求極限考試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在2.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，$\frac{1}{x}$是（）A.無窮大量B.無窮小量C.常量D.以上都不對(duì)3.$\lim_{x\to1}(x^2+2x-1)=$（）A.1B.2C.3D.44.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在$x=a$處（）A.一定有定義B.一定無定義C.不一定有定義D.以上都不對(duì)5.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.26.函數(shù)$y=\frac{x^2-1}{x-1}$當(dāng)$x\to1$時(shí)的極限為（）A.1B.2C.0D.不存在7.$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=$（）A.eB.1C.0D.28.當(dāng)$x\to0$時(shí)，與$x$等價(jià)的無窮小是（）A.$x^2$B.$\sinx$C.$2x$D.$\cosx$9.$\lim_{x\to+\infty}\frac{\lnx}{x}=$（）A.+∞B.0C.1D.-∞10.已知$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，則$\lim_{x\to0}f(x)=$（）A.0B.1C.2D.4多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是求極限的方法（）A.代入法B.等價(jià)無窮小替換C.洛必達(dá)法則D.夾逼準(zhǔn)則2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列哪些是無窮小量（）A.$x^3$B.$\sinx$C.$\ln(1+x)$D.$e^x-1$3.極限存在的準(zhǔn)則有（）A.單調(diào)有界準(zhǔn)則B.夾逼準(zhǔn)則C.柯西準(zhǔn)則D.羅爾準(zhǔn)則4.下列極限值為1的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$5.對(duì)于極限$\lim_{x\toa}f(x)$，以下說法正確的是（）A.與$f(x)$在$x=a$處的函數(shù)值無關(guān)B.可能不存在C.若存在則唯一D.一定存在6.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，下列函數(shù)為無窮小量的有（）A.$\frac{1}{x^2}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$e^{-x}$D.$\frac{1}{x+1}$7.等價(jià)無窮小在（）情況下可以使用替換求極限。A.乘除運(yùn)算B.加減運(yùn)算C.復(fù)合函數(shù)運(yùn)算D.任何運(yùn)算8.以下函數(shù)極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}$9.求極限過程中，常用的等價(jià)無窮小有（）A.$x\sim\sinx$B.$x\sim\tanx$C.$x\sim\ln(1+x)$D.$x\sime^x-1$10.關(guān)于極限$\lim_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$（$P_n(x)$、$Q_m(x)$分別是$n$次、$m$次多項(xiàng)式），說法正確的是（）A.當(dāng)$n<m$時(shí)，極限為0B.當(dāng)$n=m$時(shí)，極限為最高次項(xiàng)系數(shù)之比C.當(dāng)$n>m$時(shí)，極限為無窮D.極限一定存在判斷題（每題2分，共10題）1.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，$\lim_{x\toa}g(x)=B$，則$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=A+B$。（）2.無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)。（）3.函數(shù)在某點(diǎn)處極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。（）4.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=0$。（）5.等價(jià)無窮小替換只能在乘除運(yùn)算中使用。（）6.單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限。（）7.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]$一定不存在。（）8.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，$x$比$x^2$更快地趨于無窮大。（）9.極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=1$。（）10.數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義本質(zhì)是一樣的。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述等價(jià)無窮小替換的原理及使用條件。答案：原理是在極限運(yùn)算中，在某變化過程下，等價(jià)無窮小的比值極限為1。使用條件：一般用于乘除運(yùn)算中直接替換，加減運(yùn)算中需謹(jǐn)慎，只有當(dāng)替換后不改變極限值時(shí)才能用。2.說明極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。答案：一是單調(diào)有界準(zhǔn)則，單調(diào)遞增有上界或單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限；二是夾逼準(zhǔn)則，若函數(shù)滿足$g(x)\leqf(x)\leqh(x)$，且$\limg(x)=\limh(x)=A$，則$\limf(x)=A$。3.求極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值，寫出過程。答案：根據(jù)等價(jià)無窮小，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\sin3x\sim3x$，則$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3$。4.簡(jiǎn)述洛必達(dá)法則及其使用條件。答案：洛必達(dá)法則用于求$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型極限。條件：函數(shù)$f(x)$與$g(x)$在$a$的去心鄰域可導(dǎo)，$g'(x)\neq0$，且$\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或?yàn)闊o窮，則$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$。討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：在物理中，計(jì)算物體瞬時(shí)速度，通過求位移函數(shù)的極限得到；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，分析成本、收益等變化趨勢(shì)時(shí)會(huì)用到極限，幫助企業(yè)決策，如求成本函數(shù)極限分析長(zhǎng)期成本情況。2.分析等價(jià)無窮小替換在復(fù)雜極限計(jì)算中的作用與局限。答案：作用是簡(jiǎn)化計(jì)算，將復(fù)雜的無窮小替換為簡(jiǎn)單形式，快速得出結(jié)果。局限在于只能在乘除中安全使用，在加減中使用需謹(jǐn)慎判斷，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果。3.探討極限與函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系。答案：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該點(diǎn)極限值等于函數(shù)值；反之，若極限存在但不等于函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無定義，則函數(shù)不連續(xù)。極限是研究函數(shù)連續(xù)性的重要工具。4.談?wù)勗趯W(xué)習(xí)極限過程中遇到的困難及解決方法。答案：困難如難以理解極限概念，分不清各種求極限方法的適用情況。解決方法是多結(jié)合實(shí)例理解概念，通過大量練習(xí)掌握不同方法，整理錯(cuò)題，分析錯(cuò)誤原因，總結(jié)規(guī)律。答案單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.C4.C5.B