第第頁(yè)專題01集合題型歸類TOC\o"1-3"\h\u一、熱點(diǎn)題型歸納1【題型一】集合與元素1【題型二】集合中的元素個(gè)數(shù)3【題型三】集合中元素個(gè)數(shù)求參4【題型四】子集及子集個(gè)數(shù)6【題型五】子集關(guān)系求參(難點(diǎn)）8【題型六】子集綜合應(yīng)用9【題型七】集合交集運(yùn)算及求參11【題型八】集合并集運(yùn)算及求參13【題型九】集合補(bǔ)集運(yùn)算及求參15【題型十】韋恩圖17【題型十一】集合與新定義19【題型十二】集合綜合21二、分階培優(yōu)練23【題型一】集合與元素【典例分析】非空集合具有下列性質(zhì)：①若、，則；②若、，則，下列判斷一定成立的是（

）（1）；（2）；（3）若、，則；（4）若、，則.A．（1）（3）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）【答案】C【分析】假設(shè)，可推出，由此可判斷（1）的正誤；推導(dǎo)出，進(jìn)而可推導(dǎo)出，，由此可判斷（2）的正誤；推導(dǎo)出，結(jié)合①可判斷（3）的正誤；若、，假設(shè)，推出，可判斷（4）的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由①可知.對(duì)于（1），若，對(duì)任意的，，則，所以，，這與矛盾，（1）正確；對(duì)于（2），若且，則，，，依此類推可得知，，，，，，（2）正確；對(duì)于（3），若、，則且，由（2）可知，，則，所以，，（3）正確；對(duì)于（4），由（2）得，，取，則，所以（4）錯(cuò)誤.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律1.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性。2.研究?jī)桑ǘ鄠€(gè)）集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系?！咀兪窖菥殹?.給出下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】①空集中不含任何元素，由此可判斷①；②是整數(shù)，故可判斷②正確；③通過解方程，可得出，故可判斷③；④根據(jù)為正整數(shù)集可判斷④；⑤通過解方程，得，從而可判斷⑤.【詳解】①，故①錯(cuò)誤；②是整數(shù)，所以，故②正確；③由，得或，所以，所以正確；④為正整數(shù)集，所以錯(cuò)誤；⑤由，得，所以，所以錯(cuò)誤.所以正確的個(gè)數(shù)有2個(gè).故選：B.2下面五個(gè)式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正確的有（

）A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤【答案】A【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐個(gè)分析即可得出答案.中，是集合{a}中的一個(gè)元素，，所以錯(cuò)誤；空集是任一集合的子集，所以正確；是的子集，所以錯(cuò)誤；任何集合是其本身的子集，所以正確；a是的元素，所以正確.故選：A.3.已知集合，下列選項(xiàng)中均為A的元素的是（

