根與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識(shí)考點(diǎn)根與系數(shù)的關(guān)系1.利用根與系數(shù)的關(guān)系求根2.利用韋達(dá)定理判斷根的正負(fù)3.利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值4.根據(jù)代數(shù)式的值求參數(shù)的值5.韋達(dá)定理在三角形中的應(yīng)用代根法6.代根發(fā)與韋達(dá)定理的應(yīng)用7.構(gòu)造方程求代數(shù)式的值題型精析題型精析知識(shí)點(diǎn)一根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)由求根公式可得：，，1.；2..【注意】韋達(dá)定理的使用前提是△≥0.題型一利用韋達(dá)定理求方程的根題型一利用韋達(dá)定理求方程的根例1已知關(guān)于x的方程有一個(gè)根為-2，則另一個(gè)根為（）例1A．5B．2C．-1D．-5例2已知是方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及c的值例2變1若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根是，求b的值及方程的另一根.變1變2若是方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及c的值.變2題型二利用韋達(dá)定理判斷根的正負(fù)題型二利用韋達(dá)定理判斷根的正負(fù)例1一元二次方程根的情況是（）例1A．無(wú)實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 C．有兩個(gè)正根，且都小于5D．有兩個(gè)正根，且有一根大于4例2關(guān)于的方程為常數(shù)）根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）例2A．有兩個(gè)相異正根B．有兩個(gè)相異負(fù)根C．有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根D．無(wú)實(shí)數(shù)根變1關(guān)于的一元二次方程有（）變1A．兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．兩個(gè)不相等的正數(shù)根 C．兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根D．一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根變2關(guān)于的方程為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）變2A．兩個(gè)正根 B．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值大C．兩個(gè)負(fù)根D．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值小例3一元二次方程有一正根和一個(gè)負(fù)根，且負(fù)根的絕對(duì)值較大的條件是（）例3A．a(chǎn)，c異號(hào)B．a(chǎn)，c異號(hào)；a，b同號(hào)C．a(chǎn)，c異號(hào)；b，c同號(hào)D．b，c異號(hào)變3一元二次方程中，若，，，則這個(gè)方程根的情況是（）變3A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 C．有一正根一負(fù)根且正根絕對(duì)值大 D．有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根例4若方程有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，則的取值范圍是（）例4A．B．C．D．變4若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積為負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）變4A．B．C．D．知識(shí)點(diǎn)二韋達(dá)定理與代數(shù)式知識(shí)點(diǎn)二韋達(dá)定理與代數(shù)式內(nèi)容代數(shù)式變形的目的將代數(shù)式變形為含有與的形式，以便于能夠利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值.常見(jiàn)的代數(shù)式的變形1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8..題型三利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值題型三利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值例1已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值：例1（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）變1已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值：變1（1）（2）（3）（4）（5）例2一元二次方程x2+4x+1=0的兩個(gè)根是x1，x2，則的值為_(kāi)_____．（其中x2＞x1）例2例3已知方程，記兩根為，求的值為（）例3A．3B．C．4D．變2已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是______．變2變3已知：m、n是方程的兩根，則______．變3變4已知a、b是方程2x2+5x+1=0的兩實(shí)數(shù)根，則式子的值為_(kāi)_____．變4題型四根據(jù)代數(shù)式的值求參數(shù)的值題型四根據(jù)代數(shù)式的值求參數(shù)的值例1已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，則k的值為_(kāi)_____．例1【分析】該一元二次方程含有參數(shù)，所以務(wù)必要計(jì)算△.【解答】（注意：可以不用解出來(lái)）∵∴將，代入得：，解得，.再將的值帶入△，判斷是否滿(mǎn)足△≥0即可.例2已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，使得成立，則k的值______．例2變1已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為7，那么m的值是______．變1【解答】_________________________（注意：可以不用解出來(lái)）______；______；由題意得：_____________________=7；代入韋達(dá)定理得：_____________________=7；解得：_________；再將m的值代入△，滿(mǎn)足△≥0即可得出正確答案.變2已知關(guān)于x的方程的兩實(shí)數(shù)根為，若，則m的值為_(kāi)_____．變2【解答】_________________________（注意：可以不用解出來(lái)）______；______；由題意得：_____________________=3；代入韋達(dá)定理得：_____________________=3；解得：_________；再將m的值代入△，滿(mǎn)足△≥0即可得出正確答案.例3已知關(guān)于x的一元二次方程．例3（1）求證：對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)m，方程恒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求m的值．變3已知關(guān)于的方程．變3（1）求證：無(wú)論取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．例4已知關(guān)于x的一元二次方程（k為常數(shù)）．例4（1）求證：無(wú)論k取何值時(shí)，方程均有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，試求出k的值．例5已知關(guān)于的一元二次方程：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．例5（1）求m的取值范圍；（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且滿(mǎn)足，求m的值．變4已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．變4（1）求m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求m的值．變5已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．