2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試——統(tǒng)計推斷與檢驗習(xí)題及解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在進行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為真，但拒絕了原假設(shè)，這種錯誤稱為（）A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機誤差2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2已知，要檢驗H?:μ=μ?，H?:μ≠μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.t統(tǒng)計量B.Z統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量3.在大樣本情況下，對于總體比例p的估計，置信區(qū)間公式為（）A.p±Z_(α/2)√(p(1-p)/n)B.p±t_(α/2)√(p(1-p)/n)C.p±Z_(α/2)√(p(1-p)/n^2)D.p±t_(α/2)√(p(1-p)/n^2)4.設(shè)總體X的分布未知，但知道它是對稱的，要估計總體均值，應(yīng)使用（）A.最大似然估計B.矩估計C.中位數(shù)D.均值5.在進行假設(shè)檢驗時，檢驗的顯著性水平α表示的是（）A.原假設(shè)為真時拒絕原假設(shè)的概率B.原假設(shè)為假時拒絕原假設(shè)的概率C.原假設(shè)為真時接受原假設(shè)的概率D.原假設(shè)為假時接受原假設(shè)的概率6.設(shè)總體X服從二項分布B(n,p)，要檢驗H?:p=p?，H?:p≠p?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量7.在進行區(qū)間估計時，置信區(qū)間的寬度主要取決于（）A.樣本量的大小B.顯著性水平αC.總體標(biāo)準(zhǔn)差D.以上都是8.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2未知，要檢驗H?:μ=μ?，H?:μ≠μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量9.在進行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為假，但接受了原假設(shè)，這種錯誤稱為（）A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機誤差10.設(shè)總體X的分布未知，但要估計其均值，應(yīng)使用（）A.最大似然估計B.矩估計C.中位數(shù)D.均值11.在進行假設(shè)檢驗時，如果顯著性水平α越小，那么（）A.第一類錯誤的概率越小B.第二類錯誤的概率越小C.檢驗的效力越大D.以上都對12.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2已知，要檢驗H?:μ=μ?，H?:μ>μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量13.在進行區(qū)間估計時，置信水平越高，置信區(qū)間的寬度（）A.越小B.越大C.不變D.無法確定14.設(shè)總體X服從二項分布B(n,p)，要檢驗H?:p=p?，H?:p>p?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量15.在進行假設(shè)檢驗時，如果檢驗統(tǒng)計量的p值小于顯著性水平α，那么（）A.應(yīng)拒絕原假設(shè)B.應(yīng)接受原假設(shè)C.無法確定D.以上都對16.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2未知，要檢驗H?:μ=μ?，H?:μ<μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量17.在進行區(qū)間估計時，樣本量越大，置信區(qū)間的寬度（）A.越小B.越大C.不變D.無法確定18.設(shè)總體X服從二項分布B(n,p)，要檢驗H?:p=p?，H?:p<p?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量19.在進行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為真，但接受了原假設(shè)，這種錯誤稱為（）A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機誤差20.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2已知，要檢驗H?:μ=μ?，H?:μ≠μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量二、多項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的五個選項中，有多項符合題目要求，請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。多涂、少涂、錯涂或未涂均無分。）1.在進行假設(shè)檢驗時，可能犯的錯誤有（）A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機誤差E.