第五章相交線與平行線

第1課時：§5.1相交線

教學目標

1.通過動手觀察、操作、推斷、交流等數(shù)學活動,進一步發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)識圖能

力、推理能力和有條理表達能力.毛

2.在具體情境中了解鄰補角、對頂角，能找出圖形中的一個角的鄰補角和對頂角，

理解對頂角相等,并能運用它解決一些問題.

重點、難點

重點:鄰補角、對頂角的概念，對頂角性質與應用.

難點：理解對頂角相等的性質的探索.

教學過程

一、讀一讀，看一看

教師在輕松歡快的音樂中演示第五章章首圖片為主體的課件.

學生欣賞圖片，閱讀其中的文字.

..師生共同總結：我們生活的世界中，蘊涵著大量的相交線和平行線,本章要研究相交線

所成的角和它的特征，相交線的一種特殊形式即垂直,垂線的性質.研究平行線的性質和

平行的判定以與圖形的平移問題.

二、觀察剪刀剪布的過程，引入兩條相交直線所成的角

教師出示一塊布片和一把剪刀，表演剪刀剪布過程,提出問題：剪布時,用力握緊把手,

引發(fā)了什么變化進而使什么也發(fā)生了變化

學生觀察、思想、回答,得出：

..握緊把手時;隨著兩個把手之間的角逐漸變小,剪刀刃之間的角邊相應變小.如果改變

用力方向，隨著兩個把手之間的角逐漸變大,剪刀刃之間的角也相應變大.

教師點評:如果把剪刀的構造看作兩條相交的直線，以上就關系到兩條相交直線所成

的角的問題,本節(jié)課就是探討兩條相交線所成的角與其特征.

三、認識鄰補角和對頂角，探索對頂角性質

1.學生畫直線AB.CD相交于點0,并說出圖中4個角，兩兩相配共能組成幾對角各對

角的位置關系如何根據(jù)不同的位置怎么將它們分類

學生思考并在小組內交流,全班交流.

當學生直觀地感知角有“相鄰”、“對頂”關系時，教師引導學生用幾何語言準確

地表達，如：

NA0C和NB0C有一條公共邊0C,它們的另一邊互為反向延長線.

ZA0C和NB0D有公共的頂點0,而是NA0C的兩邊分別是NB0D兩邊的反向延長線.

2.學生用量角器分別量一量各個角的度數(shù)，以發(fā)現(xiàn)各類角的度數(shù)有什么關系，學生得出有

“相鄰”關系的兩角互補，“對頂”關系的兩角相等.

3.學生根據(jù)觀察和度量完成下表：

兩直線相父所形成分類位置關數(shù)量關

的角系系

X：

教師再提問：如果改變NA0C的大小，會改變它與其它角的位置關系和數(shù)量關系嗎

4.概括形成鄰補角、對頂角概念.

(1)師生共同定義鄰補角、對頂角.

有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補角.

如果兩個角有一個公共頂點，而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線,

則這兩個角叫對頂角.

(2)初步應用.

練習1：下列說法,你同意嗎如果錯誤,如何訂正.

①鄰補角的“鄰”就是“相鄰”，就是它們有一條“公共邊”，“補”就是“互補”，

就是這兩角的另一條邊共同一條直線上.

②鄰補角可看成是平角被過它頂點的一條射線分成的兩個角.

③鄰補角是互補的兩個角，互補的兩個角也是鄰補角

5.對頂角性質.

(1)教師讓學生說一說在學習對頂角概念后,結果實際操作獲得直觀體驗發(fā)現(xiàn)了什么

并說明理由.

(2)教師把說理過程,規(guī)范地板書：

在圖1中，NAOC的鄰補角是NBOC和NAOD,所以NAOC與NBOC互補，ZAOC與NAOD

互補，根據(jù)“同角的補角相等”，可以得出NAOD二NBOC,類似地有NAOO/BOD.

教師板書對頂角性質：對頂角相等.

強調對頂角概念與對頂角性質不能混淆：對頂角的概念是確定二角的位置關系，對

頂角性質是確定為對頂角的兩角的數(shù)量關系.

(3)學生利用對頂角相等這條性質解釋剪刀剪布過程中所看到的現(xiàn)象.

四、鞏固運用

1.例:如圖，直線a,b相交,440。，求N2,Z3,N4的度數(shù).

教學時,教師先讓學生辨讓未知角與已知角的關系，用指出通過什么途徑去求這些未

知角的度數(shù)的，然后板書出規(guī)范的求解過程.

2.練習：

⑴課本P5練習.

⑵補充:判斷下列居中是否存在對頂角.

五、作業(yè)

1.課本P9.1,2,P1O.7,8.

2.選用課時作業(yè)設計.

課時作業(yè)設計

一、判斷題：

1.如果兩個角有公共頂點和一條公共邊,而且這兩角互為補角.則它們互為鄰補角...)

2.兩條直線相交,如果它們所成的鄰補角相等,則一對對頂角就互補...)

二、填空題：

1.如圖1,直線AB.CD.EF相交于點0,ZB0E的對頂角是______,ZC0F的鄰補角是

若NAOC:NA0E=2:3,ZE0D=130°,則NB0C=.

2.如圖2,直線AB.CD相交于點0,ZCOE=90°,ZA0C=300,ZF03=90°,則N

EOF二

三、解答題:

1.如圖，直線AB.CD相交于點0.

..(1)若NAOC+NBOD=100°,求各角的度數(shù).

