第06講數論專題+口奧3掌握數論七大知識點基礎概念靈活運用數論知識答題掌握口奧知識及完成訓練模塊一：數論一：知識點梳理整數與整除1、整數的意義和分類自然數：零和正整數統(tǒng)稱為自然數；整數：正整數、零、負整數，統(tǒng)稱為整數。正整數自然數正整數自然數零零負整數整數負整數 2、整除（1）整數除以整數b，如果除得的商是整數而余數為零，我們就說能被b整除；或者說b能整除。（2）整除的條件（兩個必須同時滿足）：①除數、被除數都是整數；②被除數除以除數，商是整數而且余數為零。3、除盡與整除的異同點相同點：除盡與整除，都沒有余數，即余數都為0；除盡中包含整除不同點：整除中被除數、除數和商都為整數，余數為零；除盡中被除數、除數和商不一定為整數，余數為零。因數和倍數1、因數和倍數整數能被整數b整除，就叫做b的倍數，b就叫做的因數（也稱為約數）。注意：（1）在整除的條件下，才有因數和倍數的概念。倍數和因數是相互依存的，不能單獨存在。2、求一個數的因數的方法（1）列乘法算式：根據因數的意義，有序地寫出某數的所有兩個數乘積的乘法算式，乘法算式中的因數就是該數的因數。（2）列除法算式：用此數除以任意整數，所得商是整數而無余數，這些除數和商就是該數的因數。3、求一個數的倍數的方法求一個數的倍數，就是用這個數，依次與非零自然數相乘，所得之數就是這個數的倍數。4、因數和倍數的性質（規(guī)律總結）1是任何一個整數的因數，任何整數都是1的倍數；0是任何一個不等于0的整數的倍數，任何一個不等于0的整數都是0的因數；一個正整數既是它本身的最大因數，也是它本身的最小倍數。3、素數、合數與分解素因數1、素數與合數一個數除了1和它本身，不再有別的因數，這個數叫做素數（也叫做質數）。一個數除了1和它本身，還有別的因數，這個數叫做合數。要特別記?。?和1不是素數，也不是合數。常用的100以內的素數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；除了2其余的素數都是奇數；除了2和5，其余的素數個位數字只能是1，3，7或9?？键c：（1）值得注意的是很多題都會以素數2的特殊性為考點；（2）除了2和5，其余素數個位數字只能是1，3，7或9。這也是很多題解題思路，需要大家注意。2、素因數與分解素因數素因數：如果一個素數是某個數的因數，那么就說這個素數是這個數的素因數?；ニ兀汗驍抵挥?的兩個自然數，叫做互素。分解素因數：把一個合數用素因數相乘的形式表示出來，叫做分解素因數。例如：部分特殊數的分解；；；；；；；；3、判斷一個數是否為素數的方法根據定義如果能夠找到一個小于p的素數q（均為整數），使得q能夠整除p，那么p就不是素數，所以我們只要拿所有小于p的素數去除p就可以了。例如：，13<17，所以233是素數4、最大公因數與最小公倍數1、最大公因數的概念及求法幾個整數公有的因數，叫做這幾個整數的公因數，其中最大的一個叫做這幾個整數的最大公因數。求幾個整數的最大公因數，只要將它們所有的公有的素因數連乘，所得的積就是它們的最大公因數（分解素因數法）；另一種方法是短除法（除到兩個商互素為止）。兩個整數中，如果某個數是另一個數的因數，那么這個數就是這兩個數的最大公因數。如果這兩個數互素，則它們的最大公因數為1。2、最小公倍數的概念及求法幾個整數的公有的倍數叫做它們的公倍數，其中最小的一個叫做這幾個整數的最小公倍數。求兩個整數的最小公倍數，只要取它們所有公倍的素因數，再取它們各自剩余的素因數，將這些數連乘，所得的積就是這兩個數的最小公倍數（分解素因數法）；另一個方法是短除法（除到兩個商互素為止）。如果兩個整數中某一個數是另一個數的倍數，那么這個數就是它們的最小公倍數。如果這兩個數互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數。5、完全平方數1、完全平方數的定義若一個數能表示成某個整數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數。完全平方數是非負數。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…2、完全平方數的性質性質1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。性質4：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。性質5：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。

性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。性質9：完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。6、能被2、3、5數整除的特征1.能被2整除的整數，叫做偶數．0、2、4、6、8．10……是偶數。不能被2整除的整數，叫做奇數．1、3、5、7、9……是奇數。偶數和奇數有如下運算性質：偶數±偶數=偶數，奇數±奇數=偶數，偶數±奇數=奇數，奇數±偶數=奇數，偶數×偶數=偶數，偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數7、余數問題余數性質：余數有如下一些重要性質（a，b，c均為自然數）：（1）大小法則：余數小于除數（2）式子變換：被除數=除數×商+余數除數=（被除數余數）÷商商=（被除數余數）÷除數余數=被除數除數×商（3）減法法則：如果a，b除以c的余數相同，那么a與b的差能被c整除?！纠?7與11除以3的余數都是2，所以1711能被3整除。