2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：t檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷中的應(yīng)用案例試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。請將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號內(nèi)。）1.當(dāng)樣本量較小時，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著不同于某個特定值，應(yīng)該選擇的檢驗(yàn)方法是（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.F檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)2.在進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)時，如果兩個樣本的方差相等，應(yīng)該采用哪種公式計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量？（）A.等方差t檢驗(yàn)公式B.異方差t檢驗(yàn)公式C.秩和檢驗(yàn)公式D.Wilcoxon檢驗(yàn)公式3.當(dāng)樣本量較大時，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的差異變得非常小，這是因?yàn)椋ǎ〢.t分布的尾部更厚B.t分布的均值不為0C.t分布的方差大于1D.t分布逐漸逼近正態(tài)分布4.在配對樣本t檢驗(yàn)中，檢驗(yàn)的假設(shè)是（）A.兩個獨(dú)立樣本的均值相等B.兩個獨(dú)立樣本的方差相等C.同一樣本在不同時間點(diǎn)的均值相等D.同一樣本在不同時間點(diǎn)的方差相等5.當(dāng)樣本量較小時，t檢驗(yàn)比Z檢驗(yàn)更常用，因?yàn)椋ǎ〢.t檢驗(yàn)考慮了樣本量的影響B(tài).t檢驗(yàn)計(jì)算更簡單C.t檢驗(yàn)的p值更小D.t檢驗(yàn)的置信區(qū)間更窄6.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時，自由度的大小取決于（）A.樣本量的大小B.總體方差的大小C.檢驗(yàn)的類型（獨(dú)立樣本或配對樣本）D.檢驗(yàn)的顯著性水平7.當(dāng)樣本量較大時，t檢驗(yàn)的結(jié)果與Z檢驗(yàn)的結(jié)果非常接近，這是因?yàn)椋ǎ〢.t分布的均值接近正態(tài)分布的均值B.t分布的方差接近正態(tài)分布的方差C.t分布的尾部逐漸變薄D.t分布逐漸逼近正態(tài)分布8.在進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)時，如果兩個樣本的方差不等，應(yīng)該采用哪種公式計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量？（）A.等方差t檢驗(yàn)公式B.異方差t檢驗(yàn)公式C.秩和檢驗(yàn)公式D.Wilcoxon檢驗(yàn)公式9.當(dāng)樣本量較小時，t檢驗(yàn)的假設(shè)條件更容易被滿足，這是因?yàn)椋ǎ〢.t分布的尾部更厚B.t分布的均值不為0C.t分布的方差大于1D.t分布逐漸逼近正態(tài)分布10.在配對樣本t檢驗(yàn)中，如果檢驗(yàn)結(jié)果顯著，那么可以得出（）A.兩個獨(dú)立樣本的均值存在顯著差異B.兩個獨(dú)立樣本的方差存在顯著差異C.同一樣本在不同時間點(diǎn)的均值存在顯著差異D.同一樣本在不同時間點(diǎn)的方差存在顯著差異11.當(dāng)樣本量較小時，t檢驗(yàn)的p值更容易接近顯著性水平，這是因?yàn)椋ǎ〢.t分布的尾部更厚B.t分布的均值不為0C.t分布的方差大于1D.t分布逐漸逼近正態(tài)分布12.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時，如果檢驗(yàn)結(jié)果不顯著，那么可以得出（）A.總體均值與假設(shè)值沒有顯著差異B.總體方差與假設(shè)值沒有顯著差異C.樣本均值與假設(shè)值沒有顯著差異D.樣本方差與假設(shè)值沒有顯著差異13.當(dāng)樣本量較小時，t檢驗(yàn)的置信區(qū)間更寬，這是因?yàn)椋ǎ〢.t分布的尾部更厚B.t分布的均值不為0C.t分布的方差大于1D.t分布逐漸逼近正態(tài)分布14.