(2)若NBOC比NAOC的2倍多33°,求各角的度數(shù).毛

2.兩條直線相交,如果它們所成的一對對頂角互補，則它的所成的各角的度數(shù)是多少

課時作業(yè)設計答案：

一、1.X2.V

二、1.ZAOF,NEOC與NDOF,1602.150

三、1.(1)分別是50°,150°,50°,130°(2)分別是49°,131°,49°,131°.

第2課時：§5.2垂線

垂線(一)

教學目標

1.經歷觀察、操作、想像、歸納概括、交流等活動,進一步發(fā)展空間觀念，用幾何語

言準確表達能力.毛

2.了解垂直概念,能說出垂線的性質“經過一點，能畫出己知直線的一條垂線，并且

只能畫出一條垂線”，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線.

教學重點

兩條直線互相垂直的概念、性質和畫法.

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，研究垂直等有關概念

1.學生觀察教室里的課桌面、黑板面相鄰的兩條邊，方格紙的橫線和豎線……，思考

這些給大家什么印象

在學生回答之后，教師指出：“垂直”兩個字對大家并不陌生，但是垂直的意義，垂

線有什么性質，我們不一定都了解,這可是我們要學習的內容.

2.教師出示相交線的模型,演示模型,學生觀察思考：固定木條a,轉動木條，當b的位

置變化時,a、b所成的隹a是如何變化的其中會有特殊情況出現(xiàn)嗎當這種情況出現(xiàn)時,a、

b所成的四個角有什么特殊關系

教師在組織學生交流中，應學生明白:當b的位置變化時;角a從銳角變?yōu)殁g角，其中

Za是直角是特殊情況.其特殊之處還在于：當Na是直角時，它的鄰補角，對頂角都是直

角，即a、b所成的四個角都是直角，都相等.

3.師生共同給出垂直定義.

師生分清“互相垂直”與“垂線”的區(qū)別行聯(lián)系：“互相垂直”指兩條直線的位置

關系；“垂線”是指其中一條直線對另一條直線的命名。如果說兩條直線“互相垂直”

時，其中一條必定是另一條的“垂線”，如果一條直線是另一條直線的“垂線”，則它

們必定“互相垂直”。

4.垂直的表示法.

垂直用符號來表示，結合課本圖5.1—5說明“直線AB垂直于直線CD,垂足

為（）”，則記為AB1CD,垂足為0,并在圖中任意一個角處作上直角記號,如圖.

c

5.簡單應用

(1)學生觀察課本P6圖5.1-6中的一些互相垂直的線條，并再舉出生活中其他實例.

(2)判斷以下兩條直線是否垂直：

①兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角；

②兩條直線相交所成的四個角相等；

③兩條直線相交,有一組鄰補角相等；

④兩條直線相交,對頂角互補.

二、畫圖實踐，探究垂線的性質

1.學生用三角尺或量角器畫已知直線L的垂線.

(1)已知直線L(教師在黑板上畫一條直線L),畫出直線L的垂線.待學生上黑板畫出

L的垂線后，教師追問學生:還能畫出L的垂線嗎能畫幾條通過師生交流，使學生明確直

線L的垂線有無數(shù)多條,即存在，但有不確定性.教師再問：怎樣才能確定直線L的垂線位

置在學生道出：在直線L上取一點A,過點A畫L的垂線,并且動手畫出圖形.

教師板書學生的結論:經過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

(2)經過直線L外一點B畫直線L的垂線,這樣的垂線能畫出幾條從中你又得出什么

結論

教師板書學生的結論:經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

教師讓學生通過畫圖操作所得兩條結論合并成一條，并板書：

垂線性質1:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

2.變式訓練,鞏固垂線的概念和畫法,如圖根據(jù)下列語句畫圖:

（1）過點P畫射線MN的垂線,Q為垂足；

（2）過點P畫射線BN的垂線,交射線BN反向延長線于Q點;

⑶過點P畫線段AB的垂線,交線AB延長線于Q點.

學生畫完圖后,教師歸結:畫一條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的垂線.

三、小結

本節(jié)學習了互相垂直、垂線等概念，還學習了過一點畫已知直線的垂線的畫法，并得

出垂線一條性質，你能說出相關的內容嗎

四、作業(yè)

1.課本P7練習，P9.3,4,5,9.

2.選用課時作業(yè)設計.

一、判斷題.

1.兩條直線互相垂直，則所有的鄰補角都相等.（）

2.一條直線不可能與兩條相交直線都垂直.（）

3.兩條直線相交所成的四個角中，如果有三個角相等,則這兩條直線互為垂直.（）

二、填空題.

1.如圖1,OA±OB,OD±OC,0為垂足,若NA0C=35。，則NBOD=

2.如圖2,AO±BO,0為垂足,直線CD過點0,且NB0D=2NA0C,則NB0D二

3.如圖3,直線AB.CD相交于點0,若NE0D=40°,ZB0C=130°,則射線0E與直線AB的位

置關系是.

三、解答題.

1.已知鈍角NA0B,點D在射線0B上.

⑴畫直線DEJL0B;

(2)畫直線DFJLOA,垂足為F.

2.已知：如圖，直線AB,垂線0C交于點0,0D平分/BOC,0E平分NA0C.試判斷0D與0E的

位置關系.

3.你能用折紙方法過一點作已知直線的垂線嗎

第3課時：垂線(二)

教學目標

1.經歷觀察、操作、想像、歸納概括、交流等活動，進一步發(fā)展空間觀念，用幾

何語言準確表達能力。毛

2.了解垂線段的概念，了解垂線段最短的性質，體會點到直線的距離的意義，并會

度量點到直線的距離.

重點、難點

重點：“垂線段最短”的性質，點到直線的距離的概念與其簡單應用.