變5（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若，求k的值．題型五韋達(dá)定理與三角形題型五韋達(dá)定理與三角形例1已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（）例1A．B．3C．6D．9變2直角三角形兩直角邊是方程的兩根，則它的斜邊為（）變2A．8B．7C．6D．例2若一個(gè)等腰三角形的一邊為4，另外兩邊為的兩根，則的值為（）例2A．32B．36C．32或36D．不存在變2已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，若a、b、5為等腰三角形的邊長(zhǎng)，則n的值為（）變2A．-4B．8C．-4或-8D．4或-8例3關(guān)于的一元二次方程．例3（1）求證：無(wú)論為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）在直角三角形中，，斜邊，兩直角邊的長(zhǎng)恰好是方程的兩根，求的值．變3（1）不解方程，判別關(guān)于的一元二次方程的根的情況；變3（2）在中，斜邊，直角邊、的長(zhǎng)是（1）中方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值．例4已知關(guān)于的方程．例4（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰的三邊a，b，c中，另兩邊b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求值．變4已知關(guān)于的一元二次方程．變4（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若的兩邊，的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．第三邊的長(zhǎng)為6，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．知識(shí)點(diǎn)三代根法知識(shí)點(diǎn)三代根法內(nèi)容代根法若是一元二次方程的兩個(gè)根，則此時(shí)既可用韋達(dá)定理，也可將或代入方程.題型六代根法與韋達(dá)定理題型六代根法與韋達(dá)定理例1設(shè)α、β是方程的兩根，則的值為（）例1A．6076B．-6074C．6040D．-6040變1已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（）變1A．18B．-18C．27D．-27例2若α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____.例2【方法】此類(lèi)題的方法是“降冪”.【觀察】代數(shù)式中，“”有“二次”，所以選擇將降冪.∵是方程的根，∴，∴，∴，∵α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴根據(jù)韋達(dá)定理得：，∴.例3已知，是方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式的值等于______．例3變2已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值為_(kāi)_____．變2【方法】此類(lèi)題的方法是“降冪”.【觀察】代數(shù)式中，“”有“二次”，所以選擇將降冪.∵是方程的根，∴，∴________________，∴________________，∵α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴根據(jù)韋達(dá)定理得：______，∴___________=___________.變3已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則的值為（）變3A．2023B．2022C．2021D．2020例4已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）例4A．-10B．-7C．-5D．3變4若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．變4例5若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．例5【方法】此類(lèi)題的方法是“降冪”.【觀察】代數(shù)式中，“”有“三次”，所以選擇將降冪.∵是方程的根，∴，∴，∴，∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴根據(jù)韋達(dá)定理得：，∴.例6一元二次方程的兩個(gè)根為，則的值為（）例6A．10B．9C．8D．7例7已知α、β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（）例7A．4B．C．5D．變5已知，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為_(kāi)_____.變5【方法】此類(lèi)題的方法是“降冪”.【觀察】代數(shù)式中，“”有“三次”，所以選擇將降冪.∵是方程的根，∴，即，∴__________，∴________________，∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴根據(jù)韋達(dá)定理得：______，∴___________=___________.變6已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（）變6A．4045B．4044C．2022D．1變7設(shè)，是一元二次方程的兩根，則等于（）變7A．1B．5C．11D．13變8設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則的值為_(kāi)_____．變8知識(shí)點(diǎn)四構(gòu)造一元二次方程求值知識(shí)點(diǎn)四構(gòu)造一元二次方程求值內(nèi)容構(gòu)造一元二次方程若滿(mǎn)足，，則是方程的兩個(gè)根.構(gòu)造倒數(shù)關(guān)系的方程若滿(mǎn)足①，②，則將②兩邊除以，即③，所欲和是方程的兩個(gè)根.（即b相同，a、c交換位置）題型七構(gòu)造一元二次方程求值題型七構(gòu)造一元二次方程求值例1（1）已知m，n滿(mǎn)足條件：，，則m，n可以看做那個(gè)方程的兩個(gè)根？例1答：m，n滿(mǎn)足的方程是______________；m+n=______；mn=______.（2）m，滿(mǎn)足條件：，，則m，可以看做那個(gè)方程的兩個(gè)根？答：m，滿(mǎn)足的方程是______________；m+______；m·=______.變1（1）已知p，q滿(mǎn)足條件：，，則p，q可以看做那個(gè)方程的兩個(gè)根？變1答：p，q滿(mǎn)足的方程是______________；p+q=______；pq=______.（2）x，滿(mǎn)足條件：，，則x，可以看做那個(gè)方程的兩個(gè)根？答：x，滿(mǎn)足的方程是______________；x+______；x·=______.例2已知實(shí)數(shù)s、t滿(mǎn)足，，且，則的值是______．例2例3已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，則______．例3例4如果m、n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足m2-m=3，n2-n=3，那么代數(shù)式2n2-mn+2m+2021=______例4變2若實(shí)數(shù)a、b分別滿(mǎn)足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，則的值為_(kāi)_____．變2變3若實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足條件：，，則的值是（）變3A．2B．-4C．-6D．2或-6例5已知，且，，則______.例5【觀察】觀察兩個(gè)方程，兩個(gè)方程的“b相同，a、c交換了位置”.【解答】將除以得，，【再次觀察】方程與方程長(zhǎng)得一模一樣，∴是方程的兩個(gè)根.∴（1）若，即（不合題意，舍去）（2）若，則，所以.例6已知實(shí)數(shù)α，β滿(mǎn)足α2+3α-1=0，β2-3β-1=0，且αβ≠1，則的值為_(kāi)_____．例6例7已知a、b為非零常數(shù)，，滿(mǎn)足，則______．例7變4實(shí)數(shù)x，y分別滿(mǎn)足99x2+2021x=-1．y2+2021y=-99，且xy≠1．則______．變4【觀察】觀察兩個(gè)方程，兩個(gè)方程的“b相同，a、c交換了位置”.【解答】將除以得：_____________________，【再次觀察】方程_____________________與方程_____________________長(zhǎng)得一模一樣，∴________是方程______________的兩個(gè)根.