(jìn)行拉氏反變換，即可求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。

i(t)=L

－1［I(s)］由上兩例可見(jiàn)，用拉氏變換求解微分方程有以下三步：

(1)對(duì)微分方程逐項(xiàng)取拉氏變換，利用微分性質(zhì)代入初始狀態(tài)；

(2)對(duì)拉氏變換方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，求出響應(yīng)的象函數(shù)；

(3)對(duì)響應(yīng)的象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換，得到全響應(yīng)的時(shí)域表示。4.4.2電路的s域模型

對(duì)電路系統(tǒng)進(jìn)行分析，除了用拉氏變換解微分方程求響應(yīng)外，還可以利用電路的s域模型(運(yùn)算電路)，直接列出象函數(shù)的代數(shù)方程求解。

研究電路問(wèn)題的基本依據(jù)是基爾霍夫電壓、電流定律，以及電路元件的伏安關(guān)系。要得到電路s域的模型，就要討論其在復(fù)頻域的形式。

1.基爾霍夫定律的s域形式(運(yùn)算形式)

基爾霍夫電流定律(KCL)指出：對(duì)任意節(jié)點(diǎn)，在任一時(shí)刻流入(或流出)該節(jié)點(diǎn)電流的代數(shù)和恒等于零，即

∑i(t)=0對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，可得

∑I(s)=0

(4-51)

上式表明，對(duì)任意節(jié)點(diǎn)，流入(或流出)該節(jié)點(diǎn)象電流的代數(shù)和恒等于零，仍稱其為KCL。

同理可得基爾霍夫電壓定律(KVL)在s域的形式為

∑U(s)=0

(4-52)

上式表明，對(duì)任意回路，各支路象電壓的代數(shù)和恒等于零，仍稱其為KVL。

2.R、L、C的s域模型(運(yùn)算阻抗)

1)電阻R

電阻R的時(shí)域伏安關(guān)系為u(t)=Ri(t)，取拉氏變換有

U(s)=RI(s)或I(s)=GU(s)

(4-53)

式(4-53)稱為電阻R的s域模型。s域模型如表4-3所示。

2)電感L

時(shí)域電感元件L的伏安關(guān)系為取拉氏變換有UL(s)=LSIL(s)－LiL(0－)

(4-54)或(4-55)式中iL(0－)為電感的初始電流，其s域模型如表4-3所示。其中LS稱為感抗(電感的運(yùn)算阻抗)，LiL(0－)稱為內(nèi)部象電壓源，稱為內(nèi)部象電流源。

3)電容C

時(shí)域電容元件C的伏安關(guān)系為取拉氏變換有(4-56)(4-57)或IC(s)=CsU(s)－CuC(0－)式中uC(0－)為電容的初始電壓，其s域模型如表4-3所示。其中，稱為容抗(電容的運(yùn)算阻抗)，uC(0－)稱為內(nèi)部象電壓源，CuC(0－)稱為內(nèi)部象電流源。

三種元件(R、L、C)的時(shí)域和s域關(guān)系都列在表4-3中。由以上討論可見(jiàn)，利用s域模型求響應(yīng)是分析電路系統(tǒng)常用的方法。用這種方法分析電路時(shí)，將原電路中的電壓源、電流源變換為相應(yīng)的象函數(shù)，電路中的電壓、電流也用象函數(shù)表示，各元件都用s域模型替代，則可畫(huà)出原電路的s域電路模型。對(duì)該s域電路而言，用以分析和計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)電路的各種方法都適用。這樣，可按s域的電路模型解出所需未知響應(yīng)的象函數(shù)，取其逆變換就得到所需的時(shí)域響應(yīng)。因?yàn)檫@種方法的拉氏變換已體現(xiàn)在s域模型中，避免了在時(shí)域列寫(xiě)微積分方程的過(guò)程。

【例4-19】

如圖4-6(a)所示，C=1F，R1=

Ω，R2=

1Ω，L=

H，uC(0－)=5V，iL(0－)=4A。當(dāng)f(t)=10u(t)V時(shí)，求電流i1(t)。

【解】

將電路元件用其s域模型替代，激勵(lì)用其象函數(shù)替代，作出該電路的s域電路模型，如圖4-6(b)所示。

由基爾霍夫定律的s域模型可得圖4-6例4-19圖

消去I2(s)，整理得所以

i1(t)=(－57e－3t+136e－4t)u(t)

【例4-20】

如圖4-7(a)所示的電路，已知us(t)=12V，L=1H，C=1F，R1=3Ω，R2=2Ω，R3=1Ω。原電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)t=0時(shí)，開(kāi)關(guān)S閉合，求S閉合后R3兩端電壓的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。圖4-7例4-20圖

【解】

首先求出電容電壓和電感電流的初始值uC(0－)和iL(0－)。在t=0－時(shí)，開(kāi)關(guān)尚未閉合，由圖4-7(a)可求得其次，畫(huà)出圖4-7(a)電路的s域電路模型，如圖4-7(b)所示。由圖可見(jiàn)，選定參考點(diǎn)后，a點(diǎn)的電位就是Y(s)。列a點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)方程，有將L、C、R1、

