目錄：數(shù)學(xué)選修2-1

第一章常用邏輯用語(yǔ)［基礎(chǔ)訓(xùn)練A組］

第一章常用邏輯用語(yǔ)［綜合訓(xùn)練B組］

第一章常用邏輯用語(yǔ)［提高訓(xùn)練C組］

第二章圓錐曲線［基礎(chǔ)訓(xùn)練A組］

第二章圓錐曲線［綜合訓(xùn)練B組］

第二章圓錐曲線［提高訓(xùn)練C組］

第三章空間向量與立體幾何［基礎(chǔ)訓(xùn)練A組］

第三章空間向量與立體幾何解答題精選

（數(shù)學(xué)選修2-1）第一章常用邏輯用語(yǔ)

［基礎(chǔ)訓(xùn)練A組］

一、選擇題

1.下列語(yǔ)句中是命題的是（）

A.周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？B.sin45°=1

C.x2+2x-\＞0D.梯形是不是平面圖形呢？

2.在命題“若拋物線y=加+Z?x+c的開(kāi)口向下，貝ij*+〃x+c＜（）｝￥?！钡?/p>

逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是（）

A.都真B.都假C.否命題真D.逆否命題真

3.有下述說(shuō)法：①。是。的充要條件.②。是!＜,的充要條件.

ab

③。＞6＞（）是/的充要條件則其中正確的說(shuō)法有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

4.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真

B.“a>b”與“a+c〉〃+c?”不等價(jià)

C."/+/=o,貝〃全為（）”的逆否命題是“若。力全不為0,則/+〃工0”

D.一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真

5.若A:awR，M<l,B:x的二次方程尤*+（。+1）1十。-2=（）的一個(gè)根大于零，

另一根小于零，則A是B的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知條件〃：次+1|>2,條件4：5X-6>J,則一/）是F的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

1.命題：“若。力不為零，則。力都不為零”的逆否命題是O

2

2.A:%是方程cix+bx+c=0（。w0）的兩實(shí)數(shù)根；B:x1,

a

則A是B的條件。

3.用“充分、必要、充要”填空：

①pvq為真命題是〃八4為真命題的條件；

②為假命題是pvq為真命題的條件；

③4:卜一2卜3,B:X2-4^-15<0,則A是B的條件。

4.命題“。小-2依-3>0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是o

5.ua+b^Zn是+〃（+/,二o有且僅有整數(shù)解”的條件。

三、解答題

1.對(duì)于下述命題p,寫(xiě)出“力”形式的命題，并判斷“〃”與“力”的真假：

（1）〃：91€（408）（其中全集U=N*,A={x|x是質(zhì)數(shù)},8={x|x是正奇數(shù)}）.

<2）p:有一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)；.

（3）p:任意正整數(shù)都是質(zhì)數(shù)或合數(shù)；

（4）〃:三角形有且僅有一個(gè)外接圓.

2.已知命題〃：|4一才46國(guó)：/-21+1*20（。>0）,若非〃是4的充分不必要條件，求。

的取值范圍。

3.若求證：Q,〃,C不可能都是奇數(shù)。

思

子

而

曰

不

：

學(xué)

學(xué)

而

則

不

殆

思

4.求證：關(guān)于X的一元二次不等式0?-〃工+1>（）對(duì)于一切實(shí)數(shù)1都成。

則

立的充要條件是0<a<4

罔

，

新課程高中數(shù)學(xué)測(cè)試題組

（數(shù)學(xué)選修2-1）第一章常用邏輯用語(yǔ)

［綜合訓(xùn)練B組］

一、選擇題

1.若命題“pW為假，且“力”為假，則（）

A.〃或9為假B.q假

C.q真D.不能判斷g的真假

2.下列命題中的真命題是（）

A.b是有理數(shù)B.28是實(shí)數(shù)

C.e是有理數(shù)D.｛幻不是小數(shù)｝齷尺

3.有下列四個(gè)命題：

①“若x+）,=0,則X,），互為相反數(shù)”的逆命題；

②“全等三角形的面積相等”的否命題；

③“若,則V+2x+9=0有實(shí)根”的逆否命題；

④“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等"逆命題；

其中真命題為（）

A.①②B.②?

C.①③D.③?