沒有錯誤2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2已知，要檢驗H?:μ=μ?，H?:μ≠μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量E.以上都不是3.在進行區(qū)間估計時，置信區(qū)間的寬度主要取決于（）A.樣本量的大小B.顯著性水平αC.總體標(biāo)準(zhǔn)差D.以上都是E.以上都不是4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2未知，要檢驗H?:μ=μ?，H?:μ≠μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量E.以上都不是5.在進行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為假，但接受了原假設(shè)，這種錯誤稱為（）A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機誤差E.以上都不是6.設(shè)總體X的分布未知，但要估計其均值，應(yīng)使用（）A.最大似然估計B.矩估計C.中位數(shù)D.均值E.以上都不是7.在進行假設(shè)檢驗時，如果顯著性水平α越小，那么（）A.第一類錯誤的概率越小B.第二類錯誤的概率越小C.檢驗的效力越大D.以上都對E.以上都不是8.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2已知，要檢驗H?:μ=μ?，H?:μ>μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量E.以上都不是9.在進行區(qū)間估計時，置信水平越高，置信區(qū)間的寬度（）A.越小B.越大C.不變D.無法確定E.以上都不是10.設(shè)總體X服從二項分布B(n,p)，要檢驗H?:p=p?，H?:p≠p?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量E.以上都不是三、簡答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）1.請簡述假設(shè)檢驗的基本步驟，并說明其中每一步的目的。在我們進行假設(shè)檢驗的時候，首先得有個明確的假設(shè)，比如說你想知道這批產(chǎn)品的壽命是不是真的比標(biāo)準(zhǔn)的高。那你就得先設(shè)個原假設(shè)，比如假設(shè)它們的壽命跟標(biāo)準(zhǔn)的一樣，這個就是你的原假設(shè)。然后你得有個備擇假設(shè)，也就是你想找的證據(jù)指向的方向，比如壽命比標(biāo)準(zhǔn)的高。接下來就得選個檢驗方法，比如用Z檢驗還是t檢驗，這得看你手頭的數(shù)據(jù)是樣本還是總體，還有總體方差是不是已知。選好方法后，就得定個顯著性水平α，這就像是定個容忍錯誤的底線，一般選0.05或者0.01，表示你最多能接受5%或者1%的錯誤判斷。然后根據(jù)你選的方法算個檢驗統(tǒng)計量，這個統(tǒng)計量反映了你的樣本數(shù)據(jù)跟原假設(shè)的差距有多大。最后，你得算出這個統(tǒng)計量對應(yīng)的p值，p值就是如果原假設(shè)是真的，你能抽到這么極端樣本的概率。如果p值小于你的α，你就有了足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，說明你的備擇假設(shè)可能對。如果p值大于α，那你就沒足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，只能說目前證據(jù)不夠說明備擇假設(shè)是對的。整個過程，就是要用數(shù)據(jù)說話，判斷你的想法或者懷疑是不是有道理，當(dāng)然，也得接受可能判斷出錯的風(fēng)險。2.請解釋什么是第一類錯誤和第二類錯誤，并說明它們之間的關(guān)系。咱們在做假設(shè)檢驗的時候，總是有可能犯錯的，這就像打靶，要么打中了，要么打偏了。第一類錯誤，就是我本來打中了的靶子，結(jié)果我偏了，打偏了，但是我還以為打中了，這個錯誤在統(tǒng)計里就叫第一類錯誤，也叫做“棄真錯誤”。簡單說，就是原假設(shè)其實是真的，但我卻把它給拒絕了。比如說，這批產(chǎn)品其實質(zhì)量是合格的，但我檢驗后卻把它判為不合格，那就犯了個第一類錯誤。犯第一類錯誤的概率，就是我們前面說的顯著性水平α。第二類錯誤呢，就是我本來沒打中靶子，結(jié)果我打偏了，但這次我反而覺得好像打中了，這個錯誤就叫第二類錯誤，也叫做“取偽錯誤”。簡單說，就是原假設(shè)其實是不真的，但我卻把它給接受了。比如說，這批產(chǎn)品其實質(zhì)量是不合格的，但我檢驗后卻把它判為合格，那就犯了個第二類錯誤。犯第二類錯誤的概率，我們一般用β來表示。這兩類錯誤是相互影響的，你想要減少第一類錯誤的概率，也就是α，那往往就會增加第二類錯誤的概率β，反之亦然。這就像你打靶，如果你把靶圈劃得小一點，確實不容易打偏（減少了犯第一類錯誤的可能），但你卻更容易打在靶圈外（增加了犯第二類錯誤的可能）。所以，在實際做檢驗的時候，我們得根據(jù)具體情況，找到一個平衡點，不能只顧著減少一種錯誤，而忽略了另一種錯誤。3.在什么情況下，使用Z檢驗比使用t檢驗更合適？請說明理由。當(dāng)咱們做假設(shè)檢驗，特別是要檢驗總體均值的時候，用不用Z檢驗還是t檢驗，關(guān)鍵得看兩個條件：一是咱們知道不知道總體的標(biāo)準(zhǔn)差，二是咱們的樣本量是大是小。一般來說，如果咱們知道總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ，不管樣本量大不大，咱們都可以用Z檢驗。