∴（1）若，即（不合題意，舍去）（2）若，則________，________，∴_________________________________.變5已知a2-2a-1=0，b2+2b-1=0，且ab≠1，則的值為_(kāi)_____．變5變6已知，且有及，則的值為（）變6A．B．2018C．3D．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+mx-3=0的一個(gè)根是-1，則另一個(gè)根是（）A．1B．-1C．D．3.一元二次方程根的情況是（）A．無(wú)實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根C．有兩個(gè)正根，且都小于3D．有兩個(gè)正根，且有一根大于34.一元二次方程中，若，則這個(gè)方程根的情況是（）A．有兩個(gè)正根B．有一正根一負(fù)根且正根的絕對(duì)值大 C．有兩個(gè)負(fù)根 D．有一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大5.若方程有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，則的取值范圍是______．6.已知方程的兩根分別為，則______．7.已知一元二次方程的兩根為a、b，則的值是______．8.已知方程2x2+3x-4=0的兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，不解方程求：（1）x12+x22的值；（2）(x1-2)(x2-2)的值9.已知方程的兩根是、．（1）求的值；（2）求的值．10.已知是方程的兩個(gè)根，且滿(mǎn)足，則______．11.關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若，求的值．12.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若方程的兩根滿(mǎn)足，求m的值．13.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求m的值．14.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)?shù)男边呴L(zhǎng)為，且兩條直角邊的長(zhǎng)和恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求的周長(zhǎng)．15.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）若是這個(gè)方程的一個(gè)根，求的值和它的另一根；（2）求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（3）若等腰三角形的其中一邊為4，另兩邊是這個(gè)方程的兩根，求的值．16.已知：m、n是方程的兩根，則______．17.設(shè)、是方程的兩根，則的值為（）A．6076B．C．6040D．18.設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)根，則______．19.已知，是方程的兩根，則的值為_(kāi)_____．20.一元二次方程的兩根為，則的值為_(kāi)_____．21.設(shè)、是一元二次方程的兩根，則等于（）A．B．8C．6D．022.設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）A．2016B．2017C．2018D．201923.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的兩根和，且，則k的值是______．24.關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0的二根為，，且，則m=______．根與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識(shí)考點(diǎn)根與系數(shù)的關(guān)系1.利用根與系數(shù)的關(guān)系求根2.利用韋達(dá)定理判斷根的正負(fù)3.利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值4.根據(jù)代數(shù)式的值求參數(shù)的值5.韋達(dá)定理在三角形中的應(yīng)用代根法6.代根發(fā)與韋達(dá)定理的應(yīng)用7.構(gòu)造方程求代數(shù)式的值題型精析題型精析知識(shí)點(diǎn)一根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)由求根公式可得：，，1.；2..【注意】韋達(dá)定理的使用前提是△≥0.題型一利用韋達(dá)定理求方程的根題型一利用韋達(dá)定理求方程的根例1已知關(guān)于x的方程有一個(gè)根為-2，則另一個(gè)根為（）例1A．5B．2C．-1D．-5【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程有一個(gè)根為，可以設(shè)出另一個(gè)根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求得另一個(gè)根的值，本題得以解決．【詳解】∵關(guān)于x的方程有一個(gè)根為，設(shè)另一個(gè)根為m，∴，解得，，故選C．例2已知是方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及c的值例2設(shè)方程的另一個(gè)根為，∵，∴，又∵∴，∴方程的另一個(gè)根為，的值為1．變1若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根是，求b的值及方程的另一根.變1【答案】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣bx+3=0有一個(gè)根是x=1，∴1﹣b+3=0，解得：b=4，把b=4代入方程得：x2﹣4x+3=0，設(shè)另一根為m，可得1+m=4，解得：m=3，則b的值為4，方程另一根為x=3.變2若是方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及c的值.變2【答案】解：∵x=3+7是此方程的一個(gè)根，設(shè)另一個(gè)解為則x1∴x2∵∴c=(3+7題型二利用韋達(dá)定理判斷根的正負(fù)題型二利用韋達(dá)定理判斷根的正負(fù)例1一元二次方程根的情況是（）例1A．無(wú)實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 C．有兩個(gè)正根，且都小于5D．有兩個(gè)正根，且有一根大于4【分析】根據(jù)根的判別式判斷根的情況，利用根與系數(shù)的關(guān)系，確定根的符號(hào)，進(jìn)行判讀即可．【解答】解：，△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；設(shè)方程的兩個(gè)根為，則：，，方程的有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根；故選：．例2關(guān)于的方程為常數(shù)）根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）例2A．有兩個(gè)相異正根B．有兩個(gè)相異負(fù)根C．有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根D．無(wú)實(shí)數(shù)根【分析】先計(jì)算根的判別式的值得到△，則可判斷方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，設(shè)方程的兩個(gè)分別為，，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)得到、的符合相反，且正根的絕對(duì)值較大，于是可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：方程化為一般式為，△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，設(shè)方程的兩個(gè)分別為，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根．故選：．變1關(guān)于的一元二次方程有（）變1A．兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．兩個(gè)不相等的正數(shù)根 C．兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根D．一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根【分析】先根據(jù)根的判別式判斷方程是否有根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩根的正負(fù)即可．【解答】解：，△，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為、，則，則和異號(hào)，即方程有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根，故選：．