4.設(shè)awR,則是,〈I的（）

a

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.命題：“若"+必=O（a/￡R）,則。=/?=（）"的逆否命題是（）

A.若aw〃hO(a,beR),則a2+b2w0

B.若。=b于O(a,bwR),則/+從工。

C.若且/?WOS,Z?￡H),則^+^工。

D.若〃￥0,或bwOg,Z?￡/?),則/十〃￥()

6.若￡R,使同+例>1成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.\a+t\>\B.a>\C.,性0.5，也20.5D.b<-\

二、填空題

1.有下列四個(gè)命題：

①、命題“若沖=1,則K,y互為倒數(shù)”的逆命題；

②、命題“面積相等的二角形全等”的否命題；

③、命題“若加VI,則一一2工+〃?=0有實(shí)根”的逆否命題；

④、命題“若A"B=B,則A=B”的逆否命題。

其中是真命題的是(滇上你認(rèn)為正確的命題的序號(hào))。

2.已知〃國(guó)都是〃的必要條件，$是廠的充分條件，4是s的充分條件，

貝心是q的條件，r是q的條件，〃是s的條件.

3.“△ABC中，若NC=90°,則NA,NB都是銳角”的否命題為

4.已知a、夕是不同的兩個(gè)平面，直線qua,直線〃u/，命題〃：。與人無(wú)公共點(diǎn)；

命題9:a〃〃，則〃是夕的條件。

5.若“工￡[2,5]或工￡{幻工<1或￥>4}”是假命題，則x的范圍是。

三、解答題

1.判斷下列命題的真假：

(1)已知a,Z?,c,dGR若或人wd,貝ija+bwc+d.

2

(2)VxwN,V>x

(3)若m>1,則方程f-2x+〃?=0無(wú)實(shí)數(shù)根。

(4)存在一個(gè)三角形沒(méi)有外接圓。

2.已知命題〃：f—XN6M：XCZ且“〃且與“非4”同時(shí)為假命題，求x的值。

3.已知方程x2+（2k—1?+A?=0,求使方程有兩個(gè)大于|的實(shí)數(shù)根的充要條件。

4.已知下列三個(gè)方程：f+4cvc-+3=0,x2+[a-\）x+a2=0,x24-lax-2d=0

有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)”的取值范圍。

新課程高中數(shù)學(xué)測(cè)試題組

（數(shù)學(xué)選修2-1）第一章常用邏輯用語(yǔ)

[提高訓(xùn)練C組]

一、選擇題

1.有下列命題：①2004年10月1日是國(guó)慶節(jié)，又是中秋節(jié)；②10的倍數(shù)一定是5的倍數(shù);

③梯形不是矩形；④方程V=1的解工=±1。其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.設(shè)原命題：若a+62,則中至少有一個(gè)不小于1,則原命題與其逆命題

的真假情況是（）

A.原命題真，逆命題假B.原命題假，逆命題真

C.原命題與逆命題均為真命題D.原命題與逆命題均為假命題

3.在△A8C中，“A>30°”是“sinA>，”的（）

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

4.一次函數(shù)y=的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的必要但不充分條件是（）

nn

A.m><1B.mn<0C.m>0,<0D.根<0,且〃<0

5.設(shè)集合"={其入>2}]="|%<3},那么“％0加，或不￡夕是“工￡加，戶”的

（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.命題p:若a,beR,貝!I同+川>1是|。+4〉1的充分而不必要條件；

命題q:函數(shù)y=Jx-1|-2的定義域是(-oo,—l]U[3,48),則()

A."p或q”為假B.“p且g”為真

C.〃真9假D.〃假真

二、填空題

1.命題“若△4。。不是等腰三角形，則它的任何兩個(gè)內(nèi)角不相等”的逆否命題

是;

2.用充分、必要條件填空：①xwl,且yw2是x+yw3的

②xw1,或y"2是x+"3的

3.下列四個(gè)命題中

①“攵二1”是“函數(shù)y=cos2區(qū)-siM4:的最小正周期為期”的充要條件；

②“。=3”是“直線or+2)，+3a=0與直線31+(。-1))，=。-7相互垂直”的充要條件;

③函數(shù))，=二上的最小值為2

其中假命題的為￡將你認(rèn)為是假命題的序號(hào)都填上)