）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷．集合有兩個(gè)元素：和，故選：B【題型二】集合中的元素個(gè)數(shù)【典例分析】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，則集合B中的元素的個(gè)數(shù)為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【分析】通過集合，利用，，，求出集合中元素的個(gè)數(shù)．【詳解】解：因?yàn)榧希?，3，，，，，所以當(dāng)時(shí)，或或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，即所以集合中的元素個(gè)數(shù)為6．故選：．【提分秘籍】基本規(guī)律集合中元素個(gè)數(shù)：1.點(diǎn)集多是圖像交點(diǎn)2.數(shù)集，多涉及到一元二次方程的根。3【變式演練】1.已知與是集合的兩個(gè)子集，滿足：與的元素個(gè)數(shù)相同，且為空集，若時(shí)總有，則集合的元素個(gè)數(shù)最多為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】令，解得，從中去掉形如的數(shù)，此時(shí)中有個(gè)元素，注意中還可含以下個(gè)特殊元素：、、、、、、，故中元素最多時(shí)，中共有個(gè)元素，由此可得出結(jié)論.【詳解】令，解得，所以，集合是集合的一個(gè)非空子集.再由，先從中去掉形如的數(shù)，由，可得，，此時(shí)，中有個(gè)元素.由于集合中已經(jīng)去掉了、、、、、、這個(gè)數(shù)，而它們對(duì)應(yīng)的形如的數(shù)分別為、、、、、、，并且、、、、、、對(duì)應(yīng)的形如的數(shù)都在集合中.故集合中還可有以下個(gè)特殊元素：、、、、、、，故集合中元素最多時(shí)，集合中共有個(gè)元素，對(duì)應(yīng)的集合也有個(gè)元素，因此，中共有個(gè)元素.故選B.2.已知集合.若，且對(duì)任意的，，均有，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為A．25B．49C．75D．99【答案】D【分析】先分析集合元素的特點(diǎn)，通過列舉可得.【詳解】當(dāng)或的值較小時(shí)，集合B中元素個(gè)數(shù)最多，即共有99個(gè)元素.3.已知集合，，且，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】對(duì)于集合，任取，令，對(duì)于集合，任取，令，令，可得出，分析可得，列舉出的可能取值的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】對(duì)于集合，任取，令，對(duì)于集合，任取，令，令，則，可得，因?yàn)榍?，則，可集合中能被整除的數(shù)為、、，共有組、數(shù)據(jù)滿足條件，故的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.【題型三】元素個(gè)數(shù)求參【典例分析】已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】對(duì)參數(shù)分類討論，結(jié)合判別式法得到結(jié)果.解：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足條件；②當(dāng)時(shí)，中只有一個(gè)元素的話，，解得，綜上，的取值集合為，．故選：D．【提分秘籍】基本規(guī)律在根據(jù)元素與集合關(guān)系求解參數(shù)值的問題時(shí)，容易錯(cuò)的地方是忽略求得參數(shù)值后，需驗(yàn)證集合中元素是否滿足互異性【變式演練】1.已知，若集合A中恰好有5個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由已知求出集合A，進(jìn)一步得到m的范圍.【詳解】由題意可知，可得.故選：D2.若集合至多含有一個(gè)元素，則的取值范圍是（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】把題意轉(zhuǎn)化為方程無實(shí)根或兩相等實(shí)根或一個(gè)實(shí)根，然后通過分類討論求的取值范圍.【詳解】因?yàn)榧现炼嗪幸粋€(gè)元素，所以時(shí)，，此時(shí)滿足題意；當(dāng)時(shí)，要滿足題意，需方程無實(shí)根或兩相等實(shí)根，即，所以.綜上知，的取值范圍是.故選：B.3.某個(gè)含有三個(gè)元素的集合可以表示為，也可以表示為，則的值為（

）A．0B．1C．－1D．【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合集合相等的條件，求得，即可求解.【詳解】由題意，集合，根據(jù)集合相等的條件，可得且，所以，所以.故選：C.【題型四】子集及子集個(gè)數(shù)【典例分析】設(shè)A是集合的子集，只含有3個(gè)元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個(gè)數(shù)為（

）A．32B．56C．72D．84【答案】B【分析】分類列舉出每一種可能性即可得到答案.【詳解】若1,3在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為5,6,7,8,9,10中的一個(gè)；若1,4在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為6,7,8,9,10中的一個(gè)；若1,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有6+5+4+3+2+1=21個(gè).若2,4在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為6,7,8,9,10中的一個(gè)；若2,5在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為7,8,9,10中的一個(gè)；若2,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有5+4+3+2+1=15個(gè).若3,5在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為7,8,9,10中的一個(gè)；若3,6在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為8,9,10中的一個(gè)；若3,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有4+3+2+1=10個(gè).若4,6在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為8,9,10中的一個(gè)；若4,7在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為9,10中的一個(gè)；若4,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有3+2+1=6個(gè).若5,7在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為9,10中的一個(gè)；若5,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有2+1=3個(gè).若6,8,10在在集合A內(nèi)，只有1個(gè).總共有21+15+10+6+3+1=56個(gè)故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律元素與集合以及集合與集合子集關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義及熟練運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行列舉【變式演練】1.若集合，，，則A，B，C之間的關(guān)系是（