R3的數(shù)值代入上式，得由上式可解得由上式可見(jiàn)，其第一項(xiàng)僅與各初始值有關(guān)，因而是零輸入響應(yīng)的象函數(shù)Yx(s)；其第二項(xiàng)僅與輸入的象函數(shù)Us(s)有關(guān)，因而是零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)Yf(s)，即取逆變換，得R3兩端電壓的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)為yx(t)=(8t－6)e－2tu(t)Vyf(t)=［3－(6t+3)e－2t］u(t)V4.4.3系統(tǒng)函數(shù)

如前所述，描述n階LTI系統(tǒng)的微分方程一般可寫(xiě)為(4-58)對(duì)上式兩邊取拉氏變換，并設(shè)初始狀態(tài)為零，則其零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為(4-59)式中，F(xiàn)(s)為激勵(lì)f(t)的象函數(shù)，A(s)、

B(s)分別為(4-60)

其中，A(s)稱為微分方程式(4-58)的特征多項(xiàng)式，A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根。

定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)Yf(s)與激勵(lì)的象函數(shù)F(s)之比為系統(tǒng)函數(shù)，用H(s)表示，即

(4-61)(4-62)由式(4-59)可知，H(s)的一般形式是兩個(gè)關(guān)于s的多項(xiàng)式之比，即(4-63)由式(4-63)可見(jiàn)，系統(tǒng)函數(shù)H(s)只與描述系統(tǒng)微分方程的系數(shù)ai、bj有關(guān)，即只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)等有關(guān)，而與外界因素(激勵(lì)、初始狀態(tài)等)無(wú)關(guān)，即只取決于輸入和輸出所構(gòu)成的系統(tǒng)本身，因此它決定了系統(tǒng)特性。同時(shí)由式(4-63)可知，由描述系統(tǒng)的微分方程容易寫(xiě)出該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，反之亦然。

引入系統(tǒng)函數(shù)的概念后，零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)可寫(xiě)為

Yf(s)=H(s)·F(s)

(4-64)

我們知道，當(dāng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)δ(t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)h(t)。單位沖激響應(yīng)h(t)也是系統(tǒng)特性的一種表現(xiàn)形式。由式(4-64)可求得單位沖激響應(yīng)，即

f(t)=δ(t)，F(xiàn)(s)=1

于是有

h(t)=L

－1［H(s)·F(s)］=L

－1［H(s)］

或?qū)懗?/p>

H(s)=L

［h(t)］

上式說(shuō)明，系統(tǒng)函數(shù)H(s)就是單位沖激響應(yīng)h(t)的拉氏變換。

對(duì)式(4-64)取拉氏反變換，并利用時(shí)域卷積定理，得

Yf(s)=L

－1［H(s)F(s)］

=L

－1［H(s)］*L

－1［F(s)］

=h(t)*f(t)這正是時(shí)域分析中所得結(jié)論?？梢?jiàn)，時(shí)域卷積定理將連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析與復(fù)頻域分析緊密地聯(lián)系起來(lái)，使系統(tǒng)分析方法更加豐富，手段更加靈活。

【例4-21】

已知y″(t)+5y′(t)+6y(t)=2f′(t)+8f(t)，求系統(tǒng)函數(shù)H(s)及單位沖激響應(yīng)h(t)。

【解】

對(duì)微分方程在零狀態(tài)下取拉氏變換，得

s2Yf(s)+5sYf(s)+6Yf(s)=2sF(s)+8F(s)

整理得

h(t)=L

－1[H(s)]=(4e－2t－2e－3t)u(t)

【例4-22】

電路如圖4-8(a)所示，u1(t)為激勵(lì)，u2(t)為響應(yīng)，R=5Ω，L=1H，C=

F，試求：(1)該電路系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)和單位沖激響應(yīng)h(t)；(2)若u1(t)=u(t)，求u2(t)。

【解】

繪出s域電路模型如圖4-8(b)所示。根據(jù)該電路模型可得

h(t)=L

－1［H(s)］=6(e－2t－e－3t)u(t)圖4-8例4-22圖

(2)因?yàn)閡1(t)=u(t)，則U1(s)=，

所以u(píng)2(t)=L

－1［U2(s)］=(1－3e－2t+2e－3t)u(t)系統(tǒng)函數(shù)在電路理論和網(wǎng)絡(luò)理論中又稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和傳輸函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)常用雙口網(wǎng)絡(luò)表示電路，如圖4-9所示。根據(jù)激勵(lì)和響應(yīng)是否為電壓、電流以及激勵(lì)和響應(yīng)是否在同一端口，H(s)還有不同類型(如表4-4所示)。在信號(hào)與系統(tǒng)中，這些不同類型統(tǒng)稱為系統(tǒng)函數(shù)。圖4-9雙口網(wǎng)絡(luò)

