平面解析幾何專題一直線與圓的方程7.2直線的方程及位置關系

知識點1

直線的傾斜角與斜率1.

直線的傾斜角當直線l與x軸相交時，直線l向上的方向和x軸正方向所成的最小正角叫作直線

l的傾斜角.特別地，當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定傾斜角α＝0.直線l的傾斜角α的取值

范圍是0≤α＜π.2.

直線的斜率

知識點2

直線的方程1.

直線的點斜式方程設點P（x，y）為直線l上異于點P0（x0，y0）的任意一點，它與點P0（x0，

y0）連線的斜率為k，則把方程y－y0＝k（x－x0）叫作直線l的點斜式方程，簡

稱點斜式.當斜率k＝0時，直線l的方程為y＝y0，此時直線l平行于x軸（或與x軸重合）.

知識點3

兩條直線的位置關系設兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不全為零），l2：A2x＋B2y＋C2＝0

（A2，B2不全為零）都不與坐標軸平行：

（4）當A1A2＋B1B2＝0時，兩條直線垂直.1.

兩條直線平行設直線l1，l2的斜率都存在，直線l1，l2的斜截式方程分別為y＝k1x＋b1，y＝

k2x＋b2.兩個方程的系數關系k1≠k2k1＝k2b1≠b2b1＝b2兩條直線的位置關系相交平行重合當直線l1和l2的斜率只有一個存在時，l1和l2相交.當直線l1和l2的斜率都不存在，且在x軸上的截距不相等時，l1∥l2.（1）兩條直線的交點坐標就是兩條直線的方程組成的方程組的解.

①方程組有唯一解?l1，l2相交，方程組的解即交點坐標.②方程組有無數解?l1，l2重合.③方程組無解?l1，l2平行.2.

兩條直線相交

當直線l1和l2的夾角為直角時，l1⊥l2.①若直線l1，l2的斜率都存在，且l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，k1k2＝－

1，則l1⊥l2.②若一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，則這兩條直線垂直.注：規(guī)定兩條直線平行或重合時的夾角為0.知識點4

點到直線的距離與兩條平行線間的距離1.

點到直線的距離當點P在直線l外時，稱點P到直線l的垂線段的長度為點P到直線l的距離.

2.

兩條平行直線間的距離先在其中一條直線上取一個坐標數值比較簡單的點，然后利用點到直線的距離公

式，求出這個點到另一條直線的距離，即為兩條平行直線間的距離.

例1

已知直線l過A（－4，3），B（－2，1）兩點，則直線l的斜率為

（）.A.

－1B.1C.

－2D.2【考查目標】本題考查直線斜率的計算.

【答案】

A【解題技巧】已知直線上兩點的坐標時，直接根據兩點的縱坐標之差與橫坐標之

差的比來計算直線的斜率.變式訓練1已知點A（3，－2），B（－4，1），則直線AB的斜率為（B）.B

C.1【考查目標】本題考查直線斜率的計算.

【答案】

B【解題技巧】直線l的傾斜角的正切值就是直線l的斜率.

B

A.

x＋2y＋1＝0B.

x＋2y＝0C.

x－2y＋4＝0D.

x－2y＝0【考查目標】本題考查直線的點斜式方程.

【答案】

B【解題技巧】根據直線的點斜式方程y－y0＝k（x－x0）求直線的方程時要注

意符號問題.變式訓練3（2024屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谖宕温摽迹┲本€l：x－ay＋a＋1＝0

恒過點（A）.A.

（－1，1）B.

（1，1）C.

（1，－1）D.

（－1，－1）【解析】由x－ay＋a＋1＝0，得x＋1－a（y－1）＝0，故直線l恒過點（－1，1）.A例4

在y軸上的截距為－2，且傾斜角為60°的直線的斜截式方程是（）.【考查目標】本題考查直線的斜截式方程.

【答案】

C【解題技巧】先根據傾斜角求出直線的斜率，然后根據截距用斜截式求直

線方程.變式訓練4在x軸上的截距為3，且傾斜角為45°的直線的一般式方程是（A）.A.

x－y－3＝0B.

x－y＋3＝0C.

x＋y＋3＝0D.

x＋y－3＝0【解析】由斜率公式可得直線的斜率k＝tan

45°＝1，故該直線方程為y＝（x

－3）×1，寫成一般式為x－y－3＝0.A例5

（2021年安徽省職教高考真題）若直線l經過點M（1，1），且與直線x－

2y＋6＝0平行，則直線l的方程為（）.A.

2x＋y－3＝0B.