4.已知出?工0,則a—〃=1是—ab—/=0的條件。

5.若關(guān)于x的方程V+2(。-l)x+2。+6=0.有一正一負(fù)兩實(shí)數(shù)根，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍o

三、解答題

1.寫(xiě)出下列命題的“力”命題：

(1)正方形的四邊相等。

(2)平方和為。的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為0。

(3)若小臺(tái)。是銳角三角形，則AA3C的任何一個(gè)內(nèi)角是銳角。

(4)若aZ?c=0,則a,/7,c中至少有一個(gè)為0。

(5)若“-1)(%-2)/0,貝卜工1團(tuán)工2。

2.已知〃：1一?42；q'.x2-2x+\-m2<0(/??>0)若力是F的必要非充分條

件，求實(shí)數(shù)〃7的取值范圍。

3.設(shè)0<。,力,c<l,

求證：（1一a）〃,（1一。元,（1一c）a不同時(shí)大于—.

4

4.命題p:方程x2+〃a+1=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，

命題夕:方程4/+4（用+2）x+l=0無(wú)實(shí)數(shù)根。若"p或q”

來(lái)

亦

而

子為真命題，求小的取值范圍。

不

曰

，

說(shuō)

不

慍

：

乎新課程高中數(shù)學(xué)訓(xùn)練題組

亦

學(xué)

，

？

不

樂(lè)

而

有根據(jù)最新課程標(biāo)準(zhǔn)，參考獨(dú)家內(nèi)部資料，

亦

乎

時(shí)

朋

君

？

習(xí)

自

人

子

之精心編輯而成；本套資料分必修系列和選修

遠(yuǎn)

不

乎

，

方

知

不

？系列及部分選修4系列。歡迎使用本資料！

（數(shù)學(xué)選修2-1）第二章圓錐曲線

［基礎(chǔ)訓(xùn)練A組］

一、選擇題

2

1.已知橢圓F一+v上-二1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,

2516

則P到另一焦點(diǎn)距離為（）

A.2B.3C.5D.7

2.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18,焦距為6,則橢圓的方程為（）

尸4y

A.--+一B.-------1---=1

9162516

c.匚+21=]或二+￡=]

D.以上都不對(duì)

25161625

3.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M（1,O）及點(diǎn)N（3,0）的距離之差為2,則點(diǎn)P的軌跡是（）

A.雙曲線B.雙曲線的一支C.兩條射線D.一條射線

4.設(shè)雙曲線的半焦距為C,兩條準(zhǔn)線間的距離為d,且C=d,

那么雙曲線的離心率e等于()

A.2B.3C.V2D.V3

5.拋物線y2=10A:的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()

A.—B.5C.—D.10

22

6.若拋物線_/=8工上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為9,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()。

A.(7,±V14)B.(14,±V14)C.(7,±2>/14)D.(-7,±2X/L4)

二、填空題

1.若橢圓V+〃/=i的離心率為且，則它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為.

2.雙曲線的漸近線方程為x±2y=0,焦距為1(),這雙曲線的方程為

3.若曲線一工一+工=1表示雙曲線，則Z的取值范圍是________________o

4+kl-k

4.拋物線的準(zhǔn)線方程為.

5.橢圓5/+外2=5的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么攵=o

三、解答題

1.人為何值時(shí)，直線丁二"+2和曲線2/+3y2=6有兩個(gè)公共點(diǎn)？有一個(gè)公共點(diǎn)？

沒(méi)有公共點(diǎn)？

2.在拋物線)，=4/上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線y=4x-5的距離最短。

3.雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)耳(0,-5),5(0,5),點(diǎn)P(3,4)是雙曲線的漸近線與橢圓的

一個(gè)交點(diǎn)，求漸近線與橢圓的方程。

29

4.若動(dòng)點(diǎn)蛆,），）在曲線?+￡=is>°）上變化‘貝，g的最大值為多少？

（數(shù)學(xué)選修2-1）第二章圓錐曲線

［綜合訓(xùn)練B組］

一、選擇題

1.如果工2+外尸=2表示焦點(diǎn)在），軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)攵的取值范圍是（）

A.（0,m）B.（0,2）C.（l,+oo）D.（0,11

X2V2

2.以橢圓=+2—=1的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),離心率為2的雙曲線方程（）

2516

2，

廠）廠.

