第30頁（共30頁）2021-2025年高考數(shù)學真題知識點分類匯編之三角函數(shù)（二）一．選擇題（共9小題）1．（2023?新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，則cos（2A．79 B．19 C．-192．（2023?新高考Ⅱ）已知α為銳角，cosα=1+54，則A．3-58 B．-1+58 C．3．（2023?乙卷）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）在區(qū)間（π6，2π3）單調遞增，直線x=π6和x=2π3為函數(shù)y＝A．-32 B．-12 C．14．（2023?甲卷）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件 C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件5．（2023?全國）已知函數(shù)f(A．(-3B．(-1C．(310D．(36．（2023?乙卷）已知等差數(shù)列{an}的公差為2π3，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b}，則A．﹣1 B．-12 C．0 D7．（2023?天津）函數(shù)y＝f（x）的圖象關于直線x＝2對稱，且f（x）的一個周期為4，則f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝sin（π2x） B．f（x）＝cos（π2xC．f（x）＝sin（π4x） D．f（x）＝cos（π48．（2023?甲卷）已知f（x）為函數(shù)y=cos(2x+π6)向左平移π6個A．1 B．2 C．3 D．49．（2023?上海）已知a∈R，記y＝sinx在[a，2a]的最小值為sa，在[2a，3a]的最小值為ta，則下列情況不可能的是（）A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0二．多選題（共1小題）（多選）10．（2024?新高考Ⅱ）對于函數(shù)f（x）＝sin2x和g(A．f（x）與g（x）有相同零點 B．f（x）與g（x）有相同最大值 C．f（x）與g（x）有相同的最小正周期 D．f（x）與g（x）的圖像有相同的對稱軸三．填空題（共8小題）11．（2024?甲卷）函數(shù)f（x）＝sinx-3cosx在[0，π]上的最大值是12．（2024?北京）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于原點對稱．若α∈[π6，π3]，則cos13．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），如圖，A，B是直線y=12與曲線y＝f（x）的兩個交點，若|AB|=π6，則f（π）＝14．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是．15．（2023?全國）已知sin2θ=-13，若π4＜θ16．（2023?北京）已知命題p：若α，β為第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ．能說明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α＝，β＝．17．（2023?上海）已知tanα＝3，則tan2α＝．18．（2023?乙卷）若θ∈（0，π2），tanθ=13，則sinθ﹣cosθ＝四．解答題（共2小題）19．（2024?上海）已知f（x）＝sin（ωx+π3），ω＞（1）設ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期為π，若在x∈[π，a]上恰有3個零點，求a的取值范圍．20．（2024?天津）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosB=916，b＝5，（1）求a的值；（2）求sinA的值；（3）求cos（B﹣2A）的值．

2021-2025年高考數(shù)學真題知識點分類匯編之三角函數(shù)（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）題號123456789答案BDDBABBCD二．多選題（共1小題）題號10答案BC一．選擇題（共9小題）1．（2023?新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，則cos（2A．79 B．19 C．-19【考點】兩角和與差的三角函數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】B【分析】由已知結合和差角公式先求出sinαcosβ，再求出sin（α+β），然后結合二倍角公式可求．【解答】解：因為sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα=13，cosαsinβ所以sinαcosβ=1所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα=1則cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×4故選：B．【點評】本題主要考查了和差角公式，二倍角公式的應用，屬于中檔題．2．（2023?新高考Ⅱ）已知α為銳角，cosα=1+54，則A．3-58 B．-1+58 C．【考點】半角的三角函數(shù)；二倍角的三角函數(shù)．【專題】轉化思想；轉化法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結合二倍角公式，以及角α的取值范圍，即可求解．【解答】解：cosα=1+則cosα=1-故2sin2α2=1﹣∵α為銳角，∴sinα∴sinα2故選：D．【點評】本題主要考查半角的三角函數(shù)，屬于基礎題．3．（2023?