人教版七7年級下冊數學期末復習題附答案一、選擇題1．9的算術平方根是（）A．81 B．3 C． D．42．四根火柴棒擺成如圖所示的象形“口”字，平移此象形字火柴棒后，變成的象形文字正確的是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中有四個點，，，．其中在第一象限的點是（）．A． B． C． D．4．下列命題是假命題的是（）A．兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角 B．內錯角相等C．兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等 D．對頂角相等5．如圖，直線，三角板的直角頂點在直線上，已知，則等于（）．A．25° B．55° C．65° D．75°6．下列說法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的數是0,1；③兩個無理數的和一定是無理數；④實數與數軸上的點是一一對應的；⑤是負分數；⑥兩個有理數之間有無數個無理數，同樣兩個無理數之間有無數個有理數．其中正確的個數是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，小明從A處出發(fā)沿北偏東方向行走至B處，又沿北偏西方向行走至C處，則的度數是（）A． B． C． D．8．如圖，，，，，…按此規(guī)律，點的坐標為（）A． B．C． D．九、填空題9．正方形木塊的面積為，則它的周長為____________．十、填空題10．已知點關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為，那么點的坐標是________．十一、填空題11．如圖，點D是△ABC三邊垂直平分線的交點，若∠A＝64°，則∠D＝_____°．十二、填空題12．如圖，己知AB∥CD．OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠C＝50°，則∠AOF的度數為___．十三、填空題13．如圖，在四邊形ABCD紙片中，AD∥BC，AB∥CD．將紙片折疊，點A、B分別落在G、H處，EF為折痕，FH交CD于點K．若∠CKF＝35°，則∠A+∠GED＝______°．十四、填空題14．已知為兩個連續(xù)的整數，且，則_______十五、填空題15．若點P（2x，x-3）到兩坐標軸的距離之和為5，則x的值為____________.十六、填空題16．在平面直角坐標系中，已知點A（﹣4，0），B（0，3），對△AOB連續(xù)作圖所示的旋轉變換，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，那么第（2013）個三角形的直角頂點坐標是______十七、解答題17．（1）（2）（3）十八、解答題18．求下列各式中的x值:（1）16（x+1）2＝25;（2）8（1﹣x）3＝125十九、解答題19．如圖，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．求證：ADBC．證明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠AED＝180°，∴∠1＝∠AED（），∴AC（），∴∠D＝∠DAF（）．∵∠C＝∠D，∴∠DAF＝（等量代換）．∴ADBC（）．二十、解答題20．已知點P（﹣3a﹣4，a+2）．（1）若點P在y軸上，試求P點的坐標；（2）若M（5，8），且PM//x軸，試求P點的坐標；（3）若點P到x軸，y軸的距離相等，試求P點的坐標．二十一、解答題21．大家知道是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不能全部地寫出來，于是小聰用來表示的小數部分，你同意小聰的表示方法嗎？事實上小聰的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，用個數減去其整數部分，差就是它的小數部分．請解答下列問題：（1）的整數部分是____，小數部分是_____．（2）如果的小數部分是a，的整數部分是b，求的值．（3）已知，其中x是正整數，，求的相反數．二十二、解答題22．教材中的探究：如圖，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，用所得到的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形．由此，得到了一種能在數軸上畫出無理數對應點的方法（數軸的單位長度為1）．