在進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)時，如果兩個樣本的均值相等，那么t統(tǒng)計(jì)量的值應(yīng)該是（）A.0B.1C.樣本量的平方根D.總體方差的平方根15.當(dāng)樣本量較小時，t檢驗(yàn)的假設(shè)條件更容易被違反，這是因?yàn)椋ǎ〢.t分布的尾部更厚B.t分布的均值不為0C.t分布的方差大于1D.t分布逐漸逼近正態(tài)分布二、多項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的五個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是最符合題目要求的。請將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號內(nèi)。每小題全選對得2分，選對但不全得1分，有錯選或漏選不得分。）1.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時，以下哪些是t檢驗(yàn)的假設(shè)條件？（）A.樣本來自正態(tài)分布總體B.樣本獨(dú)立同分布C.總體方差已知D.樣本量較大E.檢驗(yàn)的顯著性水平為0.052.在進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)時，以下哪些情況會導(dǎo)致t統(tǒng)計(jì)量的值增大？（）A.兩個樣本的均值差異增大B.兩個樣本的方差增大C.樣本量增大D.總體方差增大E.檢驗(yàn)的顯著性水平減小3.在進(jìn)行配對樣本t檢驗(yàn)時，以下哪些情況會導(dǎo)致t統(tǒng)計(jì)量的值增大？（）A.同一樣本在不同時間點(diǎn)的均值差異增大B.同一樣本在不同時間點(diǎn)的方差增大C.樣本量增大D.總體方差增大E.檢驗(yàn)的顯著性水平減小4.當(dāng)樣本量較小時，t檢驗(yàn)比Z檢驗(yàn)更常用，因?yàn)椋ǎ〢.t檢驗(yàn)考慮了樣本量的影響B(tài).t檢驗(yàn)計(jì)算更簡單C.t檢驗(yàn)的p值更小D.t檢驗(yàn)的置信區(qū)間更窄E.t分布逐漸逼近正態(tài)分布5.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時，以下哪些因素會影響t統(tǒng)計(jì)量的值？（）A.樣本均值B.總體均值C.樣本方差D.總體方差E.樣本量6.在進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)時，如果兩個樣本的方差不等，應(yīng)該采用哪種公式計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量？（）A.等方差t檢驗(yàn)公式B.異方差t檢驗(yàn)公式C.秩和檢驗(yàn)公式D.Wilcoxon檢驗(yàn)公式E.Z檢驗(yàn)公式7.當(dāng)樣本量較小時，t檢驗(yàn)的假設(shè)條件更容易被滿足，這是因?yàn)椋ǎ〢.t分布的尾部更厚B.t分布的均值不為0C.t分布的方差大于1D.t分布逐漸逼近正態(tài)分布E.樣本量較大8.在進(jìn)行配對樣本t檢驗(yàn)時，如果檢驗(yàn)結(jié)果顯著，那么可以得出（）A.兩個獨(dú)立樣本的均值存在顯著差異B.兩個獨(dú)立樣本的方差存在顯著差異C.同一樣本在不同時間點(diǎn)的均值存在顯著差異D.同一樣本在不同時間點(diǎn)的方差存在顯著差異E.總體均值與假設(shè)值沒有顯著差異9.當(dāng)樣本量較小時，t檢驗(yàn)的p值更容易接近顯著性水平，這是因?yàn)椋ǎ〢.t分布的尾部更厚B.t分布的均值不為0C.t分布的方差大于1D.t分布逐漸逼近正態(tài)分布E.樣本量較大10.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時，如果檢驗(yàn)結(jié)果不顯著，那么可以得出（）A.總體均值與假設(shè)值沒有顯著差異B.總體方差與假設(shè)值沒有顯著差異C.樣本均值與假設(shè)值沒有顯著差異D.樣本方差與假設(shè)值沒有顯著差異E.檢驗(yàn)的顯著性水平為0.05三、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請根據(jù)題目要求，簡潔明了地回答問題。）1.簡述t檢驗(yàn)的基本原理和適用條件。在我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的時候，有時候總體的參數(shù)，比如均值，我們是不太清楚的，這時候我們就會拿樣本的數(shù)據(jù)出來幫我們推斷。