乙卷）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）在區(qū)間（π6，2π3）單調遞增，直線x=π6和x=2π3為函數(shù)y＝A．-32 B．-12 C．1【考點】正弦函數(shù)的單調性．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；運算求解．【答案】D【分析】先根據(jù)題意建立方程求出參數(shù)，再計算，即可得解．【解答】解：根據(jù)題意可知T2∴T＝π，取ω＞0，∴ω=2π又根據(jù)“五點法”可得2×π6+φ∴φ=-5π6+2∴f（x）＝sin（2x-5π6+2kπ）＝sin∴f（-5π12）＝sin（-5π6-5故選：D．【點評】本題考查三角函數(shù)的性質，方程思想，屬基礎題．4．（2023?甲卷）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件 C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件【考點】同角三角函數(shù)間的基本關系；充分條件與必要條件．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；簡易邏輯；運算求解．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系式，結合充要條件判斷即可．【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分條件，故選：B．【點評】本題考查同角三角函數(shù)基本關系式以及充要條件的應用，是基礎題．5．（2023?全國）已知函數(shù)f(A．(-3B．(-1C．(310D．(3【考點】正弦函數(shù)的單調性．【專題】轉化思想；轉化法；三角函數(shù)的圖象與性質；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結合正弦函數(shù)的單調性，即可求解．【解答】解：f(令-π2+2kπ≤2πx-π5≤π當k＝0時，-3故f（x）在（-320，故選：A．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．6．（2023?乙卷）已知等差數(shù)列{an}的公差為2π3，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b}，則A．﹣1 B．-12 C．0 D【考點】三角函數(shù)的周期性．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；解三角形；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，三角函數(shù)的周期性，特值法，即可求解．【解答】解：設等差數(shù)列{an}的首項為a1，又公差為2π∴an∴cosan=cos又根據(jù)題意可知S集合中僅有兩個元素，∴可利用對稱性，對an取特值，如a1＝0，a2=2π3，a3=4π3代入集合S中計算易得：ab=-故選：B．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，三角函數(shù)的周期性，特值法，屬中檔題．7．（2023?天津）函數(shù)y＝f（x）的圖象關于直線x＝2對稱，且f（x）的一個周期為4，則f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝sin（π2x） B．f（x）＝cos（π2xC．f（x）＝sin（π4x） D．f（x）＝cos（π4【考點】余弦函數(shù)的對稱性；正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學抽象．【答案】B【分析】由已知結合正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的對稱性及周期公式分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：A：若f（x）＝sin（π2x），則T=2令π2x=π2+kπ，k∈Z，則x＝1+2k，kB：若f（x）＝cos（π2x），則T=2令π2x=kπ，k∈Z，則x＝2k，k故x＝2是一條對稱軸，B符合題意；C：f（x）＝sin（π4x），則T=D：f（x）＝cos（π4x），則T=故選：B．【點評】本題主要考查了正弦及余弦函數(shù)的對稱性及周期性，屬于基礎題．8．（2023?甲卷）已知f（x）為函數(shù)y=cos(2x+π6)向左平移π6個A．1 B．2 C．3 D．4【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；運算求解．【答案】C【分析】由題意，利用函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質，得出結論．【解答】解：把函數(shù)y=左平移π6個函數(shù)f（x）＝cos（2x+π2）＝﹣sin2x的而直線y=12x-12=12（且直線還經(jīng)過點（3π4，（-π4，0＜3π﹣1＜-π+4故y＝f（x）與y=12故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．9．（2023?上海）已知a∈R，記y＝sinx在[a，2a]的最小值為sa，在[2a，3a]的最小值為ta，則下列情況不可能的是（）A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0【考點】三角函數(shù)的最值；正弦函數(shù)的圖象．【專題】整體思想；試驗法；三角函數(shù)的圖象與性質；運算求解．【答案】D【分析】由題意可知a＞0，對a分別求值，排除ABC，即可得答案．【解答】解：由給定區(qū)間可知，a＞0．區(qū)間[a，2a]與區(qū)間[2a，3a]相鄰，且區(qū)間長度相同．