數(shù)列求和第四節(jié)課程內(nèi)容要求1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見(jiàn)的求和方法.CONTENTS目錄123考法研透——方向不對(duì)·努力白費(fèi)思維激活——靈活不足·難得高分課時(shí)跟蹤檢測(cè)考法研透—方向不對(duì)·努力白費(fèi)01方法一分組轉(zhuǎn)化法求和

分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型方法技巧提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論.1.已知在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=2-2(-1)n，n∈N*，則S2025的值為

(

)A.2026×1014-1

B.1013×2025C.2025×1014-1

D.2025×1014針對(duì)訓(xùn)練√解析：由遞推公式，可得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2-an=4，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2-an=0，數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，∴S2

025=(a1+a3+…+a2

025)+(a2+a4+…+a2

024)=2

025×1

014-1.

方法二裂項(xiàng)相消法求和

1.用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律方法技巧裂項(xiàng)原則一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)2.幾種常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式數(shù)列(n為正整數(shù))裂項(xiàng)方式

針對(duì)訓(xùn)練

[典例]

(2024·全國(guó)甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;[解]

因?yàn)?Sn=3an+4

①，所以當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=3an-1+4

②，當(dāng)n≥2時(shí)，①-②得4an=3an-3an-1，即an=-3an-1.當(dāng)n=1時(shí)，由4Sn=3an+4得4a1=3a1+4，所以a1=4≠0.所以數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，所以an=4×(-3)n-1.方法三錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和的基本步驟方法技巧設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng).(1)求{an}的公比;(2)若a1=1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題設(shè)得2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q-2=0，解得q=-2或q=1(舍去).故{an}的公比為-2.針對(duì)訓(xùn)練

思維激活—靈活不足·難得高分02分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.引起分類討論的原因主要是以下幾方面：(1)問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的.這種分類討論稱為概念型.(2)問(wèn)題中涉及的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的.如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=1和q≠1兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型.拓展深化?練創(chuàng)新思維——分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用

03課時(shí)跟蹤檢測(cè)1.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n≥2，n∈N*)，a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2025=

(

)A.3

B.2C.4

D.0解析：∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，故S2

025=337×0+a2023+a2

024+a2

025=a1+a2+a3=1+2+1=4.故選C.√一、綜合練——練思維敏銳度2.在數(shù)列{an}中，若an+1+(-1)nan=2n-1，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于

(

)A.76

B.78C.80

D.82解析：由已知an+1+(-1)nan=2n-1，得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1，得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1)，取n=1，5，9及n=2，6，10，結(jié)果分別相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.故選B.√

√

2.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

;如果對(duì)折n次，那么

=

dm2.

3.由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列{an}滿足a3=5，a1a2=2a4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n，將數(shù)列{an}，{bn}的所有項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)