答案第=page4242頁，共=sectionpages4242頁2024-2025學年度初中數(shù)學期末考試卷-2試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．如圖，矩形為一個正在倒水的水杯的截面圖，，杯中水面與的交點為E，當水杯底面與水平面的夾角為時，杯中水的最大深度為（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標系中，正方形的頂點A、在坐標軸上，且，頂點、在反比例函數(shù)的圖象上，在的延長線上取一點，使，過點作交軸于點，當時，的值為（）A．8 B．12 C． D．163．如圖，中，若，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．4．如圖，在平面直角坐標系中，線段的端點A的坐標為，端點B的坐標為，點C是線段上的點，將點B繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到點D，若函數(shù)的圖象過點D，則k的值一定滿足（）

A． B． C． D．5．如圖，是線段在投影面上的正投影，已知，，則投影的長為（

）

A． B．C． D．6．如圖，在中，，點為邊的中點，若，則長為（

）A．6 B．7 C．8 D．97．函數(shù)與的圖象如圖所示，當（

）時，，均隨著的增大而減?。瓵． B． C． D．8．2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當火箭上升到點時，位于海平面處的雷達測得點到點的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米9．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點、均在函數(shù)的圖像上，頂點在函數(shù)的圖像上，且軸，軸，若，則線段AB的長為（

）A． B． C． D．210．如圖是橢圓機在使用過程中某時刻的側(cè)面示意圖，已知手柄垂直于滾輪連桿，即．若，，連桿與底座的夾角為，則該橢圓機手柄頂端到底座的距離為（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題11．計算：．12．將直線：向右平移3個單位得到直線，直線對應的函數(shù)關系式為．13．如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，，，，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，下列結(jié)論正確的有．(請?zhí)钚蛱?①點O與的距離為4；②；③；④．14．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．15．計算：．16．如圖，在中，，，，將邊沿翻折，使點落在邊上的點處；再將邊沿翻折，使點落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點、．則線段的長為．17．大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是9cm，則蠟燭火焰的高度是cm．三、解答題18．學校為培養(yǎng)學生的藝術(shù)素養(yǎng)，在學期初專門開設了三門美術(shù)類校本課程：A（素描）、B（丙烯畫）、C（橡皮章）．小欣和小宇兩位同學決定從這三門課程中各自隨機選擇一門進行學習（每門課程被選中的可能性相同）．請通過畫樹狀圖（或列表）的方法，求出他們恰好選擇了同一門美術(shù)課程的概率．19．如圖，在中，，平分交于點，過點分別作交于點，交于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，則長為___________．20．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．圖①中點、均為格點；圖②中點是格點，點在格線上；圖③中，點、、均是格點，點、分別為線段、與格線的交點．只用無刻度的直尺，分別在圖①、圖②、圖③中作出線段的中點．21．某校航模社團進行無人機表演訓練，甲無人機以米/秒的速度從地面起飛，同時，乙無人機以米/秒的速度從距離地面21米的位置起飛，6秒時甲無人機到達指定高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續(xù)飛行，當甲、乙無人機同時到達距離地面72米高度時，進行了一段聯(lián)合表演，表演結(jié)束后同時以6米/秒的速度返回地面．甲、乙兩架無人機距離地面的高度（米）與飛行時間（秒）之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)___________，___________，___________；(2)求線段所在直線的函數(shù)關系式；(3)當甲、乙兩架無人機距地面的高度差為18米時，直接寫出的值．22．如圖，在中，，，，點是邊的中點，點是邊上一點，當點不與，重合時，以為邊作正方形，使點和點在直線同側(cè)．(1)直接寫出線段的長___________；(2)當時，求正方形的面積；(3)當正方形與重疊部分是四邊形且為軸對稱圖形時，直接寫出的取值范圍；(4)當與的邊所在直線有交點時，記交點為，連結(jié)；當將正方形的面積分為兩部分時，直接寫出的長．（寫出兩個即可）23．如圖，在中，，，點是的中點．點在的邊上，連結(jié)，作點關于直線的對稱點，連結(jié)，．

