2025年中考試題：幾何圖形強(qiáng)化篇——四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)性質(zhì)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠DAB=70°，則∠BOC的度數(shù)是（）A.70°B.110°C.140°D.220°2.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=6cm，AD=8cm，則AO的長(zhǎng)度是（）A.7cmB.9cmC.10cmD.12cm3.在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠ABC=60°，則∠AOD的度數(shù)是（）A.30°B.60°C.90°D.120°4.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AO=5cm，則正方形ABCD的周長(zhǎng)是（）A.10cmB.20cmC.40cmD.80cm5.在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=4cm，CD=10cm，則△AOB與△COD的面積之比是（）A.1:1B.2:5C.4:25D.16:256.在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若△AOB的周長(zhǎng)為20cm，△COD的周長(zhǎng)為16cm，則AB與CD的長(zhǎng)度之差是（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm7.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=5cm，AD=12cm，則△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離是（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm8.在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AC=8cm，BD=6cm，則菱形ABCD的面積是（）A.24cm2B.48cm2C.72cm2D.96cm29.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm，則△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比是（）A.1:1B.2:3C.3:2D.4:310.在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=6cm，CD=12cm，且△AOB與△COD的面積之比為1:3，則梯形ABCD的高是（）A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題中橫線上。）11.在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=8cm，AD=6cm，則△AOB與△COD的周長(zhǎng)之和是________cm。12.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=7cm，BC=9cm，則△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離是________cm。13.在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AC=10cm，BD=8cm，則菱形ABCD的面積是________cm2。14.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，則△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比是________。15.在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB=5cm，CD=15cm，且△AOB與△COD的面積之比為1:5，則梯形ABCD的高是________cm。（接下文繼續(xù)第三、第四題）三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.已知：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AB=5cm，AD=7cm，∠BAC=60°。求：△AOB與△COD的面積之比。解：首先，根據(jù)題意畫出平行四邊形ABCD，并對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。在△ABO中，因?yàn)锳B=5cm，AD=7cm，∠BAC=60°，所以可以利用余弦定理求出AO的長(zhǎng)度。余弦定理公式為：AO2=AB2+AC2-2×AB×AC×cos∠BAC。將已知數(shù)值代入公式，得到：AO2=52+72-2×5×7×cos60°=25+49-35=39，所以AO=√39cm。同理，在△ACD中，因?yàn)锳D=7cm，AC=√39cm，∠CAD=120°（因?yàn)椤螧AC=60°，所以∠CAD=180°-60°=120°），所以可以利用余弦定理求出CO的長(zhǎng)度。余弦定理公式為：CO2=AD2+AC2-2×AD×AC×cos∠CAD。將已知數(shù)值代入公式，得到：CO2=72+(√39)2-2×7×√39×cos120°=49+39+7×√39×√3/2=88+21√39/2，所以CO=√(88+21√39/2)cm。接下來，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線互相平分，所以BO=DO，AO=CO，所以△AOB與△COD的面積之比就等于它們的底邊AB與CD之比，即5:7。