第頁(yè)專(zhuān)題20三角函數(shù)拆角與恒等變形目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】輔助角基礎(chǔ) 1【題型二】輔助角最值 3【題型三】拆角1：互余拆角 4【題型四】拆角2：互補(bǔ)拆角 6【題型五】拆角3：二倍角與半角拆角 7【題型六】拆角4：和與差 9【題型七】拆角5：和為特殊角的拆角 10【題型八】正切拆角 12【題型九】正切和為特殊角的恒等變形 14【題型十】分式型拆角（難點(diǎn)）1：借助30度角拆角相消 15【題型十一】分式型拆角（難點(diǎn)）2：借助60度角拆角相消 16培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練 17培優(yōu)第二階——能力提升練 19培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 22【題型一】輔助角基礎(chǔ)【典例分析】已知，，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先由已知條件得到，再利用兩角差的正切公式求解即可.【詳解】由，得，即，由，【提分秘籍】基本規(guī)律【變式訓(xùn)練】1.若，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將等式左邊用輔助角公式化簡(jiǎn)得到左邊的取值范圍，則等式右邊也在這個(gè)范圍，最后解不等式即可.【詳解】∵，∴所以.故選：B.2.的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角拼湊，由兩角和與差的余弦公式即可求解.【詳解】故選：D3.（2012·全國(guó)·高考真題（文））當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，___________.【答案】【詳解】試題分析：，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，此時(shí)【題型二】輔助角最值【典例分析】若函數(shù)f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函數(shù)，當(dāng)α取最大值時(shí)，sinα的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用輔助角公式把目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn)，求出的值，從而可得sinα的值.【詳解】，設(shè)，則.由于在[0，α]上是增函數(shù)，所以，的最大值為，.故選B.【提分秘籍】基本規(guī)律輔助角范圍滿足：【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，對(duì)，成立，則_______.【答案】1【分析】利用輔助角公式和為的形式：，根據(jù)已知可得是f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而求得，利用的關(guān)系和誘導(dǎo)公式求得的值.【詳解】解：，其中.∵對(duì)，成立，∴是f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，即,∴，，故答案為：1.2.函數(shù)f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先利用三角恒等變化公式將函數(shù)化成的形式，然后直接得出最值.【詳解】整理得，利用輔助角公式得，所以函數(shù)的最大值為，故選A.3.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，其中，，由于函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以，即，所以，故選：C.【題型三】拆角1：互余拆角【典例分析】．已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角的范圍和同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】，∵為銳角，∴，∴故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律兩個(gè)復(fù)雜的角度，可以考利兩個(gè)角度的“和”或者“差”是否是90。，或者是否終邊與90終邊相同，復(fù)合這類(lèi)規(guī)律的可以拆角來(lái)使用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化【變式訓(xùn)練】1.若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式直接計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故選A.2.已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角的配湊，得，即可求解出答案.【詳解】由題意，故選：B.3.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，利用誘導(dǎo)公式，即可求的值.【詳解】由，則.故選：B.【題型四】拆角2：互補(bǔ)拆角【典例分析】若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式直接計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故選A.【提分秘籍】基本規(guī)律兩個(gè)復(fù)雜的角度，可以考利兩個(gè)角度的“和”或者“差”是否是180。，復(fù)合這類(lèi)規(guī)律的可以拆角來(lái)使用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化【變式訓(xùn)練】1.已知,且,則______．【答案】0【分析】先用換元,再用誘導(dǎo)公式,將所求轉(zhuǎn)化為換元后的三角函數(shù),計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】解:由題知,令所以,故答案為:02.已知，且滿足，，則（