比如說，我們知道全國成年男性的平均身高標(biāo)準(zhǔn)差是多少，那就算咱們只抽了一小部分男性來測身高，也可以用Z檢驗來推斷全國成年男性的平均身高。這是因為Z檢驗用的是已知的總體標(biāo)準(zhǔn)差，所以它的估計更精確。但是，如果咱們不知道總體的標(biāo)準(zhǔn)差，那這時候就得用t檢驗了。而且，t檢驗還有一個前提，那就是咱們得抽足夠大的樣本量，通常來說，樣本量大于等于30，咱們就可以用t檢驗了。這是因為樣本量越大，咱們對總體參數(shù)的估計就越準(zhǔn)確，這時候就算不知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來代替，誤差也不會太大。所以，總結(jié)一下，當(dāng)咱們知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，或者樣本量足夠大的時候，用Z檢驗更合適；當(dāng)咱們不知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，且樣本量不太大的時候，用t檢驗更合適。當(dāng)然，如果樣本量特別小，而且咱們也不知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，那這時候做假設(shè)檢驗就有點棘手了，可能就需要用一些其他的方法，或者干脆增加樣本量。4.請解釋置信區(qū)間的含義，并說明置信水平與置信區(qū)間寬度的關(guān)系。咱們搞統(tǒng)計推斷的時候，光知道個點估計，比如算出個平均數(shù)，有時候還不夠，還得知道這個估計有多準(zhǔn)，大概在哪個范圍內(nèi)。這時候，咱們就得用置信區(qū)間了。簡單說，置信區(qū)間就是在一定的置信水平下，我們估計總體參數(shù)可能落在的區(qū)間。比如說，咱們抽樣算出，這批產(chǎn)品的平均壽命可能在800到1000小時之間，而且咱們有95%的信心認為，真正的平均壽命就在這個800到1000小時之間。這個“95%的信心”就是置信水平，而“800到1000小時”就是置信區(qū)間。這里要特別理解一下，咱們說的“95%的信心”，并不是說這批產(chǎn)品的壽命有95%的可能性在這個區(qū)間里，而是說如果我們反復(fù)抽樣，每次都按這個方法算出一個置信區(qū)間，那么大約有95%的這些區(qū)間會包含真正的總體均值。置信水平，也就是咱們要求的把握程度，一般用1-α來表示，α就是顯著性水平。置信水平越高，咱們就越自信，但這個區(qū)間也就越寬，因為咱們得把可能的情況都包進來。反過來，如果咱們要求的置信水平低一點，比如只要求80%的信心，那這個置信區(qū)間就會窄一些，但咱們對估計的把握也就小了。所以，置信水平和置信區(qū)間寬度是成反比的，你想越有把握，就得犧牲精度（區(qū)間的寬度），想提高精度（區(qū)間的寬度），就得降低一點把握（置信水平）。5.請舉例說明如何在實際問題中應(yīng)用假設(shè)檢驗。假設(shè)檢驗這東西，在咱們現(xiàn)實生活中用地方可多了，它就像是咱們做決策的一個科學(xué)依據(jù)，幫咱們判斷一下咱們的想法或者懷疑是不是有道理。比如說，咱們一個食品廠生產(chǎn)餅干，每一塊餅干的包裝上寫著凈含量是120克，那咱們得定期檢查一下，這餅干是不是真能達到這個標(biāo)準(zhǔn)。這時候，咱們就可以用假設(shè)檢驗來幫忙。首先，咱們得設(shè)個原假設(shè)，比如假設(shè)這批餅干的平均凈含量就是120克，這是咱們希望成立的情況。然后，咱們得設(shè)個備擇假設(shè)，比如假設(shè)這批餅干的平均凈含量不是120克，這可能是咱們懷疑的情況。接下來，咱們得抽一批餅干出來，稱一下它們的重量，算個樣本的平均凈含量。然后，咱們得選個檢驗方法，比如用t檢驗，因為咱們不知道生產(chǎn)過程中餅干重量的總體標(biāo)準(zhǔn)差，而且樣本量可能不大。咱們還得定個顯著性水平，比如0.05，表示咱們最多能接受5%的錯誤判斷。然后，咱們根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算個檢驗統(tǒng)計量，看看它有多極端。最后，咱們得算出這個統(tǒng)計量對應(yīng)的p值，如果p值小于0.05，咱們就拒絕原假設(shè)，認為這批餅干的平均凈含量可能不是120克，得趕緊檢查一下生產(chǎn)過程是不是出了問題。如果p值大于0.05，咱們就接受原假設(shè)，認為這批餅干的平均凈含量可能是120克，生產(chǎn)過程還可以。再比如，咱們一個藥店銷售某種感冒藥，想推廣一種新的廣告策略，看能不能提高銷售額。這時候，咱們可以隨機選一段時間，用老策略賣，再選另一個時間段，用新策略賣，看看銷售額是不是真的提高了。咱們也可以用假設(shè)檢驗來分析，假設(shè)新策略的銷售額跟老策略一樣，然后根據(jù)兩個時間段的銷售額數(shù)據(jù)，用Z檢驗或者t檢驗（看樣本量大小和總體標(biāo)準(zhǔn)差是否已知）來檢驗這個假設(shè)，如果p值很小，咱們就有理由相信新策略真的能提高銷售額，就可以推廣了。四、計算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分。）1.某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命X服從正態(tài)分布N(μ,1002)，現(xiàn)隨機抽取16只燈泡，測得壽命的平均值為1500小時。在顯著性水平α=0.05下，檢驗該廠生產(chǎn)的燈泡壽命是否顯著高于1500小時。首先，咱們得明確一下問題，這里咱們想知道的是燈泡壽命是不是顯著高于1500小時，所以這是一個單邊檢驗的問題。