立體幾何專(zhuān)題一點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系8.2直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1

空間線線、線面、面面平行的定義1.

兩條直線平行的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線.2.

空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行，這稱(chēng)為平行線的傳遞性.3.

直線與平面平行的定義：如果一條直線與一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就稱(chēng)這條

直線與這個(gè)平面平行，即a∩α＝??a∥α，如圖所示.4.

兩個(gè)平面平行的定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就稱(chēng)這兩個(gè)平面互相平

行，即α∩β＝??α∥β，如圖所示.

注：平行直線、平行平面都具有傳遞性.知識(shí)點(diǎn)2

線面平行的判定定理與性質(zhì)定理1.

直線與平面平行的判定定理如果平面外的一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條平面外直線與這

個(gè)平面平行，即m?α，n?α，m∥n?m∥α（即線線平行?線面平行），如圖

所示.2.

直線與平面平行的性質(zhì)定理（1）性質(zhì)1：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與已知平面沒(méi)有交

點(diǎn)，即m∥α?m∩α＝?.（2）性質(zhì)2：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的任一平面和這

個(gè)平面的交線與這條直線平行，即m∥α，m?β，α∩β＝n?m∥n（即線面平

行?線線平行），如圖所示.知識(shí)點(diǎn)3

面面平行的判定定理與性質(zhì)定理1.

兩個(gè)平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平

行，即a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α（即線面平行?面面平

行），如圖所示.2.

兩個(gè)平面平行的推論如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩

個(gè)平面互相平行，即a?β，b?β，a∩b＝A，m?α，n?α，a∥m，

b∥n?β∥α（即線線平行?面面平行），如圖所示.3.

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（1）性質(zhì)1：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么兩條交線互相

平行，即α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b（即面面平行?線線平行），如圖

所示.（2）性質(zhì)2：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平

面，即α∥β，m?α?m∥β（即面面平行?線面平行），如圖所示.

例1

（2024年安徽省職教高考真題）在空間中，下列結(jié)論正確的是（）.A.

垂直于同一直線的兩條直線一定平行B.

垂直于同一平面的兩條直線一定平行C.

平行于同一平面的兩條直線一定平行D.

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線一定平行【考查目標(biāo)】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，尤其是平行關(guān)系的判斷.【答案】

B【解析】垂直于同一直線的兩條直線、平行于同一平面的兩條直線還可能相交

或異面，這在長(zhǎng)方體中都能找到例子，故A，C錯(cuò)誤；根據(jù)直線與平面垂直的性

質(zhì)定理可知垂直于同一平面的兩條直線一定平行，故B正確；沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條

直線也可能是異面直線，故D錯(cuò)誤.【解題技巧】判斷兩條直線是否平行的問(wèn)題時(shí)：①要考慮到空間直線有三種位置

關(guān)系：相交、平行、異面，即根據(jù)條件想想兩條直線會(huì)不會(huì)相交或異面，可通過(guò)

長(zhǎng)方體舉反例；②熟記可判斷兩直線平行的定理：平行于同一條直線的兩條直線

互相平行；垂直于同一平面的兩條直線互相平行；如果一個(gè)平面同時(shí)和兩個(gè)平行

平面都相交，那么它們的交線互相平行.變式訓(xùn)練1（1）下列四個(gè)命題中，正確的有（C）個(gè).①平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③

平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；④平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行.A.0B.1C.2D.3C（2）已知直線l，m和平面α，若l∥α，l∥m，則直線m與平面α的位置關(guān)系可

能是（D）.A.

直線m與平面α相交B.

直線m與平面α平行C.

直線m在平面α內(nèi)D.

直線m與平面α平行或直線m在平面α內(nèi)【解析】在長(zhǎng)方體中能找到直線m與平面α平行或直線m在平面α內(nèi)的例子，故D

正確.另解：假設(shè)直線m與平面α相交，設(shè)交點(diǎn)為A，則A∈m，經(jīng)過(guò)直線l和點(diǎn)

A作平面β，則平面α，β相交，記交線為n，則A∈n，由直線與平面平行的性質(zhì)

可知l∥n，又因?yàn)閘∥m，所以可得m∥n，這與m，n交于點(diǎn)A矛盾，故假設(shè)

不成立，即直線m與平面α相交不成立.D例2

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC，

AB的中點(diǎn).求證：CM∥平面A1PN.

【考查目標(biāo)】本題考查線面平行的判定定理的應(yīng)用.【解析】在三棱柱ABC－A1B1C1中，∵M(jìn)，N分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，∴A1M＝CN.