）A．1 B．或1C．或1 D．1或-1【答案】C【解析】由兩角與差的正弦、余弦公式變形由已知求得和，用平方關(guān)系求得和，而，展開(kāi)后計(jì)算，注意分類(lèi)討論．【詳解】∵，∴，，，，，∴，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：C．【題型五】拆角3：二倍角與半角拆角【典例分析】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角正弦公式、誘導(dǎo)公式得到，再弦化切，即可得解.【詳解】.故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)【變式訓(xùn)練】1.已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件根據(jù)余弦的二倍角公式可求出的值，從而根據(jù)變名的誘導(dǎo)公式可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C．2.設(shè)為銳角，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)為銳角，，得到，再利用二倍角公式得到，，然后再由求解.【詳解】解：為銳角，，，，．故，，，故選：．3.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等變換求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，，?故選：C【題型六】拆角4：和與差【典例分析】已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由角的變換可知，利用同角三角基本關(guān)系及兩角差的余弦公式求解即可.【詳解】解:,,,,,.故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律解題的關(guān)鍵是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，通過(guò)適當(dāng)?shù)夭鸾?、湊角?lái)利用所給條件．常見(jiàn)的變角技巧有：，，，，，等．【變式訓(xùn)練】1.已知、滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，代入等式，利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得出，結(jié)合已知條件可求得的值.【詳解】，，所以，，，所以，，，因此，.故選：D.2.已知、為銳角，，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，的值為或.故選：D.3.已知，，，則＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，結(jié)合同角平方關(guān)系可求cos()、sin()，然后根據(jù)，由兩角差的余弦展開(kāi)可求值．【詳解】∵，∴，．∵，∴，則cos()＝，∵，∴sin()＝．＝cos()cos()+sin()sin()＝．故選：C．【題型七】拆角5：和為特殊角的拆角【典例分析】已知為鈍角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出，再利用和角的余弦公式計(jì)算求解.【詳解】∵為鈍角，且，∴，∴．故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律當(dāng)題中的角“和”為等，稱(chēng)之為“特殊角的拆角”?！咀兪接?xùn)練】1.已知，則（

）A． B． C．-3 D．3【答案】A【分析】將看成，利用兩角和的正切公式可求的值.【詳解】，故選：A.2.，，則__________．【答案】【分析】利用兩角和的正切公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知條件可得.故答案為：.3.已知，其中為銳角，則的值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】【題型八】正切拆角【典例分析】已知為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求得，根據(jù)求得，再根據(jù)正切的差角公式求解即可.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以所以，因?yàn)椋裕?故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律兩角和與差的正切公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))【變式訓(xùn)練】1.已知，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出題中，，之間的關(guān)系，然后利用正切的和角公式求解即可.【詳解】由題知，，所以.故選：B.2.已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】根據(jù)兩角差的正切公式，由題中條件，直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：A.3.設(shè)滿足，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】解法1：使用誘導(dǎo)公式可得，然后根據(jù)兩角和的正切公式進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果；解法2：根據(jù)條件計(jì)算，然后根據(jù)兩角和的正切公式計(jì)算即可.解法3：依據(jù)，按公式直接計(jì)算即可.【詳解】解法1：，解法2：由，解得，，解得，，解法3：，故選：A【題型九】正切和為特殊角的恒等變形【典例分析】已知,則A． B． C．0 D．【答案】C【分析】直接利用正切的兩角和公式展開(kāi)變形可得解.【詳解】，.故選C.【變式訓(xùn)練】1.已知，則的值為（）A．2 B．1 C．-2 D．不確定【答案】A【分析】由題得展開(kāi)即得解.【詳解】因?yàn)?，所以所以所?故選A2..已知，則______．【答案】2【分析】將代入目標(biāo)式，利用兩角差的正切公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】，故答案為：2.3..（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正切兩角差的公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋还?，故選：D【題型十】分式型拆角（難點(diǎn)）1：借助30度角拆角相消【典例分析】..（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用，結(jié)合兩角和的正弦公式可求出結(jié)果.【詳解】.故選：D【變式訓(xùn)練】1.（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】等價(jià)于，利用兩角和的余弦公式展開(kāi)即可得解.【詳解】原式。故選：C2.（

