數學試卷(本試卷滿分150分,考試時間120分鐘)注意事項:1.答題前,考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準考證號分別填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上。2.答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再涂其它答案。非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應的區(qū)域內,寫在本試卷上無效。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在復平面內,復數Z=i(-2+i)對應的點在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A={1,3,5,7},B={x|2<x<6},則A∩B=A.{3,5}B.{3,4,5}C.{2,3,5,6}D.⑦3.已知向量a=(x,2),b=(-3,6),若aⅡb,則x=A.4B.-4C.1D.-14.圓C1:(x-3)2+y2=4與圓C2:x2+y2=1的位置關系是A.相離B.外切C.相交D.內切5.已知函數f(x+1)是定義在R上的偶函數,且f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調遞增,則f(-1),f(1),f(2)的大小關系是A.f(-1)<f(1)<f(2)B.f(1)<f(2)<f(-1)C.f(1)<f(-1)<f(2)D.f(2)<f(1)<f(-1)6.已知函數f(x)=sin2x+cos2x,則函數f(x)A.周期為2πB.是奇函數C.在區(qū)間,上單調遞增D.一條對稱軸是x=7.已知正三棱錐S-ABC,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,其中D,E分別是AB,BC的中點.如果直線SBⅡ平面DEFH,那么四邊形DEFH是A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形8.已知雙曲線C:x2-=1的左、右頂點分別為A,B,點P在雙曲線的右支上且異于點B.若直線AP的斜率的取值范圍是,1],則直線BP的斜率的取值范圍是A.[4,8]B.(2,4]U[8,+∞)C.(4,8)D.(0,4]U[8,+∞)二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。9.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若a2=-2,a4+a6=8,則下列結論正確的是C.Sn取得最小值時n=3D.數列{2an}是等比數列10.一個口袋中有大小相同的2個白球和4個黑球,從中隨機取出3個球,記取出的黑球個數為X,則下列結論正確的是CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),4)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(1),2)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(3),4)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(3),6)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),4)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(1),2)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(3),4)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(3),6)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(3),6)C.E(X)=2D.E(2X-1)=411.已知函數f(x)=(2x2-3x).ex,則下列結論正確的是A.函數f(x)有2個極值點B.函數f(x)無最小值C.若函數f(x)在(-,a)上是減函數,則實數a的取值范圍是(-,D.函數y=3[f(x)]2+2f(x)-1有5個零點三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.(x-y)5的展開式中x3y2的系數是.13.已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an14.已知函數f(x)=e2x+e-2x-a(ex-e-x)-1,若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,則實數a的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。已知函數f(x)=x3-6x.(1)求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;(2)當x∈(0,+∞)時,求證:f(x)≥-3x-2.數學試卷第1頁(共4頁)數學試卷第2頁(共4頁)數學試卷第3頁(共4頁)數學試卷第4頁(共4頁)為應對中國近視率高發(fā)問題,普及科學用眼知識,國家確定每年的6月6日為“全國愛眼日”.某校在愛眼日前用簡單隨機抽樣的方法抽取部分學生進行視力調查,通過調查得到了如下數據:抽取的學生中男生與女生的比例是3:2,其中男生中有40%的同學近視,女生中有25%的同學近視.(1)若在抽取的這些學生中隨機抽取一名學生,這名學生近視的概率是多少?(2)若抽取的學生總共100人,請完成下面的2×2列聯表.性別視力合計近視不近視男生女生合計試根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析該校學生的視力是否與性別有關.附:X2=(X2的值保留三位小數)αxα已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,M是橢圓C上一點,且△MF1F2的周長是4+2\,橢圓C的離心率為\.(1)求橢圓C的方程;(2)已知O為坐標原點,過點P(4,0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,且OA.OB=5如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD丄平面ABCD,PD=AD=2.已知E,F分別為PA,PC的中點,平面DEF與棱PB交于點G.(1)求證:DE丄平面PAB;(2)求平面CDG與平面ABCD的夾角的余弦值;(3)判斷線段EF上是否存在一點H,使得點H到平面CDG的距離為\1?若存在,請求出點H的坐標;若不存在,請說明理由.“平面內到三角形三個頂點距離之和最小的點”被稱為費馬點,是由法國數學家費馬在十七世紀提出的,意大利數學家托里拆利給出了確定費馬點的方法:(I)當△ABC的三個內角均小于120o時,滿足匕AOB=匕BOC馬點;(Ⅱ)當△ABC有一個內角大于或等于120o時,最大內角的頂點為費馬點.