4.5系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分析

由系統(tǒng)函數(shù)H(s)來(lái)研究系統(tǒng)特性是系統(tǒng)分析理論的主要內(nèi)容之一。現(xiàn)由系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零極點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)的特性。

已知H(s)為s的有理多項(xiàng)式，即(4-65)將上式分子、分母多項(xiàng)式因式分解，則有(4-66)式中H0=，稱為標(biāo)量因數(shù)，為一常系數(shù)。在式(4-66)中，B(s)=0的根r1，r2，…，rm稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)；A(s)=0的根λ1，λ2，…，λn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)。

零點(diǎn)和極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和復(fù)數(shù)。由于A(s)和B(s)的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，因而零極點(diǎn)中若有虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必然共軛成對(duì)。ri、λj也可能是重根，這時(shí)它們稱為重零點(diǎn)或重極點(diǎn)。由式(4-65)可看出，H(s)一般有n個(gè)有限的極點(diǎn)和m個(gè)有限的零點(diǎn)。如果n>m，則當(dāng)s→∞時(shí)，

H(s)=0，這說(shuō)明在無(wú)窮遠(yuǎn)處有一個(gè)(n－m)階的重零點(diǎn)；如果n<m，則當(dāng)s→∞時(shí)，函數(shù)H(s)=∞，這說(shuō)明無(wú)窮遠(yuǎn)處有一個(gè)(m－n)階的重極點(diǎn)。所以若將無(wú)窮遠(yuǎn)處的零極點(diǎn)算在內(nèi)，則系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零極點(diǎn)數(shù)目是相等的，但一般情況下都不考慮無(wú)窮遠(yuǎn)處的零極點(diǎn)。當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)以及H0確定后，H(s)也就完全確定了。H0只是一個(gè)常數(shù)，它對(duì)系統(tǒng)隨變量s變化的特性無(wú)實(shí)質(zhì)性的影響，所以H(s)隨變量s變化的特性就完全由它的極點(diǎn)和零點(diǎn)來(lái)決定。為明顯起見(jiàn)，常將系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)畫(huà)在s平面中，稱為零極點(diǎn)分布圖。如系統(tǒng)函數(shù)H(s)為則其零極點(diǎn)分布圖如圖4-10所示。圖中×表示極點(diǎn)，×3表示三重極點(diǎn)，○表示零點(diǎn)，○3表示三重零點(diǎn)。在零點(diǎn)之處H(s)為零，在極點(diǎn)處H(s)為∞，所以在零極點(diǎn)處H(s)的變化較大，在其他位置H(s)都有一定的數(shù)值。下面根據(jù)H(s)的零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的特性。圖4-10零極點(diǎn)圖4.5.1根據(jù)系統(tǒng)零極點(diǎn)的分布判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念

系統(tǒng)穩(wěn)定性是一個(gè)很重要的概念，實(shí)際的應(yīng)用系統(tǒng)都必須是穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定性定義為任何有界輸入將引起有界的輸出，簡(jiǎn)稱BIBO(BoundedInput/BoundedOutput)穩(wěn)定。這種定義不便直接用于判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，因?yàn)橄到y(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的特性，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。直觀地看，一個(gè)實(shí)際的穩(wěn)定系統(tǒng)當(dāng)受到某種干擾信號(hào)作用時(shí)，所引起的響應(yīng)在干擾信號(hào)消失后最終會(huì)自動(dòng)消失，即系統(tǒng)仍能回到干擾作用前的工作狀態(tài)。為了工程上的需要，這里只討論因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且激勵(lì)信號(hào)也是因果信號(hào)。但是，系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性是兩個(gè)完全不同的概念。連續(xù)系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充要條件是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)應(yīng)滿足

h(t)=0，t<0

(4-67)

系統(tǒng)的因果性，也可根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)作出判定，凡是H(s)的收斂域滿足Re(s)>σC的系統(tǒng)，即在s平面上，收斂域位于收斂軸σ=σC右半平面的系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。

LTI因果連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積，即(4-68)滿足式(4-68)必有(4-69)從時(shí)域角度看，有(4-70)

2.由系統(tǒng)零極點(diǎn)的分布判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

由穩(wěn)定性的概念可知，當(dāng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)的波形隨時(shí)間衰減時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。也就是說(shuō)，根據(jù)h(t)的波形可判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而h(t)是H(s)的拉氏反變換，因此，根據(jù)H(s)零極點(diǎn)在s平面的位置就可以確定h(t)的特性，進(jìn)而由H(s)即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由拉氏反變換的求解過(guò)程可知，象函數(shù)極點(diǎn)的形式?jīng)Q定了原函數(shù)的函數(shù)形式，原函數(shù)的幅度和相位由象函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)共同決定。由于h(t)的波形形態(tài)是由H(s)的極點(diǎn)確定的，因此下面著重說(shuō)明H(s)的極點(diǎn)與h(t)波形的關(guān)系。