咱們先設(shè)原假設(shè)H?:μ≤1500，備擇假設(shè)H?:μ>1500。因為總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=100是已知的，而且樣本量n=16，所以咱們應(yīng)該使用Z檢驗。顯著性水平α=0.05，對于單邊檢驗，咱們要找的是Z_(1-α)的值，也就是Z_(0.95)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Z_(0.95)≈1.645。接下來，咱們得計算檢驗統(tǒng)計量Z的值，它的公式是Z=(x?-μ?)/(σ/√n)，把數(shù)據(jù)代入，Z=(1500-1500)/(100/√16)=0。最后，咱們比較計算出的Z值和臨界值Z_(0.95)，因為0<1.645，所以咱們不能拒絕原假設(shè)。也就是說，在顯著性水平α=0.05下，沒有足夠的證據(jù)表明該廠生產(chǎn)的燈泡壽命顯著高于1500小時。2.某農(nóng)場想比較兩種不同的肥料對作物產(chǎn)量的影響，隨機選擇10塊土地，平均分配使用這兩種肥料，測得作物產(chǎn)量如下（單位：公斤/畝）：肥料A：90,95,100,105,110,115,120,125,130,135肥料B：85,90,95,100,105,110,115,120,125,130在顯著性水平α=0.05下，檢驗兩種肥料的平均產(chǎn)量是否有顯著差異。這個問題中，咱們要比較兩種肥料的平均產(chǎn)量，而且樣本量n=10比較小，而且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，所以咱們應(yīng)該使用t檢驗。首先，咱們得計算兩種肥料的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。肥料A的樣本均值x?_A=(90+95+...+135)/10=112.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_A=√[(Σ(x_i-x?_A)2)/9]≈17.88。肥料B的樣本均值x?_B=(85+90+...+130)/10=107.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_B=√[(Σ(x_i-x?_B)2)/9]≈17.88。然后，咱們需要計算合并方差s_p2，它的公式是s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)，代入數(shù)據(jù)，s_p2=[(10-1)×17.882+(10-1)×17.882]/(10+10-2)≈320.59，所以合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈17.90。接下來，咱們計算t統(tǒng)計量，它的公式是t=(x?_A-x?_B)/(s_p√(1/n_A+1/n_B))，代入數(shù)據(jù)，t=(112.5-107.5)/(17.90√(1/10+1/10))≈0.34。最后，咱們需要找到t分布的臨界值t_(α,df)，自由度df=n_A+n_B-2=10+10-2=18，查t分布表，α=0.05，雙側(cè)檢驗，t_(0.025,18)≈2.101。因為計算出的t值0.34<2.101，所以咱們不能拒絕原假設(shè)。也就是說，在顯著性水平α=0.05下，沒有足夠的證據(jù)表明兩種肥料的平均產(chǎn)量有顯著差異。3.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，根據(jù)以往經(jīng)驗，該產(chǎn)品的次品率p不超過0.05?，F(xiàn)在隨機抽取100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有8件次品。在顯著性水平α=0.01下，檢驗該產(chǎn)品的次品率是否顯著高于0.05。這個問題中，咱們要檢驗的是次品率p，而且次品率p服從二項分布，樣本量比較大，所以咱們可以使用Z檢驗。首先，咱們設(shè)原假設(shè)H?:p≤0.05，備擇假設(shè)H?:p>0.05。顯著性水平α=0.01，對于單邊檢驗，咱們要找的是Z_(1-α)的值，也就是Z_(0.99)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Z_(0.99)≈2.33。接下來，咱們得計算檢驗統(tǒng)計量Z的值，它的公式是Z=(p?-p?)/√(p?(1-p?)/n)，這里p?是樣本次品率，p?是原假設(shè)中的次品率，n是樣本量。代入數(shù)據(jù)，p?=8/100=0.08，p?=0.05，n=100，Z=(0.08-0.05)/√(0.05×0.95/100)=3/0.02236≈134.16。最后，咱們比較計算出的Z值和臨界值Z_(0.99)，因為134.16>2.33，所以咱們拒絕原假設(shè)。也就是說，在顯著性水平α=0.01下，有足夠的證據(jù)表明該產(chǎn)品的次品率顯著高于0.05。4.某醫(yī)生想比較兩種不同的治療方法對某種疾病的治療效果，隨機選擇20位病人，平均分配使用這兩種治療方法，治療一段時間后，測得病人的康復(fù)時間如下（單位：天）：治療方法A：5,7,9,11,13,15,17,19,21,23治療方法B：6,8,10,12,14,16,18,20,22,24在顯著性水平α=0.05下，檢驗兩種治療方法的平均康復(fù)時間是否有顯著差異。這個問題中，咱們要比較兩種治療方法的平均康復(fù)時間，而且樣本量n=10比較小，而且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，所以咱們應(yīng)該使用t檢驗。