t檢驗(yàn)就是在這種情況下應(yīng)運(yùn)而生的。它的基本原理就是比較樣本均值和咱們假設(shè)的那個總體均值之間有沒有顯著的區(qū)別。具體來說，就是看樣本均值和假設(shè)值之間的差距，跟樣本內(nèi)部的變異程度（也就是方差）結(jié)合起來，算出一個t統(tǒng)計(jì)量。如果這個t統(tǒng)計(jì)量很大，說明樣本均值和假設(shè)值之間的差距相對于樣本內(nèi)部的變異來說太大了，咱們就傾向于認(rèn)為這個差距不是偶然的，也就是說總體均值和假設(shè)值之間可能真的有區(qū)別。反之，如果t統(tǒng)計(jì)量不大，說明樣本均值和假設(shè)值之間的差距相對于樣本內(nèi)部的變異來說并不大，咱們就傾向于認(rèn)為這個差距可能是偶然的，也就是說總體均值和假設(shè)值之間可能并沒有什么區(qū)別。t檢驗(yàn)適用條件嘛，主要是樣本要來自正態(tài)分布的總體，樣本各個觀測值之間要相互獨(dú)立，而且樣本量不能太小，一般建議不超過30。當(dāng)然，在實(shí)際應(yīng)用中，如果樣本量夠大，即使總體不是正態(tài)分布，t檢驗(yàn)的結(jié)果也是比較可靠的。2.簡述獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)和配對樣本t檢驗(yàn)的區(qū)別。哎，這倆t檢驗(yàn)啊，雖然都是用來檢驗(yàn)均值差異的，但它們的適用情況可是不一樣的。獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，顧名思義，就是咱們拿到的兩個樣本是相互獨(dú)立的，也就是說，這兩個樣本里的觀測值之間沒有關(guān)系，彼此不影響。比如，咱們要比較男性和女性的平均身高，這里面的男性樣本和女性樣本就是相互獨(dú)立的，他們之間沒有關(guān)系。而配對樣本t檢驗(yàn)?zāi)?，它的樣本不是?dú)立的，而是成對出現(xiàn)的，也就是說，每個樣本都有一個“搭檔”。比如，咱們要比較同一個學(xué)生在學(xué)習(xí)前后兩次考試的成績，這里面的每個學(xué)生的兩次成績就是一對配對數(shù)據(jù)，它們之間是有關(guān)系的，是同一個學(xué)生不同時間點(diǎn)的表現(xiàn)。所以，選擇哪種t檢驗(yàn)，關(guān)鍵就看咱們的樣本是不是獨(dú)立的。如果樣本獨(dú)立，就用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)；如果樣本不獨(dú)立，是成對出現(xiàn)的，就用配對樣本t檢驗(yàn)。3.簡述t檢驗(yàn)中的假設(shè)檢驗(yàn)過程。哎，t檢驗(yàn)啊，它本質(zhì)上就是一個假設(shè)檢驗(yàn)的過程。咱們得先有一個零假設(shè)，也就是假設(shè)沒有任何區(qū)別，比如假設(shè)總體均值和咱們假設(shè)的值是一樣的。然后，咱們根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出一個t統(tǒng)計(jì)量。這個t統(tǒng)計(jì)量反映了樣本均值和假設(shè)值之間的差距，以及樣本內(nèi)部的變異程度。算出來t統(tǒng)計(jì)量之后，咱們得看看這個t統(tǒng)計(jì)量是不是足夠大，也就是說，樣本均值和假設(shè)值之間的差距是不是足夠大，以至于不能歸咎于偶然因素。怎么判斷呢？咱們得根據(jù)咱們的顯著性水平，也就是犯第一類錯誤（也就是拒絕了實(shí)際上成立的零假設(shè)）的概率，在t分布表里查出相應(yīng)的臨界值。如果算出來的t統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，或者p值小于顯著性水平，咱們就拒絕零假設(shè)，認(rèn)為樣本均值和假設(shè)值之間存在顯著差異。如果算出來的t統(tǒng)計(jì)量小于臨界值，或者p值大于顯著性水平，咱們就不拒絕零假設(shè)，認(rèn)為樣本均值和假設(shè)值之間沒有顯著差異。這個過程，就是t檢驗(yàn)中的假設(shè)檢驗(yàn)過程。4.解釋什么是t分布，并說明它與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別。t分布啊，它其實(shí)是一種概率分布，就像咱們熟悉的正態(tài)分布一樣。但它跟正態(tài)分布又有點(diǎn)不一樣的地方。t分布是威廉·戈塞特在1908年提出的，當(dāng)時他發(fā)表文章的時候用的筆名是“Student”，所以t分布有時候也叫做Student'st分布。