1)s左半平面上的極點(diǎn)與h(t)的波形

(1)負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)。

一階極點(diǎn)：如果H(s)在負(fù)實(shí)軸上有一階極點(diǎn)，如圖4-11所示，這時(shí)有二階以上極點(diǎn)：圖4-11負(fù)實(shí)軸的一階極點(diǎn)由羅必塔法則可知，t→∞時(shí)，h(t)=0，畫(huà)出H(s)在負(fù)實(shí)軸上有二階重極點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的h(t)的波形，如圖4-12所示。

(2)左半平面上的共軛極點(diǎn)。

一階共軛極點(diǎn)：此時(shí)的零極點(diǎn)圖與h(t)的波形如圖4-13所示。圖4-12負(fù)實(shí)軸的二階極點(diǎn)圖4-13二階以上的共軛極點(diǎn)：式中，p為不同于k的系數(shù)，當(dāng)t→∞時(shí)，h(t)→0，因此它是一個(gè)衰減的振蕩波形。由上面的分析可以看到，在左半平面上的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)的波形都是衰減的。

2)虛軸上的極點(diǎn)與h(t)的波形一階極點(diǎn)：①原點(diǎn)的一階極點(diǎn)。其圖形如圖4-14所示。圖4-14原點(diǎn)的一階極點(diǎn)②虛軸上的一階極點(diǎn)。其圖形如圖4-15所示。二階及以上極點(diǎn)：①原點(diǎn)的二階及以上極點(diǎn)。h(t)的波形如圖4-16所示。圖4-15虛軸上的一階極點(diǎn)圖4-16原點(diǎn)的二階及以上極點(diǎn)②虛軸上的二階及以上極點(diǎn)?？梢?jiàn)h(t)的波形是隨時(shí)間的增長(zhǎng)而發(fā)散的，如圖4-17所示。由上面的分析可見(jiàn)，H(s)的極點(diǎn)如果是虛軸上的一階極點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的h(t)的波形是階躍函數(shù)或等幅振蕩；如果是二階及以上的極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的h(t)的波形是隨時(shí)間發(fā)散的振蕩。圖4-17虛軸上的二階及以上極點(diǎn)

3)右半平面上的極點(diǎn)

H(s)的極點(diǎn)如在右半平面上，分析方法同上，其中a<0，即h(t)的波形都將隨時(shí)間的增大而增大。我們研究的是無(wú)源穩(wěn)定系統(tǒng)，所以不再詳細(xì)研究h(t)發(fā)散的波形。

總結(jié)上面的分析可知，若無(wú)源線性系統(tǒng)其系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)在s平面的左半平面上，則該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)是隨時(shí)間衰減的函數(shù)。若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)是s平面虛軸上的一階極點(diǎn)，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，因?yàn)榇讼到y(tǒng)的沖激響應(yīng)是階躍函數(shù)或等幅振蕩。若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)在s平面的右半平面上，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。這樣根據(jù)H(s)極點(diǎn)的位置就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。4.5.2系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

在第3章研究信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)不失真條件時(shí)，已經(jīng)看到頻域傳輸函數(shù)H(jω)在傳輸過(guò)程中對(duì)信號(hào)的幅度和相位的影響。H(jω)=|H(jω)|，其隨頻率ω變化的曲線稱為系統(tǒng)的頻響特性，|H(jω)|隨ω變化的曲線稱為幅頻特性，

(ω)隨ω變化的曲線稱為相頻特性。頻響特性在系統(tǒng)分析中有著重要的物理意義，下面將通過(guò)H(s)零極點(diǎn)的分析來(lái)說(shuō)明求系統(tǒng)頻響特性的方法。

1.系統(tǒng)函數(shù)的幾何描述

H(s)的一般表達(dá)式為現(xiàn)用極坐標(biāo)的形式把它表示出來(lái)，為此給出一具體的s值，即s=s0，設(shè)s0在s的左半平面上，如圖4-18所示，此時(shí)的H(s0)為圖4-18H(s)的表示可以看到，H(s0)分子、分母中的各項(xiàng)具有相同的形式，因此只要能表示出一項(xiàng)，其他各項(xiàng)也就迎刃而解了。為此取出分子中的任一項(xiàng)s0－γ1，一般情況下，s0、γi、λj都是復(fù)數(shù)，因此在復(fù)平面上可用原點(diǎn)到這一點(diǎn)的矢量表示。設(shè)γ1在s平面的第二象限，把s0和γ1都用矢量表示出來(lái)，這時(shí)即s0－γ1是s平面上由γ1終點(diǎn)指向s0終點(diǎn)的一個(gè)矢量，它又可以用模A1和幅角表示。A1與可用直角坐標(biāo)中的a、b線段計(jì)算，即用同樣的方法可表示出分子與分母中的各項(xiàng)，并且分子都用矢量A=A∠表示，分母用矢量B=B∠θ表示，于是，若H(s0)有兩個(gè)零點(diǎn)、三個(gè)極點(diǎn)，則(4-71)其中(4-72)(4-73)下面舉例說(shuō)明某給定點(diǎn)H(s0)的幾何求法。