首先，咱們得計算兩種治療方法的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。治療方法A的樣本均值x?_A=(5+7+...+23)/10=14，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_A=√[(Σ(x_i-x?_A)2)/9]≈5.83。治療方法B的樣本均值x?_B=(6+8+...+24)/10=15，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_B=√[(Σ(x_i-x?_B)2)/9]≈5.83。然后，咱們需要計算合并方差s_p2，它的公式是s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)，代入數(shù)據(jù)，s_p2=[(10-1)×5.832+(10-1)×5.832]/(10+10-2)≈34.01，所以合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈5.83。接下來，咱們計算t統(tǒng)計量，它的公式是t=(x?_A-x?_B)/(s_p√(1/n_A+1/n_B))，代入數(shù)據(jù)，t=(14-15)/(5.83√(1/10+1/10))≈-0.34。最后，咱們需要找到t分布的臨界值t_(α,df)，自由度df=n_A+n_B-2=10+10-2=18，查t分布表，α=0.05，雙側(cè)檢驗，t_(0.025,18)≈2.101。因為計算出的t值-0.34<-2.101，所以咱們不能拒絕原假設(shè)。也就是說，在顯著性水平α=0.05下，沒有足夠的證據(jù)表明兩種治療方法的平均康復(fù)時間有顯著差異。五、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。）1.請證明：當(dāng)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時，樣本均值X?服從N(μ,σ2/n)。咱們知道，如果總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，那X的均值就是μ，方差就是σ2?，F(xiàn)在咱們從總體中隨機抽取n個樣本，記這n個樣本為X?,X?,...,Xn。咱們知道，樣本均值X?=(X?+X?+...+Xn)/n。因為每個X_i都來自N(μ,σ2)，而且它們之間是相互獨立的，所以根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，它們的線性組合也服從正態(tài)分布。具體來說，X?的均值E(X?)=E[(X?+X?+...+Xn)/n]=(E(X?)+E(X?)+...+E(Xn))/n=(μ+μ+...+μ)/n=nμ/n=μ。X?的方差Var(X?)=Var[(X?+X?+...+Xn)/n]=(Var(X?)+Var(X?)+...+Var(Xn))/n2=(σ2+σ2+...+σ2)/n2=nσ2/n2=σ2/n。所以，X?服從N(μ,σ2/n)。2.請證明：當(dāng)總體X的分布未知，但知道它是對稱的，要估計總體均值，應(yīng)使用中位數(shù)作為估計量。當(dāng)咱們不知道總體X的分布是什么，但知道它是對稱的時候，咱們可以用中位數(shù)來估計總體均值。為什么呢？因為中位數(shù)是這樣一個值，它將數(shù)據(jù)分成兩半，一半的數(shù)據(jù)比它小，一半的數(shù)據(jù)比它大。在正態(tài)分布這種對稱分布里，均值、中位數(shù)和眾數(shù)是重合的，所以用中位數(shù)估計均值是很自然的。但是，為什么在更一般的對稱分布里，中位數(shù)也是好的均值估計量呢？我們可以這樣想：如果分布是對稱的，那么分布兩側(cè)的“尾巴”是對稱的，也就是說，離均值左邊多遠的地方，離均值右邊也有同樣多的數(shù)據(jù)。這意味著，如果咱們用均值作為估計量，那么正偏差和負偏差的總和應(yīng)該差不多相等。但是，中位數(shù)不受極端值的影響，即使分布兩側(cè)有長長的“尾巴”，中位數(shù)也不會改變。所以，用中位數(shù)作為估計量，可以避免極端值對均值的影響，使得估計更穩(wěn)健。因此，當(dāng)總體X的分布未知，但知道它是對稱的，用中位數(shù)來估計總體均值是一個不錯的選擇。本次試卷答案如下一、單項選擇題答案及解析1.A解析：原假設(shè)為真但被拒絕的錯誤，稱為第一類錯誤，犯第一類錯誤的概率用α表示。2.B解析：總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值時使用Z統(tǒng)計量。3.A解析：大樣本情況下，總體比例的置信區(qū)間公式為p±Z_(α/2)√(p(1-p)/n)。4.C解析：對于對稱分布，中位數(shù)是對總體均值的無偏估計，且在分布未知時較為穩(wěn)健。5.A解析：顯著性水平α表示原假設(shè)為真時拒絕原假設(shè)的概率，即第一類錯誤的概率。6.A解析：二項分布次品率的檢驗，在大樣本情況下使用Z統(tǒng)計量。7.D解析：置信區(qū)間的寬度取決于樣本量、顯著性水平和總體標(biāo)準(zhǔn)差，三者都會影響寬度。8.B解析：總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值時使用t統(tǒng)計量。9.B解析：原假設(shè)為假但被接受的錯誤，稱為第二類錯誤，犯第二類錯誤的概率用β表示。10.D解析：總體分布未知時，均值的最常用估計量是樣本均值，但中位數(shù)也可用于對稱分布。