(1)點到的距離為______；(2)當點與點重合時，求線段的長；(3)連結(jié)，求線段長的最小值；(4)若，直接寫出線段的長．24．在中，，點是的中點，點在邊上，過點作的垂線，交直線于點．【特例感知】如圖①，當點與點重合時，，請說明理由．【提出問題】如圖②，當點與點不重合時，還成立嗎？【解決問題】答：圖②中的依然成立；下面是針對點在線段上的情形進行的一種證明，請你補充完整：如圖③，取中點，連結(jié)，，．，．點是的中點，，，________________________（填依據(jù)），點是的中點，，，即點，，，在以______為直徑的圓上．______．由【特例感知】可知，，．【拓展應用】若，，當?shù)拿娣e被的一條邊平分時，的長為______．25．用甲、乙兩個機器加工一批零件，兩個機器同時開始加工，加工一段時間后，甲機器進行檢修，乙機器以原來的效率加工，檢修結(jié)束后，甲機器提高工作效率繼續(xù)加工，兩個機器共用了完成任務，兩個機器加工的零件總數(shù)（件）與乙機器加工時間之間的函數(shù)圖象如圖所示．

(1)乙機器的工作效率是______件，甲機器提速后的工作效率是______件；(2)當時，求與之間的函數(shù)關系式；(3)當甲機器加工個零件時，的值為______．26．如圖，在四邊形中，，，對角線交于O，平分．(1)求證：四邊形是菱形；(2)過點C作的垂線交其延長線于點E，若，，求的長．27．動物分為無脊椎動物和脊椎動物，其中脊椎動物又分為：魚類、兩棲類、爬行類、鳥類和哺乳動物．下面有三張正面印有不同動物的卡片，A是老虎，B是燕子，C是鸚鵡，三張卡片除正面印的動物不同，其余均相同，將三張卡片背面向上放在桌面上．先從中隨機抽取一張，記下動物名稱后放回，再從中隨機抽取一張，并記下動物名稱．請用畫樹狀圖（或列表）的方法求抽取的兩張卡片都是鳥類的概率．28．計算：(1)；(2)．29．如圖，在四邊形中，平分，．(1)求證：；(2)若，，求的面積．30．如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓頂部點C的仰角為，測得底部點B的俯角為，點A與樓的水平距離，求這棟樓的高度（結(jié)果保留根號）．31．如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：(1)在圖1中，過點B畫邊上的高（H為垂足）．(2)在圖2中，在邊上找一點D，連結(jié)，使．(3)在圖3中，在邊上找一點P，畫射線，使．32．如圖，在中，，于點D，．動點P以每秒5個單位長度的速度從點C出發(fā)沿向終點B運動，過點P作于點Q，以與為邊作．設點P的運動時間為t（s）（），與的重疊部分圖形的面積為S．(1)______．(2)當點M落在邊上時，求t的值．(3)當與的重疊部分圖形是四邊形時，求S與t之間的函數(shù)關系式．(4)連結(jié)，當與的一條邊垂直時，直接寫出t的值．33．如圖，為等邊三角形，，于點，點在線段上運動，當點不與點重合時，過點作的垂線交折線于點，交邊于點F，以、為邊作矩形，設線段的長為．(1)線段的長為______；(2)當點在線段上時，用含的代數(shù)式表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；(3)作點關于直線的對稱點，作直線.當點在邊上時，若，求線段的長；當直線將矩形分成兩部分圖形的面積比為時，直接寫出的值．34．用甲、乙兩個機器加工一批零件，兩個機器同時開始加工，加工一段時間后，甲機器進行檢修，乙機器以原來的效率加工，檢修結(jié)束后，甲機器提高工作效率繼續(xù)加工，兩個機器共用了完成任務，兩個機器加工的零件總數(shù)（件）與乙機器加工時間之間的函數(shù)圖象如圖所示．