【例4-23】

已知某系統(tǒng)的零極圖如圖4-19所示，求s=

－1+j時(shí)的H(s)值。

【解】

根據(jù)式(4-71)可分別求出s=－1+j時(shí)H(s0)的模和幅角=45°圖4-19例4-23圖所以

2.由系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零極點(diǎn)圖求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

上面的分析為求系統(tǒng)的頻響特性做好了準(zhǔn)備，在求系統(tǒng)的頻響特性時(shí)用jω代替s，此時(shí)

H(jω)=H(s)|s=jω

用上面得到的作圖法能很快畫(huà)出頻響特性H(jω)的模和幅角隨ω的變化曲線，即幅頻和相頻特性曲線。這一過(guò)程將通過(guò)例題進(jìn)行說(shuō)明。

【例4-24】

求圖4-20所示系統(tǒng)輸出為UR(s)時(shí)的頻響特性。圖4-20例4-24圖

【解】

系統(tǒng)函數(shù)為它在原點(diǎn)有一零點(diǎn)，在s=－處有一極點(diǎn)，把H(s)的零極點(diǎn)圖畫(huà)于圖4-20(b)中。為求系統(tǒng)的頻響特性用jω代替H(s)中的s，有在jω軸上任取一點(diǎn)jω，如圖4-20(b)所示，則其中為定性畫(huà)出幅頻及相頻特性，取ω由0→∞時(shí)的三個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行分析。

ω→0時(shí)，A→0，B→，，θ→0，所以

ω→∞時(shí)，A=B，，，所以根據(jù)上面H(jω)－ω的變化規(guī)律，在圖4-21中畫(huà)出了它的幅頻和相頻特性，當(dāng)ω達(dá)到某一值后，H(jω)的模和相位趨于穩(wěn)定，一般高通濾波器具有這樣的特性。圖4-21高通頻響特性

【例4-25】

求圖4-22中系統(tǒng)輸出為UC(s)時(shí)的頻響特性。

【解】

了解了求頻響特性的全過(guò)程后，可根據(jù)電路系統(tǒng)直接寫(xiě)出H(jω)來(lái)?？梢?jiàn)，傳輸函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，在處有一極點(diǎn)。把它的零極點(diǎn)圖畫(huà)于圖4-22中。在jω軸上任取一點(diǎn)jω，此時(shí)H(jω)可用極坐標(biāo)表示為圖4-22例4-25圖其中，模|H(jω)|=，幅角。

與上例相同，在ω由0→∞時(shí)討論下面三種特殊情況。

ω→0時(shí)，

ω→∞時(shí)，

ω→時(shí)，

圖4-23畫(huà)出了H(jω)的幅頻和相頻特性。一般低通濾波器具有這樣的特性。圖4-23低通頻響應(yīng)特性*4.6系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般判別方法

由上節(jié)分析可知，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)H(s)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面(不包含虛軸)時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)當(dāng)H(s)在s平面虛軸上有一階極點(diǎn)，其余極點(diǎn)位于s平面的左半平面時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。

(3)當(dāng)H(s)含有s平面右半平面的極點(diǎn)或虛軸上有二階及二階以上的極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

【例4-26】

判斷下述因果系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(1)；(2)；(3)

【解】(1)H1(s)的極點(diǎn)為s=－1，s=－2，都在s平面的左半平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)H2(s)的極點(diǎn)為s=0，是位于坐標(biāo)原點(diǎn)的單階極點(diǎn)，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

(3)H3(s)的極點(diǎn)為s=2，位于s平面的右半平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于n≥3的高階系統(tǒng)以及特征多項(xiàng)式A(s)含有未定參數(shù)的系統(tǒng)，難于確定系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，為此，必須借助于其他更一般的判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。典型的LTI因果系統(tǒng)穩(wěn)定的依據(jù)是滿足勞斯-霍爾維茨準(zhǔn)則(Routh-Hurwitzcriterion)，簡(jiǎn)稱R-H準(zhǔn)則。

勞斯-霍爾維茨準(zhǔn)則指出，若系統(tǒng)的特征方程為

A(s)=ansn+an－1sn－1+an－2sn－2+…+a1s+a0=0

則其特征根(即H(s)的極點(diǎn))全部位于s平面左半平面的條件如下：

①必要條件。特征多項(xiàng)式A(s)的全部系數(shù)an,an－1,…,a1,a0皆為正值且不為零(對(duì)一、二階系統(tǒng)又是充分條件)。②充分條件。將特征多項(xiàng)式系數(shù)按下列規(guī)則排列出勞斯表(即勞斯陣列)，其第一列元素皆為正值：在勞斯表中，第3行及以下各行的元素按下列規(guī)則計(jì)算：以此類推，直到第n+1行只有一個(gè)元素為止。上述準(zhǔn)則首先由霍爾維茨提出，為了紀(jì)念他，滿足穩(wěn)定必要條件的特征多項(xiàng)式A(s)又稱為霍爾維茨多項(xiàng)式，但霍氏準(zhǔn)則中的充分條件操作麻煩，勞斯提出了便于操作的勞斯表，故有勞斯-霍爾維茨準(zhǔn)則。利用該準(zhǔn)則判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的操作步驟如下：