取a=π6，則[a，2a]＝[π6，π3]，區(qū)間[2a，3a]＝[π3，π2]，可知sa取a=5π12，則[a，2a]＝[5π12，5π6]，區(qū)間[2a，3a]＝[5π6，5π4]，可知s取a=7π6，則[a，2a]＝[7π6，7π3]，區(qū)間[2a，3a]＝[7π3，7π2]，可知s結合選項可得，不可能的是sa＜0，ta＞0．故選：D．【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與三角函數(shù)的最值，訓練了排除法的應用，取特值是關鍵，是中檔題．二．多選題（共1小題）（多選）10．（2024?新高考Ⅱ）對于函數(shù)f（x）＝sin2x和g(A．f（x）與g（x）有相同零點 B．f（x）與g（x）有相同最大值 C．f（x）與g（x）有相同的最小正周期 D．f（x）與g（x）的圖像有相同的對稱軸【考點】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；邏輯思維；運算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)零點的定義，三角函數(shù)的單調性、周期性、對稱性逐項判斷即可．【解答】解：對于A，令f（x）＝sin2x＝0，解得x=kπ2，k∈Z，即為f（令g（x）＝sin(2x-π4)=0，解得x=kπ2+π故f（x），g（x）零點不同，f（0）＝0，g（0）=-22對于B，f（x）∈[﹣1，1]，g（x）∈[﹣1，1]，兩函數(shù)值域相同，故B正確；對于C，顯然兩函數(shù)最小正周期都為π，故C正確；對于D，由2x＝kπ+π2，k∈Z得，函數(shù)f（x）的對稱軸是x=kπ2+由2x-π4=kπ+π2，k∈Z得，函數(shù)g（x）的對稱軸是x=3故選：BC．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性、對稱性、單調性，屬于基礎題．三．填空題（共8小題）11．（2024?甲卷）函數(shù)f（x）＝sinx-3cosx在[0，π]上的最大值是2【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】將函數(shù)化簡為正弦型函數(shù)，結合給定的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性判斷即可．【解答】解：f（x）＝sinx-3cosx=2sin（x∈[0，π]，x-π3∈[-π3所以當x-π3=π2，x=f（x）max＝f（5π6）＝故答案為：2．【點評】本題考查三角函數(shù)的最值問題，屬于簡單題．12．（2024?北京）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于原點對稱．若α∈[π6，π3]，則cos【考點】兩角和與差的三角函數(shù)．【專題】轉化思想；轉化法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】先求出β的范圍，再結合余弦函數(shù)的單調性，即可求解．【解答】解：α與β的終邊關于原點對稱可得，α+π+2kπ＝β，k∈Z，cosβ＝cos（α+π+2kπ）＝﹣cosα，α∈[π6，π3]，所以cosβ∈[-32，-故當α=π3，β＝2kπ+4π3，k∈Z故答案為：-1【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．13．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），如圖，A，B是直線y=12與曲線y＝f（x）的兩個交點，若|AB|=π6，則f（π）＝【考點】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象．【專題】數(shù)形結合；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學建模．【答案】見試題解答內容【分析】由A，B兩點的位置入手，結合整體代換思想，先確定ω，再根據(jù)圖象的位置，找出合乎條件的一個φ值，即可求解．【解答】解：由題意：設A（x1，12），B（x1+π6由y＝sin（ωx+φ）的圖象可知：f（x1）＝sin（ωx1+φ）=12，故f（x2）＝sin[ω(x1+π6兩式相減得：π6由圖可知：T＜2π3-0＜2T，即∵ω＝4+12（k2﹣k1），k2﹣k1∈Z∴ω＝4，∴f（x）＝sin（4x+φ），又f（2π3）＝sin（8π3+φ）＝0，∴8π3+φ即φ=-8π3+kπ，k∈Z，∵f（0）＝∴當k＝2時，φ=-∴f∴f（π）＝sin（4π-2π3故答案為：-3【點評】本題主要考查根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象確定解析式的方法，屬中檔題．14．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是[2，3）．【考點】三角函數(shù)的周期性．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】利用余弦函數(shù)的周期，結合函數(shù)的零點個數(shù)，列出不等式求解即可．【解答】解：x∈[0，2π]，函數(shù)的周期為2πω（ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝函數(shù)f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，可得2?2πω≤所以2≤ω＜3．故答案為：[2，3）．【點評】本題考查三角函數(shù)的周期的應用，函數(shù)的零點的應用，是基礎題．15．（2023?全國）已知sin2θ=-13，若π4＜θ＜3π【考點】同角三角函數(shù)間的基本關系；二倍角的三角函數(shù)．【專題】計算題；整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】﹣3﹣22．【分析】利用二倍角公式得到sinθ＞0，cosθ＜0，則π2＜θ＜3π4，【解答】解：∵π4＜θ＜3π4，且sin2θ=2sinθcosθ∴π2＜θ＜3π∵sin2∴2sinθcosθ解得tanθ＝﹣3﹣22或﹣3+22（舍）．