難點:對點到直線的距離的概念的理解.

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，探究垂線段最短的垂線性質

1.教師展示課本圖5.1-8,提出問題:要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使

渠道最短

學生看圖、思考.

2.教師以問題串形式,啟發(fā)學生思考.

(1)問題1,上學期我們曾經學過什么最短的知識,還記得嗎

學生說出：兩點間線段最短.

(2)問題2,如果把渠道看成是線段,它的一人端點自然是P,則另一個端點的位置呢

把江河看成直線L,則原問題就是怎么的數(shù)學問題.

問題2使學生能用數(shù)學眼光思考:在連接直線L外一點P與直線L上各點的線段中,

哪一條最短

3.教師演示教具,給學生直觀的感受.

教具如圖:在硬紙板上固定木條L,L外一點P,轉動的木條a一端固定在點P.

使木條L與a相交,左右擺動木條a,L與a的交點A隨之變化,線段PA長度也隨之

變化.PA最短時,a與L的位置關系如何用三角尺檢驗.

4.學生畫圖操作，得出結論.

(1)畫出直線L,L外一點P;

(2)過P點出PO_LL,垂足為0;

(3)點Al,A2,A3……在L上,連接PA.PA2.PA3……;

(4)用疊合法或度量法比較P0、PAI.PA2.PA3……長短.

5.師生交流，得出垂線的另一條性質.

教師板書:連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

簡單說成：垂線段最短.

關于垂線段教師可讓學生思考：

(1)垂線段與垂線的區(qū)別聯(lián)系.

(2)垂線段與線段的區(qū)別與聯(lián)系.

二、點到直線的距離

1.師生根據(jù)兩點間的距離的意義給出點到直線的距離命名.

結合課本圖形(圖5.1-9),深入認識垂線段PO:PO±L,NP0A=90°,0為垂足，垂線段

P0的長度比其他線段PAI.PA2……中是最短的.

按照兩點間的距離給點到直線的距離命名，教師板書：

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

在圖5.1-9中,P0的長度是點P到直線L的距離,其余結論PA.PA2……長度都不是點

P到L的距離.

2.初步應用.

..練習1:已知直線a、b,過點a上一點A作AB±a,交b于點B,過B作BC±b交.上于點

C.請說出哪一條線段的長是哪一點到哪一條直線的距.并且用刻度尺測量這個距離.

練習2:課本中水渠該怎么挖在圖上畫出來.如果圖中比例尺為1:100000,水渠大約

要挖多長

練習3:判斷正確與錯誤,如果正確,請說明理由，若錯誤,請訂正.

(1)直線外一點與直線上的一點間的線段的長度是這一點到這條直線的距離.

BrE

(2)如圖,線段AE是點A到直線BC的距離.

⑶如圖,線段CD的長是點C到直線AB的距離.

學生獨立完成，教師組織學生交流、評價.

三、作業(yè)

1.課本P9.6,P10.10,11,12,P11觀察與猜想,

第二課時作業(yè)設計

一、填空題.

1.如圖,AC±BC,C為垂足,CD±AB,D為垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,則

點C到AB的距離是，點A到BC的距離是，點B到CD的距離是

,A.B兩點的距離是.

2.如圖,在線段AB.AC.AD.AE、AF中AD最短.小明說垂線段最短，因此線段AD的長

是點A到BF的距離，對小明的說法，你認為.

二、解答題.

1.(1)用三角尺畫一個是30°的NAOB,在邊OA上任取一點P,過P作PQLOB,垂足

為Q,量一量OP的長，你發(fā)現(xiàn)點P到OB的距離與OP長的關系嗎

(2)若所畫的NAOB為60°角，重復上述的作圖和測量,你能發(fā)現(xiàn)什么

2.如圖,分別畫出點A.B.C到BC.AC.AB的垂線段,再量出A到BC.點B到AC.點C到

AB的距離.

C

B

作業(yè)答案:

一、1.4.8,6,6.4,1.2.小明說法是錯誤的，因為AD與BE是否垂直無判定.

J1

二、1.(l)PQ=2op(2)0Q=20P2.略.

第4課時：§5.3平行線

教學目標

1.經歷觀察教具模式的演示和通過畫圖等操作,交流歸納與活動,進一步發(fā)展空間觀

念.毛

2.了解平行線的概念、平面內兩條直線的相交和平行的兩種位置關系，知道平行公

理以與平行公理的推論.

3.會用符號語方表示平行公理推論，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直

線的平行線.

重點、難點

重點:探索和掌握平行公理與其推論.

難點:對平行線本質屬性的理解，用幾何語言描述圖形的性質.

課前準備

分別將木條a、b與木條c釘在一起,做成圖所示的教具.

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境

L復習提問：兩條直線相交有幾個交點相交的兩條直線有什么特殊的位置關系

學生回答后,教師把教具中木條b與c重合在一起,轉動木條a確認學生的回答.教師

接著問：在平面內，兩條直線除了相交外,還有別的位置關系嗎

2.教師演示教具.

順時針轉動木條b兩圈，讓學生思考:把a、b想像成兩端可以無限延伸的兩條直線,

順時針轉動b時,直線b與直線a的交點位置將發(fā)生什么變化在這個過程中，有沒有直線

b與c木相交的位置

3.教師組織學生交流并形成共識.

轉動b時,直線b與c的交點從在直線a±A點向左邊距離A點很遠的點逐步接近A

點,并垂合于A點,然后交點變?yōu)樵贏點的右邊,逐步遠離A點.繼續(xù)轉動下去,b與a的交

點就會從A點的左邊又轉動A點的左邊……可以想象一定存在一個直線b的位置,它與直

線a左右兩旁都沒有交點.