t分布的形狀跟正態(tài)分布有點(diǎn)像，都是中間高，兩邊低，對稱的。但是，t分布的方差比正態(tài)分布的方差要大一些，也就是說，t分布的曲線比正態(tài)分布的曲線要“胖”一些，“胖”在尾巴上，tails，對，就是尾巴更厚一些。為什么t分布的尾巴會更厚呢？這是因?yàn)閠分布考慮到了樣本量的影響。當(dāng)樣本量比較小的時候，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會比較大，也就是說，樣本均值這個估計(jì)值會不太穩(wěn)定，有點(diǎn)搖擺不定，所以t分布的方差會比較大，曲線也就“胖”一些。當(dāng)樣本量比較大的時候，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會比較小，樣本均值這個估計(jì)值會比較穩(wěn)定，所以t分布的方差會趨近于1，曲線也就逐漸變“瘦”，跟正態(tài)分布越來越像了。所以，t分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別主要在于它們的方差和形狀，特別是當(dāng)樣本量較小時，t分布的方差更大，曲線更“胖”，更能反映樣本均值估計(jì)的不確定性。5.說明在實(shí)際應(yīng)用中，如何選擇合適的t檢驗(yàn)方法。在實(shí)際應(yīng)用中，選擇合適的t檢驗(yàn)方法，關(guān)鍵就是要看咱們的數(shù)據(jù)情況和研究目的。首先，得看咱們的樣本是不是獨(dú)立的。如果樣本是獨(dú)立的，也就是說，這兩個樣本里的觀測值之間沒有關(guān)系，彼此不影響，那咱們就選擇獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。比如，咱們要比較不同藥品的效果，每個藥品都有一些病人服用，這些病人之間沒有關(guān)系，就是兩個獨(dú)立的樣本，這時候就用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。如果樣本不是獨(dú)立的，是成對出現(xiàn)的，也就是說，每個樣本都有一個“搭檔”，它們之間有關(guān)系，是同一個對象在不同時間點(diǎn)的表現(xiàn)或者不同條件下的表現(xiàn)，那咱們就選擇配對樣本t檢驗(yàn)。比如，咱們要比較同一個學(xué)生在學(xué)習(xí)前后兩次考試的成績，這里面的每個學(xué)生的兩次成績就是一對配對數(shù)據(jù)，它們之間有關(guān)系，是同一個學(xué)生不同時間點(diǎn)的表現(xiàn)，這時候就用配對樣本t檢驗(yàn)。其次，還得看咱們的樣本量大小。如果樣本量比較大，比如超過30，那t檢驗(yàn)的結(jié)果和Z檢驗(yàn)的結(jié)果就差不多一樣了，這時候咱們可以用Z檢驗(yàn)，也可以用t檢驗(yàn)。但如果樣本量比較小，比如小于30，那t檢驗(yàn)就更合適一些，因?yàn)閠分布考慮了樣本量的影響，更能反映樣本均值估計(jì)的不確定性。最后，還得看咱們的樣本是否來自正態(tài)分布總體。如果樣本來自正態(tài)分布總體，那t檢驗(yàn)的結(jié)果會更可靠一些。如果樣本不來自正態(tài)分布總體，那t檢驗(yàn)的結(jié)果可能就不太可靠了，這時候可能需要考慮使用非參數(shù)檢驗(yàn)方法。所以，選擇合適的t檢驗(yàn)方法，得綜合考慮樣本的獨(dú)立性、樣本量大小以及樣本的分布情況。四、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請根據(jù)題目要求，列出計(jì)算步驟，并給出最終答案。）1.某教師想要了解自己的教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效，他隨機(jī)選取了30名學(xué)生，將他們隨機(jī)分成兩組，每組15人。一組采用他的教學(xué)方法，另一組采用傳統(tǒng)教學(xué)方法。經(jīng)過一個學(xué)期的學(xué)習(xí)，兩組學(xué)生的考試成績?nèi)缦拢翰捎眯陆虒W(xué)方法組：78,82,85,88,90,92,75,79,84,86,77,81,83,89,91采用傳統(tǒng)教學(xué)方法組：76,80,77,83,79,81,78,82,84,80,77,79,82,81,80假設(shè)兩組學(xué)生的考試成績都服從正態(tài)分布，且方差相等。請檢驗(yàn)新教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效（顯著性水平為0.05）。解：首先，咱們得檢驗(yàn)兩組學(xué)生的考試成績的方差是否相等。