(1)準(zhǔn)則中的必要條件是第一位的，如果特征多項(xiàng)式缺項(xiàng)或其系數(shù)符號(hào)有正有負(fù)，則系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的；如果特征多項(xiàng)式的系數(shù)皆為非零的正值，其系統(tǒng)也未必穩(wěn)定，必須列出勞斯表按充分條件檢查。

(2)列勞斯表對(duì)兩種特殊情況須作特殊處理：

勞斯表第三行及以下各行要進(jìn)行計(jì)算后再排列。在此過(guò)程中，將會(huì)遇到如下兩種特殊情況而不能繼續(xù)排表，必須提出處理辦法才可繼續(xù)排表。①某行第一個(gè)元素為零而其余元素不為零。處理辦法：一是用任意小的一正數(shù)ε代替零；二是將特征多項(xiàng)式系數(shù)顛倒排列，因?yàn)檫@樣做并未增加特征多項(xiàng)式冪次，但在勞斯表某行第一個(gè)元素則不為零。

②某行全部元素為零，它發(fā)生在該行的上兩行對(duì)應(yīng)元素值成比例的時(shí)候。實(shí)質(zhì)是全零行的上一行系數(shù)構(gòu)成的s偶次多項(xiàng)式A1(s)是A(s)的一個(gè)因子(它也是勞斯表中第一、二行元素構(gòu)成的偶次多項(xiàng)式與奇次多項(xiàng)式的公因子)，A1(s)=0的根(亦即A(s)=0的根)對(duì)稱原點(diǎn)(即在s平面呈上下左右對(duì)稱)分布。處理辦法是將的系數(shù)代替全零行繼續(xù)排表。因?yàn)?，并沒(méi)有增加A1(s)=0在s平面右半平面根的數(shù)目，所以，這時(shí)的系統(tǒng)可能是臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定的。

(3)如果第一列元素符號(hào)全為正，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果第一列元素的符號(hào)不完全相同，那么符號(hào)改變的次數(shù)就是A(s)=0在s平面右半平面根的數(shù)目。

【例4-27】

已知下列系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(1)A(s)=2s4+s3+3s2+5s=10；(2)A(s)=s5+s4+4s3+4s2+2s+1;

(3)A(s)=s5+4s4+8s3+8s2+7s+4；(4)H(s)=

【解】(1)顯然，A(s)的全部系數(shù)為正值且不為零。列勞斯表如下：從勞斯表可見(jiàn)，第一列的元素出現(xiàn)兩次符號(hào)改變，因此方程A(s)=0有兩個(gè)根位于s平面的右半平面，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)方法一列勞斯表如下：該勞斯表的第三行第一個(gè)元素出現(xiàn)0，用ε代之，繼續(xù)列表。勞斯表第一列元素值出現(xiàn)兩次符號(hào)改變，A(s)=0有兩個(gè)根在s平面的右半平面，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

方法二將特征多項(xiàng)式系數(shù)顛倒排列，即設(shè)

A(s)=s5+2s4+4s3+4s2+s+1

則可列出如下所示的勞斯表。顯然，第一列元素符號(hào)改變兩次，A(s)=0的根有兩個(gè)分布在s平面的右半平面，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(3)列勞斯表如下：顯然，第s1行元素全為0，不能繼續(xù)排表。應(yīng)以第s2行的系數(shù)作依據(jù)，令A(yù)1(s)=4s2+4為輔助多項(xiàng)式(偶次多項(xiàng)式)，則

，其系數(shù)代替第s1行的系數(shù)，繼續(xù)排出全勞斯表。排勞斯表時(shí)出現(xiàn)某一行元素全為零，它一定出現(xiàn)在上兩行對(duì)應(yīng)元素比值為時(shí)，說(shuō)明上一行元素構(gòu)成的s多項(xiàng)式A1(s)=4s2+4是A(s)的因子，即特征方程A(s)=(s2+1)·(s3+4s2+7s+4)=0有特征根s1，2=±j為共軛虛根，并且勞斯表第一列元素皆為正值，A(s)=0無(wú)根分布在s平面的右半平面，故該系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。

(4)該系統(tǒng)特征方程為A(s)=s2+5s+6+k=0，根據(jù)R-H準(zhǔn)則可知，當(dāng)6+k>0，亦即k>－6時(shí)，該系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定(k<－6)或臨界穩(wěn)定(k=－6)。