故答案為：﹣3﹣22．【點評】本題考查了三角函數(shù)的求值問題，屬于中檔題．16．（2023?北京）已知命題p：若α，β為第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ．能說明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α＝9π4（答案不唯一），β＝π4（答案不【考點】正弦函數(shù)的單調性．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；簡易邏輯；邏輯思維．【答案】9π4（答案不唯一）；π4【分析】根據(jù)題意，舉反例，即可得解．【解答】解：取α=π4+2則α＞β，但tanα＝tanβ，不滿足tanα＞tanβ，∴命題p為假命題，∴能說明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α=9π4故答案為：9π4（答案不唯一）；π4【點評】本題考查命題的真假判斷，屬基礎題．17．（2023?上海）已知tanα＝3，則tan2α＝-34【考點】求二倍角的三角函數(shù)值．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】直接利用正切函數(shù)的二倍角公式求解．【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α=2故答案為：-3【點評】本題主要考查了二倍角公式的應用，屬于基礎題．18．（2023?乙卷）若θ∈（0，π2），tanθ=13，則sinθ﹣cosθ＝-【考點】同角三角函數(shù)間的基本關系；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【專題】對應思想；定義法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】-10【分析】根據(jù)三角函數(shù)的坐標定義，利用坐標法進行求解即可．【解答】解：∵θ∈（0，π2），tanθ=∴令x＝3，y＝1，設θ終邊上一點的坐標P（3，1），則r＝|OP|=3則sinθ﹣cosθ=1故答案為：-10【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用坐標法進行求解是解決本題的關鍵，是基礎題．四．解答題（共2小題）19．（2024?上海）已知f（x）＝sin（ωx+π3），ω＞（1）設ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期為π，若在x∈[π，a]上恰有3個零點，求a的取值范圍．【考點】三角函數(shù)的周期性．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；運算求解．【答案】（1）[-32，1]．（2）[7π【分析】（1）由題意，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最值，可得結論．（2）由題意，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和零點，求出a的取值范圍．【解答】解：（1）當ω＝1時，f（x）＝sin（ωx+π3）＝sin（x因為x∈[0，π]，所以令t=根據(jù)y＝f（t）＝sint在[π3，所以函數(shù)的最大值為sinπ2=1，最小值為sin4π因此函數(shù)的值域為[-32，（2）由題知T=2πω=π，所以ω＝2，f（x）＝當f（x）＝0時，2x+π當k＝3時，x=4π3＞因此，a的取值范圍為[7π3，【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．20．（2024?天津）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosB=916，b＝5，（1）求a的值；（2）求sinA的值；（3）求cos（B﹣2A）的值．【考點】兩角和與差的三角函數(shù)；正弦定理；余弦定理．【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）4；（2）74；（3）57【分析】（1）設a＝2k，則c＝3k，k＞0，利用余弦定理能求出a；（2）由同角三角函數(shù)關系式，先求出sinB．再由正弦定理求出sinA．（3）利用二倍角公式求出sin2A，再由同角三角函數(shù)關系式求出cos2A，利用兩角差三角函數(shù)能求出cos（B﹣2A）．【解答】解：（1）在△ABC中，cosB=916，b＝設a＝2k，則c＝3k，k＞0，∴cosB=9解得k＝2，∴a＝2k＝4；（2）由（1）得a＝4，c＝6，sinB=1-(由正弦定理得asinA=b解得sinA=7（3）∵a＜b，sinA=74＜22=sinπ∴sin2A＝2sinAcosA＝2×7cos2A=1-(∴cos（B﹣2A）＝cosBcos2A+sinBsin2A=9=57【點評】本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關系式、兩角差三角函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．