（1）閱讀理解：圖1中大正方形的邊長為________，圖2中點A表示的數為________；（2）遷移應用：請你參照上面的方法，把5個小正方形按圖3位置擺放，并將其進行裁剪，拼成一個大正方形．①請在圖3中畫出裁剪線，并在圖3中畫出所拼得的大正方形的示意圖．②利用①中的成果，在圖4的數軸上分別標出表示數－0.5以及的點，并比較它們的大?。?、解答題23．已知點C在射線OA上．（1）如圖①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度數；（2）在①中，將射線OE沿射線OB平移得O′E'（如圖②），若∠AOB＝α，探究∠OCD與∠BO′E′的關系（用含α的代數式表示）（3）在②中，過點O′作OB的垂線，與∠OCD的平分線交于點P（如圖③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB與∠BO′E′的關系．二十四、解答題24．如圖，已知是直線間的一點，于點交于點．（1）求的度數；（2）如圖2，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞P點按逆時針方向旋轉，當垂直時，立刻按原速返回至后停止運動：射線從出發(fā)，以每秒的速度繞E點按逆時針方向旋轉至后停止運動，若射線，射線同時開始運動，設運動間為t秒．①當時，求的度數；②當時，求t的值．二十五、解答題25．互動學習課堂上某小組同學對一個課題展開了探究．小亮：已知，如圖三角形，點是三角形內一點，連接，，試探究與，，之間的關系．小明：可以用三角形內角和定理去解決．小麗：用外角的相關結論也能解決．（1）請你在橫線上補全小明的探究過程：∵，（______）∴，（等式性質）∵，∴，∴．（______）（2）請你按照小麗的思路完成探究過程；（3）利用探究的結果，解決下列問題：①如圖①，在凹四邊形中，，，求______；②如圖②，在凹四邊形中，與的角平分線交于點，，，則______；③如圖③，，的十等分線相交于點、、、…、，若，，則的度數為______；④如圖④，，的角平分線交于點，則，與之間的數量關系是______；⑤如圖⑤，，的角平分線交于點，，，求的度數．【參考答案】一、選擇題1．B解析：B【分析】如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根，記為．【詳解】解：=3，故選：B．【點睛】本題考查了算術平方根的定義，解題時注意算術平方根與平方根的區(qū)別．2．C【分析】根據火柴頭的方向、平移的定義即可得．【詳解】解：此象形字火柴棒中，有兩根火柴頭朝向左，一根火柴頭朝向上，一根火柴頭朝向下，因為平移不改變火柴頭的朝向，所以觀察四個選項可知，只有解析：C【分析】根據火柴頭的方向、平移的定義即可得．【詳解】解：此象形字火柴棒中，有兩根火柴頭朝向左，一根火柴頭朝向上，一根火柴頭朝向下，因為平移不改變火柴頭的朝向，所以觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．【點睛】本題考查了平移，掌握理解平移的概念是解題關鍵．3．A【分析】根據各象限內點的坐標特征解答即可．【詳解】解：在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；故選：A．【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．4．B【分析】根據內錯角、對頂角、補角的定義一一判斷即可．【詳解】解：A、兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角，為真命題；B、兩直線平行，內錯角相等，故錯誤，為假命題；C、兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等，為真命題；D、對頂角相等，為真命題；故選：B．【點睛】本題考查命題與定理、內錯角、對頂角、補角的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本概念，屬于基礎題．5．C【分析】利用平行線的性質，可證得∠2=∠3，利用已知可證得∠1+∠3=90°，求出∠3的度數，進而求出∠2的度數．【詳解】解：如圖∵a//b∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=180°-90°=90°∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°∴∠2=65°．故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，靈活運用“兩直線平行、同位角相等”是解答本題的關鍵．6．A【分析】根據平方根和立方根的性質，以及無理數的性質判斷選項的正確性．