4.7LTI系統(tǒng)復(fù)頻域框圖和信號(hào)流圖

4.7.1LTI連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域的基本圖示法

1.基本運(yùn)算器的復(fù)頻域模型

模擬框圖是系統(tǒng)的表達(dá)方式之一，表4-5列出了模擬基本運(yùn)算器的s域模型與時(shí)域模型，利用這些運(yùn)算器的s域模型可以作出系統(tǒng)的s域模擬框圖。

2.系統(tǒng)的復(fù)頻域框圖表示

我們?cè)谇懊嬖岬较到y(tǒng)可以用框圖來(lái)表示，在零狀態(tài)下，時(shí)域、頻域和復(fù)頻域的系統(tǒng)特性可以分別用h(t)、H(jω)和H(s)來(lái)表征。在復(fù)頻域，如果系統(tǒng)的激勵(lì)為F(s)，輸出零狀態(tài)響應(yīng)為Yf(s)，則框圖本身就是H(s)，如圖4-24所示。

該框圖不僅代表數(shù)學(xué)式Y(jié)f(s)=F(s)H(s)，而且圖4-24中的箭頭方向代表系統(tǒng)傳輸信號(hào)的方向。

圖4-24系統(tǒng)s域框圖

3.系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示

連續(xù)系統(tǒng)還可以用信號(hào)流圖來(lái)表示。信號(hào)流圖由美國(guó)麻省理工學(xué)院的梅森(SamuelJ.Mason)教授于20世紀(jì)50年代提出，他同時(shí)給出了梅森公式。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，用s域框圖和信號(hào)流圖表示沒(méi)有原則區(qū)別。信號(hào)流圖是用點(diǎn)和有向線段來(lái)描述線性方程組變量間因果關(guān)系的一種圖示，是系統(tǒng)框圖的簡(jiǎn)潔表示。用它來(lái)描述LTI系統(tǒng)，不但比框圖更為簡(jiǎn)便，而且還通過(guò)梅森公式將系統(tǒng)函數(shù)與相應(yīng)的信號(hào)流圖聯(lián)系起來(lái)，使信號(hào)流圖簡(jiǎn)明地溝通了系統(tǒng)的方程、系統(tǒng)函數(shù)以及框圖之間的聯(lián)系。因此，采用信號(hào)流圖不僅有利于系統(tǒng)分析，也便于系統(tǒng)模擬。如圖4-25(a)所示的系統(tǒng)框圖，變成信號(hào)流圖形式就是一有向線段，在箭頭旁注明了系統(tǒng)函數(shù)，線段端點(diǎn)代表信號(hào)，稱為節(jié)點(diǎn)，如圖4-25(b)所示。有向線段表示信號(hào)傳輸?shù)穆窂胶头较?，一般稱為支路，每一條支路的系統(tǒng)函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)乘法器。

加法器、積分器和標(biāo)量乘法器用信號(hào)流圖表示如圖4-26所示。圖4-25系統(tǒng)框圖和信號(hào)流圖的比較圖4-26基本運(yùn)算器信號(hào)流圖(a)加法器；(b)積分器和標(biāo)量乘法器在圖4-26(a)中，加法器的節(jié)點(diǎn)X3(s)代表了多路信號(hào)輸入，多路信號(hào)之間是相加的關(guān)系，而且也可以有不同方向輸出。例如，圖4-26(a)所示加法器，有兩個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)X1(s)和X2(s)，兩個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)X4(s)和X5(s)，則按信號(hào)流圖構(gòu)成原則有下述節(jié)點(diǎn)方程：X3(s)=X1(s)H13(s)+X2(s)H23(s)；X4(s)=X3(s)H34(s)；X5(s)=X3(s)H35(s)。因此，信號(hào)流圖中作為加法器的點(diǎn)(又稱和點(diǎn))相當(dāng)于框圖中的加法器，與緊跟其后的分點(diǎn)結(jié)合在一起，如果需要相減，應(yīng)將負(fù)號(hào)放在支路系統(tǒng)函數(shù)H13(s)或H23(s)之前，如－H13(s)或－H23(s)。

4.系統(tǒng)信號(hào)流圖和s域框圖的基本連接方式

一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)可以由許多子系統(tǒng)通過(guò)適當(dāng)?shù)倪B接組成，因此，了解系統(tǒng)基本的連接方式顯得十分必要。三種基本連接方式——級(jí)聯(lián)、并聯(lián)和反饋可分別以框圖和信號(hào)流圖表示，如圖2-27、圖2-28和圖2-29所示。圖4-27級(jí)聯(lián)框圖與信號(hào)流圖圖4-28并聯(lián)框圖與信號(hào)流圖圖4-29反饋連接框圖與信號(hào)流圖(a)正反饋；(b)負(fù)反饋

1)級(jí)聯(lián)

H(s)=H1(s)H2(s)

注意：級(jí)聯(lián)時(shí)H2(s)不能是H1(s)的負(fù)載，因此，工程上往往要加隔離器。

2)并聯(lián)

H(s)=H1(s)+H2(s)

