專(zhuān)題3.3冪函數(shù)【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1對(duì)冪函數(shù)的概念的理解】 1【題型2求冪函數(shù)的函數(shù)值、解析式】 2【題型3求冪函數(shù)的定義域】 4【題型4求冪函數(shù)的值域】 4【題型5冪函數(shù)的圖象】 5【題型6由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參數(shù)】 6【題型7比較冪值的大小】 7【題型8利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式】 7【知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)的概念】1．冪函數(shù)的概念(1)冪函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的特征：①xα的系數(shù)為1；

②xα的底數(shù)是自變量；

③xα的指數(shù)為常數(shù).

只有同時(shí)滿(mǎn)足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù).【題型1對(duì)冪函數(shù)的概念的理解】【例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A．y=x2?1 B．y=x0.3 【變式11】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在函數(shù)y=1x2A．0 B．1 C．2 D．3【變式12】（2023春·陜西西安·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=a2?a?1A．?1或2 B．?2或1 C．?1 D．1【變式13】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)①y=1x，②y=x2，③y=2x，④y=2，A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【題型2求冪函數(shù)的函數(shù)值、解析式】【例2】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)y=fx的圖象過(guò)4,32點(diǎn)，則f2=A．22 B．4 C．42【變式21】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)y=fx的圖象過(guò)點(diǎn)2,2，則該函數(shù)的解析式是（A．y=2x B．y=x C．y=【變式22】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則f(9)的值是（A．3 B．-13 C．1【變式23】（2023春·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)a3,2在冪函數(shù)fxA．fx=xC．fx=x【知識(shí)點(diǎn)2冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)】1．常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)冪函數(shù)圖象定義域RRR值域RR奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上為增函數(shù)，增函數(shù)，減函數(shù)在R上為增函數(shù)在上為增函數(shù)，增函數(shù)，減函數(shù)定點(diǎn)（1,1）冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時(shí)，y＝xα是減函數(shù)．2．一般冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)一般冪函數(shù)的圖象：①當(dāng)α=1時(shí)，y=x的圖象是一條直線(xiàn).

②當(dāng)α=0時(shí)，y==1(x≠0)的圖象是一條不包括點(diǎn)(0,1)的直線(xiàn).

③當(dāng)α為其他值時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的圖象如下表：（p、q互質(zhì)）p，q都是奇數(shù)p是偶數(shù)，q是奇數(shù)p是奇數(shù)，q是偶數(shù)(2)一般冪函數(shù)的性質(zhì)：通過(guò)分析冪函數(shù)的圖象特征，可以得到冪函數(shù)的以下性質(zhì)：

①所有的冪函數(shù)在(0,+)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1).

②α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+)上是增函數(shù).

③α<0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸.

④任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點(diǎn)，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第四象限.

⑤任何兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn).除(1,1)，(0,0)，(1,1)，(1,1)外，其他任何一點(diǎn)都不是兩個(gè)冪函數(shù)的公共點(diǎn).3．對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)參考冪函數(shù)的性質(zhì)，探究函數(shù)的性質(zhì).(1)圖象如圖：與直線(xiàn)y=x，y軸無(wú)限接近.(2)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

(3)函數(shù)的值域?yàn)?,2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函數(shù)為奇函數(shù).

(5)單調(diào)性：由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在(,1)，(1,+)上單調(diào)遞增，在(1,0)，(0,1)上單調(diào)遞減.【題型3求冪函數(shù)的定義域】【例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）A．y=x?12 B．y=x?1【變式31】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)fx=xA．?∞,+∞C．0,+∞ D．【變式32】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）5個(gè)冪函數(shù)：①y=x?2；②y=x45；③y=x54；④A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【變式33】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)α∈?1,12,1,2,3，則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)锳．1或3 B．?1或1 C．?1或3 D．?1、1或3【題型4求冪函數(shù)的值域】【例4】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2,12A．(?∞,0) B．(0,+∞) C．(?∞,0)∪(0,+∞) D．(?∞,+∞)【變式41】（2022秋·安徽六安·高一校考階段練習(xí)）在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A．y=x13 B．y=x12【變式42】（2023秋·湖北襄陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)?,+∞的是（

A．fx=xC．fx=1【變式43】（2022秋·廣東廣州·高一?？计谀﹥绾瘮?shù)y=fx的圖象過(guò)點(diǎn)2,2，則函數(shù)y=x?fxA．?∞,+∞ B．?∞,1【題型5冪函數(shù)的圖象】【例5】（2023春·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P8,4，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

A．

B．

C．

D．

【變式51】（2023·山東臨沂·高一?？计谀┫旅娼o出4個(gè)冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)大致對(duì)應(yīng)的是（

）A．①y=x3，②y=x2B．①y=x2，②y=x1C．①y=x2，②y=x3D．①y=x13，②y=x【變式52】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)y=xpq（p,q∈Z且p,q互質(zhì)）的圖象關(guān)于A．p，q均為奇數(shù)，且pB．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且pC．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且pD．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且p【變式53】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示，圖中的曲線(xiàn)是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±12四個(gè)值，則相應(yīng)于C1，C2，C3A．?2，?12，12，2 B．2，12C．?12，?2，2，12 D．2，12【題型6由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參數(shù)】【例6】（2023春·廣西玉林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若冪函數(shù)fx=m2?2m?2xmA．?1 B．3 C．?1或3 D．1或?3【變式61】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=a2?3a+3A．3 B．2 C．1 D．1或2【變式62】（2023秋·江蘇無(wú)錫·高一?？计谀皀=1”是“冪函數(shù)fx=n2?3n+3A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式63】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=x?m2+2m+3m∈Z在區(qū)間0,+∞上是單調(diào)增函數(shù)，且A．?1 B．0 C．1 D．2【題型7比較冪值的大小】【例7】（2023春·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a=3513,b=A．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b【變式71】（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)a=3412,b=A．c<a<b B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a【變式72】（2022秋·福建南平·高一統(tǒng)考期中）下列比較大小中正確的是（

）A．320.5<C．(?2.1)37<【變式73】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=(m2?4m+4)xm2?m?6，(m∈R)，對(duì)任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1A．f(π)<f(?3)<f(?1) C．f(?3)<f(?1)<f(π) 【題型8利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【例8】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若(a+1)?13