【詳解】解：立方根等于本身的數有：，1，0，故①正確；平方根等于本身的數有：0，故②錯誤；兩個無理數的和不一定是無理數，比如和的和是0，是有理數，故③錯誤；實數與數軸上的點一一對應，故④正確；是無理數，不是分數，故⑤錯誤；從數軸上來看，兩個有理數之間有無數個無理數，同樣兩個無理數之間有無數個有理數，故⑥正確．故選：A．【點睛】本題考查平方根和立方根的性質，無理數的性質，解題的關鍵是熟練掌握這些概念．7．A【分析】根據平行線性質求出∠ABF，再和∠CBF相減即可得出答案．【詳解】解：由題意可得：∠A＝60°，∠CBF＝20°，，∵，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ABF＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝120°﹣20°＝100°，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，注意：兩直線平行，同旁內角互補，也考查了方位角，熟練掌握平行線的性質是解決本題的關鍵．8．C【分析】經觀察分析所有點，除A1外，其它所有點按一定的規(guī)律分布在四個象限，且每個象限的點滿足：角標÷4=循環(huán)次數+余數，余數0，1，2，3確定相應的象限，由此確定點A2022在第一象限；第一象解析：C【分析】經觀察分析所有點，除A1外，其它所有點按一定的規(guī)律分布在四個象限，且每個象限的點滿足：角標÷4=循環(huán)次數+余數，余數0，1，2，3確定相應的象限，由此確定點A2022在第一象限；第一象限的點A2（1，1），A6（2，2），A10（3，3）…觀察易得到點的坐標=．【詳解】解：由題可知第一象限的點：A2，A6，A10…角標除以4余數為2；第二象限的點：A3，A7，A11…角標除以4余數為3；第三象限的點：A4，A8，A12…角標除以4余數為0；第四象限的點：A5，A9，A13…角標除以4余數為1；由上規(guī)律可知：2022÷4=505…2∴點A2022在第一象限．觀察圖形，可知：點A2的坐標為（1，1），點A6的坐標為（2，2），點A10的坐標為（3，3），…，∴第一象限點的橫縱坐標數字隱含規(guī)律：點的坐標=（n為角標）∴點A4n-2的坐標為（，）（n為正整數），∴點A2022的坐標為（506，506）．故選C．【點睛】本題考查了點的坐標正方形為單位格點變化規(guī)律，反應出點的坐標變化從特殊到一般再到特殊規(guī)律計算方法，同時也體現出第一象限點的橫縱坐標數字隱含規(guī)律：點的坐標=（n為角標）求解．九、填空題9．【分析】設正方形的邊長為xm，則x2＝5，根據平方根的定義求解可得．【詳解】設正方形的邊長為xm，則x2＝5，所以x＝或x＝?（舍），即正方形的邊長為m，所以周長為4cm故答案為：解析：【分析】設正方形的邊長為xm，則x2＝5，根據平方根的定義求解可得．【詳解】設正方形的邊長為xm，則x2＝5，所以x＝或x＝?（舍），即正方形的邊長為m，所以周長為4cm故答案為：4．【點睛】本題主要考查算術平方根，解題的關鍵是掌握算術平方根的定義．十、填空題10．【分析】根據點坐標關于坐標軸的對稱規(guī)律即可得．【詳解】點坐標關于坐標軸的對稱規(guī)律：（1）關于x軸對稱，橫坐標不變、縱坐標變?yōu)橄喾磾?；?）關于y軸對稱，橫坐標變?yōu)橄喾磾?，縱坐標不變點關于軸解析：【分析】根據點坐標關于坐標軸的對稱規(guī)律即可得．【詳解】點坐標關于坐標軸的對稱規(guī)律：（1）關于x軸對稱，橫坐標不變、縱坐標變?yōu)橄喾磾担唬?）關于y軸對稱，橫坐標變?yōu)橄喾磾?，縱坐標不變點關于軸的對稱點為，則點P的縱坐標為1點關于軸的對稱點為，則點P的橫坐標為2則點P的坐標為故答案為：．【點睛】本題考查了點坐標關于坐標軸的對稱規(guī)律，掌握對稱規(guī)律是解題關鍵．十一、填空題11．128°【解析】【分析】由點D為三邊垂直平分線交點,得到點D為△ABC的外心,根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可得到結果【詳解】∵D為△ABC三邊垂直平分線交點,∴點D為△ABC的解析：128°【解析】【分析】由點D為三邊垂直平分線交點,得到點D為△ABC的外心,根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可得到結果【詳解】∵D為△ABC三邊垂直平分線交點,∴點D為△ABC的外心,∴∠D=2∠A∵∠A=64°∴∠D=128°故∠D的度數為128°【點睛】此題考查線段垂直平分線的性質，解題關鍵在于根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半來解答十二、填空題12．