二、平行線定義,表示法

1.結合演示的結論，師生用數(shù)學語言描述平行定義：同一平面內，存在一條直線a與

直線b不相交的位置,這時直線a與b互相平行.換言之，同一平面內，不相交的兩條直線

叫做平行線.

直線a與b是平行線,記作“〃”，這里“〃”是平行符號.

教師應強調平行線定義的本質屬性，第一是同一平面內兩條直線，第二是設有交點的兩

條直線.

2.同一平面內，兩條直線的位置關系

教師引導學生從同一平面內，兩條直線的交點情況去確定兩條直線的位置關系.

在同一平面內，兩條直線只有兩種位置關系:相交或平行,兩者必居其一.即兩條直線

不相交就是平行,或者不平行就是相交.

三、畫圖、觀察、歸納概括平行公理與平行公理推論

1.在轉動教具木條b的過程中，有幾個位置能使b與a平行

本問題是學生直覺直線b繞直線a外一點B轉動時,有并且只有一個位置使a與b平

行.

2.用直線和三角尺畫平行線.

.?已知:直線a,點B,點C.

(1)過點B畫直線a的平行線,能畫幾條

C

B.

------------------a

(2)過點C畫直線a的平行線,它與過點B的平行線平行嗎

?.3.通過觀察畫圖、歸納平行公理與推論.

(1)由學生對照垂線的第一性質說出畫圖所得的結論.

(2)在學生充分交流后，教師板書.

平行公理:經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

(3)比較平行公理和垂線的第一條性質.

共同點:都是“有且只有一條直線”，這表明與己知直線平行或垂直的直線存在并且

是唯一的.

不同點:平行公理中所過的“一點”要在已知直線外,兩垂線性質中對“一點”沒有

限制，可在直線上，也可在直線外.

4.歸納平行公理推論.

----------------c

--------------b

(1)學生直觀判定過B點、C點的a的平行線b、。是互相平行.

(2)從直線b、c產生的過程說明直線b〃直線c.

(3)學生用三角尺與直尺用平推方驗證b//c.

(4)師生用數(shù)學語言表達這個結論，教師板書.

結果兩條直線都與第三條直線平行，則這條直線也互相平行.

結合圖形，教師引導學生用符號語言表達平行公理推論：

如果b〃a,c〃a，則b〃c.

(5)簡單應用.

練習：如果多于兩條直線，比如三條直線a、b、c與直線L都平行，則這三條直線互

相平行嗎請說明理由.

..本練習是讓學生在反復運用平行公理推論中掌握平行公理推論以與說理規(guī)范.

四、作業(yè)

1.課本P1本7,P20.11.

2.選用課時作業(yè)設計.

§5.4直線平行的條件

第5課時：直線平行的條件(一)

教學目標

L經歷觀察、操作、想像、推理、交流等活動，進一步發(fā)展空間觀念，推理能力和

有條理表達能力.

2.經歷探究直線平行的條件的過程,掌握直線平行的條件,領悟歸納和轉化的數(shù)學思

想方法.

重點、難點

探索并掌握直線平行的條件是本課的重點也是難點.

教學過程

一、復習引入

1,填空:經過直線外一點,與這條直線平行.

2.畫圖：已知直線AB,點P在直線ABE外，用直尺和三角尺畫過點

C-rD

P的直線CD,使CDZ/AB.X

A----GT-8

3.反思:在用直尺和三角形畫平行線過程中，三角尺起著什么樣的作用.

學生講出是為畫NPHF,使所畫的角與NBGF相等.

教師指出既然兩個角相等與兩條直線平行能聯(lián)系起來，則這兩個角具有什么樣的位

置關系，我們是否得到了一個判定兩直線平行的方法這是本課要研究的內容之一.

二、探索直線平行的條件

c

1.畫出課本圖5.2-5的簡化圖形，分析NLZ2的位置關系.

(1)讓學生先描述NLN2的方/'位.

(2)教師指出像/1.N2這樣分一/b別位于直線CD、AB的下方,

又在直線EF的右側，也就是位置相同的兩個角叫做同位角.

(3)讓學生識別圖中其他的同位角，并標記出它們，要求正確而又不遺漏.

(4)教師強調：同位角是具有特殊位置關系的兩個角，它不同于對頂角和鄰補角.同

位角都有一條邊在截線EF上.

2.歸納利用同位角判定兩條直線平行的方法.

(1)學生根據(jù)同位角的意義以與平推三角尺畫出平行線活動中敘述判定兩條直線平

行的方法.

教師引導學生正確表達平行線的判定方法1,并板書.

方法1:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,則這兩條直線平行.

簡單記為：同位角相等,兩條直線平行.

(2)教師引導學生，結合圖形用符號語言表達兩直線平行的判定方法1:如果NFN2,

則AB/7CD.

教師強調判定兩直線平行方法1的條件中有兩層意思:第一層這兩個角是這兩條被

第三條直線所截而成的一對同位角；第二層這兩個角相等兩者缺一不可.

(3)簡單應用.

①教師表演木工用每尺畫平行線過程,讓學生說出用角尺畫平行線的道理(結合P15

圖5.2-7).

教師規(guī)范說理過程:因為NDCB與NFEB是直線CD.EF被AB所截而成的同位角，

而且NDCB二NFEB,即同位角相等,根據(jù)直線平行判定方法,從而CD〃EF.

3.利用教具模型認識內錯角和同旁內角.