）A．B．AB=CC．ABCD．BCA【答案】B【分析】先將A,B,C三個(gè)集合里面的分母統(tǒng)一為6，再去比較每個(gè)集合的關(guān)系.【詳解】將各集合中元素的公共屬性化歸為同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由與p均表示整數(shù)，且，可得AB=C．故選B.2.已知集合，集合，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先分析集合M、N，得到，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷.【詳解】，.因?yàn)榭梢员硎九紨?shù)，列舉出為，而可以表示全部整數(shù).所以對(duì)于A：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、C：.故B正確；C錯(cuò)誤；對(duì)于D：.故D錯(cuò)誤.故選：B【題型五】子集關(guān)系求參(難點(diǎn)）【典例分析】已知集合，，若，則的取值集合為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意知，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】由，知，因?yàn)?，，若，則方程無解，所以滿足題意；若，則，因?yàn)?，所以，則滿足題意；故實(shí)數(shù)取值的集合為.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律授課時(shí)講透徹這個(gè)“順序感”：子集是從“從空集開始，到自身結(jié)束”【變式演練】1.設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，集合，，且，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】解絕對(duì)值不等式得到集合，再利用集合的包含關(guān)系得到不等式，解不等式即可得解.【詳解】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范圍為故選：D2.已知，，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．或【答案】B【分析】集合A的的取值范圍是確定的，集合B中，二次函數(shù)開口向上，要先考慮恒成立的情況；若不恒成立，再結(jié)合的條件進(jìn)行討論，從而得到的取值范圍【詳解】集合A中，由得，當(dāng)時(shí)，，（舍）；當(dāng)時(shí)，，，所以集合；集合B中，若，，則，符合要求；若，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸為，若，則，，綜上可得：故選：B3.設(shè)集合，或，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件按集合A是否為空集兩類列式計(jì)算得解.【詳解】因集合，若，有，解得，此時(shí)，于是得，若，因或，則由得：，解得：，綜上得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A【題型六】子集綜合應(yīng)用【典例分析】已知集合，，，則A，B，C之間的關(guān)系是（

）A．A=BCB．AB=CC．ABCD．BC=A【答案】B【分析】將三個(gè)集合分別化簡(jiǎn)，分母一樣，比較分子的不同，根據(jù)所表示范圍的大小，判斷出集合的關(guān)系．【詳解】解：集合，，，集合，，，集合，，，時(shí)，表示被6除余1的數(shù)；時(shí)，表示被3除余1的數(shù)；時(shí)，表示被3除余1的數(shù)；所以，故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律1.借助于分類討論思想2.借助于枚舉思想【變式演練】1.定義，設(shè)、、是某集合的三個(gè)子集，且滿足，則是的（

）A．充要條件B．充分非必要條件C．必要非充分條件D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】作出示意圖，由可知兩個(gè)陰影部分均為，根據(jù)新定義結(jié)合集合并集的運(yùn)算以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】如圖，由于，故兩個(gè)陰影部分均為，于是，（1）若，則，，而，成立；（2）反之，若，則由于，，，，，故選：A2.已知：A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，C＝{x|x＝a}，B?A，則C的真子集個(gè)數(shù)是（）A．3B．6C．7D．8【答案】C【分析】首先求得A＝{﹣1，1}，之后根據(jù)B?A，求得的值，從而得到C＝{﹣1，0，1}，根據(jù)含有個(gè)元素的有限集合真子集的個(gè)數(shù)，求得結(jié)果.【詳解】由A中x2＝1，得到x＝1或﹣1，即A＝{﹣1，1}，∵B＝{x|ax＝1}，B?A，∴把x＝﹣1代入ax＝1，得：a＝﹣1；把x＝1代入ax＝1得：a＝1，當(dāng)時(shí)，，滿足B?A，∴C＝{﹣1，0，1}，則C真子集個(gè)數(shù)為23﹣1＝7．故選：C.3.已知集合，，則之間的關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)，從而可得，排除，，考慮元素5與集合的關(guān)系再可排除，從而得到結(jié)果.【詳解】∵，，∴，故排除選項(xiàng)，，又∵，，∴排除，故選：.【題型七】集合交集運(yùn)算及求參【典例分析】已知集合，．若，則a的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由集合包含關(guān)系可得，討論、分別求參數(shù)范圍，最后取并集即可得結(jié)果.【詳解】由，可得，當(dāng)時(shí)，，即，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，即，且，可得；綜上，a的取值范圍為.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律1.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，,一般要在數(shù)軸上（或者坐標(biāo)系中）表示出來，形象直觀，一定要注意端點(diǎn)值和臨界值，看是否包括。2.＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.【變式演練】1.已知集合，下列描述正確的是（