(1)乙機器的工作效率是______件，甲機器提速后的工作效率是______件；(2)當時，求與之間的函數(shù)關系式；(3)當甲機器加工個零件時，的值為______．35．有某種零件共個，其中既有正品又有次品．已知從這個零件中隨機取出一件，取得的零件為次品的概率為．(1)這個零件中有正品______件；(2)如果從這個零件中隨機取出個零件，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求取出的個零件都是正品的概率《2024-2025學年度初中數(shù)學期末考試卷-2》參考答案題號12345678910答案AACABCDACA1．A【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關鍵；由題意易得，，然后可得，進而問題可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，由題意可知：，也垂直于水平面，∵水杯底面與水平面的夾角為，∴，∴，∵，∴，∴；故選A．2．A【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵；過點D作于點H，由題意易得，然后可得，則有，根據(jù)是等腰直角三角形可得，進而可得，最后問題可求解．【詳解】解：過點D作于點H，如圖示：∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選A．3．C【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．由作圖方法可知垂直平分，平分，則由角平分線的定義可得，即可判斷A；利用三角形內(nèi)角和定理得到，即可判斷B；利用三角形內(nèi)角和定理得到，即可判斷C；利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角線段得到，即可判斷D．【詳解】解：由作圖方法可知垂直平分，平分，∴，故A結(jié)論正確，不符合題意；∴，∴，∴，故C結(jié)論錯誤，符合題意；∵，，∴，故B結(jié)論正確，不符合題意；∵，∴，故D結(jié)論正確，不符合題意；故選：C．4．A【分析】由題意設，其中，則，代入，得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得k的取值．【詳解】解：由題意設，其中，∴，∴，即，∵函數(shù)的圖象過點D，∴，∴當時，k有最大值為，∵當時，，當時，，∴當時，，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化與旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，表示出點D的坐標是解題的關鍵．5．B【分析】本題考查正投影，解直角三角形，過B點作，利用銳角三角函數(shù)求出的長即可．【詳解】解：如圖，過B點作，是線段在投影面上的正投影，，，四邊形是矩形，，，，，，，故選B．6．C【分析】本題考查了勾股定理和直角三角形性質(zhì)定理，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長，再由勾股定理即可求得的長．【詳解】解：在中，，點為邊的中點，，又，，，由勾股定理得：，故選：C．7．D【分析】本題考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關鍵．由函數(shù)圖象可知，當時，隨著的增大而減??；位于在一、三象限內(nèi)，且均隨著的增大而減小，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當時，隨著的增大而減??；位于一、三象限內(nèi)，且在每一象限內(nèi)均隨著的增大而減小，當時，，均隨著的增大而減小，故選：D．8．A【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關鍵，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可求解【詳解】解：由題意得：∴千米故選：A9．C【分析】本題考查反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征．設點的橫坐標為，根據(jù)函數(shù)圖像上點的坐標特征可得，繼而得到，，得出，，再根據(jù)，即可得解．理解和掌握函數(shù)圖像上點的坐標特征是解題的關鍵．【詳解】解：延長交軸于點，延長交軸于點，∴軸，軸，設點的橫坐標為，∵點在函數(shù)的圖像上，當時，得，∴，∴點的縱坐標為，點的橫坐標為，∵頂點、均在函數(shù)的圖像上，當時，得；當時，得；∴，，∴，，∵，∴，∴或（舍去），∴．故選：C．10．A【分析】本題考查解直角三角形的應用點作于點，交于點，在和中分別求出和即可．正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形并熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，點作于點，交于點，∴，∵，，，，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴該橢圓機手柄頂端到底座的距離為．