又∵A1M∥CN，∴四邊形A1NCM為平行四邊形，∴CM∥NA1.又∵CM?平面A1PN，NA1?平面A1PN，∴CM∥平面A1PN.

【解題技巧】

（1）證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知

直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理（牢記：“看到中

點(diǎn)，想到中位線定理”）、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線

平行.利用判定定理時(shí)，要注意說(shuō)明已知的直線不在平面內(nèi).（2）判斷線面平行的方法：①利用線面平行的定義（反證法）；②利用線面平

行的判定定理；③利用面面平行的性質(zhì)定理.（3）線面平行的性質(zhì)和判定定理經(jīng)常交替使用，也就是通過(guò)線線平行得到

線面平行，再通過(guò)線面平行得到線線平行.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的

具體步驟如下：①確定（或?qū)ふ遥┮粭l直線平行于一個(gè)平面；②確定（或?qū)?/p>

找）過(guò)這條直線且與這個(gè)平行平面相交的平面；③確定交線；④由性質(zhì)定理

得出線線平行的結(jié)論.變式訓(xùn)練2（1）設(shè)m，n為空間中兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，已知m?α，

α∩β＝n，則“m∥n”是“m∥β”的（C）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

（2）（2021年安徽省職教高考真題）如圖，在四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，

G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則以下判斷正確的是（B）.A.

AB∥CDB.

AC∥平面EFGHC.

AC⊥FGD.

平面ABC⊥平面ACDCB【解析】在四面體ABCD中，AB，CD異面，所以A選項(xiàng)不正確；由三角形中位

線定理可知，AC∥EF，且AC?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AC∥平

面EFGH，所以B選項(xiàng)正確；FG∥BD，而AC與BD不一定垂直，故AC⊥FG

不一定成立，所以C選項(xiàng)不正確；由已知不能得出平面ABC與平面ACD是垂直

關(guān)系，所以D選項(xiàng)不正確.（3）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別是

PB，PC的中點(diǎn)，求證：EF∥平面PAD.

證明：如圖，在△PBC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，所以EF∥BC.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AD∥BC，所以EF∥AD.

又因?yàn)镋F?平面PAD，AD?平面PAD，所以EF∥平面PAD.

例3

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中

點(diǎn).求證：平面DEF∥平面ABC.

【考查目標(biāo)】本題考查面面平行的判定定理.【解析】證明：在△PAB中，∵D，E分別是邊PA，PB的中點(diǎn)，

∴DE∥AB.

又∵DE?平面ABC，AB?平面ABC，∴DE∥平面ABC.

同理可證，EF∥平面ABC.

又∵DE?平面DEF，EF?平面DEF，且DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC.

例4

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC上的

點(diǎn)，若平面DEF∥平面ABC，試寫(xiě)出圖中所有相互平行的直線.【考查目標(biāo)】本題考查面面平行的性質(zhì)定理.【解析】

∵平面DEF∥平面ABC，平面PBC∩平面DEF＝EF，平面PBC∩

平面ABC＝BC，∴EF∥BC.

同理可得DE∥AB，DF∥AC.

∴圖中相互平行的直線有EF與BC，DE與AB，DF與AC.

【解題技巧】

（1）判定面面平行的常用方法：①面面平行的定義，即判斷兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)；②面面平行的判定定理；③垂

直于同一直線的兩個(gè)平面平行；④利用平行平面的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行

于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.（2）應(yīng)用面面平行性質(zhì)定理的基本步驟：①定條件：審題，看是否有面面平行；②找平面：找（或作）第三個(gè)平面與已知

兩個(gè)平面相交；③定交線：確定交線位置；④得平行：得兩條交線互相平行.（3）數(shù)學(xué)思想——化歸思想（化歸是指把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化

為簡(jiǎn)單的……）在這里的運(yùn)用：要證明面面平行，就要轉(zhuǎn)化為線面平行；而要證

明線面平行，就要轉(zhuǎn)化為線線平行（由復(fù)雜的向簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化）.當(dāng)然，在一些較

為復(fù)雜的問(wèn)題中，有時(shí)不是一次性轉(zhuǎn)化就能完成任務(wù)的，而是要進(jìn)行反復(fù)的相互

轉(zhuǎn)化（將未知的轉(zhuǎn)化為已知的），方能使問(wèn)題最終達(dá)到解決.變式訓(xùn)練3（1）已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的

是（C）.A.

如果l∥m，m?α，則l∥αB.

如果l∥α，α∩β＝m，則l∥mC.

如果α∥β，l?α，m?β，則l，m平行或異面D.