）A．B．C．D．以上選項(xiàng)都不對(duì)【答案】A【分析】將兩個(gè)集合等價(jià)變形，從而可判斷兩個(gè)集合的關(guān)系，從而可得出答案.【詳解】解：，分子取到的整數(shù)倍加1，，分子取全體整數(shù)，所以，所以.故選：A.2.已知集合，，若，則（

）A．或B．或C．或或D．或或【答案】D【分析】本題考查集合的運(yùn)算和集合之間的關(guān)系.，說明，根據(jù)這個(gè)關(guān)系可以求出參數(shù)的值，注意考慮空集的情況【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于,解得或,所以.因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),成立，此時(shí);當(dāng)時(shí),,解可得,因?yàn)?所以或,解得或.綜上,的值為或或.故選:D.3.若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個(gè)集合有公共元素且互不為對(duì)方的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“蠶食”，對(duì)于集合，，若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】討論和，求得集合，再由新定義，得到的方程，即可解得的值．【詳解】解：集合，，，，若，則，即有；若，可得，，不滿足；若，兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集，可得或，解得或．綜上可得，或或2.故選：A.【題型八】集合并集運(yùn)算及求參【典例分析】已知集合，，，則(

)A．0或4B．0或C．1或D．1或4【答案】A【分析】由求出集合和的包含關(guān)系，然后利用集合間包含關(guān)系求解即可.【詳解】集合，，可得，若，，則，，顯然成立；若，或1；當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，不滿足元素的互異性，舍去，綜上所述，或4．故選：A．【提分秘籍】基本規(guī)律1.“并大交小”2.＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.【變式演練】1.已知集合A={x|-3≤x≤-2}，集合B={x|m-1≤x≤2m+1}，且A∪B=A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．-4≤m≤B．-4<m<C．m≤D．m≥【答案】C【分析】依題意得到B?A，然后按B=?和B≠?討論計(jì)算即可.【詳解】由A∪B=A，得B?A，則有B=?和B≠?兩種情況，當(dāng)B=?時(shí)，有m-1>2m+1，∴m<-2；當(dāng)B≠?時(shí)，觀察右圖，由數(shù)軸可得，解得-2≤m≤-.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-.故選：C2.已知集合，若，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先解不等式，化簡(jiǎn)集合，再由并集的結(jié)果，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛?，又，所以只需，解得，故選：B.3.已知，，若，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意,可先化簡(jiǎn)集合A,再由得,由此對(duì)B的集合討論求a,由于集合B可能為空集,可分兩類探討,當(dāng)B是空集時(shí),與B不是空集時(shí),分別解出a的取值范圍,選出正確選項(xiàng)【詳解】解：由題意,,由得又當(dāng)B是空集時(shí),符合題意,此時(shí)有解得當(dāng)B不是空集時(shí),有解得綜上知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D【題型九】集合補(bǔ)集運(yùn)算及求參【典例分析】設(shè)全集且，，若，，則這樣的集合共有（