故選：A．11．【分析】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的運算是解題的關鍵；因此此題可根據(jù)二次根式的運算進行求解．【詳解】解：；故答案為．12．【分析】本題考查了直線的平移，可得直線經(jīng)過，此點向右平移3個單位得，由待定系數(shù)法，即可求解；掌握直線的平移的前后的值不變是解題的關鍵．【詳解】解：當時，，直線經(jīng)過，此點向右平移3個單位得，設直線對應的函數(shù)關系式為：，，解得：，直線對應的函數(shù)關系式為；故答案為：．13．①②④【分析】連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到為等邊三角形，進而可求證①②③的正確性，然后將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°至，連接OD，易得△ACD也為等邊三角形，由此可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，∴，，∴為等邊三角形，∵，，，∴，，故①正確；∴，∴，∴，故②正確；過點B作BE⊥于點E，如圖所示，∴，∴，∴，∴，故③錯誤；將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°至，連接OD，如圖所示：同理易得△AOD為等邊三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°，∴，故④正確；∴正確的有①②④；故答案為①②④．【點睛】本題主要考查勾股定理逆定理、等邊三角形的性質(zhì)與判定及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理逆定理、等邊三角形的性質(zhì)與判定及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．14．//【分析】本題考查的知識點是一元二次方程的判別式，解題關鍵是熟練掌握一元二次方程的判別式．根據(jù)有兩個不相等的實數(shù)根，列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即．故答案為：．15．2【分析】本題考查二次根式的運算，先化簡二次根式，再進行減法運算．【詳解】解：，故答案為：2．16．/【分析】本題是折疊問題，考查了勾股定理，等腰三角形的判定、等面積法，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，根據(jù)勾股定理得，再根據(jù)等角對等邊和三角形的面積即可求解．解題的關鍵是熟練運用等面積法．【詳解】解：根據(jù)兩次翻折可知：，，，∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．17．6【分析】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設蠟燭火焰的高度為xcm，則：，解得：，即蠟燭火焰的高度為6cm，故答案為：6．【點睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應用，解題的關鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．18．【分析】本題考查了等可能情形下的概率計算；畫樹狀圖法或列表法，可得所有的結(jié)果，利用概率計算公式，進行計算即可；能畫樹狀圖法或列表法進行求解是解題的關鍵．【詳解】解：列表如下：共有種等可能結(jié)果，他們恰好選擇了同一門美術(shù)課程的結(jié)果有種，，答：他們恰好選擇了同一門美術(shù)課程的概率為．19．(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關鍵；（1）由題意易得四邊形是平行四邊形，，然后可得，則有，進而問題可求證；（2）由（1）可知：四邊形是菱形，則有，然后可得，則可求出，進而根據(jù)勾股定理可進行求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∵平分，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：由（1）可知：四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，設，由勾股定理得：，即，∴（負根舍去），∴，∴，∴．20．作法不唯一，見解析【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，矩形的性質(zhì)，三角形的中線，無刻度的直尺作圖，熟練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關鍵．圖①中，利用矩形對角線互相平分即可作圖：連接對角線，，交于點；圖②中，利用平行線分線段成比例即可作圖：連接，交中間豎格線于點；圖③中，利用相似可知只需作出中點，再與點連接即可交于點，再由連接，，交于點，連接并延長交于點，即為線段的中點．