如果l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β【解析】A選項(xiàng)中，如果直線l?α，就得不到l∥α，故A錯(cuò)誤；直線l與m平行

或異面，故B錯(cuò)誤；因?yàn)棣痢桅?，這兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，再由l?α，m?β可得

l，m沒(méi)有公共點(diǎn)，空間中沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線平行或異面，故C正確；D選項(xiàng)

中，當(dāng)l，m平行時(shí)不一定能得到α∥β，故D錯(cuò)誤.C（2）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝2AB，

E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點(diǎn)，求證：平面BEF∥平面PAD.

證明：因?yàn)镃D＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB＝DE，又因?yàn)锳B∥CD，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.

又因?yàn)锳D?平面PAD，BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.

在△PCD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是CD，PC的中點(diǎn)，所以EF∥PD.

又因?yàn)镻D?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.

因?yàn)锽E?平面BEF，EF?平面BEF，且BE∩EF＝E，所以平面BEF∥平面PAD.

一、選擇題1.

若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面

（D）.A.

平行B.

相交C.

異面D.

平行或相交【解析】根據(jù)平面平行的判定定理可知只有一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行

于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線才能判定這兩個(gè)平面平行，因此本題中的條件不能判

定兩個(gè)平面平行，即這兩個(gè)平面可能平行也可能相交.D2.

平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系是（D）.A.

平行B.

相交C.

異面D.

以上均有可能D3.

下列說(shuō)法正確的是（B）.A.

若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合B.

若兩個(gè)平面平行，則在一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個(gè)平面C.

若兩個(gè)平面平行，則分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行D.

若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【解析】若兩個(gè)平面的三個(gè)公共點(diǎn)共線，則這兩個(gè)平面也可能相交，選項(xiàng)A錯(cuò)

誤；當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，這兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，因此一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線

都與另一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，所以它們平行，選項(xiàng)B正確；若兩個(gè)平面平行，則

兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，則分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也無(wú)公共點(diǎn)，則這兩條直線

平行或異面，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，推不

出兩個(gè)平面平行，兩平面也可能相交，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.B4.

下列條件中，能判斷兩個(gè)平面平行的是（A）.A.

一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面B.

一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面C.

一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面D.

一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面【解析】若一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面沒(méi)有公共

點(diǎn)，所以能判斷兩個(gè)平面平行，其余三個(gè)條件都判斷不出兩個(gè)平面平行.A5.

已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若

l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；

③若α∥β，l∥α，則l∥β；④若m∥α，l∥m，則l∥α.其中真命題的個(gè)數(shù)是

（A）.A.1B.2C.3D.46.

已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若l?α，m?β，

α∥β，則下列結(jié)論一定成立的是（D）.A.

l∥mB.

l與m異面C.

l與m相交D.

l∥β【解析】因?yàn)棣痢桅拢云矫姒?，β沒(méi)有公共點(diǎn)，由l?α知l與β沒(méi)有公共點(diǎn)，根據(jù)

線面平行的定義可得l∥β.AD7.

如果a∥b且a∥α，那么b與α的位置關(guān)系是（D）.A.

相交B.

平行C.

直線在平面內(nèi)D.

平行或直線在平面內(nèi)8.

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是（A）.A.

平面A1B1C1∥平面ACDB.

平面BC1D∥平面B1CD1C.

平面B1D1D∥平面A1BDD.

平面AC1D∥平面ACD1DA9.

已知四棱錐P－ABCD的底面為平行四邊形，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱PA，PB

上，且EF∥AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（C）.A.

EF∥CDB.

EF∥平面PCDC.

EF∥PDD.

EF與PC異面【解析】由EF∥AB，AB∥CD可知EF∥CD，因?yàn)镋F?平面PCD，CD?平

面PCD，根據(jù)線面平行的判定定理可知EF∥平面PCD，所以A，B正確；PC

是連接平面PAB內(nèi)一點(diǎn)P和平面外一點(diǎn)C的直線，它與平面PAB內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

的直線EF是異面直線，所以D正確.C二、填空題10.

正方體ABCD－A1B1C1D1中，與CC1平行的棱有

條，異面的棱

有

條.【解析】如圖所示，與CC1平行的棱有3條，分別是BB1，AA1，DD1；與CC1異

面的棱有4條，分別是A1B1，AB，A1D1，AD.

3411.

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1和B1C1的中

點(diǎn)，則直線EF與平面BDA1的位置關(guān)系是

?.12.

已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，α∩β＝l，m?β，

m∥l，則m與α的位置關(guān)系是

?.【解析】因?yàn)棣痢搔拢絣，m?β，所以m?α，l?α，再由m∥l結(jié)合線面平行的判

定定理，可知m∥α.EF∥平面BDA1m∥α13.

若m，n為空間中兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)

命題：①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若m∥α，m∥β