）A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)【答案】D【分析】先求出全集，再求出集合的子集即為，再進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算可得集合，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】且，的子集有，，，，，，，，的子集有個(gè)，，所以有個(gè)，因?yàn)椋源嬖谝粋€(gè)即有一個(gè)相應(yīng)的，所以，，，，，，，有個(gè)，故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律＝U；＝；＝A.【變式演練】1.若全集，集合，，則=（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件，結(jié)合描述法表示集合及集合交、補(bǔ)運(yùn)算的定義即可得解.【詳解】集合的關(guān)系式可以變?yōu)椋膸缀我饬x是直線上去掉點(diǎn)后所有的點(diǎn)的集合，所以，表示直線外所有點(diǎn)及點(diǎn)的集合；集合表示直線外所有點(diǎn)的集合，，表示直線上所有點(diǎn)的集合；從而可得.故選：B.2.設(shè)全集，集合，那么____________.【答案】【分析】分析出集合，的各自意義，進(jìn)而可知的各自意義，從而可求出.【詳解】解：由可得，即表示直線除去的點(diǎn)集，表示平面內(nèi)不在直線上的點(diǎn)集，則表示平面內(nèi)在直線上的點(diǎn)集，表示不在直線上的點(diǎn)和點(diǎn)的集合，所以.故答案為:.3.已知集合A中有10個(gè)元素,集合B中有6個(gè)元素,全集U中有18個(gè)元素,且有,設(shè)集合中有x個(gè)元素,則x的取值范圍是______.【答案】且x為整數(shù)【分析】由集合B中有6個(gè)元素,考慮當(dāng)A與B兩集合的交集最少時(shí),僅有一個(gè)元素時(shí),得到兩集合的并集有15個(gè)元素,根據(jù)全集有18個(gè)元素,得到兩集合并集的補(bǔ)集有3個(gè)元素;當(dāng)兩集合的交集最多時(shí),有6個(gè)元素時(shí),兩集合的并集有10個(gè)元素,得到兩集合并集的補(bǔ)集有8個(gè)元素,所以得到兩集合并集中元素x的取值范圍.【詳解】因?yàn)楫?dāng)集合中僅有一個(gè)元素時(shí),集合中有3個(gè)元素,當(dāng)中有6個(gè)元素時(shí),中有8個(gè)元素,則得到且x為整數(shù).故答案為:且x為整數(shù)【題型十】韋恩圖【典例分析】集合，，將集合A，B分別用如圖中的兩個(gè)圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個(gè)數(shù)恰好為2的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先求出集合，再結(jié)合韋恩圖及交集、并集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：∵，，∴，則，，選項(xiàng)A中陰影部分表示的集合為，即，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中陰影部分表示的集合由屬于A但不屬于B的元素構(gòu)成，即，故B正確；選項(xiàng)C中陰影部分表示的集合由屬于B但不屬于A的元素構(gòu)成，即，有1個(gè)元素，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中陰影部分表示的集合由屬于但不屬于的元素構(gòu)成，即，故D錯(cuò)誤．故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律韋恩圖思考時(shí)，要從四種位置關(guān)系來保證思考的“完備性”【變式演練】1集合，，將集合A，B分別用如圖中的兩個(gè)圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個(gè)數(shù)恰好為4的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】記，然后分析每個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的集合的運(yùn)算并求解出結(jié)果進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，記，?duì)于A選項(xiàng)，其表示，不滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，其表示，不滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，其表示，滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，其表示，不滿足；故選：C.2..如圖，三個(gè)圓的內(nèi)部區(qū)域分別代表集合，，，全集為，則圖中陰影部分的區(qū)域表示（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】找到每一個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的區(qū)域即得解.解：如圖所示，A.對(duì)應(yīng)的是區(qū)域1；

B.對(duì)應(yīng)的是區(qū)域2；C.對(duì)應(yīng)的是區(qū)域3；

D.對(duì)應(yīng)的是區(qū)域4.故選：B3.正確表示圖中陰影部分的是（

）A．B．C．D．【答案】C根據(jù)Venn圖直接寫出圖中陰影部的正確表示即可.【詳解】解：由題意圖中陰影部分：故選：C【題型十一】集合與新定義【典例分析】對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或都為正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，，則在此定義下，集合中的元素個(gè)數(shù)是（