115°【分析】要求∠AOF的度數，結合已知條件只需要求出∠AOE的度數，根據角平分線的定義可以得到∠AOE=∠AOC，再利用平行線的性質得到∠C=∠AOC即可求解.【詳解】解：∵AB∥CD解析：115°【分析】要求∠AOF的度數，結合已知條件只需要求出∠AOE的度數，根據角平分線的定義可以得到∠AOE=∠AOC，再利用平行線的性質得到∠C=∠AOC即可求解.【詳解】解：∵AB∥CD，∠C=50°，∴∠C=∠AOC=50°，∵OE平分∠AOC，∴25°，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠AOF=∠AOE+∠EOF=115°，故答案為：115°.【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質，垂直的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.十三、填空題13．145【分析】首先判定四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠A＝∠C，AD∥BC，再根據折疊變換的性質和平行線的性質將角度轉化求解．【詳解】解：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行解析：145【分析】首先判定四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠A＝∠C，AD∥BC，再根據折疊變換的性質和平行線的性質將角度轉化求解．【詳解】解：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，根據翻轉折疊的性質可知，∠AEF＝∠GEF，∠EFB＝∠EFK，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∠AEF＝∠EFC，∴∠GEF＝∠AEF＝∠EFC，∠DEF＝∠EFB＝∠EFK，∴∠GEF﹣∠DEF＝∠EFC﹣∠EFK，∴∠GED＝∠CFK，∵∠C+∠CFK+∠CKF＝180°，∴∠C+∠CFK＝145°，∴∠A+∠GED＝145°，故答案為145．【點睛】本題主要考查平行線的性質；多邊形內角與外角及翻折變換（折疊問題），熟練掌握平行線的性質；多邊形內角與外角及翻折變換（折疊問題）是解題的關鍵．十四、填空題14．7【分析】由無理數的估算，先求出a、b的值，再進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵、為兩個連續(xù)的整數，，∴，，∴；故答案為：7．【點睛】本題考查了無理數的估算，解題的關鍵是正確解析：7【分析】由無理數的估算，先求出a、b的值，再進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵、為兩個連續(xù)的整數，，∴，，∴；故答案為：7．【點睛】本題考查了無理數的估算，解題的關鍵是正確求出a、b的值，從而進行解題．十五、填空題15．或【詳解】【分析】分x<0，0≤x<3，x≥3三種情況分別討論即可得.【詳解】當x<0時，2x<0，x-3<0，由題意則有-2x-(x-3)=5，解得：x=，當0≤x<3時，2x≥0，x-3解析：或【詳解】【分析】分x<0，0≤x<3，x≥3三種情況分別討論即可得.【詳解】當x<0時，2x<0，x-3<0，由題意則有-2x-(x-3)=5，解得：x=，當0≤x<3時，2x≥0，x-3<0，由題意則有2x-(x-3)=5，解得：x=2，當x≥3時，2x>0，x-3≥0，由題意則有2x+x-3=5，解得：x=<3（不合題意，舍去），綜上，x的值為2或，故答案為2或.【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質，根據x的取值范圍分情況進行討論是解題的關鍵.十六、填空題16．（8052，0）．【分析】觀察圖形不難發(fā)現，每3個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2013除以3，根據商和余數的情況確定出第（2013）個三角形的直角頂點到原點O的距離，然后寫出坐標即可．【詳解解析：（8052，0）．【分析】觀察圖形不難發(fā)現，每3個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2013除以3，根據商和余數的情況確定出第（2013）個三角形的直角頂點到原點O的距離，然后寫出坐標即可．