變2關(guān)于的方程為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）變2A．兩個(gè)正根 B．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值大C．兩個(gè)負(fù)根D．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值小【分析】方程整理為一般形式，設(shè)兩根分別為，，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出與，判斷即可．【解答】解：設(shè)方程兩根設(shè)為，，方程整理得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，則一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值小．故選：．例3一元二次方程有一正根和一個(gè)負(fù)根，且負(fù)根的絕對(duì)值較大的條件是（）例3A．a(chǎn)，c異號(hào)B．a(chǎn)，c異號(hào)；a，b同號(hào)C．a(chǎn)，c異號(hào)；b，c同號(hào)D．b，c異號(hào)【答案】B【分析】設(shè)一元二次方程的兩根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)鍵得到，再根據(jù)題意有，由此即可得到答案．【詳解】解：設(shè)一元二次方程的兩根為，∴，∵一元二次方程有一正根和一個(gè)負(fù)根，且負(fù)根的絕對(duì)值較大，∴，∴a，c異號(hào)；a，b同號(hào)，故選B．變3一元二次方程中，若，，，則這個(gè)方程根的情況是（）變3A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 C．有一正根一負(fù)根且正根絕對(duì)值大 D．有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根【分析】先根據(jù)根的判別式判斷根的情況，再根據(jù)判斷根的符號(hào)情況．【解答】解：，，，，△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．兩根異號(hào)，故選：．例4若方程有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，則的取值范圍是（）例4A．B．C．D．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【解答】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，由△，，，故選：．變4若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積為負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）變4A．B．C．D．【分析】利用根的判別式△及兩根之積為負(fù)數(shù)，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積為負(fù)數(shù)，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．知識(shí)點(diǎn)二韋達(dá)定理與代數(shù)式知識(shí)點(diǎn)二韋達(dá)定理與代數(shù)式內(nèi)容代數(shù)式變形的目的將代數(shù)式變形為含有與的形式，以便于能夠利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值.常見(jiàn)的代數(shù)式的變形1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8..題型三利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值題型三利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值例1已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值：例1（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【答案】(1)(2)(3)(4)(5)7(6)5(7)3(8)7【分析】根據(jù)的兩根之和為，兩根之積為，本題中的a為1，b為﹣3，c為1解答即可．∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，．【詳解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）變1已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值：變1（1）（2）（3）（4）（5）例2一元二次方程x2+4x+1=0的兩個(gè)根是x1，x2，則的值為_(kāi)_____．（其中x2＞x1）例2【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=﹣4，x1x2=1，再通過(guò)通分和完全平方公式變形得到x2【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2=﹣4，x1x2=1，所以x=(=(=?4×=﹣83．故答案為﹣83例3已知方程，記兩根為，求的值為（）例3A．3B．C．4D．【答案】C【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將化為，再利用完全平方公式變形，最后將代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵方程的兩根是、∴，∵，∴．故選：C．變2已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是______．變2【答案】16【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)題意得，所以．故答案為：16．變3已知：m、n是方程的兩根，則______．變3【答案】0【分析】根據(jù)一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系，可得m2?m?2=0,n【詳解】解：∵m、n是方程x2∴m2∴m2∴m==mn+=?2+1+1=0故答案為：0變4已知a、b是方程2x2+5x+1=0的兩實(shí)數(shù)根，則式子的值為_(kāi)_____．變4【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b=?52，a?b=12，進(jìn)而可得出a＜0，b＜0，再將a+b=?52，a【解答】解：∵a、b是方程2x2+5x+1=0的兩實(shí)數(shù)根，∴a+b=?52，a?b∴a＜0，b＜0，∴aa故答案為：?21題型四根據(jù)代數(shù)式的值求參數(shù)的值題型四根據(jù)代數(shù)式的值求參數(shù)的值例1已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，則k的值為_(kāi)_____．例1【分析】該一元二次方程含有參數(shù)，所以務(wù)必要計(jì)算△.【解答】（注意：可以不用解出來(lái)）∵∴將，代入得：，解得，.再將的值帶入△，判斷是否滿(mǎn)足△≥0即可.【答案】1【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1﹣1）（x2﹣1）=8k2，可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＞0，可得出關(guān)于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范圍，進(jìn)而即可確定k值，此題得解．∵x1，x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=﹣（3k+1），x1x2=2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）=8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1=8k2，∴2k2+1+3k+1+1=8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1=0，解得：k1=﹣，k2=1．∵關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，∴△=（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k=1．例2已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，使得成立，則k的值______．