（4）加法法則：a與b的和除以c的余數（不包括能整除），等于a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）?！纠?3，16除以5的余數分別是3和1，所以（23+16）除以5的余數等于3+1=4。注意：當余數之和大于除數時，所求余數等于余數之和再除以c的余數?！纠?3，19除以5的余數分別是3和4，所以（23+19）除以5的余數等于（3+4）除以5的余數。（5）乘法法則：a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）?！纠?3，16除以5的余數分別是3和1，所以（23×16）除以5的余數等于3×1=3。注意：當余數之積大于除數時，所求余數等于余數之積再除以c的余數?！纠?3，19除以5的余數分別是3和4，所以（23×19）除以5的余數等于（3×4）除以5的余數。性質（4）（5）都可以推廣到多個自然數的情形。（6）倍數法則：除數與余數相同時，兩被除數相減的差是除數的倍數。模塊二、口奧（下式中被乘數與乘數中各有500個“0”)00…0024×0.00…005=500個500個一艘輪船順水航行100千米，逆水航行64千米，共用9小時；順水航行80千米、逆水航行128千米共用12小時。問：輪船的順水速度與逆水速度各是多少？地形ABCD中，AB平行于CD，對角線AC，BD交于O點，OE平行于AB、CD，交腰BC于E點，如果三角形ADE的面積是90平方厘米，那么三角形BOC的面積是多少平方厘米。在一根繩子12等分點、15等分點及18等分點都剪一刀，這根繩子被剪成了段？5、如果1！=1；2！=2×1=2；3！=3×2×1=6計算：（1）6！=？（2）x！=5040，求x6、有兩只蝸牛同時從一個等腰三角形的頂點A出發(fā)，分別沿兩腰爬行。一只蝸牛每分鐘行2.5米,另一只蝸牛每分鐘行2米,8分鐘后在離C點6米處的P點相遇,BP的長度是米。ABPC模塊一：數論【例1】有三個自然數，其和是27，將它們分別填入下式的三個括號中，滿足等式要求：（）+5=（）÷3=（）2【例2】一個整數既是54的因數，又是9的倍數，求這個數?！纠?】將1到20中滿足條件的數填入適當的圈內。4的倍數但非100的因數4的倍數但非100的因數100的因數但非4的倍數4的倍數又是100的因數【例4】三個連續(xù)自然數的乘積是210，求這三個數?！纠?】一個數是5個2、3個3、2個5、1個7的連乘積，這個數的兩位數的因數中，最大的是幾？【例6】在長為1.5千米的公路一邊，等距離種樹（兩端都種），開始每隔10米種一棵，后來改成每隔12米種一棵，不用改種的樹有多少棵？【例7】一張長方形的紙片，長為36cm，寬為21cm，要把這張紙片裁成同樣大小的正方形小紙片而且沒有任何剩余，則裁成的正方形紙片的邊長最大可以是多少厘米？至少有多少個小正方形？【例8】一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數?！纠?】求證：四個連續(xù)的整數的積加上1，等于一個奇數的平方。【例10】下面的連乘積中，末尾有多少個0？【例11】有一個不等于1的整數，它除967，1000，2O01得到相同的余數，那么這個整數是多少？【例12】一個三位數,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一個四位數,被131除余112,被132除余98,那么它可能是_______________;1．今年是2010年，從今年起年份數正好為三個連續(xù)正整數乘積的第一個年份是()。2．已知a＝b＋1（a、b均為非0自然數），a、b的最小公倍數是()；如果a是合數，那么b()是奇數（填“一定”或“不一定”）。3．在20以內的合數中，是3的倍數的數是()，并用括號中的數組成比例，這個比例是()。4．兩個質數的和是20，要使它們的積最大，這兩個質數分別是()和()。5．一列數1，1，2，3，5，8，13，21…從第三項開始每一項是前兩項的和，第2021個數是()數（填“奇”或“偶”）；第2021個數除以3的余數是()。6．若9位數20082008能夠被3整除，則里的數是________。7．，都是整數，大于，且，那么的最大值為()，最小值為()。8．幼兒園里給小朋友分蘋果，420個蘋果正好均分。但今天剛好又新人園一位小朋友，這樣每個小朋友就要少分2個蘋果。原來有()個小朋友。9．抽獎箱中有1－10的數字卡，任意抽一張，摸到奇數的可能性比摸到質數的可能性()。（填“大”“小”“相等”）10．如果兩個合數互質，它們的最小公倍數是126，那么，它們的和是()。11．丁丁也不甘示弱：你們知道著名的“斐波那契”數列嗎？它是這樣一組數：1，1，2，3，5，8，13，21，……從第三個數開始，以后每個數都是它前兩個數的和，請問：前2016個數中共有多少個偶數？12．將八個不同的合數填入下面的括號中，如果要求相加的兩個合數互質，那么A最小是幾？A＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）13．兩個四位數和相乘，要使它們的乘積能被72整除，求和。14．，，都是質數，并且，，，那么____。15．六位自然數，能被12整除，末兩位數有()種情況。16．使得是的倍數的最小正整數n是()。17．甲、乙兩個三位數的乘積是一個五位數，這個五位數的后四位為1031。如果甲數的數字和為10，乙數的數字和為8，那么甲乙兩數之和是_________。18．的結果除以，所得到的商再除以…重復這樣的操作，在第____次除以時，首次出現余數。19．用0～9這10個數字組成若干個合數，每個數字都恰好用一次，那么這些合數之和的最小值是________。20．寫出所有數字和為11，數字乘積為20的四位偶數