計(jì)算兩組的樣本均值和樣本方差：新教學(xué)方法組：樣本均值=85，樣本方差=26.67傳統(tǒng)教學(xué)方法組：樣本均值=80.53，樣本方差=9.87然后，咱們計(jì)算兩組的合并方差：合并方差=（（n1-1）*s1^2+（n2-1）*s2^2）/（n1+n2-2）=15*26.67+14*9.87/28=18.33接下來，咱們計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：t=(x1-x2)/sqrt(s_p^2*(1/n1+1/n2))=(85-80.53)/sqrt(18.33*(1/15+1/15))=2.47最后，咱們查t分布表，自由度為28，顯著性水平為0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值為2.048。因?yàn)?.47>2.048，所以咱們拒絕零假設(shè)，認(rèn)為新教學(xué)方法比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效。2.某醫(yī)生想要了解一種新藥是否能夠降低患者的血壓。他隨機(jī)選取了20名高血壓患者，給他們服用新藥，并在服用前后分別測量他們的血壓。數(shù)據(jù)如下：服用前血壓：150,155,160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215,220,225,230,235,240,245服用后血壓：140,145,150,155,160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215,220,225,230,235假設(shè)服用前后血壓的差值服從正態(tài)分布。請檢驗(yàn)新藥是否能夠降低患者的血壓（顯著性水平為0.05）。解：首先，咱們計(jì)算每個患者服用前后血壓的差值：差值：10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10然后，咱們計(jì)算差值的樣本均值和樣本方差：樣本均值=10，樣本方差=0接下來，咱們計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：t=(x-d)/s/sqrt(n)=(10-0)/sqrt(0/19)=無窮大最后，咱們查t分布表，自由度為19，顯著性水平為0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值為2.093。因?yàn)闊o窮大>2.093，所以咱們拒絕零假設(shè)，認(rèn)為新藥能夠降低患者的血壓。3.某公司想要比較兩種不同的廣告策略對銷售額的影響。他們隨機(jī)選取了40家分店，將它們隨機(jī)分成兩組，每組20家。一組采用廣告策略A，另一組采用廣告策略B。一個月后，兩組分店的銷售額如下：采用廣告策略A組：120,125,130,135,140,145,150,155,160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215采用廣告策略B組：110,115,120,125,130,135,140,145,150,155,160,165,170,175,180,185,190,195,200,205假設(shè)兩組分店的銷售額都服從正態(tài)分布，且方差相等。請檢驗(yàn)兩種廣告策略對銷售額的影響是否有顯著差異（顯著性水平為0.05）。解：首先，咱們得檢驗(yàn)兩組分店的銷售額的方差是否相等。計(jì)算兩組的樣本均值和樣本方差：采用廣告策略A組：樣本均值=157.5，樣本方差=207.04采用廣告策略B組：樣本均值=157.5，樣本方差=207.04然后，咱們計(jì)算兩組的合并方差：合并方差=（（n1-1）*s1^2+（n2-1）*s2^2）/（n1+n2-2）=19*207.04+19*207.04/38=207.04接下來，咱們計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：t=(x1-x2)/sqrt(s_p^2*(1/n1+1/n2))=(157.5-157.5)/sqrt(207.04*(1/20+1/20))=0最后，咱們查t分布表，自由度為38，顯著性水平為0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值為2.021。因?yàn)?<2.021，所以咱們不拒絕零假設(shè)，認(rèn)為兩種廣告策略對銷售額的影響沒有顯著差異。4.某學(xué)校想要比較男生和女生的平均身高。他們隨機(jī)抽取了50名男生和50名女生，測量了他們的身高。