例2【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范圍，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣16變形為﹣（x1+x2）2+3x1?x2=﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，然后解方程后即可確定滿(mǎn)足條件的k的值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤1由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]=﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1?x2=﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，整理得k2﹣2k﹣15=0，解得k1=5（舍去），k2=﹣3．∴k=﹣3，故答案為﹣3．變1已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為7，那么m的值是______．變1【解答】_________________________（注意：可以不用解出來(lái)）______；______；由題意得：_____________________=7；代入韋達(dá)定理得：_____________________=7；解得：_________；再將m的值代入△，滿(mǎn)足△≥0即可得出正確答案.【答案】【分析】由方程一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，然后把兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和變形為兩根之積或兩根之和的形式，根據(jù)這兩種情況確定m的值即可．【詳解】解：∵有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a、b，則，，，又，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，，故答案為：．變2已知關(guān)于x的方程的兩實(shí)數(shù)根為，若，則m的值為_(kāi)_____．變2【解答】_________________________（注意：可以不用解出來(lái)）______；______；由題意得：_____________________=3；代入韋達(dá)定理得：_____________________=3；解得：_________；再將m的值代入△，滿(mǎn)足△≥0即可得出正確答案.【答案】-3【分析】先根據(jù)根的判別式的意義得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，接著利用得到，所以，然后解關(guān)于的方程，從而得到滿(mǎn)足條件的的值．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得，∵方程的兩實(shí)數(shù)根為，，∴，，∵，∴，即，整理得，解得，，∵，∴．故選：A．例3已知關(guān)于x的一元二次方程．例3（1）求證：對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)m，方程恒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式，即可判斷．（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到m的值．【詳解】（1）∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知：，∵，∴聯(lián)立得，解得∴，∴．變3已知關(guān)于的方程．變3（1）求證：無(wú)論取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式計(jì)算，即可判斷；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到的值．【詳解】（1），∵，∴，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，，∵，∴解得：，∴，∴，即．例4已知關(guān)于x的一元二次方程（k為常數(shù)）．例4（1）求證：無(wú)論k取何值時(shí)，方程均有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，試求出k的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)k的值為或【分析】（1）將原方程改為一元二次方程的一般形式，再求出其根的判別式的值即可判斷；（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出，．再將變形為，最后代入，解出k的值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴關(guān)于x的一元二次方程，無(wú)論k取何值時(shí)，方程均有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，．∵∴，∴∴．將，代入，得：，解得：，∴k的值為或．例5已知關(guān)于的一元二次方程：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．例5（1）求m的取值范圍；（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且滿(mǎn)足，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得判別式大于0，據(jù)此建立關(guān)于的不等式求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可分別表示出與的值，利用條件可得到關(guān)于的方程，可求得的值．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：；（2）解：原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，，，，，，，，，，即，解得：．變4已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．變4（1）求m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求m的值．【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥扛鶕?jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，結(jié)合|x1﹣x2|=4可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）=0有實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1.x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=42，即32﹣16m=16，解得：m=1．變5已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．變5（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若，求k的值．【答案】(1)(2)k的值為．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，由得到，把已知條件去絕對(duì)值后利用整體代入得到，然后解關(guān)于k的一元二次方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得；（2）解：根據(jù)題意得，∵，∴，∵，∴，∴，整理得，解得，∵，∴k的值為．題型五韋達(dá)定理與三角形題型五韋達(dá)定理與三角形例1已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（）例1A．B．3C．6D．9【分析】設(shè)、為方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，再利用勾股定理得到斜邊長(zhǎng)為，利用完全平方公式變形得到斜邊，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為、，則、為方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以斜邊長(zhǎng)為．故選：．變2直角三角形兩直角邊是方程的兩根，則它的斜邊為（）變2A．8B．7C．6D．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之積與兩根之和的值，再根據(jù)勾股定理列出直角三角形三邊之間的關(guān)系式，然后將此式化簡(jiǎn)為兩根之積與兩根之和的形式，最后代入兩根之積與兩根之和的值進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：設(shè)直角三角形的斜邊為，兩直角邊分別為與．直角三角形兩直角邊是方程的兩根，，．根據(jù)勾股定理可得：，．