立體幾何專題一點、線、面之間的位置關(guān)系8.4直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)知識點1

空間線面、面面垂直的定義1.

直線與平面垂直的定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面

互相垂直.2.

平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是直角，那么就稱這兩個平面互相垂直.知識點2

線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理1.

直線與平面垂直的判定定理（1）定理1：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這

個平面垂直，即m?α，n?α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n?l⊥α（線線垂直?線

面垂直），如圖所示.（2）定理2：如果兩條平行線中有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這

個平面，即m∥n，m⊥α?n⊥α，如圖所示.2.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理（1）性質(zhì)1：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與這個平面內(nèi)的所有

直線都垂直，即l⊥α，m?α?l⊥m（線面垂直?線線垂直），如圖所示.（2）性質(zhì)2：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線互相平行，即

l⊥α，m⊥α?l∥m（線面垂直?線線平行），如圖所示.知識點3

面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理1.

兩個平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，即l⊥α，

l?β?β⊥α（線面垂直?面面垂直），如圖所示.2.

兩平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個

平面，即α⊥β，α∩β＝m，l?β，l⊥m?l⊥α（面面垂直?線面垂直），如圖

所示.

例1

下列四個命題中，正確的是（）.A.

若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，則l⊥αB.

若過一點作已知直線的垂面，則有且只有一個平面C.

若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直于另一個平面D.

若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β【考查目標(biāo)】本題考查線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.【答案】

B【解析】選項A中，直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，當(dāng)平面α內(nèi)的這些直線

互相平行時，此時直線l可能與平面α平行，可能在平面α內(nèi)，也可能與平面α相

交但不垂直；選項C中，如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們

交線的直線與另一個平面垂直，否則不垂直；選項D中，若平面α內(nèi)的一條直線

垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，當(dāng)平面β內(nèi)的這些直線互相平行時，則平面α內(nèi)的

該條直線不一定垂直于平面β，所以兩平面不一定垂直.例2

如圖所示，直線PA垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面，C為圓上異于

A，B的任意一點.求證：（1）BC⊥平面PAC；【解析】

（1）因為直線PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC，所以BC⊥PA.

因為C為圓上異于A，B的任意一點，AB為直徑，所以BC⊥AC.

又因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.

（2）PC⊥BC.

【解析】

（2）由（1）可知BC⊥平面PAC，且PC?平面PAC，所以

PC⊥BC.

【考查目標(biāo)】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的具體應(yīng)用.【解題技巧】

（1）證明直線和平面垂直的常用方法：①利用線面垂直的判定定理；②利用直線垂直于平面的傳遞性（m∥n，m⊥α?n⊥α）；③利用面面平行的性質(zhì)（m⊥α，α∥β?m⊥β）；④利用面面垂直的性質(zhì)定理.（2）證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需要借助于線面

垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.變式訓(xùn)練1（1）（2018年安徽省職教高考真題）如圖所示，PA⊥平面ABC，且∠ABC＝

90°，則下列結(jié)論錯誤的是（D）.A.

PA⊥ABB.

PA⊥ACC.

BC⊥平面PABD.

AB⊥平面PBCD【解析】因為PA⊥平面ABC，且AB?平面ABC，AC?平面ABC，BC?平面

ABC，且PA∩AB＝A，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.

又因為∠ABC

＝90°，所以BC⊥AB，且PA∩AB＝A，故A，B，C均正確.而AB⊥平面

PBC錯誤，因為在△PAB中，AB與PB不是垂直關(guān)系.（2）如圖所示，在三棱錐S－ABC中，若AC＝SC，AB＝SB.

求證：

SA⊥BC.

證明：取SA的中點D，連接BD，CD.

因為AC＝SC，AB＝SB，所以BD⊥SA，CD⊥SA.

又因為BD∩CD＝D，BD?平面BCD，CD?平面BCD，所以SA⊥平面BCD，又BC?平面BCD，故SA⊥BC.