(1)教師展示教具模型，并在黑板上畫出右圖圖型，指出在直線a、b被直線c所截成

的角中，Z1和N2是同位角，Z2與N3.Z2與24雖然不是同位角，但是它們又是具有

某種位置關系的兩個角,大家能敘述N2與N3有怎樣的位置關系N2和N4呢

教師引導學生正確地敘述,如N2與N3位在直線a,b的內部,又分別位于直線c的兩

側，Z2與N4位在直線a,b內部,都在直線c的右側(同側).

(2)教師轉動直線a或者直線b,再問學生N2與N3,N2與N4的度數(shù)是否發(fā)生變化

它們之間的位置是否發(fā)生改變

學生回答后,教師指出像N2和N3這樣的兩個角叫做內錯角，像N2知N4這樣的兩

個角叫做同旁內角.

(3)讓學生識別圖中其他的內錯角和同旁內角，標記出它們.

(4)學生概括由直線a、b被直線c所截成的八個角中有四對的同位角，兩對的內錯

角、兩對的同旁內角.

4.探索兩條直線平行的其它方法

(1)演示教具，使學生直覺當內錯角相等時,兩條直線平行.

(2)讓學生思考:為什么內錯角相等時，兩條直線平行你能用學過的兩直線平行的判

定方法1來說明嗎

學生若有困難，教師可提示學生通過內錯角和同位角之間的關系把條件N2=N3轉化

為N1=N2.

教師規(guī)范說理過程:因為N2=N3,而N3=N1(對頂角相等)，所以N1=N2,即同位角

相等，因此a〃b.

(3)師生歸納判定兩條直線平行的方法2,教師板書：

兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角相等,則這兩條直線平行.

簡單記為：內錯角相等,兩直線平行.

教師引導學生結合圖形用符號語言表達方法2:如果N2=N3』"a〃b.

(4)討論：同旁內角數(shù)量上滿足什么關系時，兩直線平行

①學生猜想，可借助于教具.先排除相等，當N4是

銳角時，N2是鈍角才有可能使a〃b,進一步觀察發(fā)現(xiàn)：如

果同旁內角互補時，兩條直線平行，即如果

Z2+Z4=180。，則a〃b.

②學生利用平行判定方法1或方法2來說明猜想正確.

教師根據(jù)學生說理,再準確地板書：

因為N4+N2=180°,而N4+Nl=180°,根據(jù)同角的補角相等，所以有N2=N1,即同

位角相等,從而a〃b.

因為N4+N2=180°，而N4+N3=180°,根據(jù)同角的補角相等，所以有N3=N2,即內

錯角相等,從而a〃b.

③師生歸納兩條直線平行的判定方法3,教師板書：

兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,則兩條直線平行.

簡單記為：同旁內角互補,兩直線平行.

綜合圖形,用符號語言表達:如果N4+N2=180。，則a〃b.

三、鞏固練習

課本P17練習.

四、作業(yè)

1.作業(yè)P18.1,2,3,4.

2.補充設計：

一、判斷題

1.兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,則內錯角也相等.（）

2.兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角互補,則同旁內角相等.（）

二、填空

1.如圖1,如果N3=N7,或,則，理由是;如果N5=N3,或筆

如果N2+Z5=或者

F

E

(1)(2)(3)

2.如圖2,若Z2=Z6,則//,如I果Z3+Z4+Z5+Z6=180°,則

____//_______,如果N9=____,則AD〃BC;如果N9二_____，則AB〃CD.

三、選擇題

1.如圖3所示,下列條件中，不能判定AB/7CD的是()

A.AB〃EF,CD〃EFB.Z5=ZA;C,ZABC+ZBCD=180°D.N2=N3

2.右圖，由圖和已知條件，下列判斷中正確的是()

A.由N1=N6,得AB/7FG;

B.由N1+/2=N6+N7,得CE〃EI

C,由Nl+N2+N3+N5=180°,得CE〃FI;

D.由N5=N4,得AB〃FG

第6課時：直線平行的條件（二）

教學目標

1.經歷觀察、操作、想像、推理、交流等活動，進一步發(fā)展空間觀念,推理能力和有

條理表達能力.毛

2.經歷分析題意,說理過程,能靈活地選用直線平行的規(guī)定方法進行說理.

重點、難點

重點:直線平行的條件的應用.

難點:選取適當判定直線平行的方法進行說理是重點也是難點.

教學過程

一、畫圖實踐活動

1.[II憶怎樣用移動三角尺的方法畫兩條平行線的，其中直尺和三角尺的作用是什么

師生交流后得出：直尺與已知直線構成等于三角尺度數(shù)的角N1,確定第三條直線即

截線的位置,移動三角尺再形成一個與N1相等的同位角N2.

2.教師提出問題:學習了平行線后，大家還能想出過一點畫一條直線的平行線的新方

法嗎

學生思考、小組交流,教師根據(jù)學生的想法在全班交流每種畫法的方法步驟、定義.

如果學生沒有想到的，教師可按課本P36李強、張明、王玲同學的做法,組織學生分析

做法要點和合理性,正確性.

對于李強畫法,教師使學生明白，畫過點P的直線b是確定直線b的位置和確定N1

的大小,其次點P為頂點，作與N1相等的同位角Z2,從而畫出過點P的直線c,根據(jù)平

行判定1,可知。〃a.

對于張明做法,學生應明確本做法就畫一個一邊在直線a的長方形PQRS,由于長方

形的對邊平行，從而b〃a.

對于王玲做法,學生應明確第一次折紙是過點P作直線a的垂線b,第二次折紙是過

點P作直線b的垂線c,至于a〃c的理由在例題講解中說明.