但是，根據(jù)題目中的∠BAC=60°，可以知道△ABO是一個(gè)等腰三角形，且AO=√39cm，所以△ABO的面積可以用公式S=1/2×AB×AO×sin∠BAC求出，即S△ABO=1/2×5×√39×sin60°=5√39×√3/4cm2。同理，△ACD的面積可以用公式S=1/2×AD×AC×sin∠CAD求出，即S△ACD=1/2×7×√39×sin120°=7√39×√3/4cm2。因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積等于△ABO與△ACD的面積之和，所以S平行四邊形ABCD=S△ABO+S△ACD=(5√39×√3/4)+(7√39×√3/4)=12√39×√3/4=3√117cm2。但是，根據(jù)題目中的∠BAC=60°，可以知道△ABO是一個(gè)等腰三角形，且AO=√39cm，所以△ABO的面積可以用公式S=1/2×AB×AO×sin∠BAC求出，即S△ABO=1/2×5×√39×sin60°=5√39×√3/4cm2。同理，△COD的面積可以用公式S=1/2×CD×CO×sin∠COD求出，即S△COD=1/2×7×√(88+21√39/2)×sin120°=7√(88+21√39/2)×√3/4cm2。因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積等于△AOB與△COD的面積之和，所以S平行四邊形ABCD=S△ABO+S△COD=(5√39×√3/4)+(7√(88+21√39/2)×√3/4)=(5√39+7√(88+21√39/2))×√3/4cm2。但是，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線互相平分，所以△AOB與△COD的面積之比就等于它們的底邊AB與CD之比，即5:7。所以，△AOB與△COD的面積之比是5:7。17.已知：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AB=6cm，BC=8cm。求：△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離。解：首先，根據(jù)題意畫出矩形ABCD，并對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。因?yàn)榫匦蜛BCD的對(duì)角線相等且互相平分，所以AC=BD，且AO=CO，BO=DO。在△AOB中，因?yàn)锳B=6cm，AO=BO，所以△AOB是一個(gè)等腰三角形，且AO=BO=√(AB2/4)=√(62/4)=√9=3cm。同理，在△COD中，因?yàn)镃D=AB=6cm，CO=DO，所以△COD也是一個(gè)等腰三角形，且CO=DO=√(CD2/4)=√(62/4)=√9=3cm。接下來，要求△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離。重心是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的三個(gè)中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍。所以，在△AOB中，重心G?到AO的距離是AO到AB中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=AO/2=3/2cm。同理，在△COD中，重心G?到CO的距離是CO到CD中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=CO/2=3/2cm。但是，因?yàn)榫匦蜛BCD的對(duì)角線互相平分，所以AO=CO，BO=DO，所以△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離是相等的，即G?O=G?O=G?M?=G?M?=3/2cm。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離是3/2cm。18.已知：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=12cm，BD=8cm。求：菱形ABCD的面積。解：首先，根據(jù)題意畫出菱形ABCD，并對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。因?yàn)榱庑蜛BCD的對(duì)角線互相垂直平分，所以AO=CO=AC/2=12/2=6cm，BO=DO=BD/2=8/2=4cm。接下來，可以利用勾股定理求出菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB。勾股定理公式為：AB2=AO2+BO2。將已知數(shù)值代入公式，得到：AB2=62+42=36+16=52，所以AB=√52cm。但是，菱形的面積可以用對(duì)角線的乘積的一半來表示，即S菱形ABCD=1/2×AC×BD。將已知數(shù)值代入公式，得到：S菱形ABCD=1/2×12×8=48cm2。所以，菱形ABCD的面積是48cm2。19.已知：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm。求：△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比。解：首先，根據(jù)題意畫出正方形ABCD，并對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為10cm，所以AC=BD=10√2cm，且AO=CO=AC/2=10√2/2=5√2cm，BO=DO=BD/2=10√2/2=5√2cm。接下來，要求△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比。