3)反饋

正反饋：負(fù)反饋：4.7.2系統(tǒng)的復(fù)頻域模擬

系統(tǒng)函數(shù)H(s)表征了系統(tǒng)的輸入輸出特性，而且它是有理分式，運(yùn)算較為簡(jiǎn)便，因而s域連續(xù)系統(tǒng)的模擬常通過(guò)系統(tǒng)函數(shù)來(lái)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。同一系統(tǒng)函數(shù)，通過(guò)不同的運(yùn)算，可以得到多種形式的模擬實(shí)現(xiàn)方案。常用的模擬實(shí)現(xiàn)有直接實(shí)現(xiàn)(又稱卡爾曼實(shí)現(xiàn))、級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)和并聯(lián)實(shí)現(xiàn)。以下舉例說(shuō)明。

【例4-28】

某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，試分別用直接實(shí)現(xiàn)、級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)和并聯(lián)實(shí)現(xiàn)模擬該系統(tǒng)。

【解】(1)直接實(shí)現(xiàn)。

H(s)的分子、分母同乘以s－3，得H(s)含有s－3，因此該系統(tǒng)具有三個(gè)積分器。從分母知該系統(tǒng)分別從三個(gè)積分器的輸出乘以標(biāo)量后引出三個(gè)負(fù)反饋支路；從分子可知輸出Y(s)是從第二級(jí)和第三級(jí)積分器輸出的疊加。該系統(tǒng)的直接模擬信號(hào)流圖和框圖如圖4-30所示。實(shí)際上，s域的直接模擬就是時(shí)域模擬取了拉普拉斯變換。圖4-30直接實(shí)現(xiàn)

(2)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。其中，由此可得級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)的模擬信號(hào)流圖和模擬框圖如圖4-31所示。注意，級(jí)聯(lián)模擬選擇子系統(tǒng)有多種方案，對(duì)于具有共軛極點(diǎn)的二階系統(tǒng)，當(dāng)作一個(gè)模擬整體較為方便。圖4-31級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)

(3)并聯(lián)實(shí)現(xiàn)。由此可得并聯(lián)形式的模擬信號(hào)流圖和模擬框圖如圖4-32所示。圖4-32并聯(lián)實(shí)現(xiàn)4.7.3梅森公式及應(yīng)用

1950年，梅森利用一套瞬時(shí)代數(shù)方程的克拉默(Cramer)方法證明了一種算法，用于求解信號(hào)流圖或系統(tǒng)框圖輸入點(diǎn)與輸出點(diǎn)之間的系統(tǒng)函數(shù)，這個(gè)算法后來(lái)被稱為梅森公式。它廣泛地用在連續(xù)系統(tǒng)的s域或離散系統(tǒng)的z域作系統(tǒng)的模擬和系統(tǒng)函數(shù)的化簡(jiǎn)。

1.關(guān)于信號(hào)流圖的專門(mén)術(shù)語(yǔ)

1)節(jié)點(diǎn)

節(jié)點(diǎn)是系統(tǒng)中信號(hào)的點(diǎn)的總稱，它包括：

(1)源點(diǎn)(輸入節(jié)點(diǎn))——僅有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，又稱獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸入信號(hào)，如圖4-33中所示的F(s)。

(2)阱點(diǎn)(輸出節(jié)點(diǎn))——僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，屬非獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸出信號(hào)，如圖4-33中所示的Y(s)。

(3)混合節(jié)點(diǎn)——既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，屬非獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，代表該點(diǎn)輸入信號(hào)之和，如圖4-33中所示的X1、X2、X3、X4、X5。圖4-33系統(tǒng)信號(hào)流圖

2)支路

支路表示兩節(jié)點(diǎn)間的有向連線，在方向箭頭旁標(biāo)出支路的系統(tǒng)函數(shù)。

3)通路

通路表示同方向的支路序列。通路的轉(zhuǎn)移函數(shù)等于各支路轉(zhuǎn)移函數(shù)(又稱增益)之積，其中分為：

(1)開(kāi)通路(前向通路)——從輸入節(jié)點(diǎn)到任一非獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的不閉合通路。前向通路中通過(guò)的任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，如圖4-33中從F到Y(jié)只有一條開(kāi)通路F→X1→H1→X2→H2→X3→H3→X4→H4→X5→H4→X5→Y。

(2)閉通路(回路或環(huán))——閉通路除首尾節(jié)點(diǎn)重合外，其余節(jié)點(diǎn)只出現(xiàn)一次。圖4-33中共有四個(gè)環(huán)。

(3)不接觸通路——無(wú)公共節(jié)點(diǎn)的通路，包括不接觸開(kāi)通路、不接觸環(huán)路以及開(kāi)通路與環(huán)路的不接觸。圖4-33中不存在不接觸開(kāi)通路；但有一對(duì)兩兩不接觸環(huán)路：環(huán)路X1→H1→X2→H8→X1與環(huán)路X3→H3→X4→H4→X5→(－H7)→

X3；不存在三個(gè)互不相接觸的環(huán)路。若以節(jié)點(diǎn)X