例3

（2025屆安徽省“江淮十校”職教高考第二次聯(lián)考）如圖所示，四棱錐P

－ABCD的底面為正方形，若PA⊥平面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有

（）個.①PA⊥BD

②BC∥平面PAD

③BD⊥平面PAC

④平面PBD⊥平面PACA.1B.2C.3D.4【考查目標(biāo)】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系的判斷.【答案】

D【解析】因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，故①正

確；因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，因為BC?平面PAD，AD?

平面PAD，所以BC∥平面PAD，故②正確；因為四邊形ABCD為正方形，所

以BD⊥AC，又因為BD⊥PA，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面

PAC，所以BD⊥平面PAC，故③正確；因為BD?平面PBD，BD⊥平面

PAC，所以平面PBD⊥平面PAC，故④正確.綜上所述，正確的結(jié)論有4個.【解題技巧】解這類位置關(guān)系的判斷問題，關(guān)鍵是熟知有關(guān)定理的條件和結(jié)論.

如線面平行的判定中要注意一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi)；線面垂直的

判定中要注意一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，“相交直線”是關(guān)鍵詞.變式訓(xùn)練2（1）已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，給出四個命題：①若α∥β，則

l⊥m；②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α⊥β.其中正

確命題的序號為（C）.A.

①②B.

③④C.

①③D.

②④【解析】已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，①若α∥β，而l⊥α，則l⊥β，又

因為m?β，則l⊥m成立；②若α⊥β，則l∥β或l?β，所以l∥m不一定成立；

③若l∥m，則m⊥α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β成立；④l⊥m時，α⊥β

不一定成立.C（2）在四面體ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，從該四面體的四個面中

任取兩個作為一對，其中相互垂直的共有（C）.A.1對B.2對C.3對D.4對C【解析】如圖，因為DA⊥平面ABC，所以平面DAC⊥平面ABC，平面DAB⊥

平面ABC.

又因為DA⊥平面ABC，AB⊥AC，所以直線AB⊥平面DAC，所

以平面DAB⊥平面DAC.

例4

（2022年安徽省職教高考真題）如圖，在三棱錐O－ABC中，OA，OB，

OC兩兩垂直，則下列判斷正確的是（）.A.

△ABC是等邊三角形B.

△OAB是等腰三角形C.

平面OAB⊥平面ABCD.

平面OAB⊥平面OBC【答案】

D【解析】

∵OA，OB，OC不一定相等，∴選項A，B錯誤；∵OA⊥OB且

OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，又OA?平面OAB，∴平面

OAB⊥平面OBC.

【考查目標(biāo)】本題考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.【解題技巧】

（1）證明面面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判

定定理.（2）已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的

垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.（3）面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).當(dāng)要作一個平面的一條垂

線時，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可.（4）化歸思想在這里的運用：要證明面面垂直，就要轉(zhuǎn)化為線面垂直；而要證

明線面垂直，就要轉(zhuǎn)化為線線垂直（由復(fù)雜的向簡單的轉(zhuǎn)化）.當(dāng)然在一些較為

復(fù)雜的問題中，有時不是一次性轉(zhuǎn)化就能完成任務(wù)的，而是要進(jìn)行反復(fù)的相互轉(zhuǎn)

化（將未知轉(zhuǎn)化為已知），方能使問題最終得到解決.牢記這一轉(zhuǎn)化思想，許多

復(fù)雜的問題都能輕松解決.變式訓(xùn)練3（1）（2019年安徽省職教高考真題）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點

E，F(xiàn)分別是棱BB1，DC的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（D）.A.

AE⊥D1FB.

DE⊥D1FC.

AE⊥BCD.

DE⊥BCD【解析】如圖，易知BC∥AD，BC?平面ADE，則BC∥平面ADE.

在正方體

中，又BC⊥平面ABB1A1，AE?平面ABB1A1，所以BC⊥AE.

因為AE∩DE

＝E，所以BC不可能與DE垂直，否則BC既與平面ADE平行，又與平面ADE

垂直，所以D項錯誤.（2）（2023年安徽省職教高考真題）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平

行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點，則下列結(jié)論正確的是（A）.A.

MN∥平面PADB.

PA∥MNC.

MN⊥平面PCDD.