3.教師再提出問題:你還有其他方法嗎動手試一試與同學們交流一下.

教師發(fā)現(xiàn)學生新的做法,組織學生交流,并歸納新的方法主要是：

(1)用尺規(guī)畫過點P的與N1相等的內錯角N3,達到作c〃a;

(2)再尺規(guī)畫有別于李強的其他對同位角，達到作c〃a;

(3)用直尺、三角尺畫出與王玲一樣的線條，iA到作c//a.

在解釋學生做法的合理性時，要求學生能利月”同位角相等，兩直線平行”或“內錯

角相等,兩直線平行”去說明.

二、例題講解

例:在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線,則這兩條直線平行嗎為什么

教師:這個問題的研究,就是回答了王玲折線方法的合理性.

首先王玲對折直線a,使折線過點P,于是把一個平角分成兩個相等的Nl.Z2,因為

Zl+Z2=180°，所以/l=N2=90°.

其次王玲再對折折線b,使折線c過點P,很顯然N3=90°.

由垂直定義，可知a，b,c，b.

以上分析使學生明了垂直與直角總聯(lián)系在一起.至于要判定兩條直線是否平行,先考

慮學過哪些判定平行線的方法，題中的條件與某種判定方法的條件是否相同

學生先口述判斷與理由，教師糾正.并規(guī)范板書兩步推理過程：

..如課本P17圖5.2-10.

因為bJ_a,c_La,

所以Nl=N2=90°,

從而b〃c.

..教師說明:這個道理過程有兩個因為……所以…..第一個“因為”“所以”是根據(jù)垂直

定義，第二個只寫出“所以”的內容b〃c,中間省略一個“因為,’的內容，這個內容

就是第一個“所以”中的N1=N2.這樣處理是使說理表達更簡練.第二個“因為”、“所

以“是根據(jù)同位角相等,兩直線平行.

例題講解后，師提問:你還能利用其他方法說明b〃c嗎

教師鼓勵學生模仿課本方法用圖(1)內錯角相等的方法寫出理由，用圖(2)同旁內角

互補的方法寫出理由.

)。bL?U

___r□______4

_i_Ia_aF▲

Hc

(1)(2)(3)

如果N1,N2不是同位角，也不是內錯角、同旁內角，如圖(3),教師啟發(fā)學生用化歸

思想將它轉化為已知問題來解決,并且有條理地陳述理由：

如圖⑶，

因為a_Lb,c_La,所以Nl=90°,N2=90°.

.因為N3=N1=9O°....從而b〃c(同位角相等，兩直線平行)............

三、鞏固練習

1.課本P18思考,教師耍求學生說出盡可能多的判別方法和理由.

2.已知：如圖，直線a、b被直線c所截，且Nl+/2=180°,則直線a與b平行嗎為什么

1.課本作業(yè)P19.5,6,8,9,10,12.

§5.5平行線的性質

第7課時：平行線的性質（一）

教學目標

1.經歷觀察、操作、想像、推理、交流等活動，進一步發(fā)展空間觀念，推理能力和

有條理表達能力。毛

2.經歷探索直線平行的性質的過程，掌握平行線的三條性質，并能用它們進行簡單的

推理和計算.

重點、難點

重點:探索并掌握平行線的性質，能用平行線性質進行簡單的推理和計算.

難點:能區(qū)分平行線的性質和判定，平行線的性質與判定的混合應用.

教學過程

一、引導學生逆向思維

現(xiàn)在同學們已經掌握了利用同位角相等,或者內錯角相等,或者同旁內角互補，判定

兩條直線平行的三種方法.在這一節(jié)課里：大家把思維的指向反過來：如果兩條直線平

行，則同位角、內錯角、同旁內角的數(shù)量關系又該如何表達

二、實踐探究

1.學生畫圖活動:用直尺和三角尺畫出兩條平行線a/7b,再畫一條截線c與直線a、b

相交,標出所形成的八個角（如課本P21圖5.3-1）.

2.學生測量這些角的度數(shù),把結果填入表內.

角Z1Z2Z3Z4Z5Z6Z7Z8

度數(shù)

3.學生根據(jù)測量所得數(shù)據(jù)作出猜想.

圖中哪些角是同位角它們具有怎樣的數(shù)量關系

圖中哪些角是內錯角它們具有怎樣的數(shù)量關系

圖中哪些角是同旁內角它們具有怎樣的數(shù)量關系

在詳盡分析后，讓學生寫出猜想.

4.學生驗證猜測.

學生活動:再任意畫一條截線d,同樣度量并計算各個角的度數(shù),你的猜想還成立嗎

5.師生歸納平行線的性質，教師板書.

DC

1B

平行線具有性質：

性質1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，簡稱為兩直線平行，同位角相

等.

性質2:兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等,簡稱為兩直線平行，內錯相等.

性質3:兩條直線按被第三條線所截，同旁內角互補，簡稱為兩直線平行，同旁內角互

補.

教師讓學生結合右圖，用符號語言表達平行線的這三條性質，教師同時板書平行線的

性質和平行線的判定.

平行線的性質平行線的判定

因為a〃b,因為N1=N2,

所以N1=N2所以a〃b.

因為a〃b,因為N2=N3,

所以N2二N3,所以a〃b.

因為a〃b,因為N2+N4=18(T,

所以N2+N4=180°,所以a〃b.

6.教師引導學生理清平行線的性質與平行線判定的區(qū)別.

學生交流后，師生歸納:兩者的條件和結論正好相反：

由角的數(shù)量關系（指同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補），得出兩條直線平行的

論述是平行線的判定,這里角的關系是條件,兩直線平行是結論.