【詳解】解：∵點A（﹣4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∴第（3）個三角形的直角頂點的坐標是；觀察圖形不難發(fā)現，每3個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∴一次循環(huán)橫坐標增加12，∵2013÷3＝671∴第（2013）個三角形是第671組的第三個直角三角形，其直角頂點與第671組的第三個直角三角形頂點重合，∴第（2013）個三角形的直角頂點的坐標是即．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，勾股定理的應用，觀察圖形，發(fā)現每3個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵．十七、解答題17．（1）；（2）；（3）【分析】（1）先化簡后計算即可；（2）先化簡后計算即可；（3）首先去括號，然后再合并即可．【詳解】解：（1）原式（2）原式（3）原式【點睛】此題主要考查了實解析：（1）；（2）；（3）【分析】（1）先化簡后計算即可；（2）先化簡后計算即可；（3）首先去括號，然后再合并即可．【詳解】解：（1）原式（2）原式（3）原式【點睛】此題主要考查了實數運算，關鍵是掌握數的開方，正確化簡各數．十八、解答題18．（1）或；（2）【分析】（1）根據平方根，即可解答；（2）根據立方根，即可解答．【詳解】解：（1）等式兩邊都除以16，得.等式兩邊開平方，得.所以，得.所以，解析：（1）或；（2）【分析】（1）根據平方根，即可解答；（2）根據立方根，即可解答．【詳解】解：（1）等式兩邊都除以16，得.等式兩邊開平方，得.所以，得.所以，（2）等式兩邊都除以8，得.等式兩邊開立方，得.所以，【點睛】本題考查平方根、立方根，解題關鍵是熟記平方根、立方根．.十九、解答題19．同角的補角相等；DE；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；∠C；同位角相等，兩直線平行．【分析】根據平行線的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】證明：，，（同角的補角相等），解析：同角的補角相等；DE；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；∠C；同位角相等，兩直線平行．【分析】根據平行線的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】證明：，，（同角的補角相等），（內錯角相等，兩直線平行），（兩直線平行，內錯角相等），，（等量代換），（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：同角的補角相等；DE；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；；同位角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟記“內錯角相等，兩直線平行”、“同位角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，內錯角相等”是解題的關鍵．二十、解答題20．（1）P（0，）；（2）P（-22，8）；（3）P（，）或P（-1，1）．【分析】（1）根據y軸上的點的坐標特征：橫坐標為0列方程求出a值即可得答案；（2）根據平行于x軸的直線上的點的縱坐標相解析：（1）P（0，）；（2）P（-22，8）；（3）P（，）或P（-1，1）．【分析】（1）根據y軸上的點的坐標特征：橫坐標為0列方程求出a值即可得答案；（2）根據平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等列方程求出a值即可得答案；（3）根據點P到x軸，y軸的距離相等可得，解方程求出a值即可得答案．【詳解】（1）∵點P在y軸上，∴，∴，∴∴P（0，）．（2）∵PM//x軸，∴，∴，此時，，∴P（-22，8）（3）∵若點P到x軸，y軸的距離相等，∴，∴或，解得：或，當時，﹣3a﹣4=，a+2=，∴P（，），當時，﹣3a﹣4=-1，a+2=1，∴P（-1，1），綜上所述：P（，）或P（-1，1）．【點睛】本題主要考查了點的坐標性質，用到的知識點為：點到坐標軸的距離相等，那么點的橫縱坐標相等或互為相反數以及在坐標軸上的點的性質．二十一、解答題21．（1）3；；（2）7；（3）【分析】（1）先求出的取值范圍，即可求出的整數部分，從而求出結論；（2）先估算的大小，再求出其小數部分a的值，同理估計的大小，再求出其整數部分b的值，即可求解；（解析：（1）3；；（2）7；（3）【分析】（1）先求出的取值范圍，即可求出的整數部分，從而求出結論；（2）先估算的大小，再求出其小數部分a的值，同理估計的大小，再求出其整數部分b的值，即可求解；（3）根據題意先求出x，y所表示的數，再求出x-y，即可求出其相反數．