11.A解析：顯著性水平α越小，拒絕原假設(shè)的門檻越高，因此犯第一類錯誤的概率越小。12.A解析：總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值的單邊檢驗使用Z統(tǒng)計量。13.B解析：置信水平越高，對總體參數(shù)的把握越大，因此置信區(qū)間寬度越大。14.A解析：二項分布次品率的檢驗，在大樣本情況下使用Z統(tǒng)計量。15.A解析：p值小于α?xí)r，說明樣本數(shù)據(jù)與原假設(shè)差異過大，有足夠證據(jù)拒絕原假設(shè)。16.B解析：總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值的單邊檢驗使用t統(tǒng)計量。17.A解析：樣本量越大，樣本均值對總體均值的估計越精確，因此置信區(qū)間寬度越小。18.A解析：二項分布次品率的檢驗，在大樣本情況下使用Z統(tǒng)計量。19.B解析：原假設(shè)為假但被接受的錯誤，稱為第二類錯誤，犯第二類錯誤的概率用β表示。20.A解析：總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值的雙邊檢驗使用Z統(tǒng)計量。二、多項選擇題答案及解析1.AB解析：假設(shè)檢驗中可能犯第一類錯誤（棄真）和第二類錯誤（取偽），系統(tǒng)誤差和隨機誤差不是假設(shè)檢驗的錯誤類型。2.AB解析：總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值時使用Z統(tǒng)計量；t統(tǒng)計量用于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且總體服從正態(tài)分布的情況。3.ABD解析：置信區(qū)間的寬度受樣本量、顯著性水平和總體標(biāo)準(zhǔn)差影響，與以上三者均有關(guān)。4.AB解析：總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值時使用Z統(tǒng)計量；總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值時使用t統(tǒng)計量。5.AB解析：原假設(shè)為真但被拒絕的錯誤是第一類錯誤，原假設(shè)為假但被接受的錯誤是第二類錯誤。6.CD解析：總體分布未知時，中位數(shù)是對稱分布均值的穩(wěn)健估計量，樣本均值也是常用估計量，但矩估計和最大似然估計不適用于對稱分布均值的估計。7.AB解析：顯著性水平α越小，拒絕原假設(shè)的門檻越高，因此犯第一類錯誤的概率越??；α越小，檢驗效力越低，因此犯第二類錯誤的概率越大。8.A解析：總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且總體服從正態(tài)分布，檢驗均值的單邊檢驗使用Z統(tǒng)計量。9.B解析：置信水平越高，對總體參數(shù)的把握越大，因此置信區(qū)間寬度越大。10.A解析：二項分布次品率的檢驗，在大樣本情況下使用Z統(tǒng)計量。三、簡答題答案及解析1.答案：假設(shè)檢驗的步驟包括：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；選擇檢驗方法；確定顯著性水平；計算檢驗統(tǒng)計量；根據(jù)p值或臨界值做出決策。解析：首先，根據(jù)問題背景提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?，原假設(shè)通常是研究者想要挑戰(zhàn)的假設(shè)，備擇假設(shè)是研究者想要支持的假設(shè)。然后，根據(jù)總體分布、樣本信息和已知條件選擇合適的檢驗方法，如Z檢驗、t檢驗、χ2檢驗等。接著，確定顯著性水平α，通常取0.05或0.01，表示研究者愿意承擔(dān)犯第一類錯誤的概率。然后，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的值，這個統(tǒng)計量反映了樣本數(shù)據(jù)與原假設(shè)的差異程度。最后，根據(jù)計算出的p值或與臨界值比較做出決策，如果p值小于α，則拒絕原假設(shè)；如果p值大于α，則不能拒絕原假設(shè)。2.答案：第一類錯誤是原假設(shè)為真時拒絕原假設(shè)的錯誤，犯第一類錯誤的概率用α表示；第二類錯誤是原假設(shè)為假時接受原假設(shè)的錯誤，犯第二類錯誤的概率用β表示。它們之間的關(guān)系是：α和β是相互制約的，減小α?xí)黾应?，減小β會增加α。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體情況權(quán)衡兩類錯誤的成本，選擇合適的顯著性水平和檢驗方法。解析：第一類錯誤和第二類錯誤是假設(shè)檢驗中可能犯的兩種錯誤。第一類錯誤也稱為棄真錯誤，是指原假設(shè)實際上是正確的，但檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)。犯第一類錯誤的概率用α表示，通常稱為顯著性水平。第二類錯誤也稱為取偽錯誤，是指原假設(shè)實際上是錯誤的，但檢驗結(jié)果卻接受了原假設(shè)。犯第二類錯誤的概率用β表示。α和β是相互制約的，因為減小α（即提高檢驗的嚴格程度）會增加β（即降低檢驗的效力），反之亦然。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體情況權(quán)衡兩類錯誤的成本，選擇合適的顯著性水平和檢驗方法。