）A．1 B．C． D．【答案】B【解析】利用兩角和的正弦公式將展開(kāi)化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】，故選：B3..的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式和二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得表達(dá)式的值.【詳解】.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，主要是誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式和二倍角公式的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.【題型十一】分式型拆角（難點(diǎn)）2：借助60度角拆角相消【典例分析】化簡(jiǎn)：值是________．【答案】【分析】利用和差角的余弦公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可【詳解】解：，故答案為：【變式訓(xùn)練】1.化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先切化弦并整理得，再結(jié)合展開(kāi)整理即可得答案.【詳解】解：.故選：B2.化簡(jiǎn)：__________.【答案】【分析】將正切化為弦后通分,利用兩角差的正弦公式的逆用公式化簡(jiǎn),然后用二倍角的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】原式故答案為:3.．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把化成即得解.【詳解】解：.故選：A.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，考查兩角差的正弦公式，屬于容易題.2．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】利用結(jié)合和差角的余弦公式化簡(jiǎn)即得解.【詳解】．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查和角差角的余弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3．等于（

）A．- B． C． D．－【答案】C【分析】由兩角和的正切公式計(jì)算．【詳解】．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．4．已知，，則（

）A． B． C．3 D．-3【答案】A【分析】直接根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算，即可得到答案；【詳解】，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正切公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩實(shí)根，則tan(α+β)＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用韋達(dá)定理求得，結(jié)合正切的和角公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閠anα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩實(shí)根，故可得；，故可得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式，屬簡(jiǎn)單題.6．已知，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】由兩角差的正切公式計(jì)算．【詳解】．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正切公式，屬于簡(jiǎn)單題．掌握兩角和與差的正切公式是解題關(guān)鍵．7．化簡(jiǎn)的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】，然后計(jì)算可得，最后代入可得結(jié)果.【詳解】由所以則，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的余弦公式，重在于化簡(jiǎn)，考查觀察能力以及計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.8．已知為第二象限角，且，則=（

）A．－2 B．2 C． D．【答案】B【分析】由，求得，利用平方關(guān)系，求得，，再用兩角差的正切公式求得答案.【詳解】由，則，又為第二象限角，則，得，又.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.9．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．已知：α，β均為銳角，tanα，tanβ，則α+β＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換及和角公式的運(yùn)用求出結(jié)果.【詳解】解：由于α，β均為銳角，tanα，tanβ，所以.所以.所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，和角公式的運(yùn)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.培優(yōu)第二階——能力提升練1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式可求得，結(jié)合二倍角公式，由正余弦齊次式的求法可求得結(jié)果.【詳解】由得：，即，，.故選：B.2．已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件根據(jù)二倍角余弦公式可求，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以．故選：C．3．函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)解析式為，由，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解最小值．【詳解】解：，因?yàn)?，所以，則函數(shù)的最小值為．故選：A．4．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將方程變形為，令，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】關(guān)于的方程有解,即有解，令，則，由于，故當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，故，故選：B.5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知，則__________．【答案】【分析】利用余弦的二倍角公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故答案為：．7．若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則______．【答案】【分析】由題意,利用函數(shù)的零點(diǎn),求得的值,再利用輔助角公式和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn),可得.【詳解】函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為,,,函數(shù),.故答案為:.8．已知，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用和差角的正余弦公式、二倍角的余弦公式求解作答.【詳解】由知，，由得：，即，有，，所以.故答案為：9．已知，且，則______.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角恒等變換，根據(jù)已知三角函數(shù)值和角的范圍進(jìn)一步細(xì)化角的范圍，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【詳解】，又，所以，又，所以，所以為負(fù)值，所以.故答案為：.10．己知函數(shù)，則的最小值是_________.【答案】【分析】先將函數(shù)轉(zhuǎn)化成正弦函數(shù)的形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的最大值和最小值，從而得出結(jié)果．【詳解】解：由題意可得，其中，，且．因?yàn)?所以.所以的最小值是.故答案為：培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．若是奇函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)可以是______．（寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一組數(shù)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】首先根據(jù)正弦函數(shù)和差角公式將原式化簡(jiǎn)整理，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義得到參數(shù)，應(yīng)該滿足的條件，按等式關(guān)系選取答案即可.【詳解】已知，，若是奇函數(shù)，則即可，可以取，.故答案為：（答案不唯一）2．已知，則___________.【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出，再由角的變換及兩角差的正切公式求