4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)明確目標(biāo)發(fā)展素養(yǎng)1.掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法2.能畫出具體的指數(shù)函數(shù)的圖象，并根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象說出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用，能利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小1.通過學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)2.借助指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)3借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)知識(shí)點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)教材梳理填空指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)性質(zhì)定義域R值域__________過定點(diǎn)

，即當(dāng)x＝0時(shí)，y＝__單調(diào)性在R上是________在R上是_______奇偶性非奇非偶函數(shù)對(duì)稱性函數(shù)y＝ax與y＝a－x的圖象關(guān)于

對(duì)稱續(xù)表(0，＋∞)(0,1)1增函數(shù)減函數(shù)y軸[微思考]

(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么？(2)指數(shù)函數(shù)值隨自變量有怎樣的變化規(guī)律？提示：(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于字母a.當(dāng)a>1時(shí)，圖象具有上升趨勢(shì)；當(dāng)0<a<1時(shí)，圖象具有下降趨勢(shì)．(2)指數(shù)函數(shù)值隨自變量變化的規(guī)律如下：解析：∵1－3x≥0，即3x≤1，∴x≤0，即x∈(－∞，0]．故選B.答案：B

解析：由指數(shù)函數(shù)y＝2x在x∈[0,1]上單調(diào)遞增知1≤2x≤2，∴y＝1－2x∈[－1,0]．答案：B

(2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，一方面要考慮函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面要注意指數(shù)函數(shù)的值域是(0，＋∞)．一般地，對(duì)于y＝af(x)型函數(shù)，應(yīng)先求出f(x)的值域A，再畫出y＝ax(x∈A)的圖象，或利用函數(shù)的單調(diào)性，就能很容易求出原函數(shù)的值域．提醒：①通過建立不等關(guān)系求定義域時(shí)，要注意解集為各不等關(guān)系解集的交集．②當(dāng)指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時(shí)，在求定義域、值域時(shí)要注意分類討論．

題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【學(xué)透用活】1．指數(shù)函數(shù)圖象的特征同一坐標(biāo)系中，畫出不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示．直線x＝1與四個(gè)指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交點(diǎn)依次為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下結(jié)論：在y軸的右側(cè)，底數(shù)越大，圖象越高，簡(jiǎn)稱“底大圖高”．2．指數(shù)函數(shù)圖象的對(duì)稱規(guī)律y＝ax(a＞0，與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且a≠1)與y＝－ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象與y＝－a－x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧(1)抓住圖象上的特殊點(diǎn)，如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)．(2)利用圖象變換，如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．奇偶性確定函數(shù)的對(duì)稱情況，單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢(shì)．

【對(duì)點(diǎn)練清】1．已知0<a<1，b<－1，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象必定不經(jīng)過

(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限

D．第四象限解析：函數(shù)恒過點(diǎn)(0,1＋b)，因?yàn)閎<－1，所以點(diǎn)(0,1＋b)在y軸負(fù)半軸上．故圖象不經(jīng)過第一象限．答案：A

2．已知直線y＝2a與函數(shù)y＝|2x－2|的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：

函數(shù)y＝|2x－2|的圖象如圖所示．要使直線y＝2a與該圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則有0＜2a＜2，即0＜a＜1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)．答案：(0,1)(3)因?yàn)?＜0.2＜0.3＜1，所以指數(shù)函數(shù)y＝0.2x與y＝0.3x在定義域R上均是減函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上函數(shù)y＝0.2x的圖象在函數(shù)y＝0.3x的圖象的下方，所以0.20.2＜0.30.2.又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝0.2x在R上是減函數(shù)，可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2.角度(二)解指數(shù)不等式

[典例4]求滿足下列條件的x的取值范圍：(1)3x－1>9x；(2)0.2x<25；(3)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)．[解]

(1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x.又y＝3x在定義域R上是增函數(shù)，∴x－1>2x，∴x<－1，即x的取值范圍是(－∞，－1)．(2)∵0<0.2<1，∴指數(shù)函數(shù)f(x)＝0.2x在R上是減函數(shù)．又25＝0.2－2，∴0.2x<25，即0.2x<0.2－2，∴x>－2，即x的取值范圍是(－2，＋∞)．指數(shù)不等式的三種求解方法性質(zhì)法解形如ax>ab的不等式，可借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論隱含性質(zhì)法解形如ax>b的不等式，可先將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解圖象法解形如ax>bx的不等式，可利用對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象求解(2)分情況討論：①當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5.②當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax在R上是增函數(shù)，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5.綜上所述，當(dāng)0<a<1時(shí)，x的取值范圍是{x|x<－1或x>5}；當(dāng)a>1時(shí)，x的取值范圍是{x|－1<x<5}．【課堂思維激活】一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．已知a，b，c，m都是正數(shù)，am＝bm＋cm，當(dāng)m取何值時(shí)，長(zhǎng)分別為a，b，c的三條線段能構(gòu)成三角形？二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．有些家用電器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，在氟化物排放量維持某種水平時(shí)，具有關(guān)系式Q＝Q0e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量．(1)隨時(shí)間t的增加，臭氧的含量是增加還是減少？(2)試估計(jì)多少年以后將會(huì)有一半的臭氧消失．(用計(jì)算器計(jì)算)[析題建模]

解：

(1)畫出y＝h(x)，y＝p(x)的圖象如圖所示．4個(gè)函數(shù)都是y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式，它們的性質(zhì)有：①定義域?yàn)镽.②值域?yàn)?0，＋∞)．③都過定點(diǎn)(0,1)．④當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減．⑤a＞1時(shí)，若x＜0，則0＜y＜1，若x＞0，則y＞1；0＜a＜1時(shí)，若x＞0，則0＜y＜1，若x＜0，則y＞1.⑥對(duì)于函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)，y＝bx(b＞0，且b≠1)，當(dāng)a＞b＞1時(shí)，若x＜0，則0＜ax＜bx＜1；若x＝0，則ax＝bx＝1；若x＞0