）A．10B．9C．8D．7【答案】B【分析】根據(jù)定義結(jié)合已知條件，對(duì)分都是正偶數(shù)，都是正奇數(shù)，一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)三種情況討論即可求解【詳解】（1）m，n都是正偶數(shù)時(shí)：m從2，4，6任取一個(gè)有3種取法，而對(duì)應(yīng)的n有一種取法；∴有3種取法，即這種情況下集合M有3個(gè)元素；（2）m，n都為正奇數(shù)時(shí)：m從1，3，5，7任取一個(gè)有4種取法，而對(duì)應(yīng)的n有一種取法；∴有4種取法，即這種情況下集合M有4個(gè)元素；（3）當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)：當(dāng)m=8，n=1，和m=1，n=8，即這種情況下集合M有兩個(gè)元素；∴集合M的元素個(gè)數(shù)是3+4+2=9．故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律解決以集合為背景的新定義問題要抓住兩點(diǎn)：緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.【變式演練】1.用表示非空集合中的元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，若，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合.則A．1B．2C．3D．5【答案】D【分析】,有兩個(gè)元素；且，所以B中有一個(gè)或者三個(gè)元素，然后分情況討論．【詳解】因?yàn)?，有兩個(gè)元素，，所以B中有一個(gè)或者三個(gè)元素．當(dāng)B有一個(gè)元素時(shí)，有一個(gè)解，可得．當(dāng)B有3個(gè)元素時(shí)，有三個(gè)解，其中，當(dāng)有一個(gè)解時(shí)，則，可得當(dāng)有兩個(gè)解且其中一個(gè)和0或者相等時(shí)也滿足條件．此時(shí)，顯然，不等于0所以或者解出或者也滿足條件．綜上所述的取值為，-3，3構(gòu)成集合S的個(gè)數(shù)為：5故選D2.給定全集，非空集合滿足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，則稱為的一個(gè)有序子集對(duì)，若，則的有序子集對(duì)的個(gè)數(shù)為A．48B．49C．50D．51【答案】B【詳解】時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是，時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是，時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是1、時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是1的有序子集對(duì)的個(gè)數(shù)為49個(gè)，3.．對(duì)于非空數(shù)集M，定義表示該集合中所有元素的和.給定集合，定義集合，則集合的元素的個(gè)數(shù)為（

）A．11B．12C．13D．14【答案】B【分析】分別考慮集合為單元素集、雙元素集、三元素集、四元素集，然后分別計(jì)算出的取值，由此確定出集合中的元素的個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)集合為單元素集時(shí)，可取，此時(shí)可?。划?dāng)集合為雙元素集時(shí)，可取，此時(shí)可取；當(dāng)集合為三元素集時(shí)，可取，此時(shí)可取，當(dāng)集合為四元素集時(shí)，可取，此時(shí)可取，綜上可知可取，共個(gè)值，所以的元素個(gè)數(shù)為，故選：B.【題型十二】集合綜合【典例分析】在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中.問題：已知集合，_______，若，求a的取值范圍.【答案】條件選擇、答案見解析.【分析】選擇條件①②③，按集合A是否為空集，分類討論列出不等式，求解作答.【詳解】選擇條件①：，因，當(dāng)時(shí)，，解得a≥5，當(dāng)時(shí)，或，解得4≤a＜5，所以a的取值范圍為.選擇條件②：，則，因，當(dāng)時(shí)，，解得a≥5，當(dāng)時(shí)，，無解，所以a的取值范圍為.選擇條件③：，因，當(dāng)時(shí)，，解得a≥5，當(dāng)時(shí)，，解得，所以a的取值范圍為.【變式演練】1.已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，B＝{x|a﹣2x≥0}．(1)當(dāng)a＝6時(shí)，求A∪B，A∩B；(2)當(dāng)A∪B＝R時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)A∪B＝R，A∩B＝（﹣∞，﹣2）(2)【分析】（1）結(jié)合不等式的解法，求出集合B的等價(jià)條件，結(jié)合集合交集，并集的定義進(jìn)行求解即可．（2）將題意轉(zhuǎn)換為，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．(1)a＝6時(shí)，，A∪B＝R，所以；(2)因?yàn)锳∪B＝R，所以，因?yàn)?，所以，解得?.已知集合，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得，然后對(duì)是否為空集進(jìn)行分類討論可求；（2）當(dāng)時(shí)，結(jié)合是否為空集進(jìn)行分類討論可求的范圍，然后結(jié)合補(bǔ)集思想可求滿足條件的的范圍．(1)解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，的取值范圍為；(2)解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，或，解得，，綜上，時(shí)，或，故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．3.設(shè)集合，集合．(1)若，求，；(2)設(shè)命題，命題，若是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）代入，得集合B，利用交集與并集的定義求解；（2）由題意判斷出，因?yàn)?，故根?jù)集合端點(diǎn)滿足的條件列式求解即可.(1)因?yàn)椋?，所以，?2)因?yàn)槭浅闪⒌谋匾怀浞謼l件，所以.又，故不為空集，故，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.如圖，陰影部分用集合、、表示為A．B．C．D．【答案】C【詳解】如圖，觀察圖形可知，陰影是B的補(bǔ)集與集合A的交集，即，故選C.2.已知有限集X，Y，定義集合，且，表示集合X中的元素個(gè)數(shù).若，則（