【詳解】解：（1）∵3＜＜4，∴的整數部分是3，小數部分是故答案為：3；；（2）∵∴∴∴的小數部分a=－2=∵∴∴的整數部分b=4∴=＋4=7；（3）∵∴∴∴的整數部分為2，小數部分為－2=∵，其中x是正整數，，∴，y=∴=∴的相反數為．【點睛】此題考查的是求無理數的整數部分和小數部分，掌握無理數的估算方法是解題關鍵．二十二、解答題22．（1）；（2）①見解析；②見解析，【分析】（1）設正方形邊長為a，根據正方形面積公式，結合平方根的運算求出a值，則知結果；（2）①根據面積相等，利用割補法裁剪后拼得如圖所示的正方形；②解析：（1）；（2）①見解析；②見解析，【分析】（1）設正方形邊長為a，根據正方形面積公式，結合平方根的運算求出a值，則知結果；（2）①根據面積相等，利用割補法裁剪后拼得如圖所示的正方形；②由題（1）的原理得出大正方形的邊長為，然后在數軸上以-3為圓心，以大正方形的邊長為半徑畫弧交數軸的右方與一點M，再把N點表示出來，即可比較它們的大?。驹斀狻拷猓涸O正方形邊長為a，∵a2=2，∴a=，故答案為：，；（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如圖所示：②設拼成的大正方形的邊長為b，∴b2=5，∴b=±，在數軸上以-3為圓心，以大正方形的邊長為半徑畫弧交數軸的右方與一點M，則M表示的數為-3+，看圖可知，表示-0.5的N點在M點的右方，∴比較大?。海军c睛】本題主要考查平方根與算術平方根的應用及實數的大小比較，熟練掌握平方根與算術平方根的意義及實數的大小比較是解題的關鍵．二十三、解答題23．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′【分析】（1）先根據平行線的性質得到∠AOE的度數，再根據直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數；（2）解析：（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′【分析】（1）先根據平行線的性質得到∠AOE的度數，再根據直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數；（2）如圖②，過O點作OF∥CD，根據平行線的判定和性質可得∠OCD、∠BO′E′的數量關系；（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，結合角平分線的定義可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根據（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，進而推出∠AOB=∠BO′E′．【詳解】解：（1）∵CD∥OE，∴∠AOE=∠OCD=120°，∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．證明：如圖②，過O點作OF∥CD，∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′．證明：∵∠CPO′=90°，∴PO′⊥CP，∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，∴∠PCO+∠AOB=180°，∴2∠PCO=360°-2∠AOB，∵CP是∠OCD的平分線，∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，∴∠AOB=∠BO′E′．【點睛】此題考查了平行線的判定和性質，平移的性質，直角的定義，角平分線的定義，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．二十四、解答題24．（1）；（2）①或；②秒或或秒【分析】（1）通過延長作輔助線，根據平行線的性質，得到，再根據外角的性質可計算得到結果；（2）①當時，分兩種情況，Ⅰ當在和之間，Ⅱ當在和之間，由，計算出的運動時間解析：（1）；（2）①或；②秒或或秒【分析】（1）通過延長作輔助線，根據平行線的性質，得到，再根據外角的性質可計算得到結果；（2）①當時，分兩種情況，Ⅰ當在和之間，Ⅱ當在和之間，由，計算出的運動時間，根據運動時間可計算出，由已知可計算出的度數；②根據題意可知，當時，分三種情況，Ⅰ射線由逆時針轉動，，根據題意可知，，再平行線的性質可得，再根據三角形外角和定理可列等量關系，求解即可得出結論；Ⅱ射線垂直時，再順時針向運動時，，根據題意可知，，，，可計算射線的轉動度數，再根據轉動可列等量關系，即可求出答案；Ⅲ射線垂直時，再順時針向運動時，，根據題意可知，，，根據（1）中結論，，，