一元二次函數(shù)、方程和不等式章末綜合試題高中數(shù)學(xué)必修第一冊（人教A版）一、單選題1．已知，則對于下列不等式，正確命題的個數(shù)為（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．3．若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．4．已知，，若時，關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．15．在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品.實驗一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實驗中小明和小芳共秤得的藥品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克6．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．97．設(shè)正實數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．二、多選題9．下列說法正確的有（）A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)x，y為實數(shù)，若，則的最大值為3D．設(shè)x，y為實數(shù)，若，則的最大值為10．若不等式的解集是，則下列選項正確的是（

）A．且 B．C． D．不等式的解集是11．下列選項正確的有（

）A．若x>0，則x+有最小值1B．若x∈R，則有最大值1C．若x>y，則x3+2xy2>y3+2x2yD．若x<y<0，則12．對于給定的實數(shù)，關(guān)于實數(shù)的一元二次不等式的解集可能為（

）A． B． C． D．三、填空題13．若，，則實數(shù)的取值范圍為.14．某商品進貨價每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價格(每件x元)在50<x≤80時，每天售出的件數(shù)P＝，若想每天獲得的利潤最多，則銷售價格每件應(yīng)定為元．15．已知關(guān)于的不等式的解集為，集合．若，則實數(shù)的取值范圍為．16．下列命題中：①若，則的最大值為；②當(dāng)時，；③的最小值為；④當(dāng)且僅當(dāng)均為正數(shù)時，恒成立.其中是真命題的是．(填上所有真命題的序號)四、解答題17．某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時間（單位：小時）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）18．集合A＝{x|}，B＝{x|}；（1）用區(qū)間表示集合A；（2）若a＞0，b為（t＞2）的最小值，求集合B；（3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范圍.19．已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式；(3)若不等式對一切恒成立，求m的取值范圍．20．定義兩個函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)，的定義域為，，若對任意的，均存在，使得，我們就稱為的“子函數(shù)”．(1)若，，判斷是否為的“子函數(shù)”，并說明理由；(2)若是的“子函數(shù)”，求的取值范圍．