）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】利用新定義及并集運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】∵∴，，∴，∴，故選：A3.已知集合，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由即可求解滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：由題意，滿足條件的平面內(nèi)以為坐標(biāo)的點(diǎn)集合，所以集合的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.4.若，則的可能取值有（

）A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷的可能取值.，則，符合題設(shè)；時(shí)，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；時(shí)，則，符合題設(shè)；∴或均可以.故選：C5.已知，，則“使得”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】依據(jù)子集的定義進(jìn)行判斷即可解決二者間的邏輯關(guān)系.【詳解】若使得，則有成立；若，則有使得成立.則“使得”是“”的充要條件，故選：C6.．若集合，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)條件探求集合P，Q的公共元素的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律即可判斷作答.【詳解】依題意，當(dāng)，時(shí)，，，如果它們是相同元素，則當(dāng)，時(shí)，，即，于是得是3的整數(shù)倍，令，則，此時(shí)，，因此，集合P，Q的公共元素是，所以.故選：D7.已知集合，，，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先將三個(gè)集合化成形式差不多的結(jié)構(gòu)，分別判斷出其大小關(guān)系，最后可求出的值.【詳解】任取，則，其中，所以，故，所以；任取，則，所以，所以，所以故選:C．8.已知，，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．或【答案】B【分析】集合A的的取值范圍是確定的，集合B中，二次函數(shù)開口向上，要先考慮恒成立的情況；若不恒成立，再結(jié)合的條件進(jìn)行討論，從而得到的取值范圍【詳解】集合A中，由得，當(dāng)時(shí)，，（舍）；當(dāng)時(shí)，，，所以集合；集合B中，若，，則，符合要求；若，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸為，若，則，，綜上可得：故選：B9.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．(1)求圖中陰影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1){x|1≤x＜2}(2)（2，3]【分析】（1）根據(jù)條件求出集合A，B結(jié)合Venn圖即可求圖中陰影部分表示的集合C；（2）根據(jù)集合關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．（1）因?yàn)?，．所以B＝{x|2≤x≤4}，根據(jù)題意，由圖可得：，因?yàn)锽＝{x|2≤x≤4}，則＝{x|x＞4或x＜2}，而A＝{x|1≤x≤3}，則；（2）因?yàn)榧螦＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}，若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），則有，解得2＜a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，3]．10.已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范圍.【答案】(1)5(2)﹛或﹜【分析】（1）利用集合相等的條件求a的值，但要注意驗(yàn)證；（2）由A∩C＝C得C?A，再利用集合子集的元素關(guān)系求解.(1)由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，因?yàn)锳＝B，所以，解得，故a＝5.(2)因?yàn)锳∩C＝C，所以C?A.當(dāng)C＝?時(shí)，△＝1﹣24a＜0，解得a；當(dāng)C＝{2}時(shí)，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此時(shí)無解；當(dāng)C＝{6}時(shí)，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此時(shí)無解或a＝0.綜上，a的取值范圍為.培優(yōu)第二階——能力提升練1.如圖所示，表示圖形陰影部分的是（