例如，如果第一類錯誤的成本很高，可能需要選擇較小的α值；如果第二類錯誤的成本很高，可能需要選擇較大的α值。3.答案：當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且樣本量較大時，使用Z檢驗更合適。因為Z檢驗基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時，可以更精確地估計總體參數(shù)，且樣本量較大時，樣本均值的分布接近正態(tài)分布，Z檢驗的假設(shè)條件更容易滿足。解析：Z檢驗和t檢驗都是用于檢驗均值的假設(shè)檢驗方法，但它們的適用條件不同。Z檢驗要求總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，而t檢驗要求總體標(biāo)準(zhǔn)差未知。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時，Z檢驗可以直接使用總體標(biāo)準(zhǔn)差計算標(biāo)準(zhǔn)誤，因此更精確。此外，當(dāng)樣本量較大時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布接近正態(tài)分布，即使總體分布未知，Z檢驗的假設(shè)條件也更容易滿足。因此，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且樣本量較大時，使用Z檢驗更合適。4.答案：置信區(qū)間是在一定的置信水平下，我們估計總體參數(shù)可能落在的區(qū)間。置信水平與置信區(qū)間寬度的關(guān)系是：置信水平越高，置信區(qū)間寬度越大；置信水平越低，置信區(qū)間寬度越小。這是因為置信水平越高，對總體參數(shù)的把握越大，需要包含更多的可能值，因此置信區(qū)間寬度越大。解析：置信區(qū)間是用于估計總體參數(shù)的一種方法，它給出一個區(qū)間，在這個區(qū)間內(nèi)，我們相信總體參數(shù)的真實值落在其中。置信水平是我們在構(gòu)造置信區(qū)間時希望達到的置信程度，通常用1-α表示，α是顯著性水平。置信區(qū)間寬度的計算公式為：置信區(qū)間=點估計值±(臨界值×標(biāo)準(zhǔn)誤)。其中，點估計值是總體參數(shù)的估計值，臨界值取決于置信水平和檢驗分布，標(biāo)準(zhǔn)誤取決于總體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本量。從公式可以看出，置信水平越高，臨界值越大，因此置信區(qū)間寬度越大；置信水平越低，臨界值越小，因此置信區(qū)間寬度越小。這是因為置信水平越高，對總體參數(shù)的把握越大，需要包含更多的可能值，因此置信區(qū)間寬度越大。5.答案：例如，一個制藥公司想要知道一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效。他們可以隨機選擇一組病人，一半人服用新藥，另一半人服用現(xiàn)有藥物，然后觀察一段時間后，比較兩組病人的康復(fù)情況。如果新藥組的康復(fù)情況顯著優(yōu)于現(xiàn)有藥物組，那么公司就可以得出結(jié)論，新藥更有效。解析：假設(shè)檢驗在醫(yī)學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，例如，一個制藥公司想要知道一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效。他們可以隨機選擇一組病人，一半人服用新藥，另一半人服用現(xiàn)有藥物，然后觀察一段時間后，比較兩組病人的康復(fù)情況。如果新藥組的康復(fù)情況顯著優(yōu)于現(xiàn)有藥物組，那么公司就可以得出結(jié)論，新藥更有效。具體來說，公司可以提出原假設(shè)，即新藥和現(xiàn)有藥物的療效沒有差異，然后根據(jù)實驗數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量，如果p值小于α，則拒絕原假設(shè)，認為新藥更有效；如果p值大于α，則不能拒絕原假設(shè)，認為沒有足夠的證據(jù)表明新藥更有效。四、計算題答案及解析1.答案：Z=(1500-1500)/(100/√16)=0。因為0<1.645，所以不能拒絕原假設(shè)。在顯著性水平α=0.05下，沒有足夠的證據(jù)表明該廠生產(chǎn)的燈泡壽命顯著高于1500小時。解析：首先，提出原假設(shè)H?:μ≤1500，備擇假設(shè)H?:μ>1500。因為總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=100是已知的，且樣本量n=16，所以選擇Z檢驗。顯著性水平α=0.05，單邊檢驗的臨界值為Z_(0.95)≈1.645。計算檢驗統(tǒng)計量Z=(x?-μ?)/(σ/√n)=(1500-1500)/(100/√16)=0。因為計算出的Z值0<1.645，所以不能拒絕原假設(shè)。即在顯著性水平α=0.05下，沒有足夠的證據(jù)表明該廠生產(chǎn)的燈泡壽命顯著高于1500小時。2.答案：肥料A的樣本均值x?_A=112.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_A≈17.88；肥料B的樣本均值x?_B=107.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_B≈17.88。合并方差s_p2=[(10-1)×17.882+(10-1)×17.882]/(10+10-2)≈320.59，合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈17.90。