重心是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的三個(gè)中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍。所以，在△AOB中，重心G?到AO的距離是AO到AB中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=AO/2=5√2/2cm。同理，在△COD中，重心G?到CO的距離是CO到CD中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=CO/2=5√2/2cm。因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為10cm，所以AB=BC=CD=DA=10cm，且AB中點(diǎn)M?到O的距離是BO/2=5√2/2cm，CD中點(diǎn)M?到O的距離也是BO/2=5√2/2cm。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比就等于G?M?與G?M?之比，即5√2/2:5√2/2=1:1。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比是1:1。20.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AB=6cm，CD=12cm，且△AOB與△COD的面積之比為1:3。求：梯形ABCD的高。解：首先，根據(jù)題意畫出梯形ABCD，并對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。因?yàn)锳B∥CD，所以△AOB與△COD的底邊AB與CD在同一直線上，且AO=CO，BO=DO。因?yàn)椤鰽OB與△COD的面積之比為1:3，所以它們的底邊AB與CD的長(zhǎng)度之比也是1:3。設(shè)AB=xcm，則CD=3xcm。接下來，可以利用梯形面積公式來求解。梯形面積公式為：S梯形ABCD=1/2×(AB+CD)×高。設(shè)梯形ABCD的高為hcm，則S梯形ABCD=1/2×(x+3x)×h=2xhcm。又因?yàn)椤鰽OB的面積為S△AOB=1/2×AB×AO×sin∠AOB，△COD的面積為S△COD=1/2×CD×CO×sin∠COD，且∠AOB=∠COD，所以S△AOB:S△COD=AB×AO:CD×CO=x×AO:3x×AO=1:3。因?yàn)锳O=CO，所以x:3x=1:3，所以x=6/4=3/2cm，3x=9/2cm。將x=3/2cm代入梯形面積公式，得到：S梯形ABCD=2×(3/2)×h=3hcm。又因?yàn)椤鰽OB的面積為S△AOB=1/2×AB×AO×sin∠AOB=1/2×(3/2)×AO×sin∠AOB，△COD的面積為S△COD=1/2×CD×CO×sin∠COD=1/2×(9/2)×AO×sin∠COD，且S△AOB:S△COD=1:3，所以1/2×(3/2)×AO×sin∠AOB:1/2×(9/2)×AO×sin∠COD=1:3，即(3/2)×sin∠AOB:(9/2)×sin∠COD=1:3，即sin∠AOB:sin∠COD=1:3。因?yàn)椤螦OB=∠COD，所以sin∠AOB=sin∠COD，所以sin∠AOB=sin∠COD=1/√10。將sin∠AOB=1/√10代入△AOB的面積公式，得到：S△AOB=1/2×(3/2)×AO×(1/√10)=3AO/4√10cm2。因?yàn)镾梯形ABCD=S△AOB+S△COD=3AO/4√10+9AO/4√10=12AO/4√10=3AO/√10cm2。所以，3h=3AO/√10，即h=AO/√10。因?yàn)锳O=CO，且梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=√(AB2+BO2)=√((3/2)2+(9/2)2)=√(9/4+81/4)=√90/2=3√10/2cm。將AO=3√10/2cm代入h=AO/√10，得到：h=(3√10/2)/√10=3/2cm。所以，梯形ABCD的高是3/2cm。但是，根據(jù)題目中的△AOB與△COD的面積之比為1:3，可以知道它們的底邊AB與CD的長(zhǎng)度之比也是1:3，即AB:CD=1:3。又因?yàn)锳B=6cm，CD=12cm，所以6:12=1:2，這與AB:CD=1:3矛盾。所以，題目中的條件有誤，無法求解。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以∠BOC=∠DAB=70°。又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以對(duì)角線互相平分，即AO=CO，BO=DO。所以△AOB與△COD是全等三角形，所以∠BOC=∠COD=70°。但是，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，所以∠BOC=∠DAB=70°，∠AOD=∠ABC=70°。又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以∠ABC=∠ADC=70°。所以∠AOD=∠ADC=70°。又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以∠AOD=∠BAC=70°。所以∠BOC=∠DAB=∠AOD=∠BAC=70°。但是，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和為180°，所以∠BOC=180°-∠DAB-∠AOD=180°-70°-70°=40°。所以∠BOC=40°。但是，根據(jù)題目中的∠DAB=70°，可以知道∠BOC=∠DAB=70°。所以∠BOC=70°。所以∠BOC的度數(shù)是140°。2.答案：C解析：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=BD/2，BO=DO=AC/2。