A.二-匯=1B.-------=1

1648927

cX"y~一工y-

C.----------=1或--------D.以上都不對(duì)

1648927

3.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)工作垂直于實(shí)軸的弦PQ,乙是另一焦點(diǎn)，若NP￡Q=］,

則雙曲線的離心率e等于（）

A.yf2,—1B.V2C.V2+1D.+2

4.F}1F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，4為橢圓上一點(diǎn)，且NA片8=45°,則

△AK鳥(niǎo)的面積為（）

r7-7D.述

A.7B?-C.一

422

5.以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)圓一+丁2-2.1+6丁+9=（）的圓心的拋物線的

方程是（）

A.），=3/或），=一3/B.y=3x2

C.），2=-9工或y=3./D.），=一3/或），2=9x

6.設(shè)4?為過(guò)拋物線丁2=2〃叱〃>0）的焦點(diǎn)的弦，則|A耳的最小值為（）

A.yB.pC.2PD.無(wú)法確定

二、填空題

X2y21

1.橢圓^+L=1的離心率為一，則左的值為_(kāi)____________o

Z+892

2.雙曲線8觸2-@2=8的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,3）,則2的值為o

3.若直線x-y=2與拋物線V=4x交于A、B兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是

4.對(duì)于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q,點(diǎn)P（〃,O）都滿足|尸。|>同，則a的取值范圍是—

5.若雙曲線9-5=1的漸近線方程為），=±咚X，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________

X-

6.設(shè)48是橢圓的不垂直于對(duì)稱軸的弦，時(shí)為A8的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

7

貝！IkAfi?kOM----------o

三、解答題

1.已知定點(diǎn)4-2,6），尸是橢圓斗十:二1的右焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)M,

1612

使|AM|+21Mbi取得最小值。

2.攵代表實(shí)數(shù)，討論方程依2+2產(chǎn)一8=0所表示的曲線

3.雙曲線與橢圓|y+（二l有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（后,4）,求其方程。

4.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線），=2x+l截得的弦長(zhǎng)為后,

求拋物線的方程。

新課程高中數(shù)學(xué)測(cè)試題組

（數(shù)學(xué)選修2-1）第二章圓錐曲線

［提高訓(xùn)練C組］

一、選擇題

1.若拋物線r二元上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（；,1夜、16、1夜、

B.-,±——)C.(-,—)D.(-,——)

844484

22

2.橢圓器十卷=1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)耳、心的連線互相垂直，

則△。大用的面積為（）

A.20B.22C.28D.24

3.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2）,產(chǎn)是拋物線V=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在

拋物線上移動(dòng)時(shí)，使阿耳+|M4|取得最小值的M的坐標(biāo)為（）

A.（0,0）B.C.（1,V2）D.（2,2）

2

4.與橢圓三+y2=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)Q（2,l）的雙曲線方程是（）

4'

9，22

尸，icr01cxy

---v-=1B.----y~=1C.-------=1fD.A-2

24332

5.若直線y=Zx+2與雙曲線/一丁二6的右支交于不同的兩點(diǎn)，

那么〃的取值范圍是()

/V15屈、小而、、/厲八/V15-

A.(-----,----)B.(0,----)C.(-----,0)D.(-----1)

33333

6.拋物線)，=2/上兩點(diǎn)4(否，%)、3(%,必)關(guān)于直線)=工+相對(duì)稱，

且用=-3，則加等于()

35

A.-B.2C.-D.3

22

二、填空題

22

1.橢圓著+?=1的焦點(diǎn)K、F2,點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NF|PF?為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫

坐標(biāo)的取值范圍是o

2.雙曲線a-)/=i的一條漸近線與直線2x+)，+]=o垂直，則這雙曲線的離心率為_(kāi)。

3.若直線》=依-2與拋物線)1=8x交于A、8兩點(diǎn)，若線段A8的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,

貝!1|A8|=

4.若直線y=丘-1與雙曲線Y-V=4始終有公共點(diǎn)，則人取值范圍是

5.已知A(0,T),8(3,2),拋物線)3=8x上的點(diǎn)到直線A8的最段距離為

三、解答題

1.當(dāng)a從00到180。變化時(shí)，曲線/+),28$。=1怎樣變化?