由已知的兩條直線平行得出角的數(shù)量關系（指同位角相等，內錯角相等，同旁內角互

補）的論述是平行線的性質，這里兩直線平行是條件，角的關系是結論.

7.進一步研究平行線三條性質之間的關系.

教師:大家能根據(jù)性質1,推出性質2成立的道理嗎

結合上圖，教師啟發(fā)分析:考察性質1.性質2的結論發(fā)生了什么變化學生回答N1換

成N3,教師再問N1與N3有什么關系并完成說理過程，教師糾正學生錯誤,規(guī)范地給出

說理過程.

因為a〃b,所以N1=N2（兩直線平行，同位角相等）；

又N3=N1（對頂角相等），所以N2=N3.

教師說明：這是有兩步的說理,第一步推理根據(jù)平行線性質1,第二步推理的條件不僅

有N1=N2,還有N3=/LN2=N3是根據(jù)等式性質.根據(jù)等式性質得到的結論可以不寫

理由.

學生仿照以下說理，說出如何根據(jù)性質1得到性質3的道理.

8.平行線性質應用.

例（課本P23）如圖是一塊梯形鐵片的線全部分，量得NA=100。，NB=115。，梯形

另外兩個角分別是多少度

教師把學生情況，可啟發(fā)提問:①梯形這條件如何使用②NA與ND.ZB與NC的位

置關系如何，數(shù)量關系呢為什么講解按課本.

三、鞏固練習

1.課本練習（P22）.

2.補充:如圖,BCD是一條直線，NA=75°,N『53°,/2=75°,求NB的度數(shù).

本題綜合應用平行線的判定和性質，教師要引導學生觀察圖形，考察已知角的數(shù)量關

系，確定解題的思路.

四、作業(yè)

1.課本P25.1,2,3,4,6.

2.補充作業(yè)：

一、判斷題.

1.兩條直線被第三條直線所截,則同旁內角互補.（）

2.兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,則同位角相等.（）

3.兩條平行線被第三條直線所截,則一對同旁內角的平分線互相平行.（）

二、填空題.

1.如圖（1）,若AD〃BC,貝UN=Z,Z=Z,

ZABC+Z=180";若DC〃AB,則N=Z,

Z=Z,ZABC+Z=180°.

c

⑴⑵⑶

2.如圖（2）,在甲、乙兩地之間要修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是南偏西

56°,甲、乙兩地同時開工，若干天后公路準確接通，則乙地所修公路的走向是

,因為.

3.因為AB〃CD,EF〃CD,所以//,理由是

—AZBZE——

因為NECD=NE,

所以CD〃EF（）

又AB〃EF,

所以CD〃AB（）.

三、選擇題.

1.N1和N2是直線AB.CD被直線EF所截而成的內錯角，則N1和N2的大小關系是（）

A.Z1=Z2B.Z1>Z2;C.Z1<Z2D.無法確定

2.一個人驅車前進時,兩次拐彎后,按原來的相反方向前進，這兩次拐彎的角度是（）

A.向右拐85°,再向右拐95°;B.向右拐85°,再向左拐85°

C.向右拐85°,再向右拐85°;D.向右拐85°,再向左拐95°

四、解答題

1.如圖，已知：N1=11O°,/2=1100,/3=70°,求N4的度數(shù).

2.如圖，己知：DE:〃CB,Z1=Z2,求證:CD平分NECB.

第8課時：平行線的性質（二）

教學目標

1.經歷觀察、操作、推理、交流等活動，進一步發(fā)展空間觀念,推理能力和有條理表

達能力.毛

..2.理解兩條平行線的距離的含義，了解命題的含義,會區(qū)分命題的題設和結論.

3.能夠綜合運用平行線性質和判定解題.

重點、難點

重點:平行線性質和判定綜合應用，兩條平行的距離，命題等概念.

難點:平行線性質和判定靈活運用.

教學過程

一、復習引入

1.平行線的判定方法有哪些（注意:平行線的判定方法三種，另外還有平行公理的推

論）

2,平行線的性質有哪些.

3.完成下面填空.

..已知：如圖，BE是AB的延長線，AD〃BC,AB〃CD,若ND=100°,則NC=.Z

A=_____,ZCBE=_______.

4.a±b,c±b,則a與c的位置關系如何為什么

二、進行新課

1.例1己知：如上圖,a〃c,a_Lb,直線b與c垂直嗎為什么

學生容易判斷出直線b與c垂直.鑒于這一點，教師應引導學生思考：

(1)要說明b_Lc,根據(jù)兩條直線互相垂直的意義，需要從它們所成的角中說明某個角

是90°,是哪一個角通過什么途徑得來

(2)已知a_Lb，這個“形”通過哪個“數(shù)”來說理，即哪個角是90。.

(3)上述兩角應該有某種直接關系，如同位角關系、內錯角關系、同旁內角關系，你能

確定它們嗎

讓學生寫出說理過程,師生共同評價三種不同的說理.

2.實踐與探究

(1)下列各ZFZCNB與NF度數(shù)之和

圖中，已知

AB〃EF,點

C任意選

取(在

AB.EF之

間，又在

BF的左

側).請測

量各圖中

ZB.ZC.

ZF的度

數(shù)并填入

表格.

ZB

圖⑴

圖⑵

通過上述實踐，試猜想NB.NF、NC之間的關系，寫出這種關系，試加以說明.

教師投影題目:

學生依據(jù)題意,畫出類似圖(1)、圖(2)的圖形,測量并填表,并猜想：NB+NF=NC.