因?yàn)锳B=6cm，AD=8cm，所以BD=√(AB2+AD2)=√(62+82)=√(36+64)=√100=10cm。所以AO=CO=BD/2=10/2=5cm。所以AO的長(zhǎng)度是5cm。3.答案：C解析：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=AC/2，BO=DO=BD/2。因?yàn)椤螦BC=60°，所以∠A=∠C=60°。又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA。所以△ABC是等邊三角形，所以AC=BC=AB=6cm。所以AO=CO=AC/2=6/2=3cm。同理，△ADC也是等邊三角形，所以BD=AD=AC=6cm。所以BO=DO=BD/2=6/2=3cm。所以∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=60°+60°+60°=180°。但是，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和為180°，所以∠AOD=180°-∠AOB-∠BOC=180°-60°-60°=60°。所以∠AOD=60°。4.答案：C解析：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=BD/2，BO=DO=AC/2。因?yàn)锳O=5cm，所以BD=2×AO=2×5=10cm。所以正方形ABCD的周長(zhǎng)是4×AB=4×BD/√2=4×10/√2=40cm。5.答案：D解析：在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以△AOB與△COD的面積之比等于它們的底邊AB與CD之比，即4:10=2:5。但是，根據(jù)題目中的AB=4cm，CD=10cm，可以知道AB:CD=4:10=2:5。所以△AOB與△COD的面積之比是16:25。6.答案：A解析：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO，BO=DO。因?yàn)椤鰽OB的周長(zhǎng)為20cm，△COD的周長(zhǎng)為16cm，所以AB+AO+BO=20cm，CD+CO+DO=16cm。因?yàn)锳O=CO，BO=DO，所以AB+2AO=20cm，CD+2CO=16cm。因?yàn)锳B=CD，所以2AO=20cm-AB，2CO=16cm-CD。因?yàn)锳B=CD，所以2AO=20cm-CD，2CO=16cm-CD。所以2AO=20cm-CD，2CO=16cm-CD。所以AB=10cm-CD。所以AB與CD的長(zhǎng)度之差是AB-CD=(10cm-CD)-CD=10cm-2CD。但是，根據(jù)題目中的AB=10cm-CD，可以知道AB-CD=10cm-2CD。所以AB與CD的長(zhǎng)度之差是2cm。7.答案：B解析：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=BD/2，BO=DO=AC/2。因?yàn)锳B=5cm，AD=12cm，所以BD=√(AB2+AD2)=√(52+122)=√(25+144)=√169=13cm。所以AO=CO=BD/2=13/2=6.5cm。所以BO=DO=AC/2=√(AB2+AD2)/2=√(52+122)/2=√(25+144)/2=√169/2=13/2=6.5cm。所以△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離是AO/3=6.5/3=2cm。8.答案：B解析：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=AC/2，BO=DO=BD/2。因?yàn)锳C=8cm，BD=6cm，所以AO=CO=8/2=4cm，BO=DO=6/2=3cm。所以菱形ABCD的面積是1/2×AC×BD=1/2×8×6=48cm2。9.答案：A解析：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=BD/2，BO=DO=AC/2。因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為10cm，所以AC=BD=10√2cm，且AO=CO=AC/2=10√2/2=5√2cm，BO=DO=BD/2=10√2/2=5√2cm。接下來，要求△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比。重心是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的三個(gè)中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍。所以，在△AOB中，重心G?到AO的距離是AO到AB中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=AO/2=5√2/2cm。同理，在△COD中，重心G?到CO的距離是CO到CD中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=CO/2=5√2/2cm。因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為10cm，所以AB=BC=CD=DA=10cm，且AB中點(diǎn)M?到O的距離是BO/2=5√2/2cm，CD中點(diǎn)M?到O的距離也是BO/2=5√2/2cm。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比就等于G?M?與G?M?之比，即5√2/2:5√2/2=1:1。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比是1:1。10.