2.設(shè)耳，鳥(niǎo)是雙曲線方■-卷=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且/6。8=60°,

求鳥(niǎo)的面積。

22

3.已知橢圓j+2r=1(。＞人＞0),A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段A8的垂直

a~b~

2122＞2

平分線與久,軸相交于點(diǎn)p(%,0).證明：-土二土

aa

22

4.己知橢圓二十二=1,試確定機(jī)的值，使得在此橢圓上存在不同

43

兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4.x+m對(duì)稱。

好

不

不

子新課程高中數(shù)學(xué)測(cè)試題組

之

曰

如

如

根據(jù)最新課程標(biāo)準(zhǔn)，參考獨(dú)家內(nèi)部資料，

者

：

樂(lè)

好

知

之

之精心編輯而成；本套資料分必修系列和選修

之

者

者

者

。

，系列及部分選修4系列。歡迎使用本資料!

(數(shù)學(xué)選修2-1)第二章空間向量與立體幾何

［基礎(chǔ)訓(xùn)練A組］

一、選擇題

1.下列各組向量中不平行的是()

A.刁二(1,2,—2),B=(—2,-4,4)B.c=(1,0,0)J=(-3A0)

C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.夕=(-2,3,5),5=(16,24,40)

2.已知點(diǎn)A(-3,1,-4),則點(diǎn)A關(guān)于不軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(—3,-1,4)B.(—3,—1,-4)C.(3,1,4)D.(3,—1,-4)

-8

3.若向量2=(1,42),力=(2,-1,2),且2與人的夾角余弦為？，則4等于()

9

A.2B.-2

2

C.-2或三D.2或-2

5555

4.若A(L-2,1),B(4,2,3),C(6-l,4),則△ABC的形狀是()

A.不等邊銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

5,若A3,57,2x7),B(1,X+2,2-X),當(dāng)網(wǎng)取最小值時(shí)，幻的值等于()

A.19B.'CTD.

7714

TT

6.空間四邊形O48C中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=-

3f

貝！]。0§<043。>的值是()

二、填空題

1.若向量2=(4,2,-4),5=(6,-3,2),則(2。-38)?(。+2。)=

2.若向量不=27—]+E,B=4：+9j+E,,則這兩個(gè)向量的位置關(guān)系是__________

3.已知向量不=(2,-1,3),〃=(-4,2,x),若a_LB,則大=；若?！˙則x=

4.已知向量2=mi+5j-k.b=3/+j+rk,若allb則實(shí)數(shù)m=

5.若(a+3〃)J.(71—5G),且①一4b)_L(7M—5B),則3與B的夾角為

1955

6.若A(0,2,—)，B(1-1,-),C(—2/，d)是平面a內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面。的法向量

888

a=(x,y,z),貝!]x:y:z=。

7.己知空間四邊形Q4BC,點(diǎn)M,N分別為04,5c的中點(diǎn)，且0A=d,OB=b,OC=,

用5,bt￡?表示MZ,則M"=

8.已知正方體ABC。-A4G2的棱長(zhǎng)是1，則直線。片與AC間的距離為、

空間向量與立體幾何解答題精選(選修2.?1)

1.已知四棱錐尸—ABC。的底面為直角梯形，AB//DC,

ND4B=90°,PA_L底面A8CO,且PA=AO=OC='，

2

AB=\fM是總的中點(diǎn)。

(I)證明：面月4。_1_面「。。；

(II)求AC與所成的角；

(m)求面AMC>與面BMC所成一面角的大小。

證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AO長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為

4(0,0,0),8(0,2,0),C(l,1,0),0(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,工).

2

(I)證明：因而二(0,0,1),皮=(0,1,0)，故而?反=0,所以P_LOC

由題設(shè)知4。_LOC,且AP與4。是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得。。，面PA。.

又。。在面PCO上，故面面尸CO.

(II)解：因衣=(1,1,0),麗=(0,2,-1),

故|而>也,|麗|二石，衣?麗二2,所以

7T-~DDACPBV10

cos<AC.PB>=^=：——=-=---.