數(shù)據(jù)如下：男生身高：175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209,210,211,212,213,214,215,216,217,218,219,220,221女生身高：165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209假設(shè)男生和女生的身高都服從正態(tài)分布，且方差相等。請檢驗(yàn)?zāi)猩团钠骄砀呤欠裼酗@著差異（顯著性水平為0.05）。解：首先，咱們得檢驗(yàn)?zāi)猩团纳砀叩姆讲钍欠裣嗟?。?jì)算男生的樣本均值和樣本方差：男生：樣本均值=195.5，樣本方差=110.25女生：樣本均值=185.5，樣本方差=110.25然后，咱們計(jì)算兩組的合并方差：合并方差=（（n1-1）*s1^2+（n2-1）*s2^2）/（n1+n2-2）=49*110.25+49*110.25/98=110.25接下來，咱們計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：t=(x1-x2)/sqrt(s_p^2*(1/n1+1/n2))=(195.5-185.5)/sqrt(110.25*(1/50+1/50))=2.236最后，咱們查t分布表，自由度為98，顯著性水平為0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值為1.984。因?yàn)?.236>1.984，所以咱們拒絕零假設(shè)，認(rèn)為男生和女生的平均身高有顯著差異。5.某工廠想要比較兩種不同的生產(chǎn)流程對產(chǎn)品合格率的影響。他們隨機(jī)選取了60個產(chǎn)品，將它們隨機(jī)分成兩組，每組30個。一組采用生產(chǎn)流程A，另一組采用生產(chǎn)流程B。檢測后，兩組產(chǎn)品的合格率如下：采用生產(chǎn)流程A組：90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99采用生產(chǎn)流程B組：80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89假設(shè)兩組產(chǎn)品的合格率都服從正態(tài)分布，且方差相等。請檢驗(yàn)兩種生產(chǎn)流程對產(chǎn)品合格率的影響是否有顯著差異（顯著性水平為0.05）。解：首先，咱們得檢驗(yàn)兩組產(chǎn)品的合格率的方差是否相等。計(jì)算兩組的樣本均值和樣本方差：采用生產(chǎn)流程A組：樣本均值=95，樣本方差=10.91采用生產(chǎn)流程B組：樣本均值=85，樣本方差=10.91然后，咱們計(jì)算兩組的合并方差：合并方差=（（n1-1）*s1^2+（n2-1）*s2^2）/（n1+n2-2）=29*10.91+29*10.91/58=10.91接下來，咱們計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：t=(x1-x2)/sqrt(s_p^2*(1/n1+1/n2))=(95-85)/sqrt(10.91*(1/30+1/30))=4.472最后，咱們查t分布表，自由度為58，顯著性水平為0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值為2.002。因?yàn)?.472>2.002，所以咱們拒絕零假設(shè)，認(rèn)為兩種生產(chǎn)流程對產(chǎn)品合格率的影響有顯著差異。本次試卷答案如下一、單項(xiàng)選擇題答案及解析1.B解析：當(dāng)樣本量較小時，由于總體方差未知，且樣本量不足以準(zhǔn)確估計(jì)總體方差，此時應(yīng)選擇t檢驗(yàn)。Z檢驗(yàn)適用于樣本量較大（通常n>30）且總體方差已知的情況。2.A解析：獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)中，若假設(shè)兩組方差相等（即等方差假設(shè)成立），應(yīng)采用等方差t檢驗(yàn)公式計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量。若假設(shè)不成立，則需采用異方差t檢驗(yàn)公式。3.D解析：當(dāng)樣本量較大時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布，此時t分布逐漸逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的差異變得非常小。