2x－y－1＝0C.

x－2y＝0D.

x－2y＋1＝0【考查目標】本題考查兩條直線的位置關系（平行）及直線方程的求法.

【答案】

D【解題技巧】兩條斜率存在的直線平行，不僅要滿足兩條直線的斜率相等，還要

滿足兩條直線在y軸上的截距不相等.變式訓練5（2024年安徽省職教高考真題）已知直線l1：2x－3y－1＝0，l2：ax＋6y＋1＝

0.若l1∥l2，則a＝（D）.A.9B.

－9C.4D.

－4

D例6

（2020年安徽省職教高考真題）若直線l與直線y＝－2x垂直，則直線l的

斜率是（）.C.2D.

－2【考查目標】本題考查兩條直線垂直.

【答案】

A【解題技巧】

（1）當兩條直線互相垂直且兩條直線的斜率都存在時，兩條直線

的斜率的乘積為－1；（2）斜率不存在的直線與斜率為零的直線相互垂直.變式訓練6（2023年安徽省職教高考真題）已知直線l1：y＝－2x＋1，l2：y＝kx－1.若

l1⊥l2，則k＝（B）.C.

－2D.2

B例7

求過直線x－2y＋4＝0與直線－x＋4y－6＝0的交點，且平行于直線x＋y

－3＝0的直線方程.【考查目標】本題考查兩條直線的交點坐標與兩條直線平行.

【解題技巧】先聯立已知的兩條直線方程，求出交點坐標，再由兩直線平行時的

斜率關系求出所求直線的斜率，最后用點斜式求出所求直線方程.變式訓練7斜率為－2且過直線x－5y＋3＝0與直線2x＋5y－9＝0的交點的直線方程為

（D）.A.

2x＋y＋5＝0B.

x＋2y＋5＝0C.

x＋2y－5＝0D.

2x＋y－5＝0

D例8

（2024年安徽省職教高考真題）點（3，1）到直線y＝x－4的距離為

（）.B.2D.6【考查目標】本題考查點到直線的距離公式.

【答案】

A【解題技巧】直線方程一定要化成一般式方程，然后直接將點的坐標代入點到直

線的距離公式求解即可.變式訓練8點P（5，3）到直線x＋2＝0的距離為（A）.A.7B.5C.3D.1

A例9

求兩條平行直線3x＋4y＋2＝0與3x＋4y－5＝0之間的距離.【考查目標】本題考查兩條平行直線間的距離.

【解題技巧】兩條平行直線間的距離就是其中一條直線上的任意一點到另一條直

線的距離.變式訓練9（2025屆安徽省“江淮十校”職教高考第三次聯考）已知兩條平行直線分別過點

A（－1，2）和B（3，－1），并且各自繞點A，B旋轉，平行線之間的距離的

最大值為（B）.B.5D.4

B

一、選擇題1.

下列關于直線的傾斜角與斜率的說法，正確的是（B）.A.

所有直線都有斜率B.

所有直線都有傾斜角C.

平行于x軸的直線的傾斜角為180°D.

平行于y軸的直線的斜率為0B2.

（2025屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谌温摽迹┫铝兄本€的傾斜角最大的

是（B）.A.

x＝5C.

y＝－1

B3.

（2025屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖几呷茁摽迹┮阎本€x－y＋m＝

0與直線x－my－1＝0無公共點，則實數m的值為（B）.A.

－1B.1C.

－1或1D.0【解析】由題意可知，直線x－y＋m＝0與直線x－my－1＝0平行，所以兩條

直線的斜率相等，故m＝1.B4.

（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第六次聯考）若直線x－by＋1＝0與直

線ax－y＋3＝0垂直，則實數a與b的關系一定是（A）.A.

a＝－bB.

a＝b

5.

兩條平行直線3x－4y－1＝0與3x－4y＋9＝0之間的距離為（A）.A.2B.4C.6D.8AA

A.

4x－3y＋8＝0B.

3x－4y＋6＝0C.

x－y＋2＝0D.

4x－3y－6＝0

7.

直線x－2y＋1＝0與坐標軸所圍成的封閉圖形的面積為（C）.AC二、填空題8.

已知△ABC的三個頂點A（2，4），B（－2，2），C（4，－2），則△ABC

的BC邊上的高所在的直線的一般式方程為

?.

9.

點A（－2，3）到直線y＋2＝0的距離為

?.

3x－2y＋2＝0510.

直線x＋y＋1＝0與直線x－y＋3＝0的交點坐標為

?.（－2，1）11.

已知直線mx－y＋2m－1＝0在兩坐標軸上的截距相等，則m＝

?.

12.

若三點A