答案：A解析：在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AB=6cm，CD=12cm，且△AOB與△COD的面積之比為1:3，所以AB:CD=1:3。設(shè)AB=xcm，則CD=3xcm。梯形ABCD的高設(shè)為hcm。因?yàn)锳B∥CD，所以△AOB與△COD的高相等。所以△AOB的面積為S△AOB=1/2×AB×h=1/2×x×h，△COD的面積為S△COD=1/2×CD×h=1/2×3x×h。因?yàn)镾△AOB:S△COD=1:3，所以1/2×x×h:1/2×3x×h=1:3，即x:3x=1:3，所以x=6/4=3/2cm，3x=9/2cm。梯形ABCD的面積為S梯形ABCD=1/2×(AB+CD)×h=1/2×(3/2+9/2)×h=1/2×6×h=3hcm。又因?yàn)椤鰽OB的面積為S△AOB=1/2×AB×AO×sin∠AOB，△COD的面積為S△COD=1/2×CD×CO×sin∠COD，且∠AOB=∠COD，所以S△AOB:S△COD=AB×AO:CD×CO=x×AO:3x×AO=1:3。因?yàn)锳O=CO，所以x:3x=1:3，所以x=6/4=3/2cm，3x=9/2cm。將x=3/2cm代入梯形面積公式，得到：S梯形ABCD=3×(3/2)=9/2cm2。所以梯形ABCD的高是3/2cm。二、填空題答案及解析11.答案：26cm解析：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO，BO=DO。因?yàn)锳B=8cm，AD=6cm，所以AB+AD=8+6=14cm。所以△AOB與△COD的周長(zhǎng)之和是AB+AO+BO+CD+CO+DO=AB+AD+2AO+2BO=AB+AD+2(AO+BO)=AB+AD+2(AB+AD)=2(AB+AD)=2×14=26cm。12.答案：4cm解析：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=BD/2，BO=DO=AC/2。因?yàn)锳B=7cm，BC=9cm，所以BD=√(AB2+BC2)=√(72+92)=√(49+81)=√130cm。所以AO=CO=BD/2=√130/2cm，BO=DO=AC/2=√(AB2+BC2)/2=√130/2cm。所以△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離是AO/3=√130/6cm≈4cm。13.答案：40cm2解析：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=AC/2，BO=DO=BD/2。因?yàn)锳C=10cm，BD=8cm，所以AO=CO=10/2=5cm，BO=DO=8/2=4cm。所以菱形ABCD的面積是1/2×AC×BD=1/2×10×8=40cm2。14.答案：1:1解析：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以AO=CO=BD/2，BO=DO=AC/2。因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為12cm，所以AC=BD=12√2cm，且AO=CO=AC/2=12√2/2=6√2cm，BO=DO=BD/2=12√2/2=6√2cm。接下來，要求△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比。重心是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的三個(gè)中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍。所以，在△AOB中，重心G?到AO的距離是AO到AB中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=AO/2=6√2/2=3√2cm。同理，在△COD中，重心G?到CO的距離是CO到CD中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=CO/2=6√2/2=3√2cm。因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為12cm，所以AB=BC=CD=DA=12cm，且AB中點(diǎn)M?到O的距離是BO/2=6√2/2=3√2cm，CD中點(diǎn)M?到O的距離也是BO/2=6√2/2=3√2cm。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比就等于G?M?與G?M?之比，即3√2:3√2=1:1。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比是1:1。15.答案：3cm解析：在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AB=5cm，CD=15cm，且△AOB與△COD的面積之比為1:5，所以AB:CD=1:5。設(shè)AB=xcm，則CD=5xcm。梯形ABCD的高設(shè)為hcm。因?yàn)锳B∥CD，所以△AOB與△COD的高相等。所以△AOB的面積為S△AOB=1/2×AB×h=1/2×x×h，△COD的面積為S△COD=1/2×CD×h=1/2×5x×h。因?yàn)镾△AOB:S△COD=1:5，所以1/2×x×h:1/2×5x×h=1:5，即x:5x=1:5，所以x=5/6cm，5x=25/6cm。梯形ABCD的面積為S梯形ABCD=1/2×(AB+CD)×h=1/2×(5/6+25/6)×h=1/2×30/6×h=5hcm。又因?yàn)椤鰽OB與△COD的面積之比為1:5，所以S△AOB:S△COD=AB×AO:CD×CO=x×AO:5x×CO=1:5。因?yàn)锳O=CO，所以x:5x=1:5，所以x=5/6cm，5x=25/6cm。將x=5/6cm代入梯形面積公式，得到：S梯形ABCD=5×(5/6)=25/6cm2。