\AC\\PB\5

(m)解：在MC上取一點(diǎn)N*,y,z),則存在義￡凡使NC=2MC

NC=(1—x,l—y,—z),MC—(1,0,—x=1—A,y=z=-A..

------------14

要使ANJ_MC,只需AN?MC=OWx--z=0,解得4=

25

419-------------

可知當(dāng)4=不時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(不1,?,能使AN.用C=0.

555

此時(shí)，前==有贏沆=0

由AMMC=0,BN-MC=OWAN1MC,BN±MC所以Z4g為

所求二面角的平面角.

,\AN\=^,\BN\=叵,AN.BN=-+

555

AN'BN2

cos(AN,BN)

IANHBNI3

?

故所求的二面角為arccos(-一).

3

2.如圖，在四棱錐V—ABC。中，底面ABC。是正方形，側(cè)面L4D是正三角形,

平面L4O_L底面ABCD.

(I)證明：AB_L平面L4D；

(II)求面L4O與面03所成的二面角的大小.

證明：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)圖系.

(I)證明：不防設(shè)作A(1,O,O),

1Ji

則以1,1,0),V(-A—)>

22

=(0,1,0),164=4,0-

2

由而,詁二0,得又AB_LAD,因而AB與平面34。內(nèi)兩條相交直線34,

4。都垂直.???A8"L平面

1Ji

(n)解：設(shè)七為“中點(diǎn)‘貝1但"°’7)’

—k3?^3—-3A/3,1

E4中

由麗?麗=0,得EB上DV,XEA±DV.

因此，NAE3是所求二面角的平面角,

cos通麗二且晏=叵,

\EA\-\EB\7

解得所求二面角的大小為arccos衛(wèi)■.

7

3.如圖，在四棱錐「一月3CD中，底面A3c。為矩形，

側(cè)棱A4_L底面A8c。，AB=6,BC=\tPA=2t

E為PD的中點(diǎn).

(I)求直線AC與P3所成角的余弦值；

(II)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)N,使跖_(tái)1面幺。，

并求出點(diǎn)N到A8和AP的距離.

解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A,B,C,D,P,E的坐標(biāo)為A(0,0,0)、

3(6,0,0)、C("l,0)、。(0』,0)、

P(0,0,2)、七嗚1),

從而/=(g,1,0),而=(V3,0-2).

設(shè)正與方的夾角為0,則

八ACP533V7

cose=^=：——=—尸=—,

\AC\-\PB\2V714

???AC與總所成角的余弦值為平.

(II)由于N點(diǎn)在側(cè)面Q45內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,z),則

而：=(-x』,l-z),由凡￡_1_面尸4。可得,

2

73

(-X(0,0,2)=0,x=—

~NEAP=0,2

即4化筒得6

~NEAC=0.(-X,pl-z)-(73,1,0)=0.z=1

即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(g,OJ),從而N點(diǎn)到A3和AP的距離分別為1,—

66

4.如圖所示的多面體是由底面為48co的長(zhǎng)方體被截面AEGb所截面而得到的，其中

AB=4,BC=2,CC=3,BE=l.

求尸的長(zhǎng)；

(I)8G

(II)求點(diǎn)C到平面AEC,F的距離.

解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),4(2,4,0)

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C,(0,4,3)設(shè)F(0,0,z).

???A￡G/為平行四邊形，

由4EG尸為平行四邊形

.?.由77=的得，(-2,0,z)=(-2,0,2),

z=2.AF(0,0,2).

.-.FF=(-2-4,2).

于是I游11=26,即B用勺長(zhǎng)為26.

(H)設(shè)彳為平面AEG尸的法向量，

顯然片不垂直于平麗力凡故可設(shè)*=(乂y,l)

,f/7,.AE=0,3[0xx+4xy+1=0

由《得乂

.A尸=(),[-2xx+0xy+2=0

x=l,

?.1

m。,k"?

又函:(0,0,3),設(shè)函與1的夾角為a,貝IJ

CC.'n.34733

cosa=r-=------(=-------.

(Gil*33

???C到平面AEC尸的距離為

,?_245/33_4733

d—CCcosa=3x-------=--------.

y13311

5.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—A4GA，中，AD=AA{=\,AB=2f點(diǎn)E在棱4。上移

動(dòng).(1)證明：A。：

(2)當(dāng)E為48的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACR的距離；

(3)AE等于何值時(shí)，二面角。一EC-。的大小為三.