故選：．例2若一個(gè)等腰三角形的一邊為4，另外兩邊為的兩根，則的值為（）例2A．32B．36C．32或36D．不存在【分析】等腰三角形一邊為4，有兩種情況，腰為4或者底為4，分開(kāi)討論．【解答】解：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，若，則，不成立（根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊），所以，則，故選：．變2已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，若a、b、5為等腰三角形的邊長(zhǎng)，則n的值為（）變2A．-4B．8C．-4或-8D．4或-8【答案】C【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出a+b=6，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得出a=b=3或a,b兩數(shù)分別為1，5，再利用兩根之積等于-n+1，即可求出n值．【解答】解：∵a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x-n+1=0的兩根，∴a+b=6．又∵等腰三角形邊長(zhǎng)分別為a,b,5，∴a=b=3或a,b兩數(shù)分別為1，5．當(dāng)a=b=3時(shí)，-n+1=3×3，解得：n=-8；當(dāng)a,b兩數(shù)分別為1，5時(shí)，-n+1=1×5，解得：n=-4．故選：C．例3關(guān)于的一元二次方程．例3（1）求證：無(wú)論為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）在直角三角形中，，斜邊，兩直角邊的長(zhǎng)恰好是方程的兩根，求的值．【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其值大于等于即可得證；（2）根據(jù)勾股定理得到，利用完全平方公式變形后，把各自的值代入計(jì)算即可求出的值．【解答】（1）證明：，，，△，則無(wú)論為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：兩直角邊的長(zhǎng)，恰好是方程的兩根，，，，根據(jù)勾股定理得：，即，，即，解得：（舍去）或，則的值為6．變3（1）不解方程，判別關(guān)于的一元二次方程的根的情況；變3（2）在中，斜邊，直角邊、的長(zhǎng)是（1）中方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值．【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其值與0的關(guān)系即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，再利用勾股定理求出的值即可．【解答】解：（1）△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）直角邊、的長(zhǎng)是（1）中方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，根據(jù)勾股定理得：，即，整理得：，即，解得：或（舍去），則．例4已知關(guān)于的方程．例4（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰的三邊，，中，另兩邊、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求值．【分析】（1）計(jì)算判別式的值，利用完全平方公式得到△，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用求根公式解方程得到，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到或，然后分別解關(guān)于的方程即可．【解答】（1）證明：△，無(wú)論取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：解方程，得，，，、、為等腰三角形的三邊，或，或4．變4已知關(guān)于的一元二次方程．變4（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若的兩邊，的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．第三邊的長(zhǎng)為6，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．【分析】（1）證明△即可；（2）求出方程的解，根據(jù)是等腰三角形分類(lèi)討論即可．【解答】（1）證明：△，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：原方程分解因式得：，，，當(dāng)?shù)妊切蔚难?時(shí)，，不合題意，等腰三角形的腰是6，，．故的值為7．知識(shí)點(diǎn)三代根法知識(shí)點(diǎn)三代根法內(nèi)容代根法若是一元二次方程的兩個(gè)根，則此時(shí)既可用韋達(dá)定理，也可將或代入方程.題型六代根法與韋達(dá)定理題型六代根法與韋達(dá)定理例1設(shè)α、β是方程的兩根，則的值為（）例1A．6076B．-6074C．6040D．-6040【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系即可得出，，，，進(jìn)而得出，，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵α、β是方程的兩根，∴，，，，∴，，∴．故選：B．變1已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（）變1A．18B．-18C．27D．-27【答案】C【分析】根據(jù)，是方程的兩根，得到、、，將恒等變形得到從而得到答案．【詳解】解：，是方程的兩根，、、，，故選：C．例2若α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____.例2【方法】此類(lèi)題的方法是“降冪”.【觀察】代數(shù)式中，“”有“二次”，所以選擇將降冪.∵是方程的根，∴，∴，∴，∵α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴根據(jù)韋達(dá)定理得：，∴.【答案】C【分析】先根據(jù)方程根的定義得到，則，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：∵α是方程的根，∴，即，∴，∵α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴．故選：C．例3已知，是方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式的值等于______．例3【分析】將代入方程中可得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，原式可變形為，最后整體代入即可求解．【解答】解：，是方程的兩個(gè)根，，，．故答案為：1．變2已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值為_(kāi)_____．變2【方法】此類(lèi)題的方法是“降冪”.【觀察】代數(shù)式中，“”有“二次”，所以選擇將降冪.∵是方程的根，∴，∴________________，∴________________，∵α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴根據(jù)韋達(dá)定理得：______，∴___________=___________.【答案】4【分析】由已知中，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，，．所以的值為4．故答案為：4．變3已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則的值為（）變3A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】B【分析】先根據(jù)方程根的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，∴，，∴，∴．故選：B．例4已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）例4A．-10B．-7C．-5D．3【答案】B【分析】欲求的值，先把代此數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值即可求出的值．【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，即∴====．故選：B．變4若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．變4【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：由，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得：，且，∴；故答案為．