所以梯形ABCD的高是3cm。三、解答題答案及解析16.答案：5:7解析：首先，根據(jù)題意畫出平行四邊形ABCD，并對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。在△ABO中，因?yàn)锳B=5cm，AD=7cm，∠BAC=60°，所以可以利用余弦定理求出AO的長(zhǎng)度。余弦定理公式為：AO2=AB2+AC2-2×AB×AC×cos∠BAC。將已知數(shù)值代入公式，得到：AO2=52+72-2×5×7×cos60°=25+49-35=39，所以AO=√39cm。同理，在△ACD中，因?yàn)锳D=7cm，AC=√39cm，∠CAD=120°（因?yàn)椤螧AC=60°，所以∠CAD=180°-60°=120°），所以可以利用余弦定理求出CO的長(zhǎng)度。余弦定理公式為：CO2=AD2+AC2-2×AD×AC×cos∠CAD。將已知數(shù)值代入公式，得到：CO2=72+(√39)2-2×7×√39×cos120°=49+39+7×√39×√3/2=88+21√39/2，所以CO=√(88+21√39/2)cm。接下來，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線互相平分，所以BO=DO，AO=CO，所以△AOB與△COD的面積之比就等于它們的底邊AB與CD之比，即5:7。但是，根據(jù)題目中的∠BAC=60°，可以知道△ABO是一個(gè)等腰三角形，且AO=√39cm，所以△ABO的面積可以用公式S=1/2×AB×AO×sin∠BAC求出，即S△ABO=1/2×5×√39×sin60°=5√39×√3/4cm2。同理，△ACD的面積可以用公式S=1/2×AD×AC×sin∠CAD求出，即S△ACD=1/2×7×√39×sin120°=7√39×√3/4cm2。因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積等于△ABO與△ACD的面積之和，所以S平行四邊形ABCD=S△ABO+S△ACD=(5√39×√3/4)+(7√39×√3/4)=12√39×√3/4=3√117cm2。但是，根據(jù)題目中的∠BAC=60°，可以知道△ABO是一個(gè)等腰三角形，且AO=√39cm，所以△ABO的面積可以用公式S=1/2×AB×AO×sin∠BAC求出，即S△ABO=1/2×5×√39×sin60°=5√39×√3/4cm2。同理，△COD的面積可以用公式S=1/2×CD×CO×sin∠COD求出，即S△COD=1/2×7×√(88+21√39/2)×sin120°=7√(88+21√39/2)×√3/4cm2。因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積等于△AOB與△COD的面積之和，所以S平行四邊形ABCD=S△ABO+S△COD=(5√39×√3/4)+(7√(88+21√39/2)×√3/4)=(5√39+7√(88+21√39/2))×√3/4cm2。但是，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線互相平分，所以△AOB與△COD的面積之比就等于它們的底邊AB與CD之比，即5:7。所以，△AOB與△COD的面積之比是5:7。17.答案：2cm解析：首先，根據(jù)題意畫出矩形ABCD，并對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。因?yàn)榫匦蜛BCD的對(duì)角線相等且互相平分，所以AC=BD，且AO=CO，BO=DO。在△AOB中，因?yàn)锳B=6cm，AO=BO，所以△AOB是一個(gè)等腰三角形，且AO=BO=√(AB2/4)=√(62/4)=√9=3cm。同理，在△COD中，因?yàn)镃D=AB=6cm，CO=DO，所以△COD也是一個(gè)等腰三角形，且CO=DO=√(CD2/4)=√(62/4)=√9=3cm。接下來，要求△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離。重心是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的三個(gè)中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍。所以，在△AOB中，重心G?到AO的距離是AO到AB中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=AO/2=3/2cm。同理，在△COD中，重心G?到CO的距離是CO到CD中點(diǎn)M?的距離的一半，即G?M?=CO/2=3/2cm。因?yàn)榫匦蜛BCD的邊長(zhǎng)為10cm，所以AB=BC=CD=DA=10cm，且AB中點(diǎn)M?到O的距離是BO/2=3cm，CD中點(diǎn)M?到O的距離也是BO/2=3cm。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離之比就等于G?M?與G?M?之比，即3/2:3/2=1:1。所以，△AOB與△COD的重心到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離是3/2cm。18.答案：48cm2解析：首先，根據(jù)題意畫出菱形ABCD，并對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。因?yàn)榱庑蜛BCD的對(duì)角線互相垂直平分，所以AO=CO=AC/2=10/2=5cm，BO=DO=BD/2=8/2=4cm。接下來，可以利用勾股定理求出菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB。勾股定理公式為：AB2=AO2+BO2。將已知數(shù)值代入公式，得到：AB2=52+42=25+16=41，所以AB=√41c