4.C解析：配對樣本t檢驗(yàn)用于比較同一對象在不同時間點(diǎn)或不同條件下的均值差異。其零假設(shè)是兩個相關(guān)樣本的均值差異為0，即同一樣本在不同時間點(diǎn)的均值相等。5.A解析：當(dāng)樣本量較小時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會較大，即樣本均值對總體均值的估計(jì)不夠穩(wěn)定。t檢驗(yàn)考慮了樣本量的影響，更能反映樣本均值估計(jì)的不確定性，因此比Z檢驗(yàn)更常用。6.A解析：t檢驗(yàn)的自由度等于樣本量減去1（n-1）。自由度的大小反映了樣本量的大小，樣本量越大，自由度越大，t分布越接近正態(tài)分布。7.D解析：當(dāng)樣本量較大時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布，此時t分布逐漸逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，t檢驗(yàn)的結(jié)果與Z檢驗(yàn)的結(jié)果非常接近。8.B解析：當(dāng)獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的兩組方差不等時，應(yīng)采用異方差t檢驗(yàn)公式計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量。等方差t檢驗(yàn)公式適用于兩組方差相等的情況。9.A解析：當(dāng)樣本量較小時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會較大，即樣本均值對總體均值的估計(jì)不夠穩(wěn)定。t檢驗(yàn)考慮了樣本量的影響，更能反映樣本均值估計(jì)的不確定性，因此更容易滿足其假設(shè)條件。10.C解析：配對樣本t檢驗(yàn)的零假設(shè)是兩個相關(guān)樣本的均值差異為0。若檢驗(yàn)結(jié)果顯著，則說明同一樣本在不同時間點(diǎn)的均值存在顯著差異。11.A解析：當(dāng)樣本量較小時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會較大，即樣本均值對總體均值的估計(jì)不夠穩(wěn)定。因此，t檢驗(yàn)的p值更容易接近顯著性水平，因?yàn)楦蟮臉颖揪挡町愋枰〉膒值才能達(dá)到顯著性。12.A解析：t檢驗(yàn)的零假設(shè)是總體均值與假設(shè)值沒有顯著差異。若檢驗(yàn)結(jié)果不顯著，則說明沒有足夠的證據(jù)拒絕零假設(shè)，即總體均值與假設(shè)值之間沒有顯著差異。13.A解析：當(dāng)樣本量較小時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會較大，即樣本均值對總體均值的估計(jì)不夠穩(wěn)定。因此，t檢驗(yàn)的置信區(qū)間更寬，以反映更大的不確定性。14.A解析：在獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)中，若兩個樣本的均值相等，即x1=x2，則t統(tǒng)計(jì)量的分子為0，因此t統(tǒng)計(jì)量的值為0。15.A解析：當(dāng)樣本量較小時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會較大，即樣本均值對總體均值的估計(jì)不夠穩(wěn)定。因此，t檢驗(yàn)的假設(shè)條件更容易被違反，因?yàn)楦蟮臉颖揪挡町愋枰〉膒值才能達(dá)到顯著性。二、多項(xiàng)選擇題答案及解析1.AB解析：t檢驗(yàn)的假設(shè)條件包括：樣本來自正態(tài)分布總體，樣本獨(dú)立同分布?？傮w方差未知是t檢驗(yàn)與Z檢驗(yàn)的主要區(qū)別之一。2.AC解析：獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)中，兩組樣本的均值差異越大，t統(tǒng)計(jì)量的值越大；樣本量越大，t統(tǒng)計(jì)量的值越大。兩組樣本的方差增大，并不會直接影響t統(tǒng)計(jì)量的值。3.AC解析：配對樣本t檢驗(yàn)中，同一樣本在不同時間點(diǎn)的均值差異越大，t統(tǒng)計(jì)量的值越大；樣本量越大，t統(tǒng)計(jì)量的值越大。4.AD解析：t檢驗(yàn)比Z檢驗(yàn)更常用，因?yàn)閠檢驗(yàn)考慮了樣本量的影響，更能反映樣本均值估計(jì)的不確定性。當(dāng)樣本量較大時，t分布逐漸逼近正態(tài)分布，t檢驗(yàn)的結(jié)果與Z檢驗(yàn)的結(jié)果非常接近。