考點卡片1．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．2．三角函數(shù)的周期性【知識點的認識】周期性①一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．②對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解題方法點撥】1．一點提醒求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調區(qū)間時，應注意ω的符號，只有當ω＞0時，才能把ωx+φ看作一個整體，代入y＝sint的相應單調區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤．2．兩類點y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五點是：零點和極值點（最值點）．3．求周期的三種方法①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用圖象．圖象重復的x的長度．3．正弦函數(shù)的圖象【知識點的認識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調性遞增區(qū)間：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）時，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+π2，k對稱中心：（kπ+π2，0）（k∈對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（kπ2，0）（k∈Z無對稱軸周期2π2ππ4．正弦函數(shù)的單調性【知識點的認識】三角函數(shù)的單調性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數(shù)，防止把單調性弄錯．5．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性【知識點的認識】正弦函數(shù)的對稱性正弦函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關于原點對稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對稱軸為x＝kπ+π2，k∈【解題方法點撥】例：函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x＝x=kπ2解：由于函數(shù)y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函數(shù)y＝sint的對稱軸為t則2x-π4=kπ+則函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x故答案為x=這個題很有代表性，一般三角函數(shù)都是先化簡，化成一個單獨的正弦或者余弦函數(shù)，然后把2x-π【命題方向】這個考點非常重要，也很簡單，大家熟記這個公式，并能夠理解運用就可以了．6．余弦函數(shù)的對稱性【知識點的認識】余弦函數(shù)的對稱性余弦函數(shù)y＝cosx是定義域為R的偶函數(shù)，也是周期函數(shù)，其對稱軸為x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函數(shù)在對稱軸上的值為最值，也可以看做是y軸平移kπ個單位后依然還是對稱軸．【解題方法點撥】例：（中，三角函數(shù)的對稱性）若函數(shù)y=cos(ωx+π3)（ω＞解：因為y＝cosx的圖象相鄰兩條對稱軸距離為π，要使y=cos(ωx+π3)的這里面應用了余弦函數(shù)的對稱軸之間的間隔為半個周期的性質，從而轉化為求周期的問題．【命題方向】這是個很基本的考點，也比較容易，但也非常重要，希望大家能夠掌握．7．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換【知識點的認識】函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟兩種變換的差異先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是|φ|ω（ω＞0）個【解題方法點撥】1．一個技巧列表技巧：表中“五點”中相鄰兩點的橫向距離均為T42．兩個區(qū)別（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M（2）由y＝sinx變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是|φ|ω（ω＞0）個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于3．三點提醒（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應先利用誘導公式化為同名函數(shù)；（3）由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時，需平移的單位數(shù)應為|φ|ω，而不是|8．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【知識點的認識】根據(jù)圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A=M-m2，k=M+m2，ω9．三角函數(shù)的最值【知識點的認識】三角函數(shù)的最值其實就是指三角函數(shù)在定義域內的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡和換元．化簡的原則通常是盡量的把復合三角函數(shù)化為只含有一個三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2x解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案為：32+22cos（這個題所用到的方法就是化簡成一個單一的三角函數(shù)，把一個復合的三角函數(shù)最后化成了只關于余弦函數(shù)的式子，然后單獨分析余弦函數(shù)的特點，最后把結果求出來．化簡當中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉換，特別是二倍角的轉換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開口向上，對稱軸是t=∴當t=1而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時或t＝1時函數(shù)值中的較大的那個∵t＝﹣1時，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當t＝1時，y＝12﹣1+3＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時y的值即sinx＝﹣1時，函數(shù)的最大值為5．