在進行說理前，教師讓學生思考：平行線的性質對解題有什么幫助教師視學生情況

進一步引導：

..①雖然AB〃EF,但是NB與NF不是同位角，也不是內錯角或同旁內角.不能確定它們之

間關系.

②NB與NC是直線AB.CF被直線BC所截而成的內錯角，但是AB與CF不平行.能不

能創(chuàng)造條件,應用平行線性質，學生自然想到過點C作CD〃AB,這樣就能用上平行線的性

質，得到NB二NBCD.

③如果要說明NF二NFCD,只要說明CD與EF平行，你能做到這一點嗎

以上分析后,學生先推理說明，師生交流,教師給出說理過程.

作CD〃AB,因為AB〃EF,CD〃AB,所以CD〃EF（兩條直線都與第三條直線平行，這兩

條直線也互相平行）.

所以NF二NFCD（兩直線平行，內錯角相等）.因為CD〃AB.

所以NB二NBCD（兩直線平行，內錯角相等）.所以NB+NF=NBCF.

（2）教師投影課本P23探究的圖（圖5.3-4）與文字.

①學生讀題思考:線段BC,B2c2……B*5都與兩條平行線的橫線AR和A2c$垂直嗎

它們的長度相等嗎

②學生實踐操作,得出結論:線段BC,B2C2……,B5c5同時垂直于兩條平行直線A1B5和

并且它們的長度相等.

A2C5,

③師生給兩條平行線的距離下定義.

學生分清線段B.C.的特征:第一點線段BC兩端點分別在兩條平行線上，即它是夾在

這兩條平行線間的線段,第二點線段BC同時垂直這兩條平行線.

教師板書定義：

（像線段BC）同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做

這兩條平行線的距離.

④利用點到直線的距離來定義兩條平行線的距離.

C------------------D

B

教師畫AB〃CD,在CD上任取一點E,作EF1AB,垂足為F.

學生思考:EF是否垂直直線CD垂線段EF的長度d是平行線AB.CD的距離嗎

這兩個問題學生不難回答,教師歸納：

兩條平行線間的距離可以理解為:兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線

的距離.

教師強調:兩條平行線的距離處處相等,而不隨垂線段的位置改變而改變.

3.了解命題和它的構成.

(1)教師給出下列語句，學生分析語句的特點.

①如果兩條直線都與第三條直線平行,則這條直線也互相平行；

②等式兩邊都加同一個數(shù)，結果仍是等式；

③對頂角相等；

④如果兩條直線不平行,則同位角不相等.

這些語句都是對某一件事情作出“是”或“不是”的判斷.

(2)給出命題的定義.

判斷一件事情的語句，叫做命題.

教師指出上述四個語句都是命題，而語句“面AB〃CD”沒有判斷成分，不是命題.教

師讓學生舉例說明是命題和不是命題的語句.

(3)命題的組成.

①命題由題設和結論兩部分組成.題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.

②命題的形成.

命題通常寫成“如果……，則……”的形式，“如果”后接的部分是題設，“則”后接

的部分是結論.

有的命題沒有寫成“如果……，則……”的形式，題設與結論不明顯，這時要分清

命題判斷了什么事情，有什么已知事項，再改寫成“如果……，則……”形式.

師生共同分析上述四個命題的題設和結論,重點分析第②、③語句.

第②命題中，“存在一個等式”而且“這等式兩邊加同一個數(shù)”是題設，“結果仍

是等式”是結論。

第③命題中，“兩個角是對頂角”是題設，“這兩角相等”是結論。

三、鞏固練習

1.“等式兩邊乘同一個數(shù)，結果仍是等式”是命題嗎？它們題設和結論分別是什

么？

2.命題“兩條平行線被第三第直線所截，內錯角相等”是正確的？命題“如果兩

個角互補，則它們是鄰補角”是正確嗎？再舉出一些命題的例子，判斷它們是否正確.

解答：1.是命題，題設是“等式兩邊乘同一個數(shù)”，結論是“結果仍是等式”.

2.第一個命題正確，第二個命題錯誤?？膳e出例子說明，如兩條直線平行，同旁內

角互補，但這兩個同旁內角不是鄰補角。對于學生所舉的錯誤命題，教師應給歸納一下,

有兩類：第一類是命題題設不足于確定命題結正確，如“同位角相等”，這里條件不夠;

第二類命題是在命題的題設下，結論不正確。

四、作業(yè)

1.課本P25.5,7,8,11,12.

2.補充作業(yè)：

一、填空題.

1.用式子表示下列句子:用N1與N2互為余角，又N2與N3互為余角，根據(jù)“同角的余角

相等”，所以N1和N3相等.

2.把命題“直角都相等”改寫成“如果……,則……”形式.

3.命題“鄰補角的平分線互相垂直”的題設是,結論是.

4.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角的度數(shù)的比為2:7,則這兩個角分別是

___________度.

二、選擇題.

1.設a、b、c為同一平面內的三條直線，下列判斷不正確的是（）

A.設a±c,b_Lc,則a±bB.若a〃c,b〃c,貝ija〃b

C.若a〃b,b_Lc,則a±cD.若a±b,b±c,貝lja±c

2.若兩條平行線被第三條直線所截，則互補的角但非鄰補角的對數(shù)有（）

A.6對B.8對C.10對D.12對

3.如圖已知AB〃DE,ZA=135°,ZC=105°,

則ND的度數(shù)為（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

4.兩條直線被第三條直線所截,則一組同位角的平分線的位置關系是（）

A.互相平行B.互相垂直；

C.相交但不垂直D.平行或相交

三、解答題.

1.已知，如圖LNAOB紙片沿CD折疊，若O'C〃BD,