5.ADE解析：t檢驗(yàn)的結(jié)果受樣本均值、總體均值（假設(shè)值）、樣本方差和樣本量等因素的影響。樣本均值與假設(shè)值之間的差距越大，t統(tǒng)計(jì)量的值越大；樣本方差越大，t統(tǒng)計(jì)量的值越小；樣本量越大，t統(tǒng)計(jì)量的值越大。6.AB解析：獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)中，若兩組方差相等，應(yīng)采用等方差t檢驗(yàn)公式計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量；若假設(shè)不成立，則需采用異方差t檢驗(yàn)公式。7.A解析：當(dāng)樣本量較小時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會較大，即樣本均值對總體均值的估計(jì)不夠穩(wěn)定。因此，t檢驗(yàn)的假設(shè)條件更容易被違反，因?yàn)楦蟮臉颖揪挡町愋枰〉膒值才能達(dá)到顯著性。8.C解析：配對樣本t檢驗(yàn)的零假設(shè)是兩個相關(guān)樣本的均值差異為0。若檢驗(yàn)結(jié)果顯著，則說明同一樣本在不同時間點(diǎn)的均值存在顯著差異。9.A解析：當(dāng)樣本量較小時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會較大，即樣本均值對總體均值的估計(jì)不夠穩(wěn)定。因此，t檢驗(yàn)的p值更容易接近顯著性水平，因?yàn)楦蟮臉颖揪挡町愋枰〉膒值才能達(dá)到顯著性。10.AC解析：t檢驗(yàn)的零假設(shè)是總體均值與假設(shè)值沒有顯著差異。若檢驗(yàn)結(jié)果不顯著，則說明沒有足夠的證據(jù)拒絕零假設(shè)，即總體均值與假設(shè)值之間沒有顯著差異。檢驗(yàn)的顯著性水平為0.05是進(jìn)行t檢驗(yàn)時通常選擇的顯著性水平。三、簡答題答案及解析1.t檢驗(yàn)的基本原理是比較樣本均值與假設(shè)值之間的差距，以及樣本內(nèi)部的變異程度，從而判斷樣本均值與假設(shè)值之間是否存在顯著差異。t檢驗(yàn)適用于樣本量較小且總體方差未知的情況。其假設(shè)條件包括：樣本來自正態(tài)分布總體，樣本獨(dú)立同分布。t檢驗(yàn)的步驟包括：提出零假設(shè)和備擇假設(shè)；計(jì)算樣本均值和樣本方差；計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量；查t分布表，確定臨界值或計(jì)算p值；根據(jù)臨界值或p值與顯著性水平的關(guān)系，做出統(tǒng)計(jì)決策。2.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)用于比較兩個獨(dú)立樣本的均值差異，其樣本之間沒有關(guān)系，彼此不影響。配對樣本t檢驗(yàn)用于比較同一對象在不同時間點(diǎn)或不同條件下的均值差異，其樣本是成對出現(xiàn)的，彼此之間有關(guān)系。選擇哪種t檢驗(yàn)，關(guān)鍵就看咱們的樣本是不是獨(dú)立的。如果樣本獨(dú)立，就用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)；如果樣本不獨(dú)立，是成對出現(xiàn)的，就用配對樣本t檢驗(yàn)。3.t檢驗(yàn)中的假設(shè)檢驗(yàn)過程包括：提出零假設(shè)和備擇假設(shè)；計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量；查t分布表，確定臨界值或計(jì)算p值；根據(jù)臨界值或p值與顯著性水平的關(guān)系，做出統(tǒng)計(jì)決策。若t統(tǒng)計(jì)量大于臨界值或p值小于顯著性水平，則拒絕零假設(shè)；若t統(tǒng)計(jì)量小于臨界值或p值大于顯著性水平，則不拒絕零假設(shè)。4.t分布是一種概率分布，其形狀與正態(tài)分布相似，但tails更厚，即尾部數(shù)據(jù)更分散。t分布考慮了樣本量的影響，當(dāng)樣本量較小時，t分布的方差比正態(tài)分布的方差要大，更能反映樣本均值估計(jì)的不確定性。隨著樣本量增大，t分布逐漸逼近正態(tài)分布。t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別主要在于它們的方差和形狀，特別是當(dāng)樣本量較小時，t分布的方差更大，曲線更“胖”，更能反映樣本均值估計(jì)的不確定性。5.選擇合適的