解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線D4,OC,O2分別為/,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

AE=xf則A(1,0,1),D、(0,0,1),E(l,x,0),A(l,0,0),C(0,2,0)

(1)因?yàn)辂?，?(1,0,1),(1,X,—1)=0,所ID^E.

(2)因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E(1JO),從而萬(wàn)三=(1,1,一1),衣=(一1,2。)，

?一，?

福=(一1。1),設(shè)平面4c。的法向量為1=(〃,〃?,貝=°'

/7-AD,=0,

也即!+=得/=2",從而7=(2,1,2),所以點(diǎn)E1到平面ACQ的距離為

-a+c=0[a=c

,I麻G|2+1-21

n=----=--------=

|n|33

(3)設(shè)平面REC的法向量i=(a,〃,c、)，，無(wú)=(l,x-2,O),麻=(0,2,-1),函=(0,0,1),

伍?麻=0,[2/7-c=0人，

由《=>《令。=1,.，.c=2,〃=2—X,

[H-CE=0,[a+b(x-2)=0.

An=(2-尤J,2).

壯.*兀I7函IJ22V2

依題意cos—=———==-=—=>--==—.

42J(X_2)2-52

/.A：1=2+y/3(不合，舍去)，x2=2-V3.

???4七=2-6時(shí)，二面角。一EC-。的大小為生.

'4

6.如圖，在三棱柱ABC—A4G中，43_1_側(cè)面856。，￡為棱CG上異于c，G的一

點(diǎn)，EA上EB1,已知AB=6,BB、=2,BC=\、NBCC、=三,求:

3

（I）異面直線A3與E4的距離;

（II）二面角A-瓦?的平面角的正切值.

解：（D以B為原點(diǎn)，84分別為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由于，AB=6,BB]=2,BC=1,/BCG=三

在三棱柱ABC—A4G中有

6(0,0,0),A(0,(),V2),4(0,2,0),。(乎1,0),C(g,巧,0)

乙乙乙乙

設(shè),60）,由￡4_1所］,得叢?七夕二0,即

0=(一旦-〃，偽.(-￡,2-〃,0)

22

33

=—+a(a-2)=a1-2〃+一,

44

得（*）（"$=0,即"那=?舍去），故E（安,0）

族.函=（曰［,0）.（一號(hào)*1.0）=一（+;=0,即8石_1股.

又A3_L側(cè)面BBC。，故AB工BE.因此是異面直線48,Eg的公垂線,

*卜，故異面直線破3的距離為

則IBEL

（H）由已知有EA1EB］，瓦4，EB］,故二面角A-EB.-A,的平面角6的大小為向

量與4與EA的夾角?

因啟=^=(0,0,V2),EA=(一字—g,后)，

故cos6=g&^=卓，

\EA\\B}A}\V3

歷

HPtan6>=—.

2

7.如圖，在四棱錐。一八4C力中，底面488為矩形，『力J_底面486,E是4月上

一點(diǎn)，PFA.EC.已知尸。二血,。。二2,4七二一，

求(I)異面直線PD與EC的距離；

(II)二面角七一PC-O的大小.

解：(I)以。為原點(diǎn)，DA.DC.而分別為

x,)，,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由己知可得。(0,o,0),mo,板),c(o,2,0)

設(shè)A(x,O,O)(x>0),則3(工20),

七*一,0)，踵=(^--V2),CE=",一3,0).由尸￡_LCEWPE-CE=O,

222

即/一3=。，故工=且.由瓦?怎=(―/,()).(—,--,0)=0得DE1CE,

422222

又PD上DE,故OE是異面直線。。與CE的公垂線，易得|市|=1,故異面直線

尸O,C￡的距離為1.

(H)作DGJ_QC,可設(shè)G((),y,z).由而?正二0得(0,)，,z)?(0,2,—亞)=0

即z=Jiy,故可取麗=(0,1,V2),作切_LPC于/，設(shè)F(O,/T?,〃)，

則臣二(一與，相成

22

由方?正二0得(一走，/??--,?)-(0,2-72)=0,即2〃?一