2.4.1圓的標準方程人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章

直線和圓的方程學(xué)習(xí)目標會用定義推導(dǎo)圓的標準方程，并掌握圓的標準方程的特征01能根據(jù)所給條件求圓的標準方程02能準確判斷點與圓的位置關(guān)系03知識引入回顧前面學(xué)習(xí)過的，確定一條直線的幾何要素有哪些？兩點確定一條直線，因而產(chǎn)生了直線方程的兩點式；一點和傾斜角也能確定一條直線，因而產(chǎn)生了直線方程的點斜式.多邊形和圓是平面幾何中的兩類基本圖形.建立直線的方程后，我們可以運用它研究多邊形這些“直線形”，解決邊所在直線的平行或垂直、邊與邊的交點以及點到線段所在直線的距離等問題.類似地，為了研究圓的有關(guān)性質(zhì)，解決與圓有關(guān)的問題，我們首先需要建立圓的方程.探索新知

思

考在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢？我們知道，圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合.在平面直角坐標系中，如果一個圓的圓心坐標(確定圓的位置)和半徑(確定圓的大小)確定了，圓就唯一確定了.OxyAr由此，我們可以建立圓上點的坐標應(yīng)滿足的關(guān)系式，進而得到圓的方程.探索新知思考：如圖，在平面直角坐標系中，⊙A

的圓心

A坐標為(a，b)，半徑為r，設(shè)圓上任意一點M(x，y)，如何求該圓的方程？OxyArM⊙A

是該點的集合

P＝{M

||

MA

|＝r}，根據(jù)兩點間的距離公式，點

M的坐標

(x，y)滿足的條件可以表示為

兩邊平方得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(1)探索新知思考：是否在圓上的點都滿足這個方程？滿足這個方程的坐標的點是否都在圓上？OxyArM由上述過程可知，若點

M(x，y)在

⊙A上，點

M的坐標就滿足方程(1)；反過來，若點

M的坐標

(x，y)滿足方程(1)，就說明點

M與圓心

A間的距離為

r，點

M就在

⊙A上.探索新知圓的標準方程圓心為A(a，b)，半徑為

r的圓的標準方程是_______________________.______和______分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以只要a，b，r(r＞0)三個量確定了，圓的方程就唯一確定了.

圓心半徑(1)當(dāng)圓心在原點(0，0)時，方程為

x2＋y2＝r2．(2)當(dāng)圓心在原點(0，0)，半徑長

r＝1時，方程為

x2＋y2＝1，稱為單位圓．(3)相同的圓，建立坐標系不同時，圓心坐標不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的．典型例題例1求圓心為

A(2，－3)，半徑為5的圓的標準方程，并判斷點

M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在這個圓上．解：圓心為

A(2，－3)，半徑為5的圓的標準方程是

(x－2)2＋(y＋3)2＝25．把點

M1(5，－7)的坐標代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左邊，得

(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右兩邊相等，點

M1的坐標滿足圓的方程，所以點

M1在這個圓上．分析：根據(jù)點的坐標與圓的方程的關(guān)系，只要判斷一個點的坐標是否滿足圓的方程，就可以得到這個點是否在圓上．典型例題例1求圓心為

A(2，－3)，半徑為5的圓的標準方程，并判斷點

M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在這個圓上．解：把點

M2(－2，－1)的坐標代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左邊，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右兩邊不相等，點

M2的坐標不滿足圓的方程，所以點

M2不在這個圓上分析：根據(jù)點的坐標與圓的方程的關(guān)系，只要判斷一個點的坐標是否滿足圓的方程，就可以得到這個點是否在圓上．探索新知探

究點

M0(x0，y0)，在圓

x2＋y2＝r2內(nèi)的條件是什么？在圓

x2＋y2＝r2外的條件又是什么？圓

x2＋y2＝r2的圓心為

A(0，0)，M0(x0，y0)滿足的條件是：P＝{M0

||

M0A

|＜r}，即

x02＋y02＜r2.所以點

M0(x0，y0)在圓內(nèi)?x02＋y02＜r2.同理，點

M0(x0，y0)在圓外?x02＋y02＞r2.探索新知點與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系d與

r的大小點

P的坐標的特點點在圓外d>r______________________點在圓上d＝r______________________點在圓內(nèi)d<r______________________(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r2典型例題例2△ABC的三個頂點分別是

A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圓的標準方程．解：設(shè)所求的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．①因為

A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三點都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程①．分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓．顯然已知的三個點不在同一條直線上．只要確定了

a，b，r，圓的標準方程就確定了．典型例題

探索新知思考：△ABC的外接圓的圓心是△ABC的外心，即△ABC三邊垂直平分線的交點.根據(jù)上述定義，請用幾何法求出過三點A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)的△ABC的外接圓的標準方程.（說出思路即可）r直線AB、BC的垂直平分線方程DM、DNAB、BC的中點的坐標M、N△ABC的外接圓的標準方程圓心D坐標點A

的坐標兩點距離|DA|即半徑rA，B，C三點直線AB、BC方程直線AB、BC的垂線的斜率OxyABCMND典型例題例3已知圓心為

C的圓經(jīng)過

A(1，1)，B(2，－2)兩點，且圓心

C在直線

l：x－y＋1＝0上，求此圓的標準方程．分析：設(shè)圓心

C的坐標為

(a，b)．由已知條件可知，|CA|＝|CB|，且

a－b＋1＝0．由此可求出圓心坐標和半徑．另外，因為線段

AB是圓的一條弦，根據(jù)平面幾何知識，AB的中點與圓心

C的連線垂直于

AB，由此可得到另一種解法．典型例題

典型例題解法2(幾何法)：如圖，設(shè)線段

AB的中點為

D．由

A，B兩點的坐標為(1，1)，(2，－2)，可得點

D的坐標為

，

直線