PC⊥MNA【解析】取CD中點F，連接MF，NF，因為MF∥AD，NF∥PD，MF∩NF

＝F，AD∩PD＝D，所以平面NMF∥平面PAD，故MN∥平面PAD；取BP

中點Q，連接MQ，則PA∥MQ，因為MN∩MQ＝M，所以MN與PA異面；

僅根據(jù)題給條件，無法判斷MN與平面PCD、PC與MN的位置關(guān)系.（3）如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PB⊥平面ABCD.

則

下列結(jié)論錯誤的是（C）.A.

PB⊥ADB.

AC⊥平面PBDC.

AC⊥平面PBCD.

平面PAC⊥平面PBDC【解析】因為PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AD，PB⊥AC，又因為底面

ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

又因為PB∩BD＝B，PB?平面PBD，BD?

平面PBD，所以AC⊥平面PBD，由AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面

PBD，A，B，D項正確.若AC⊥平面PBC，則平面PBC∥平面PBD，但平面

PBC與平面PBD相交，C項錯誤.

一、選擇題1.

下列四個命題中，真命題的個數(shù)是（B）.①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂

直，則l⊥α；③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直，則l⊥α；④若直線l與平

面α內(nèi)任意一條直線垂直，則l⊥α.A.1B.2C.3D.4B2.

已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點P∈α，直線m經(jīng)過點P，且m⊥β，則下列

結(jié)論不成立的是（B）.A.

m?αB.

直線l與m異面C.

m⊥lD.

m?β【解析】在平面α內(nèi)過點P作直線n⊥l（n，l相交），根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定

理可知n⊥β，因為過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直，所以直線

m，n重合，所以m?α，m⊥l成立，直線l與m異面不成立，由m⊥β知m?β

成立.B3.

（2023屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉诙温?lián)考）在空間中，已知三條直

線a，b，c，若它們滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c的位置關(guān)系是

（D）.A.

相交B.

平行C.

異面D.

以上均有可能【解析】在空間中，若a⊥b，b⊥c，則直線a與c平行、相交、異面均有可

能.4.

若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（A）.A.

平面OBCB.

平面OACC.

平面OABD.

平面ABCDA5.

（2024屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谄叽温?lián)考）如圖所示，在三棱錐A

－BCD中，點E，F(xiàn)分別在棱AB，BC上.若AE＝2EB，BF＝2FC，則下列說

法正確的是（B）.A.

直線AB與直線DF垂直B.

直線AC與平面DEF相交C.

直線AC與直線DE垂直D.

直線AC與平面DEF平行【解析】在△ABC中，因為AE＝2EB，BF＝2FC，且EF與AC在同一平面

內(nèi)，所以EF不平行于AC，即EF與AC相交，故直線AC與平面DEF相交.B

A.30°B.45°C.60°D.90°

C7.

（2023屆安徽省“江淮十校”職教高考第三次聯(lián)考）若直線l垂直于平面α，

則下列說法不正確的是（B）.A.

平面α上有無數(shù)條直線與直線l異面垂直B.

平面α上與直線l垂直的直線互相平行C.

平面α上任意一條直線都與直線l垂直D.

平面α上有無數(shù)條直線與直線l垂直【解析】平面α上與直線l垂直的直線可能平行，也可能相交.8.

設(shè)α為平面，m，n為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是（B）.A.

若m∥α，n∥α，則m∥nB.

若m⊥α，n∥m，則n⊥αC.

若m⊥α，m⊥n，則n⊥αD.

若m∥α，n⊥m，則n⊥αBB二、填空題9.

已知點P為30°的二面角α－l－β的半平面α內(nèi)一點，且點P到l的距離為6，

則點P到平面β的距離為

?.

10.

在空間中，若l⊥α，m?α，則l與m的位置關(guān)系是

?.3相交或異面11.

如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，在四面體A1－ABC的四個面中，直角

三角形的個數(shù)是

?.4【解析】如圖，由正方體的性質(zhì)可知∠ABC＝∠A1AB＝90°；而由CB⊥平面

A1AB，可得BC⊥A1B；由A1A⊥平面ABC，可得A1A⊥AC，所以四面體A1

－ABC的四個面，每個都是直角三角形.

三、解答題12.

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：直線B1C⊥平面ABC1D1.證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，易知AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C.

在正方形