例5若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．例5【方法】此類(lèi)題的方法是“降冪”.【觀察】代數(shù)式中，“”有“三次”，所以選擇將降冪.∵是方程的根，∴，∴，∴，∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴根據(jù)韋達(dá)定理得：，∴.【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，再把所求的式子進(jìn)行整理，代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：整理得：，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，．故答案為：4046．例6一元二次方程的兩個(gè)根為，則的值為（）例6A．10B．9C．8D．7【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出x1+x2=3、x1?x2=1，將x12+3x2+x1x2+1變形為3（x1+x2）+x1x2，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x12﹣3x1+1=0，x1+x2=3，x1?x2=1，∴x12=3x1﹣1，則x12+3x2+x1x2+1=3x1﹣1+3x2+x1x2+1=3（x1+x2）+x1x2=3×3+1=10，故選：A．例7已知α、β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（）例7A．4B．C．5D．【分析】根據(jù)方程根的定義得到α2=a+1，即可得到α4=α2+2α+1，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得α4+3β的值．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴α2﹣α﹣1=0，α+β=1，∴α2=a+1，∴α4=α2+2α+1，則α4+3β=α2+2α+1+3β=α2﹣α﹣1+3α+3β+2=3×1+2=5．故選：C．變5已知，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為_(kāi)_____.變5【方法】此類(lèi)題的方法是“降冪”.【觀察】代數(shù)式中，“”有“三次”，所以選擇將降冪.∵是方程的根，∴，即，∴__________，∴________________，∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴根據(jù)韋達(dá)定理得：______，∴___________=___________.【分析】根據(jù)題意利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，原式變形后代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)根，，即，，，則原式．故選：．變6已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（）變6A．4045B．4044C．2022D．1【分析】把代入方程表示出，代入原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出所求即可．【解答】解：把代入方程得：，即，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則原式．故選：．變7設(shè)，是一元二次方程的兩根，則等于（）變7A．1B．5C．11D．13【分析】先利用一元二次方程解的定義和降次的方法得到，，則化為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：，是一元二次方程的兩根，，，，，，，，是一元二次方程的兩根，，．故選：．變8設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則的值為_(kāi)_____．變8【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【解答】解：由題意可知：x1+x2=4，x1x2=1，x12=4∴x13=4x∴原式=4x12?x1+4x=4（x1=4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1=4×16﹣8﹣1=55，故答案為：55知識(shí)點(diǎn)四構(gòu)造一元二次方程求值知識(shí)點(diǎn)四構(gòu)造一元二次方程求值內(nèi)容構(gòu)造一元二次方程若滿(mǎn)足，，則是方程的兩個(gè)根.構(gòu)造倒數(shù)關(guān)系的方程若滿(mǎn)足①，②，則將②兩邊除以，即③，所欲和是方程的兩個(gè)根.（即b相同，a、c交換位置）題型七構(gòu)造一元二次方程求值題型七構(gòu)造一元二次方程求值例1已知實(shí)數(shù)s、t滿(mǎn)足，，且，則的值是______．例1【答案】【分析】由題意可知實(shí)數(shù)、關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，再由進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，且，∴實(shí)數(shù)、關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．例2已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，則______．例2【答案】或【分析】實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足等式，，①當(dāng)時(shí)，，可能是方程的同一個(gè)根，兩數(shù)相等；②當(dāng)a≠b時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，把代數(shù)式變形成與兩根之和和兩根之積有關(guān)的式子，代入兩根之和與兩根之積，即可求得代數(shù)式的值．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，原式．②當(dāng)時(shí)，可以把，看作是方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．∴．故本題答案為：或．例3如果m、n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足m2-m=3，n2-n=3，那么代數(shù)式2n2-mn+2m+2021=______例3【分析】由題意可知m，n是x2﹣x﹣3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它們可以化簡(jiǎn)2n2﹣mn+2m+2021=2（n+3）﹣mn+2m+2021=2n+6﹣mn+2m+2021=2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代數(shù)式的值．【解答】解：由題意可知：m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，則2n2﹣mn+2m+2021=2（n+3）﹣mn+2m+2021=2n+6﹣mn+2m+2021=2（m+n）﹣mn+2027=2×1﹣（﹣3）+2027=2+3+2027=2032．故答案為：2032．變1若實(shí)數(shù)a、b分別滿(mǎn)足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，則的值為_(kāi)_____．變1【答案】【解析】先根據(jù)題意可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=4，ab=3，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．∵a、b分別滿(mǎn)足a2﹣4a+3=0，b2﹣4b+3=0，∴可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b=4，ab=3，∴．變2若實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足條件：，，則的值是（）變2A．2B．-4C．-6D．2或-6【答案】D【分析】分和兩種情況求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，由題知m、n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，∴．綜上可知，的值是2或．故選D．例4已知，且，，則______.例4【觀察】觀察兩個(gè)方程，兩個(gè)方程的“b相同，a、c交換了位置”.【解答】將除以得，，【再次觀察】方程與方程長(zhǎng)得一模一樣，∴是方程的兩個(gè)根.∴（1）若，即（不合題意，舍去）（2）若，則，所以.【分析】把方程兩邊除以得到，則、可看作方程的兩根，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題．