【詳解】解：如圖①，連接對角線，，交于點，點即為線段的中點（作法不唯一），理由如下：由四邊形是矩形，則，則點即為線段的中點；如圖②，連接，交中間豎格線于點，點即為線段的中點（作法不唯一），理由如下：∵，，∴，∴，則點即為線段的中點；如圖③，連接，，交于點，連接并延長交于點，交于點，則點即為線段的中點（作法不唯一），理由如下：由矩形對角線性質(zhì)可得為中點，∴為中線，由，，∴，∴，即為中點，為中線，∴為中線，∴，∵由，∴，∴，同理可得，∴，∴，則點即為線段的中點．21．(1)6，3，57(2)(3)或【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關系式及速度、路程、時間之間的關系是解題的關鍵．（1）甲秒鐘飛行了36米，乙秒飛行了米，可求得甲、乙的速度，再求得表演結(jié)束后返回地面需要的時間，得到；（2）根據(jù)點到點的飛行速度與秒的飛行速度相同，先求出點的坐標，再利用待定系數(shù)法求線段所在直線的函數(shù)解析式即可；（3）先求得那么秒甲的表達式為：，再秒乙的表達式為，分別求出在秒，秒，秒，由甲、乙兩函數(shù)差為18，可列出方程，最后算得答案．【詳解】（1）解：6，3，57，理由如下：甲秒鐘飛行了36米，那么甲的速度為：（米/秒），故；乙秒飛行了（米），那么乙的速度為：（米/秒），故；表演結(jié)束后同時以6米/秒的速度返回地面，那么需要的時間為：（秒），所以（秒），故；故答案為：6，3，57；（2）解：觀察圖象可知，點到點，甲飛行了（米），根據(jù)題意，點到點的飛行速度與秒的飛行速度相同，那么從點飛到點需要的時間為（秒），點橫坐標為，，設直線為，代入，，得到，解得，；線段所在直線的函數(shù)關系式為：；（3）解：設秒乙的表達式為：，代入和，得到，解得，；設秒甲的表達式為：，代入，可得，解得，那么秒甲的表達式為：，當時間在秒，當甲、乙兩架無人機距地面的高度差為18米時，有，解得：，當時間在秒，當甲、乙兩架無人機距地面的高度差為18米時，有，解得：，當時間在秒，當甲、乙兩架無人機距地面的高度差為18米時，有，解得：，答：當甲、乙兩架無人機距地面的高度差為18米時，或．22．(1)10(2)(3)或．(4)2或或【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）作于，證明求出根據(jù)勾股定理求出的值即可求出正方形的面積；（3）設交于點，根據(jù)題意可知，當正方形與重疊部分是四邊形且為軸對稱圖形時，當重疊部分是正方形或時，四邊形是軸對稱圖形；（4）當是中點時將正方形的面積分為兩部，分兩種情況討論：過的中點；過的中點；的延長線過于點．【詳解】（1）解：，，，∴.故答案為：10；（2）解：如圖，作于H，∵點是邊的中點，，∴.∵，，∴.∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形的面積；（3）當點在上時，正方形與重疊部分是四邊形是正方形且為軸對稱圖形，如圖，，，，，，當點在上時，正方形與重疊部分是四邊形是正方形且為軸對稱圖形，如圖，，，，，若點從向運動，在這一運動過程中，從點在上到點在上這個過程中，正方形與重疊部分是四邊形都是正方形且為軸對稱圖形，，設交于點，當時，，，在和中，，，四邊形是以所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，由得，，，綜上可知，或．（4）分情況討論：當過的中點時，將正方形的面積分為兩部分，過點作于點，在中，，在中，，，設，則，，，，，即：，，，當過的中點時，將正方形的面積分為兩部分，如圖，作矩形，使點在上，過點作于點，，，，，，，，，，，，，中，，，又，，，，，令，則，，，，，解得，；當?shù)难娱L線過的中點時，將正方形的面積分為兩部分，則，過點于點，，，，，，，，設，，，，解得，，，，綜上所述，或6或8．【點睛】本題綜合考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)及分類討論思想，解題的關鍵是靈活構(gòu)造輔助線，數(shù)形結(jié)合簡化問題．23．(1)；(2)；(3)線段長的最小值是；(4)若，線段的長為或．【分析】（1）作交于點，結(jié)合解直角三角形計算可得，解得，再由勾股定理可得點到的距離的長；（2）由折疊性質(zhì)可知，當點與點重合時，有，結(jié)合解直角三角形計算即可求得線段的長；（3）先由題意得到的運動軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，結(jié)合圖形可得當點在線段和靠近點的一邊時，線段取最小值，作交于點，根據(jù)解直角三角形的計算和勾股定理進行計算即可得解；（4）分兩種情況求解：①點在中點左邊，先作交于點，利用解直角三角形的計算和勾股定理求出長，再由中位線定理可得，通過證明、平行線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)推得后即可得到；②點在中點右邊，結(jié)合平行線性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)推得后可得．【詳解】（1）解：作交于點，