這個題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個一元二次函數(shù)，在換元的時候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應的值域．【命題方向】求三角函數(shù)的最值是高考的一個?？键c，主要方法我上面已經(jīng)寫了，大家要注意的是把一些基本的方法融會貫通，同時一定要注意函數(shù)的定義域和相對應的值域．10．同角三角函數(shù)間的基本關系【知識點的認識】1．同角三角函數(shù)的基本關系（1）平方關系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關系：sinαcosα=tan2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sin3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2【解題方法點撥】誘導公式記憶口訣：對于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當α11．兩角和與差的三角函數(shù)【知識點的認識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα12．二倍角的三角函數(shù)【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點撥】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx=1-cos＝sin2x-12cos2=52sin（2x+φ）+12，（∴其周期T=2π故答案為：π．這個簡單的例題的第二個式子就是一個二倍角的轉換，轉換過后又使用了和差化積的相關定理，這也可以看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式．【命題方向】本考點也是一個很重要的考點，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學多加練習，熟記各種公式．13．求二倍角的三角函數(shù)值【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣將具體角度值代入公式，求解二倍角的三角函數(shù)值．﹣驗證計算結果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用二倍角公式求解三角函數(shù)值，結合具體角度進行計算．已知tanα2=22，則解：因為tanα所以tanα=故答案為：2214．半角的三角函數(shù)【知識點的認識】半角的三角函數(shù)關系主要是指正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關系（正余弦的半角關系其實就是二倍角關系），其公式為：①tanα2=sinα2【解題方法點撥】例：函數(shù)y=sinx(1+tanx?tanx2解：∵y=sinx＝sinx+tanx（1﹣cosx）＝sinx+tanx﹣sinx＝tanx∴T＝π故答案為：π這個題的解題關鍵就是正切函數(shù)半角的轉化，所用的公式就是這里列出來的上面一種，像這個問題的思路其實是簡單的，就是化簡，化成一個單獨的三角函數(shù)，而且只能是把tanx化成正余弦函數(shù)．【命題方向】正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關系大家都比較了解，但半角的正切函數(shù)與正余弦關系也很重要，它是正切函數(shù)轉化為正余弦函數(shù)的一個橋梁，所以大家一定要記住，并清楚它的推導．15．三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值【知識點的認識】三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時，如何轉化成我們常見的數(shù)值比較小的而且相等的三角函數(shù)，主要的方法就是運用它們的周期性．公式①正弦函數(shù)有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2-②余弦函數(shù)有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（π2-x）＝③正切函數(shù)有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（π2-x）＝cot④余切函數(shù)有y＝cot（π2-x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cot【解題方法點撥】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：sin60°=32，cos(-∴原式=3先利用誘導公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）轉化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函數(shù)值求得問題的答案．這其實也就是一個化簡求值的問題，解題時的基本要求一定要是恒等變換．【命題方向】本考點是三角函數(shù)的基礎知識，三角函數(shù)在高考中占的比重是相當大的，所有有必要認真掌握三角函數(shù)的每一個知識點，而且三角函數(shù)的難度相對于其他模塊來說應該是比較簡單的．16．正弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形