【解答】解：，，，即，、可看作方程的兩根，，．故選：．例5已知實(shí)數(shù)α，β滿(mǎn)足α2+3α-1=0，β2-3β-1=0，且αβ≠1，則的值為_(kāi)_____．例5【分析】原方程變?yōu)椋?α2）﹣3（1α）﹣1=0，得到1α、β是方程x2﹣3【解答】解：∵實(shí)數(shù)α，β滿(mǎn)足α2+3α﹣1=0，β2﹣3β﹣1=0，且αβ≠1，∴1α、β是方程x2﹣3x﹣1=∴1α+β=3，βα=?1，∴原式=1+3α+3β=1+3（1α+故答案為10．例6已知a、b為非零常數(shù)，，滿(mǎn)足，則______．例6【答案】3【分析】由題意易得，則有是方程的兩個(gè)根，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴是方程的兩個(gè)根，∴，∴；故答案為3．變3實(shí)數(shù)x，y分別滿(mǎn)足99x2+2021x=-1．y2+2021y=-99，且xy≠1．則______．變3【觀察】觀察兩個(gè)方程，兩個(gè)方程的“b相同，a、c交換了位置”.【解答】將除以得：_____________________，【再次觀察】方程_____________________與方程_____________________長(zhǎng)得一模一樣，∴________是方程______________的兩個(gè)根.∴（1）若，即（不合題意，舍去）（2）若，則________，________，∴_________________________________.【分析】把y2+2021y=﹣99變形為99（1y）2+2021?1y+1=0，加上99x2+2021x+1=0，則實(shí)數(shù)x、1y可看作方程99t2+2021t+1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x+1y=?202199【解答】解：∵y2+2021y=﹣99，∴99（1y）2+2021?1y+∵99x2+2021x=﹣1，即99x2+2021x+1=0，∴實(shí)數(shù)x、1y可看作方程99t2+2021t+1=∴x+1y=?202199∴原式=x+10?x=?202199+=?2011故答案為?2011變4已知a2-2a-1=0，b2+2b-1=0，且ab≠1，則的值為_(kāi)_____．變4【分析】先變形b2+2b﹣1=0得到（1b）2﹣2?1b?1=0，則a和1b可看作方程x2﹣2【解答】解：∵b2+2b﹣1=0，∴b≠0，方程兩邊同時(shí)除以b2，再乘﹣1變形為（1b）2﹣2?1b?∵ab≠1，∴a和1b可看作方程x2﹣2x﹣1=∴a+1∴ab+b+1b=a+1+1故答案為：3．變5已知，且有及，則的值為（）變5A．B．2018C．3D．【答案】D【分析】把兩邊都除以，得，從而知x、是的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得答案．【詳解】解：∵，∴，則x、是的兩根，∴，∵3，∴，故選：D．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+mx-3=0的一個(gè)根是-1，則另一個(gè)根是（）A．1B．-1C．D．【答案】C【解析】【解答】設(shè)方程的另一根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：﹣1?x1=﹣32解得x1=32故答案為：C.2.已知方程關(guān)于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一個(gè)根是-2，求k和方程另一個(gè)根a的值．【答案】解：將x=-2代入方程12-10-4k=0k=1∴a+-2=-5∴a=13.一元二次方程根的情況是（）A．無(wú)實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根C．有兩個(gè)正根，且都小于3D．有兩個(gè)正根，且有一根大于3【分析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△的值的符號(hào)、以及兩根的和，兩根的積就可以了．【解答】解：，，，△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，兩根的和為4，兩根的積為2，有兩個(gè)正根，且有一根大于3．故選：．4.一元二次方程中，若，則這個(gè)方程根的情況是（）A．有兩個(gè)正根B．有一正根一負(fù)根且正根的絕對(duì)值大 C．有兩個(gè)負(fù)根 D．有一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大【分析】先根據(jù)根的判別式得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為、，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再判斷即可．【解答】解：，△，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為、，則，，由得出方程的兩個(gè)根一正一負(fù)，由和得出方程的兩個(gè)根中，正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，故選：．5.若方程有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，則的取值范圍是______．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式△，可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍．【解答】解：方程有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，，解得：．故答案為：．6.已知方程的兩根分別為，則______．【答案】-2【解析】【解答】.解:∵方程x2+2x-1=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1,一次項(xiàng)系數(shù)b=2,∴x1+故答案是:-2.7.已知一元二次方程的兩根為a、b，則的值是______．【答案】﹣6【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的兩根，∴a+b=6，ab=﹣5，1a+1b=a+bab故答案是：﹣658.已知方程2x2+3x-4=0的兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，不解方程求：（1）x12+x22的值；（2）(x1-2)(x2-2)的值【答案】（1）解：根據(jù)題意得xx（2）解：由（1）可知x所以：(9.已知方程的兩根是、．（1）求的值；（2）求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，再求得的值，進(jìn)而求得的值．（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將化為，然后通分化簡(jiǎn)可得，最后將代入計(jì)算即可；【詳解】（1）解：∵方程的兩根是、∴∴∴；（2）解：由（1）可知：，，∴（負(fù)值舍去）；10.已知是方程的兩個(gè)根，且滿(mǎn)足，則______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可以表示出兩個(gè)根的和與積，代入即，即可得到一個(gè)關(guān)于k的方程，從而求得k的值．【詳解】解：∵、是方程的兩個(gè)根，∴，，∵，∴，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，方程為，，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，方程為，，符合題意．∴所求k的值為．故答案為：．11.關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若，求的值．【答案】(1)(2)的值為【分析】（1）由要保證一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就必須使其根的判別式恒成立，即得出關(guān)于k的不等式，解出k的解集即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于k的一元二次方程，再解這個(gè)方程即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的方程為，∴，，．∵該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：；（2）解：∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，∴，．∵，∴，整理，得：，解得：，（不符合題意，舍去）．∴的值為．12.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若方程的兩根滿(mǎn)足，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出，