，點是的中點，，，，，，即點到的距離為．故答案為：．（2）解：由對稱性質(zhì)可知，當點與點重合時，有，如下圖，

此時，．（3）解：點是點關于直線的對稱點，直線是線段的垂直平分線，，即點在以點為圓心，為半徑的圓上運動，則線段取最小值時，點在線段和靠近點的一邊，

此時，作交于點，，，，，，，．故線段長的最小值是．（4）解：由題意知，當時，分兩種情況求解：①點在中點左邊，連接，作交于點，

，，，，，，，點是的中點，點是的中點，是的中位線，，，直線是線段的垂直平分線，，，和中，，，，，，，，，，，，；②點在中點右邊，

同理可證，，又，，即，，點是的中點，，．綜上，若，線段的長為或．【點睛】本題考查的知識點是解直角三角形、勾股定理、對稱性質(zhì)、中位線定理、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角對等邊，解題關鍵是分析出的運動軌跡及分情況討論．24．【特例感知】證明見解析；【解決問題】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；；；【拓展應用】或．【分析】【特例感知】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)即可得證；【解決問題】取中點，連結(jié)，，，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、四點共圓的判定與性質(zhì)、圓周角定理得到，再利用【特例感知】的結(jié)論解答即可；【拓展應用】利用分類討論的思想分兩種情況討論：①當平分的面積時，設與交于點，過點作于點，結(jié)合中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三線合一即可得解；②當平分的面積時，設與交于點，過點作交于點，利用同高的三角形的面積性質(zhì)得到，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元一次方程即可得解．【詳解】【特例感知】證：當點與點重合時，，點是的中點，，．【解決問題】解：圖②中的依然成立，如圖③，取中點，連結(jié)，，，，，點是的中點，，，__直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半_（填依據(jù)），點是的中點，，，即點，，，在以_____為直徑的圓上，___．由【特例感知】可知，，．故答案為：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；；．【拓展應用】解：，，，，①當平分的面積時，設與交于點，過點作于點，如圖：，，，點是中點，是的中位線，，，平分的面積，，即，、，和中，，，，，，又，是等腰直角三角形，是的垂線，也是該等腰直角三角形的中線，，；②當平分的面積時，設與交于點，過點作交于點，如圖：平分的面積，，，是斜邊上的中線，，，，和中，，，，，設，則，，，，，，，，點是的中點，，，，中，，即，解得，即；綜上所述，的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查的知識點是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、四點共圓的判定與性質(zhì)、圓周角定理、中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三線合一、同高的三角形的面積性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元一次方程，解題關鍵是利用分類討論的思想解題．25．(1)；(2)(3)【分析】本題考查從函數(shù)圖象中獲取信息，一次函數(shù)的應用，一元一次方程的應用，（1）由函數(shù)圖象列式可得甲和乙的工作效率；（2）當時，設與之間的函數(shù)關系式為，再將和代入得到關于、的二元一次方程組，求解可得答案；（3）先求出甲機器提速前的工作效率，然后根據(jù)題意列出關于的方程即可．【詳解】（1）解：∵（件），∴乙的工作效率是件，∵（件），∴甲機器提速后的工作效率是件，故答案為：；；（2）解：設當時，關于的函數(shù)解析式為，將和代入得：，解得：，∴與之間的函數(shù)關系式為；；（3）解：甲機器提速前的工作效率：，甲機器提速后的工作效率：，依題意，得：，解得：，∴甲機器加工個零件時，所需時間為，的值為．故答案為：．26．(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．（1）先證，再證，得，然后證四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，，，中，，，，，，過點C作的垂線交其延長線于點E，，中，，．27．【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫出樹狀圖，共有9個等可能的結(jié)果，兩次抽出的卡片圖案相同的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：共有9個等可能的結(jié)果，抽取的兩張卡片都是鳥類有4種，所以，（兩次抽出的卡片圖案相同）．28．(1)(2)【分析】本題考查了三角函數(shù)值的混合運算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可求解；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．29．(1)證明見解析(2)37.5【分析】（1）根據(jù)所給條件證出，即可得出；（2）先根據(jù)三角函數(shù)求出的值，再根據(jù)勾股定理求出的值，最后根據(jù)和三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在中，，，，∴，由（1）知，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理是解題的關鍵．30．這棟樓的高度為【分析】本題考查解直角三角形—仰角俯角問題．注意準確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關鍵．根據(jù)題意得，然后利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：依題意，．在中，，在中，，∴，答：這棟樓的高度為．31．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了格點作圖，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．（1）取格點，連接，延長交于，則即為所求；（2）由三角形面積可知，，取格點、，連接、、，利用相似三角形對應邊成比例可知，與的交點為點，（3）取格點、、，連接、交于點，連接交于點，點即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；取格點，連接，延長交于，則即為所求；由網(wǎng)格的特點可知，則；（2）解：如圖所示，即為所求；，，，，即求的三等分點；取格點、，連接、、，與的交點為點；（3）解：如圖所示，點即為所求；取格點、、，連接、交于點，連接交于點，點即為所求；由網(wǎng)格的特點可知，，，則，即．32．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）解直角三角形求出，進而求出，再根據(jù)正切的定義即可解答；（2）由題意可得，根據(jù)勾股定理求得，證明，得到，求出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，當點M在邊上時，易證，從而可得，即，即可求解；（3）分三種情況：①當時，；②當時，分別交于點G、點H，，③當時，交于點K，，分別進行求解即可；（3）分兩種情況：①當時，則時平行四邊形；②當時，易證，分別進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，；（2）解：由題意可得，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，當點M在邊上時，∴，∴，即，∴，即，解得：；（3）解：①當時，如圖，此時，重疊部分的面積為：，由（2）知，∴，；∵，則，∴點P運動到點D的時間為，②當時，分別交于點G、點H，此時，重疊部分的面積為：，∵，∴，即，在中，，∴（負值舍去），∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，則，∴點P運動到點B的時間為，③當時，交于點K，此時，重疊部分的面積為：，同理②得：，∵，∴，∴，∴，∴，∴，綜上所述，；（4）解：①當時，∵，∴，∵，∴時平行四邊形，∴，∴∴；②當時，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，解得：（舍去）或，∴當與的一條邊垂直時