t=(112.5-107.5)/(17.90√(1/10+1/10))≈0.34。自由度df=10+10-2=18，雙側(cè)檢驗的臨界值t_(0.025,18)≈2.101。因為0.34<2.101，所以不能拒絕原假設(shè)。在顯著性水平α=0.05下，沒有足夠的證據(jù)表明兩種肥料的平均產(chǎn)量有顯著差異。解析：因為樣本量n=10比較小，且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，所以選擇t檢驗。首先，計算兩種肥料的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。肥料A的樣本均值x?_A=(90+95+...+135)/10=112.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_A=√[(Σ(x_i-x?_A)2)/9]≈17.88。肥料B的樣本均值x?_B=(85+90+...+130)/10=107.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_B=√[(Σ(x_i-x?_B)2)/9]≈17.88。然后，計算合并方差s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)=[(10-1)×17.882+(10-1)×17.882]/(10+10-2)≈320.59，合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈17.90。接下來，計算t統(tǒng)計量t=(x?_A-x?_B)/(s_p√(1/n_A+1/n_B))=(112.5-107.5)/(17.90√(1/10+1/10))≈0.34。最后，找到t分布的臨界值t_(α,df)，自由度df=n_A+n_B-2=10+10-2=18，查t分布表，α=0.05，雙側(cè)檢驗，t_(0.025,18)≈2.101。因為計算出的t值0.34<2.101，所以不能拒絕原假設(shè)。即在顯著性水平α=0.05下，沒有足夠的證據(jù)表明兩種肥料的平均產(chǎn)量有顯著差異。3.答案：p?=8/100=0.08，p?=0.05，n=100。Z=(0.08-0.05)/√(0.05×0.95/100)=3/0.02236≈134.16。單邊檢驗的臨界值為Z_(0.99)≈2.33。因為134.16>2.33，所以拒絕原假設(shè)。在顯著性水平α=0.01下，有足夠的證據(jù)表明該產(chǎn)品的次品率顯著高于0.05。解析：因為次品率p服從二項分布，樣本量n=100比較大，所以選擇Z檢驗。首先，提出原假設(shè)H?:p≤0.05，備擇假設(shè)H?:p>0.05。顯著性水平α=0.01，單邊檢驗的臨界值為Z_(0.99)≈2.33。計算檢驗統(tǒng)計量Z=(p?-p?)/√(p?(1-p?)/n)=(0.08-0.05)/√(0.05×0.95/100)=0.03/0.02236≈134.16。因為計算出的Z值134.16>2.33，所以拒絕原假設(shè)。即在顯著性水平α=0.01下，有足夠的證據(jù)表明該產(chǎn)品的次品率顯著高于0.05。4.答案：治療方法A的樣本均值x?_A=14，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_A≈5.83；治療方法B的樣本均值x?_B=15，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_B≈5.83。合并方差s_p2=[(10-1)×5.832+(10-1)×5.832]/(10+10-2)≈34.01，合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈5.83。t=(14-15)/(5.83√(1/10+1/10))≈-0.34。自由度df=10+10-2=18，雙側(cè)檢驗的臨界值t_(0.025,18)≈2.101。因為-0.34<-2.101，所以不能拒絕原假設(shè)。在顯著性水平α=0.05下，沒有足夠的證據(jù)表明兩種治療方法的平均康復(fù)時間有顯著差異。解析：因為樣本量n=10比較小，且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，所以選擇t檢驗。首先，計算兩種治療方法的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。治療方法A的樣本均值x?_A=(5+7+...+23)/10=14，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_A=√[(Σ(x_i-x?_A)2)/9]≈5.83。治療方法B的樣本均值x?_B=(6+8+...+24)/10=15，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_B=√[(Σ(x_i-x?_B)2)/9]≈5.83。然后，計算合并方差s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)=[(10-1)×5.832+(10-1)×5.832]/(10+10-2)≈34.01，合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈5.83。接下來，計算t統(tǒng)計量t=(x?_A-x?_B)/(s_p√(1/n_A+1/n_B))=(14-15)/(5.83√(1/10+1/10))≈-0.34。