）A．B．C．D．【答案】A由韋恩圖可以看出，陰影部分中的元素滿足“是A的元素且是B的元素，或是C的元素”，由韋恩圖與集合之間的關(guān)系易得答案.【詳解】由已知中陰影部分所表示的集合元素滿足:“是A的元素且是B的元素，或是C的元素”.故陰影部分所表示的集合是：故選：A2.給定全集，非空集合滿足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，則稱為的一個(gè)有序子集對(duì)，若，則的有序子集對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．16B．17C．18D．19【答案】B【詳解】時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，的有序子集對(duì)的個(gè)數(shù)為：17個(gè)，3已知集合中有10個(gè)元素，中有6個(gè)元素，全集有18個(gè)元素，.設(shè)集合中有個(gè)元素，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分析可得至少有個(gè)元素，至多有個(gè)元素，由，由補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】集合中有10個(gè)元素，中有6個(gè)元素，因?yàn)?，至少有個(gè)元素，至多有個(gè)元素，所以至多有個(gè)元素，至少有個(gè)元素，集合有個(gè)元素，則且為正整數(shù).即的取值范圍是，故選：.4.已知集合其中，，其中則與的關(guān)系為A．B．C．D．【答案】A先任取，分同為奇數(shù)或同為偶數(shù)和一奇一偶兩種情況向集合B進(jìn)行變形，得到形式，說明同理任取，變形為說明得到.【詳解】任取，當(dāng)同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)一奇一偶時(shí)，，因?yàn)樗?，所以所以任取，，所以所以故選：A5.同時(shí)滿足：①，②，則的非空集合M有（

）A．6個(gè)B．7個(gè)C．15個(gè)D．16個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)所給條件確定M中元素，再根據(jù)M是所給集合的子集，得到所有的M即可求解.【詳解】時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；，，∴非空集合M為，，，，，，，共7個(gè)．故選：B6.設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值的個(gè)數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】首先求出集合A，然后根據(jù)已知條件得到，然后分別討論和兩種情況，并結(jié)合集合間的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，此時(shí)，滿足.當(dāng)時(shí)，此時(shí)且，因?yàn)?，所以或，解得或，故?shí)數(shù)的值的個(gè)數(shù)為3.故選：C.7.設(shè)常數(shù)a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，則a的取值范圍為（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【答案】B【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的取值范圍為，故選B.8.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)集合，再對(duì)分三種情況討論得解.【詳解】由題得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故實(shí)數(shù)的取值集合是.故選：C9.已知，，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】m≤0【分析】由題設(shè)，由是的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，分類討論即可得出．【詳解】由p：得：，由q：，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以q是p的充分不必要條件，當(dāng)，即為空集時(shí)，此時(shí)，則．當(dāng)時(shí)，(注意與中等號(hào)不能同時(shí)成立)，解得m＝0．∴m≤0．10.已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求A∩B；(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)A∩B＝?(2)（﹣∞，）【分析】（1）利用交集及其運(yùn)算求解即可．（2）利用集合間的關(guān)系列出不等式組，求解即可．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}，∵A＝{x|2≤x＜4}，∴A∩B＝?．(2)若B?A，①當(dāng)B＝?時(shí)，則a+2＞3a，∴a＜1，②當(dāng)B≠?時(shí)，則，∴1≤a，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，）．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.定義差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}，現(xiàn)有三個(gè)集合A，B，C分別用圓表示，則集合C－(A－B)可表示下列圖中陰影部分的為()A．B．C．D．【答案】A【分析】利用題中對(duì)A-B的定義知，首先得出A-B，然后再由差集定義得出C-（A-B）．【詳解】∵A-B={x|x∈A，且x?B}，即A-B是集合A中的元素去掉A∩B

記作集合D如圖所示∴集合C-（A-B）就是C中的元素去掉集合C∩D.故選A．2.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定義集合A，B之間的運(yùn)算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，則A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為（

）A．15B．16C．20D．21【答案】D【分析】先求得集合A，再根據(jù)集合運(yùn)算的定義，得出集合的元素，由此可得選項(xiàng).【詳解】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0，1，2，3}．因?yàn)锳*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