矩陣題目及答案一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.矩陣\(A\)為\(3\times2\)矩陣，矩陣\(B\)為\(2\times3\)矩陣，則\(AB\)的階數(shù)是（）A.\(2\times2\)B.\(3\times3\)C.\(3\times2\)D.\(2\times3\)2.單位矩陣\(I\)與同階方陣\(A\)相乘，結(jié)果是（）A.\(I\)B.\(A\)C.\(0\)D.\(A^T\)3.若矩陣\(A\)可逆，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值（）A.等于\(0\)B.不等于\(0\)C.大于\(0\)D.小于\(0\)4.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)是（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)5.矩陣的秩\(rank(A)\)滿足（）A.\(rank(A)\gt\)矩陣行數(shù)B.\(rank(A)\gt\)矩陣列數(shù)C.\(rank(A)\leq\)矩陣行數(shù)且\(rank(A)\leq\)矩陣列數(shù)D.\(rank(A)\)無限制6.若\(A\)、\(B\)為同階方陣，且\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)，則（）A.\(AB=BA\)B.\(A=B\)C.\(A=0\)或\(B=0\)D.\(A\)、\(B\)為對角矩陣7.已知矩陣\(A\)經(jīng)過初等行變換可化為單位矩陣\(I\)，則\(A\)（）A.不可逆B.可逆C.是對稱矩陣D.是反對稱矩陣8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(\vert\lambdaI-A\vert=0\)稱為\(A\)的（）A.特征向量B.特征方程C.相似方程D.可逆方程9.若矩陣\(A\)與矩陣\(B\)相似，則（）A.\(\vertA\vert\neq\vertB\vert\)B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A\)與\(B\)秩不同D.\(A\)與\(B\)行數(shù)不同10.實對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.一定正交D.一定相等二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于矩陣運算正確的有（）A.\((A+B)^T=A^T+B^T\)B.\((AB)^T=A^TB^T\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(A^TA\)是對稱矩陣2.矩陣\(A\)可逆的充要條件有（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(rank(A)\)等于矩陣階數(shù)C.存在矩陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)D.\(A\)可經(jīng)過初等變換化為單位矩陣3.下列哪些是矩陣的初等行變換（）A.交換兩行B.某一行乘以非零常數(shù)C.某一行加上另一行的倍數(shù)D.交換兩列4.對于\(n\)階方陣\(A\)和\(B\)，以下說法正確的是（）A.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)B.\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)（\(k\)為常數(shù)）C.若\(A\)可逆，則\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)D.\(\vertA+B\vert=\vertA\vert+\vertB\vert\)5.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timess\)矩陣，則（）A.\(AB\)為\(m\timess\)矩陣B.\(rank(AB)\leqrank(A)\)C.\(rank(AB)\leqrank(B)\)D.若\(A\)、\(B\)滿秩，則\(AB\)滿秩6.矩陣的特征值具有以下性質(zhì)（）A.特征值之和等于矩陣主對角線元素之和B.特征值之積等于矩陣的行列式的值C.不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)D.實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)7.以下屬于相似矩陣性質(zhì)的有（）A.相似矩陣有相同的行列式B.相似矩陣有相同的秩C.相似矩陣有相同的跡（主對角線元素之和）D.相似矩陣一定合同8.若\(A\)是實對稱矩陣，則（）A.\(A\)的特征向量一定正交B.存在正交矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對角矩陣C.\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交D.\(A\)與對角矩陣合同9.對于矩陣的逆運算，正確的是（）A.\((A^{-1})^{-1}=A\)B.\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)（\(A\)、\(B\)均可逆）C.\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)D.\(kA\)可逆時，\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)（\(k\neq0\)）10.以下關(guān)于矩陣的秩說法正確的是（）A.矩陣的秩等于其行向量組的秩B.矩陣的秩等于其列向量組的秩C.若\(A\)經(jīng)過初等變換化為\(B\)，則\(rank(A)=rank(B)\)D.零矩陣的秩為\(0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.兩個矩陣可相加的前提是它們有相同的行數(shù)和列數(shù)。（）2.若\(AB=0\)，則\(A=0\)或者\(B=0\)。（）3.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）4.一個方陣\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)與\(A\)一定可交換。（）5.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)不可逆。（）6.實對稱矩陣一定可以對角化。（）7.相似矩陣一定有相同的特征向量。（）8.若矩陣\(A\)與\(B\)合同，則\(A\)與\(B\)一定相似。（）9.矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足\((A^T)^T=A\)。（）10.一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的判定方法。**答案**：矩陣\(A\)可逆的判定方法有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(rank(A)\)等于矩陣階數(shù)；存在矩陣\(B\)使\(AB=BA=I\)；\(A\)可經(jīng)初等變換化為單位矩陣。2.說明矩陣的秩的概念。**答案**：矩陣的秩是矩陣行向量組或列向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)，也等于矩陣經(jīng)過初等變換化為階梯形矩陣后非零行的行數(shù)。3.簡述實對稱矩陣的性質(zhì)。**答案**：實對稱矩陣特征值為實數(shù)，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，一定可正交對角化，即存在正交矩陣\(P\)使\(P^{-1}AP\)為對角陣。4.簡述矩陣初等變換的用途。**答案**：用于求矩陣的秩，求可逆矩陣的逆矩陣，解線性方程組，將矩陣化為行最簡形以判斷向量組的線性相關(guān)性等。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似與合同的關(guān)系。**答案**：相似矩陣有相同特征值、行列式、秩和跡；合同矩陣有相同的正負(fù)慣性指數(shù)。相似矩陣不一定合同，合同矩陣不一定相似，但實對稱矩陣相似則一定合同，合同不一定相似。2.探討特征值和特征向量在實際中的應(yīng)用。**答案**：在物理中用于分析振動、穩(wěn)定性；在圖像處理中用于圖像壓縮、特征提取；在數(shù)據(jù)分析中用于主成分分析，提取關(guān)鍵信息，降低數(shù)據(jù)維度。3.闡述矩陣運算在解決線性方程組中的應(yīng)用。**答案**：將線性方程組寫成矩陣形式\(Ax=b\)。通過對增廣矩陣\((A|b)\)進(jìn)行初等行變換化為行最簡形，可判斷方程組解的情況，有解時求出解。可逆矩陣\(A\)時，\(x=A^{-1}b\)。4.分析伴隨矩陣的作用和意義。**答案**：伴隨矩陣\(A^*\)與矩陣\(A\)的逆矩陣相關(guān)，當(dāng)\(A\)可逆時，\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^*\)。它可用于求解矩陣的逆，在行列式計算、線性方程組求解等方面也有輔助作用。答案一、單項選擇題1.B2.B3.B