請用上述知識解決下面的問題:在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2asinA-(2b-c)sinB=(2c-b)sinC.(1)求A;(2)已知a=4,點M為△ABC的費馬點.②求|MA|.|MB|+|MB|.|MC|+|MC|.|MA|的取值范圍.數學參考答案一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案CADBBDCA【解析】1.Z=-2i+i2=-1-2i,復數Z對應的點為(-1,-2),故選C.2.A∩B={3,5},故選A.3.由a"b得,6x+3×2=0,得x=-1,故選D.+r2,所以兩圓外切,故選B.5.由題意可知y=f(x)關于x=1對稱,所以f(-1)=f(3),又因為y=f(x)在[1,+∞)上單調遞增,所以f(1)<f(2)<f(3)=f(-1),故選B.sin周期T,故A錯誤;因為f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x),所以f(x)是非奇非偶函數,故B錯誤;當kπ≤2x+2kπ,k∈Z,即xkπ,k∈Z時,f(x)為增函數,所以f(x)在上遞減,在上遞增,故C錯誤;對稱軸方程2xkπ,k∈Z,即x,所以x是f(x)的對稱軸,故D正確,故選D.7.取AC的中點G,連接SG,BG.因為△ABC是正三角形,則BG丄AC.因為S-ABC是正三棱錐,所以SA=SC,則SG丄AC,故AC丄平面SGB,所以AC丄SB.因為SB"平面DEFH,SBC平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,所以SB"HD,同理SB"FE.又D,E分別為AB,BC的中形.又AC丄SB,SB"HD,DE"AC,所以DE丄HD,所以四邊形DEFH為矩形.故選C.8.由雙曲線方程可得A(-1,0),B(1,0),設P(x0,y0),則有kAP.kBP所以kBP所以kBP∈[4,8],故選A.數學參考答案第1頁(共6頁)數學參考答案第2頁(共6頁)二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。題號9答案ABDBCAD【解析】9.設等差數列的公差為d,則解得a1=-4,d=2,當n=2或n=3時,sn有最小值,故A,B正確,C錯誤;因為所以數列{2an}是等比數列,故D正確.故選ABD.10.X的可能取值為1,2,3,故A錯誤;P=P+P故B正確;M=4,N=6,則E(X故C正確;E(2X-1)=2E(X)-1=3,故D錯誤.故選BC.11.f'(x)=(2x2+x-3).ex=(x-1)(2x+3)ex.當xU(1,+∞)時,f'>0;當x時,f'所以f上為增函數,在上為減函數,所以當x時,函數有極大值f當x=1時,函數有極小值f(1)=-e.由f(x)=(2x2-3x).ex>0,即2x2-3x>0,得x<0或x>3所以當時函數f(x)的圖象在x軸上方,畫出函數圖象,如圖由圖象可知A正確,B錯誤;由圖象可知實數a的取值范圍是故C錯誤;由y=3[f(x)]2+2f(x)-1=0得f(x)=-1或.因為f(-=9.e-,f(1)=-e數學參考答案第3頁(共6頁)<-1,所以y=f(x)與y=-1,y=的圖象有5個交點,所以函數y=3[f(x)]2+2f(x)-1有5個零點,故D正確.故選AD.【解析】2,a454,a62410x-e-x在(0,+∞)上單調遞增,所以當x>0時ex-e-x>0.上恒成立,得e2x+e-2x-1≥a(ex-e-x),即a在(0,+∞)上恒成立.令t=ex2+2(t>0),所以y當且僅當t=1時等號成立,所以a≤2,所以a的取值范圍是(-∞,2].四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(本小題滿分13分)(1)解:f’(x)=3x2-6,所以k=f’(2)=6.(3分)因為切點為(2,-4),所以切線方程為y+4=6(x-2),即6x-y-16=0.(6分)(2)證明:令g(x)=f(x)+3x+2=x3-3x+2.(7分)當x∈(0,1)時g’(x)<0,所以g(x)在(0,1)上單調遞減,當x∈(1,+∞)時g’(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上單調遞增,所以當x=1時,g(x)有最小值g(1)=0,(11分)所以g(x)≥0,即f(x)≥-3x-2.(13分)16.(本小題滿分15分)解:(1)記A1=“抽取的學生是男生”,A2=“抽取的學生是女生”,B=“抽取的學生近視”.由題意可知P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.4,P(B|A2)=0.25,(2分)所以P(B)=P(A1).P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=(6分)(2)零假設為H0:視力與性別相互獨立,即視力與性別無關.(7分)由題意可得下面的列聯表:性別視力合計近視不近視男生女生合計(10分)數學參考答案第4頁(共6頁)根據列聯表中的數據,經計算得到X(13分)所以根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,沒有充分證據推斷H0不成立,因此可以認為H0成立,即視力與性別無關.17.(本小題滿分15分)解:(1)設橢圓的焦距為2C,由題意可得,(2分)2-C2所以橢圓C的方程為y2=1.(5分)(2)由題意可知直線l的斜率存在,設為k,所以直線l的方程為y=k(x-4).(6分)設A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(1+4k2)x2-32k2x+64k2-4=0,所以x1由Δ>0得0≤k(10分)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(—→),OA)得k滿足Δ>0,所以x1, 18.(本小題滿分17分)(1)證明:因為PD丄平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PD丄AB.因為AD丄AB,AD∩DP=D,所以AB丄平面PAD.因為DEC平面PAD,所以AB丄DE.(3分)因為E為PA中點,PD=AD,所以DE丄PA.又AB∩PA=A,所以DE丄平面PAB.(5分)數學參考答案第5頁(共6頁)(2)解:由(1)可知DE丄PB,同理可證DF丄PB.因為DE∩DF=D,所以PB丄平面DEGF,所以PB丄EG.PAPB.易得△PEG一△PAB,所以PAPB.易得PB=2\,所以PG=2.(6分)以D為原點,DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(—→),DC)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(—→),DG)設平面DCG的一個法向量為n=(x,y,z),則z=0,令z=1,則x=-2,所以平面DCG的一個法向量為n=(-2,0,1).(10分)平面ABCD的一個法向量為n1=(0,0,1).→→→(3)解:因為E(1,0,1),F(0,1,1),所以EF=(-1→→→設設H(x,y,z),EH=λEF(0