參考答案題號12345678910答案ACCBCCAABDABD題號1112答案BCDABCD1．A根據(jù)不等式的性質(zhì)以及舉反例即可求解.對（1），若，則，（1）錯誤；對（2），若，則，（2）錯誤；對（3），因為，所以，且，所以，（3）正確；對（4），若，則，（4）錯誤；故選：A.2．C求出命題“，”為真命題的等價條件，再結(jié)合必要不充分條件的定義逐項判斷即可.因為，為真命題，則或，解得，對于A，，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，A錯誤；對于B，是命題“，”為真命題的充要條件，B錯誤；對于C，，是命題“，”為真命題的必要不充分條件，C正確；對于D，，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，D錯誤；故選：C3．C根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，即，解得，所以當(dāng)時，取得最小值2.故選：C4．B先分析的正負情況，得到的取值情況；再結(jié)合題設(shè)不等式可得到正負時的取值情況，從而得到，由此得到的關(guān)系式，從而利用基本不等式即可求得的最小值.設(shè)，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，由可知，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，所以對于，必有，即，得，所以當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.5．C設(shè)出力臂和藥品數(shù)量，根據(jù)杠桿原理得到，再根據(jù)均值不等式計算得到答案.設(shè)天平左、右兩邊臂長分別為，小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為，，則由杠桿原理得：，于是，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：C.6．C化簡已知式可得，因為，由基本不等式求解即可.，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等.故選：C.7．A設(shè)，求出的值，代入中化簡，利用基本不等式求出結(jié)果.設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號所以的最小值是，則的最大值為.故選A本題考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得出進行代換，屬于偏難題目.8．A利用“乘1法”將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開利用基本不等式求解．，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時等號成立，故的最小值為9．故選：A．易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.9．BD對于A選項，當(dāng)時，，故A選項錯誤；對于C選項，可以利用基本不等式求出的最小值為3，所以C選項錯誤；對于BD選項，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解.對于A選項，當(dāng)時，，故A選項錯誤，對于B選項，當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B選項正確，對于C選項，若正數(shù)、滿足，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C選項錯誤，對于D選項，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，時取最大值，故的最大值為，D選項正確．故選：BD．10．ABD根據(jù)一元二次不等式的解集可判斷出的正負以及的關(guān)系，由此可判斷各選項的對錯.因為的解集為，解集屬于兩根之內(nèi)的情況，所以，又因為，所以；A．，故正確；B．因為，所以，故正確；C．因為解集為，所以，故錯誤；D．因為即為，即，解得，故正確；故選：ABD.11．BCD根據(jù)基本不等式可判斷A、D的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷B、C的正誤，從而可得正確的選項.對于A，，因為，故，故等號不能成立，故A錯誤.對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為1，故B正確.對于C，,因為，故，而，因為，故不同時為零，故，故，所以即，故C正確.對于D，，因為，故即，所以.故選：BCD.本題考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用以及不等式性質(zhì)的應(yīng)用，前者注意“一正、二定、三相等”的要求，在考慮不等式是否成立時，可以作差法或作商法來比較大小，本題屬于中檔題.12．ABCD首先討論，三種情況討論不等式的形式，再討論對應(yīng)方程兩根大小，討論不等式的解集.對于一元二次不等式，則當(dāng)時，函數(shù)開口向上，與軸的交點為，故不等式的解集為；當(dāng)時，函數(shù)開口向下，若，不等式解集為；若，不等式的解集為，若，不等式的解集為，綜上，都成立，故選：本題考查含參的一元二次不等式的解法，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是討論的取值范圍時，要討論全面.13．利用基本不等式的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.，，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以，因此實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．60根據(jù)已知寫出利潤函數(shù)，換元后由基本不等式得最大值．解析設(shè)銷售價格定為每件x(50<x≤80)元，每天獲得利潤為y元，則y＝(x－50)·P＝，設(shè)x－50＝t，則0<t≤30，所以y＝＝＝≤＝2500，當(dāng)且僅當(dāng)t＝10，即x＝60時，ymax＝2500．故答案為：60．15．先通過與的大小確定一元二次不等式的解集，然后根據(jù)子集關(guān)系列出滿足的不等式，從而求解出的范圍，注意分類討論.關(guān)于的不等式的解集為.①當(dāng)時,或,∵,∴聯(lián)立，解得.②當(dāng)時,或,滿足，由，解得.綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故答案為.本題考查含參一元二次不等式解法和根據(jù)子集關(guān)系求解參數(shù)范圍，難度一般.解答含參數(shù)的一元二次不等式的解集時，一定要注意分析是否需要對參數(shù)進行分類討論.16．①②根據(jù)均值不等式依次判斷每個選項的正誤，得到答案.①若，則的最大值為，正確②當(dāng)時，，時等號成立，正確③的最小值為，取錯誤④當(dāng)且僅當(dāng)均為正數(shù)時，恒成立均為負數(shù)時也成立.故答案為①②本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關(guān)鍵.17．(1)8小時(2)1.6（1）由可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意求出從第一次噴灑起，經(jīng)小時后，其濃度關(guān)于的函數(shù)解析式，再根據(jù)基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得結(jié)果.（1）因為一次噴灑4個單位的消毒劑，所以其濃度為當(dāng)時，，解得，此時，當(dāng)時，，解得，此時，所以若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達8小時．（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)小時后，其濃度，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；所以其最小值為，由，解得，所以a的最小值為．18．（1）；（2）；（3），.（1）解分式不等式即可得集合A；（2）利用基本不等式求得b的最小值，將b代入并因式分解，即可得解；（3）由題意知A?B，對a分類討論即求得范圍解：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3∴A＝(-∞,-2]∪(3,+∞)（2）t＞2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝5時取等號，故即為：且a＞0∴，解得故B＝{x|}（3）b＜0，A∩B＝A，有A?B，而可得：a＝0時，化為：2x﹣b＜0，解得但不滿足A?B，舍去a＞0時，解得：或但不滿足A?B，舍去a＜0時，解得或∵A?B∴，解得∴a、b的取值范圍是a∈，b∈(-4,0).【點評】本題考查了集合運算性質(zhì)、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.19．(1)；(2)答案見解析；(3).（1）對二次項系數(shù)進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的判別式即可容易求得結(jié)果；（2），對，與分類討論，可分別求得其解集（3），通過分離常數(shù)與利用基本不等式結(jié)合已知即可求得m的取值范圍．（1）根據(jù)題意，當(dāng)，即時，，不合題意；當(dāng)，即時，的解集為R，即的解集為R，即，故時，或.故．（2），即，即，當(dāng)，即時，解集為；當(dāng)，即時，，，解集為或；當(dāng)，即時，，，解集為．綜上所述：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或.（3），即，恒成立，，設(shè)則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，．20．(1)是為的“子函數(shù)”；理由見解析(2)（1）先求出和的值域，根據(jù)子函數(shù)定義判斷的值域是否是值域的子集即可．（2）先求出的值域，再根據(jù)軸動區(qū)間定討論的值域，利用子函數(shù)的定義建立關(guān)于的不等式關(guān)系，即可求出的范圍．（1）由“子函數(shù)”的定義可知，若為的“子函數(shù)”，則的值域是的值域的